El oscilador armónico unidimensional (basado en los textos de Schwabl y Zettili)

En mecánica clásica el hamiltoniano correspondiente a una partícula de masa $m\,$ sometida a un potencial armónico tiene la conocida forma

$$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{m\omega^2}{2}x^2 \;.$$

En cuántica, el principio de correspondencia nos indica que debemos reemplazar las variables $p\,$ y $x\,$ por los operadores asociados. En la base coordenada la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se escribe

$$\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\,{\rm d}^2~}{\,{\rm d}x^2} + \frac{m\omega^2}{2}x^2 \right] \psi(x) = E\,\psi(x) \;.$$

Definiendo $x_o\!=\!\sqrt{\hbar/(m\omega)}$, esta ecuación puede reescribirse como

$$\psi''(x) = \left( - \frac{2mE}{\hbar^2} + \frac{x^2}{x_o^4} \right) \psi(x) \;.$$

El término cuadrático entre paréntesis sugiere la factorización $\psi\!=\!f(x)\,\exp[-x^2/(2x_o^2)]$, resultando para $f\,$ la ecuación de Hermite. Dejando como ejercicio esta forma de resolver el problema —a menudo llamada “método analítico”—, aquí desarrollamos el “método algebraico”, que parte de la definición de los operadores

$$\hat{a} = \frac{m\omega\hat{x}+i\hat{p}}{\sqrt{2m\hbar\omega}}$$   y$$\qquad \hat{a}^\dagger = \frac{m\omega\hat{x}-i\hat{p}}{\sqrt{2m\hbar\omega}} \;.$$

A partir de estos podemos reescribir

$$\hat{x} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} \left( \hat{a}+\hat{a}^\d... ...= -i\,\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}} \left( \hat{a}-\hat{a}^\dagger \right) \;.$$

Recurriendo a las relaciones de conmutación de $\hat{x}\,$ con $\hat{p}\,$ es directo mostrar que

$$\left[ \hat{a},\hat{a}^\dagger \right] = \hat{I} \;,$$

de manera que podemos reescribir

$$\hat{H} = \hbar\omega \left( \hat{a}^\dagger\hat{a} + \frac{1}{2}\hat{I} \right)\;.$$

Esto implica que el problema se reduce a encontrar los autovalores del operador número

$$\hat{n} = \hat{a}^\dagger\hat{a} \;.$$

Obviamente $[\hat{n},\hat{H}]\!=\!0$, de modo que podemos trabajar con una base (ortonormal) de autovectores común a ambos operadores. Denotamos esa base como $\{\vert n\rangle\}\,$, cuyos elementos cumplen

$$\hat{n}\vert n\rangle = \nu_n\vert n\rangle \;,\qquad \hat{H}\ver... ...\vert n\rangle \;, \qquad E_n = \hbar\omega\left(\nu_n+\frac{1}{2}\right) \;.$$

Es directo mostrar, en primer lugar, que $\nu_n\le0\,$, ya que

$$0 \le \left\Vert\big(\,\hat{a}\left\vert n \right\rangle \big)\ri... ...left\vert n \right\rangle \Vert^2 = \nu_n \,\textcolor{lightgray}{\times 1} \;.$$ (20)

Por otro lado, como $\,[\hat{H},\hat{a}]=-\hbar\omega\,\hat{a}\;$ y $[\hat{H},\hat{a}^\dagger]=\hbar\omega\,\hat{a}^\dagger\,$, es directo verificar que

$$\hat{H}\,\bigl(\hat{a}\,\vert n\rangle\bigr) = \left( \hat{a}\ha... ...ght) \vert n\rangle = (E_n-\hbar\omega)\, \bigl(\hat{a}\,\vert n\rangle\bigr)$$

y

$$\hat{H}\,\bigl(\hat{a}^\dagger\vert n\rangle\bigr) = \left( \hat... ... n\rangle = (E_n+\hbar\omega)\, \bigl(\hat{a}^\dagger\vert n\rangle\bigr) \;,$$

