En las representaciones entropía y energía las variables independientes naturales son extensivas, mientras que las intensivas aparecen siempre como conceptos derivados. Sin embargo, en el laboratorio suele resultar más sencillo controlar las variables intensivas en lugar de las extensivas (el ejemplo más obvio es el de y ). En esos casos, que son los más habituales, conviene procurar tomar las variables intensivas como independientes.
Supongamos que tenemos una relación matemática cualquiera
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fundamental. Para comprender mejor esto pensemos en el caso de una sola variable . Si la relación fundamental está representada como se muestra en el gráfico de la izquierda y se elimina de la ecuación , nos queda la ambigüedad de conocer cuál de todas las curvas mostradas a la derecha corresponde a la solución de nuestro problema.
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Lo que sucede en realidad es que procediendo de esta manera, es una ecuación diferencial de primer orden y es de esperar que aparezca una constante indeterminada en el proceso de integración.
La solución al problema planteado la proporcionan las transformadas de Legendre. Geométricamente la idea es reemplazar la relación proveyendo, además de la pendiente de la curva, la ordenada al origen de la recta tangente a la curva . Así como la relación caracteriza todos los pares ordenados que satisfacen dicha relación, los pares ordenados se corresponden con todas las rectas tangentes a la curva . De este modo, la relación es completamente equivalente a la información provista por , lo que implica que puede considerarse como una relación fundamental equivalente.
Para relacionar con , basta recordar que por definición
La función se denomina transformada de Legendre de . Si
tenemos la relación , tenemos
, de donde
podemos despejar y reemplazar en la ecuación anterior, de manera que
nos queda como función sólo de . Por otro lado, si conocemos la
relación y queremos hallar , como
,
de manera que |
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Es interesante observar la simetría que existe al pasar de una representación a la otra; el único cuidado que debe tenerse es que en la representación de , , mientras que cuando transformamos a la representación , aparece un cambio de signo en .
Como dijimos anteriormente, todo el desarrollo efectuado es válido para el
caso de varias variables independientes:
La transformada de Legendre tomará la forma
En muchas situaciones nos interesa transformar sólo un subconjunto de variables ; en cualquier caso nos quedarán variables independientes, y todo el desarrollo sigue siendo válido para ese subconjunto.
Gustavo Castellano 12/06/2018