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\begin{document}

\setcounter{page}{1}

\title[{Introducci\'on a la teor\'ia de Eliminaci\'on}]{{Introducci\'on a la teor\'ia de Eliminaci\'on}}
\author{Nicol\'as Botbol}
\address{Departamento de Matem\'atica\\
FCEN, Universidad de Buenos Aires, Argentina}
\email{ nbotbol@dm.uba.ar}
\thanks{Partially supported by UBACYT 20020100100242, CONICET PIP 112-200801-00483, and ANPCyT PICT 2008-0902.}
\subjclass{13P15, 13P20, 13D02, 13D45, 14Q10}
\date{1 de julio de 2012}

\begin{abstract} 

El objeto de estudio de estas notas es la teor\'ia de eliminaci\'on, y en particular, nos concentraremos en estudiar resultantes. Cuando hablamos de resultantes, precisamente nos referimos a resultantes homog\'eneas en el espacio proyectivo, que llamaremos, resultante de Macaulay. Esta resultante surge como una generalizaci\'on de la resultante de Sylvester para dos polinomios univariados.

Dado un conjunto de $n$ polinomios homog\'eneos $f_1,\hdots,f_n$ en $n$ variables con coeficientes en un anillo $A$, introduciremos la noci\'on de ideal eliminante, $\Ac$ de $A$, que resultar\'a bajo ciertas condiciones un ideal principal, y cuyo generador llamaremos Resultante homog\'enea de $f_1,\hdots,f_n$. Veremos que el conjunto de ceros de $\Ac$ en $\Spec(A)$ parametriza los coeficientes para los cuales los polinomios $f_1,\hdots,f_n$ tienen un cero com\'un.

Veremos adem\'as que esta resultante puede ser calculada como el determinate de un complejo de $A$-m\'odulos y que adem\'as coincide con la parte en codimensi\'on $1$ de un ideal de menores maximales de una cierta matriz $M$, que se lo conoce como ideal inicial de Fitting de $M$.
\end{abstract}

\maketitle

\tableofcontents



\section*{Introducci\'on}

El objeto de estudio de estas notas es la teor\'ia de eliminaci\'on, y en particular, nos concentraremos en estudiar resultantes. Cuando hablamos de resultantes, precisamente nos referimos a resultantes homog\'eneas en el espacio proyectivo, que llamaremos, resultante de Macaulay. Esta resultante surge como una generalizaci\'on de la resultante de Sylvester para dos polinomios univariados, que repasaremos en la Secci\'on \ref{cap:Syl}.

\medskip


El contexto ser\'a el siguiente: $A$ un anillo conmutativo con unidad que se supondr\'a casi siempre \'integro y noetheriano, $R=A[X_1,\hdots,X_n]$ el anillo de polinomios con coeficientes en $A$ con la graduaci\'on habitual, donde $\deg(X_i)=1$ y $\deg(a)=0$ para todo $a\in A$ y $R_+$ su ideal irrelevante de elementos de grado positivo. Sea $f_1,\hdots,f_n$ una sucesi\'on regular de $n$ polinomios homog\'eneos, con $\deg(f_i)=d_i>0$, e $I=(f_1,\hdots,f_n)$.

El anillo cociente $B=R/I$ es un anillo graduado, con la graduaci\'on heredada de $R$. El ideal homog\'eneo $0$ de $B$, tiene una descomposici\'on $0=\pp \cap \qq$, donde $\qq$ es la componente $R_+$-primaria o componente irrelevante y $\pp= H^0_{R_+}(B)$ es un ideal homog\'eneo que se define pasando al cociente por $I$ al ideal $\TF_{R_+}(I)$ de \textit{formas de inercia} de $I$ en $R$. 

Escribamos $\overline B :=B/H^0_{R_+}(B)$. Naturalmente, los subesquemas cerrados de $\Proj(R)$ definidos por $\Proj(B)$ y $\Proj(\overline B)$ coinciden. Adem\'as, llamando $B_\nu$ y $\overline B _\nu$ a las partes homog\'eneas de grado $\nu$, se tiene que $B_\nu=\overline B _\nu$ si $\nu$ es suficientemente grande. Precisamente, para que $B_\nu$ y $\overline B _\nu$ coincidan, basta encontrar un valor $\nu_0$ tal que $H^0_{R_+}(B)_\nu=0$ si $\nu\geq \nu_0:=\sum_i(d_i-1)+1$, que llamaremos \'indice de saturaci\'on de $I$ (el estudio del valor $\nu_0$ est\'a contenido en la \'ultima parte del Ap\'endice B, dedicado a la regularidad de Castelnuovo-Mumford).