lo que muestra que $\hat{a}\,\vert n\rangle\,$ y $\hat{a}^\dagger\vert n\rangle\,$ son también autoestados de $\hat{H}$, con autovalores respectivos $E_n-\hbar\omega\,$ y $E_n+\hbar\omega\,$. Evidentemente, $\hat{a}\,$ y $\hat{a}^\dagger\,$ también generan nuevos autoestados para el operador número cuando actúan sobre $\vert n\rangle$, ya que análogamente,

$$\bigl[\hat{n},\hat{a}\bigr] = -\hat{a} \quad \Rightarrow \quad \... ...tarrow \quad \hat{n}\,\hat{a}^\dagger = \hat{a}^\dagger (\hat{n}+\hat{I}) \;,$$

de donde

$$\hat{n}\,\bigl(\hat{a}\,\vert n\rangle\bigr) = \hat{a} \bigl(\ha... ...\hat{I}\bigr) \vert n\rangle = (\nu_n-1)\,\bigl(\hat{a}\,\vert n\rangle\bigr)$$

y

$$\hat{n}\,\bigl(\hat{a}^\dagger\,\vert n\rangle\bigr) = \hat{a}^\... ...) \vert n\rangle = (\nu_n+1)\,\bigl(\hat{a}^\dagger\,\vert n\rangle\bigr) \;.$$

El efecto de estos operadores sobre los autoestados hace que se los llame operadores escalera; el operador $\hat{a}\,$ se denomina “bajador” (lowering) y el $\hat{a}^\dagger$, “subidor” (raising). Las expresiones anteriores sugieren la posibilidad de que $\nu_n=n$, de manera que aumentar o decrecer $\nu_n\,$ en una unidad implique la absorción o cesión de un cuanto de energía $\hbar\omega\,$. Pero, ¿podría $\nu_n\,$ asumir valores no enteros? Supongamos el caso en que $\nu_n\notin\mathbb{Z}\,$, de modo que $n\!-\!1<\nu_n<n\,$: si aplicamos $n\,$ veces el operador bajador, debemos obtener un nuevo autoestado de $\hat{n}\,$, pero en este caso su autovalor frente al operador número sería $\nu_n-n<0$, arribando a un absurdo de acuerdo con (20). Concluimos entonces que se cumple $\nu_n=n\,$ siempre.

Si bien los autoestados que se obtienen al aplicar $\hat{a}\,$ no están normalizados, podemos escribir

$$\hat{a}\,\vert n\rangle = c_n\, \vert n-1\rangle \;,$$

y para hallar la constante de normalización $c_n\,$ notamos que

$$\vert c_n\vert^2 = \bigl(\langle n\vert\hat{a}^\dagger\bigr)\, \b... ...\rangle\right) = \langle n\vert\, \bigr(\hat{n}\,\vert n\rangle\bigr) = n \;,$$

de donde concluimos que

$$\hat{a}\,\vert n\rangle = \sqrt{n}\; \vert n-1\rangle \;.$$

La aplicación sucesiva de $\hat{a}\,$ va bajando de $\vert n\rangle\,$ a $\,\vert n\!-\!1\rangle$, luego a $\,\vert n\!-\!2\rangle$, etc., pero como $n\,$ no puede ser negativo, este procedimiento debe cortarse, lo que justamente ocurre dado que $n\,$ es un entero (no negativo): el mínimo valor posible para $n\,$ es 0, y por ende $c_n\!=\!\sqrt{n}$, con $n\!=\!0,1,2,3,\dots$

Del mismo modo puede mostrarse que

$$\hat{a}^\dagger\,\vert n\rangle = \sqrt{n+1}\; \vert n+1\rangle \;.$$

Reemplazando en el hamiltoniano, vemos que los autovalores para la energía del oscilador armónico cuántico son

$$E_n = \hbar\omega \left(n+\frac{1}{2}\right) \qquad\quad (n=0,1,2,3,\dots)$$

La energías permitidas para el oscilador son entonces discretas, lo que marca una notable diferencia con el caso clásico.

A partir del estado fundamental o de mínima energía para $n\!=\!0$, que denotamos $\vert\rangle\,$ y no debe confundirse con el vector nulo, podemos encontrar las soluciones para cualquier $n\,$. Para ello escribimos $\vert\rangle\,$ en la base coordenada y (a partir de la definición de $\hat{a}\,$) notamos que

$$\hat{a}\,\psi_o(x)=0 \qquad\Rightarrow\qquad \left(\frac{\,{\rm d}~}{\,{\rm d}x}+\frac{x}{x_o^2}\right) \psi_o = 0 \;;$$

esta ecuación separable se resuelve directamente, y normalizando adecuadamente el resultado obtenemos

$$\psi_o(x) = \frac{1}{\sqrt{\sqrt{\pi}x_o}}\,e^{-\frac{\mbox{\scriptsize $x^2$}}{\mbox{\scriptsize $2x_o^2$}}} \;.$$

A partir de este estado podemos obtener cualquier otro aplicando sucesivamente $\hat{a}^\dagger\,$

$$\vert n\rangle = \frac{1}{\sqrt{n}}\,\hat{a}^\dagger\vert n-1\ran... ...= \cdots = \frac{1}{\sqrt{n!}}\,\left(\hat{a}^\dagger\right)^n \vert\rangle \;.$$ (21)

En la base coordenada,

$$\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{n!\sqrt{\pi}x_o}}\,\left(\hat{a}^\dag... ...t)^n \, e^{-\frac{\mbox{\scriptsize $x^2$}}{\mbox{\scriptsize $2x_o^2$}}} \;,$$

o bien, como $\hat{a}^\dagger = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{x}{x_o}-x_o\frac{\,{\rm d}~}{\,{\rm d}x}\right)$,

$$\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n\,n!\sqrt{\pi}x_o}}\, e^{-\frac{\... ...tsize $x^2$}}{\mbox{\scriptsize $2x_o^2$}}}\, H_n\left(\frac{x}{x_o}\right) ,$$

donde los $H_n\,$ son polinomios que se van construyendo al aplicar $\hat{a}^\dagger$. Para explicitar su aspecto, notemos que los miembros de la derecha de las dos expresiones anteriores dependen de $x/x_o\,$, al igual que $\hat{a}^\dagger$; esto permite sintetizar la definición de $H_n\,$ (sustituyendo $x/x_o\,$ por $x$) como

$$H_n(x) = e^{\frac{x^2}{2}} \left(x-\frac{\,{\rm d}~}{\,{\rm d}x}\right)^n e^{-\frac{x^2}{2}} \;.$$

Notando la identidad entre operadores

$$e^{-\frac{x^2}{2}} \left(x-\frac{\,{\rm d}~}{\,{\rm d}x}\right) e^{\frac{x^2}{2}} \bigl[\,\cdot\,\bigr] = -\frac{\,{\rm d}~\cdot}{\,{\rm d}x} \;,$$

arribamos a la representación habitual de los polinomios de Hermite

$$H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{\,{\rm d}^n~}{\,{\rm d}x^n}\!\!{\rule{0em}{0.8em}}^{\displaystyle e^{-x^2}}$$   (fórmula de Rodrigues)$$\;.$$

Estos polinomios tienen paridad definida, como debíamos esperar a partir de la paridad del potencial. Explicitamos aquí los primeros 6:

$$\begin{array}{lclcl} H_o(x) = 1 \;, && H_1(x) = 2x \;, && H_2(x)... ... 16x^4-48x^2+12\;, && H_5(x) = 32x^5-160x+120 \;.\rule{0em}{1.5em} \end{array}$$

La relación de ortogonalidad para los polinomios de Hermite es

$$\int_{-\infty}^{\infty}\,{\rm d}x\; e^{-x^2} H_n(x)\, H_m(x) = \sqrt{\pi}\,2^n n!\, \delta_{n,m} \;.$$

La función generatriz para estos polinomios es

$$e^{-t^2+2tx} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}\, H_n(x)$$

y la ecuación diferencial que satisfacen es

$$\left( \frac{\,{\rm d}^2~}{\,{\rm d}x^2} - 2x\frac{\,{\rm d}~}{\,{\rm d}x} +2n \right) H_n(x) = 0 \;.$$

Vale la pena notar que los polinomios de Hermite tienen $n\,$ raíces reales simples, lo que implica $n\,$ nodos para $\psi_n\,$, tal como esperábamos.