Como $R$ es un anillo graduado sobre $A$,  $\Proj(R)$ es un esquema proyectivo sobre $\Spec(A)$, y tambi\'en lo es $\Proj(B)=\Proj(\overline B)$. Llamando $\pi$ a la proyecci\'on $\pi:\Proj(R)\to \Spec(A)$, as\'i como a la proyecci\'on inducida  $\pi:\Proj(B)\to \Spec(A)$, obtenemos que la imagen de  $\Proj(B)$  por $\pi$ est\'a dada por el \textit{ideal eliminante} $H^0_{R_+}(B)\cap A=H^0_{R_+}(B)_0$, que denotaremos por $\Ac$. Esto ser\'a estudiado en detalle en la Secci\'on \ref{sec:teoElim}, donde adem\'as probaremos el Teorema Principal de Eliminaci\'on, Teorema \ref{Teo:deElim}, que establece la relaci\'on entre el ideal de coeficientes $\Ac$ y la existencia de ceros comunes de $I$ para esos coeficientes.

Mejor que el ideal de eliminaci\'on  $\Ac$, es el ideal de Fitting $\Fc:=\Fitt_0(B_{\nu})$ con $\nu\geq\nu_0$ (t\'ipicamente $\nu=\nu_0$), ya que no s\'olo es principal en codimensi\'on $1$, con el mismo conjunto de ceros que $\Ac$, sino que adem\'as verifica propiedades funtoriales muy convenientes, como ser estable por cambios de base. Adem\'as, su parte de codimensi\'on $1$ puede ser calculado mediante un producto alternado de determinantes. 

Como lo se\~nal\'o Jouanolou, Hurwitz demostr\'o en 1913 (ver \cite{Hur1}) que, en el caso de polinomios homog\'eneos gen\'ericos $f_1,\hdots,f_r$ -y este ser\'a nuestro contexto- el complejo Koszul es ac\'iclico en grados positivos si el n\'umero de polinomios $r$ es menor o igual al n\'umero de variables $n$, ya que forman una sucesi\'on regular. Desde alrededor de 1930 se sabe que las resultantes homog\'eneas se pueden calcular como el invariante de McRae de este complejo, y a esto es a lo que nos refer\'iamos al decir que la parte de codimensi\'on $1$ de $\Fc:=\Fitt_0(B_{\nu})$ con $\nu\geq\nu_0$ puede ser calculado mediante un producto alternado de determinantes, que vienen de los diferenciales de este complejo de Koszul graduado, en grado $\nu$ con $\nu\geq\nu_0$. 

En la Secci\'on \ref{sec:Koszul} recordaremos la definici\'on de este complejo, y desarrollaremos las herramientas necesarias para nuestras aplicaciones. En la Secci\'on \ref{sec:Res} veremos, en el Teorema \ref{Teo:elim} que el ideal $\Ac$ es primo y principal y que por lo tanto define una subvariedad de $\Spec(A)$ de codimensi\'on $1$. Luego, probaremos que $\Ac=\annn_A(B_\nu)$ si $\nu\geq\nu_0$, es decir, que es un $A$-m\'odulo de torsi\'on. Al final de esa secci\'on, mostraremos que (con hip\'otesis) todo $A$-m\'odulo $M$ de torsi\'on define un divisor $\divv(M)$, y que dada una resoluci\'on libre de $M$, este divisor puede ser calculado mediante un producto alternado de determinantes. Como mencionamos, esta resoluci\'on ser\'a el complejo de Koszul de  $f_1,\hdots,f_r$ en grado $\nu\geq\nu_0$. En la Secci\'on \ref{sec:Fitting} definiremos y estudiaremos los ideales de Fitting mencionados, as\'i como el invariante de MacRae, lo que completar\'a el estudio de la resultante de Macaulay.