Las soluciones para el oscilador armónico cuántico son notablemente diferentes de las clásicas. El oscilador clásico pasa más rápidamente por el centro del pozo, por lo que la probabilidad de hallarlo allí es menor que en los extremos, donde la partícula se frena: la probabilidad de encontrar a la partícula clásica $P_{\rm cl\acute{a}s}\,$ es proporcional a la inversa de la velocidad $v(x)$. La correspondiente probabilidad cuántica es el módulo de la función de onda al cuadrado $\vert\psi_n(x)^2\vert\,$: para los primeros estados cuánticos, esta probabilidad se parece muy poco a la del oscilador

 

clásico, tal como se muestra en la figura (aquí se ha normalizado el rango de coordenadas espaciales para que coincidan los puntos de retorno clásico.) Para estados con $n\,$ mayor, la distribución $\vert\psi_n(x)\vert^2\,$ se parece cada vez más a $P_{\rm cl\acute{a}s}(x)$, por lo cual ambas descripciones pueden resultar adecuadas para altas energías, pero no cuando están más presentes los efectos cuánticos (estados de menor energía). La importancia del modelo cuántico para el oscilador armónico se pone de manifiesto en muchos fenómenos físicos. El más antiguo quizás está relacionado con el comportamiento del calor específico de un sólido,

 

que según la descripción clásica debería ser constante; sin embargo a bajas temperaturas las determinaciones experimentales muestran que éste tiende a 0, lo cual solo logra explicarse a partir de la descripción cuántica.

La cuantización del campo electromagnético también puede verse como consecuencia de la cuantización para el oscilador armónico. De las ecuaciones de Maxwell para una cavidad de longitud $L\,$ (en la dirección $z$) y volumen $V$

$$%%%% En SI \nabla\times\bm{E}=-\frac{\partial\bm{B}}{\partial t}... ...}{\partial t} \;,\qquad \nabla\cdot\bm{B}=0 \;,\qquad \nabla\cdot\bm{E}=0 \;,$$

cada modo electromagnético (un solo $\omega=ck$) resulta

$$E_x(z,t) = \sqrt{\frac{2\omega^2}{V\varepsilon_o}}\,q(t) \sen (kz) \;,$$

donde $q(t)\,$ es la amplitud de la onda. La condición $E_x(z=L)\!=\!0$ indica que las frecuencias permitidas son $\omega_\ell\!=\!\ell(\pi c/L)\,$ con $\ell\!=\!1,2,3,\dots$ La solución para la inducción magnética (siempre perpendicular a $E$) es

$$B_y(z,t) = \frac{\mu_o\varepsilon_o}{k}\sqrt{\frac{2\omega^2}{V\varepsilon_o}}\, \dot{q}(t) \cos(kz) \;.$$

Esta $\dot{q}\,$ puede tomarse como el impulso asociado con una partícula de masa 1. Así, la energía almacenada en este modo estacionario es

$$H = \frac{1}{2} \int\,{\rm d}V\; \left[\varepsilon_o\bm{E}^2+\frac{1}{\mu_o}\bm{B}^2\right] = \frac{1}{2} \left(p^2+\omega^2 q^2\right) \;.$$

Vemos entonces que tenemos asociado un oscilador armónico con cada modo estacionario en una cavidad resonante. El paso a la cuántica es directo a través del principio de correspondencia, y los operadores $\hat{a}\,$ y $\hat{a}^\dagger\,$ cambian levemente porque aquí tomamos $m\!=\!1$. En este contexto resultan razonables los nombres de aniquilación y creación para los operadores $\hat{a}\,$ y $\hat{a}^\dagger\,$: los modos estacionarios encontrados más arriba van modificando su energía en cuantos de magnitud $\hbar\omega$, los fotones, y la acción de $\hat{a}\,$ sobre el estado $n\,$ lo baja al estado $n$$-1$, haciendo desaparecer un fotón, mientras que el operador $\hat{a}^\dagger\,$ agrega un cuanto de radiación al sistema.