\medskip

Es importante entender la diferencia que estamos marcando entre los ideales $\Ac$ y $\Fc$: Mientras que el primero es principal e irreducible y describe la \textit{imagen cerrada de} $\pi:\Proj(B)\to \Spec(A)$, el segundo no lo ser\'a y describe la \textit{imagen de Fitting de} $\pi$, pero el divisor asociado a $\Fc$ coincide con $\Ac$ lo cual dice que la parte en codimensi\'on $1$ de $V(\Fc)$ coincide con $V(\Ac)$, y en particular como conjuntos tambi\'en coinciden.

\medskip

Como ya se dijo, a lo largo de estas notas, estudiaremos la relaci\'on y propidades de estos dos ideales, ya que, como mencionamos, el primero es m\'as intuitivo geom\'etricamente, pero el segundo presenta mejores propiedades algebraicas. Un estudio m\'as detallado sobre im\'agenes cerradas e im\'agenes de Fitting se puede encontrar en \cite[Cap.\ V]{EH00}.


\subsection*{Notaci\'on}

En estas notas, los anillos ser\'an todos conmutativos y con unidad, \'estas son hip\'otesis habituales en el \'area, aunque parte de la teor\'ia pueda desarrollarse sin ellas. 

\medskip

Cuando llamemos $A$ a un anillo, en general estaremos pensando en que $A$ es el anillo de coeficientes universales $\ZZ[\{U_{i,\alpha}\}]$ o un anillo de coeficientes arbitrario, pero esto es simplemente una intuici\'on que deber\'ia ayudar al lector a entender la geometr\'ia de fondo. En general $A$ no ser\'a provisto de una graduaci\'on, y por lo tanto el esquema que le asociaremos ser\'a $\Spec(A)$. Cuando querramos indicar que $A$ es un cuerpo, com\'unmente escribiremos $k$ en lugar de $A$.

El anillo $R$, por lo general ser\'a un anillo de polinomios en $n$ variables $X_i$, con coeficientes en $A$ o en $k$. Nos interesar\'a dotar a $R$ de la graduaci\'on habitual, donde $\deg(X_i)=1$ y $\deg(a)=0$ para todo $a\in A$. Esta graduaci\'on nos permitir\'a definir en $R$ el ideal maximar irrelevante de elementos de grado positivos $R_+:=(X_1,\hdots,X_n)$ y geom\'etricamnte le asociamos a $R$ el esquema proyectivo $\Proj(R)$ que se escribe $\PP^{n-1}_A$ o $\PP^{n-1}_k$ seg\'un corresponda.

Notaremos con $f_1,\hdots,f_r$ al conjunto de $R$ polinomios homog\'eneos, en $n$ variables $X_i$, con coeficientes en $A$, es decir, elementos homog\'eneos de $R$. T\'ipicamente $f_i$ tendr\'a grado $d_i$, es decir, $f_i\in R_{d_i}$. Estudiaremos principalmente el caso en que $r=n$, y que forman una sucesi\'on regular en $R$. Esto dice que el cociente $B:=R/I$ es una intersecci\'on completa. 

Frecuentemente escribiremos,
\[
 f_i=\sum_{|\alpha|=d_i} u_{\alpha,i} X^\alpha 
\]
con $u_{\alpha,i}\in A$, $\alpha=(\alpha_1,\hdots,\alpha_n)$, $|\alpha|=\alpha_1+\cdots +\alpha_n$, $X^\alpha=X_1^{\alpha_1}\cdots X_n^{\alpha_n}$ y $f_{\alpha,i}\in A$ para todo $\alpha$ y todo $i$.
Tambi\'en nos permitiremos reemplzar las $u_{\alpha,i}$ por $U_{\alpha,i}$, cuando querramos indicar que son variables. Es decir, la diferencia radica en que en el primer caso tender\'iamos a creer que est\'an especializadas y que $A$ es un anillo de coeficientes cualquiera, mientras que en el segundo no lo est\'an y $A=\ZZ[\{U_{i,\alpha}\}]$ es el anillo de coeficintes universales.

En cualquier caso, escribamos $I:=(f_1,\hdots, f_r)\subset R_+$, ideal homog\'eneo de $R$, y $B:=R/I$. Como $I$ es homog\'eneo, $B$ es un $R$-m\'odulo graduado, con la graduaci\'on heredada de $R$. Escribiremos $\Proj(B)$ para denotar el subesquema de $\Proj(R)$ definido por $I$, que com\'unmente se escribe $V(I)$.

M\'as en general, dado un ideal $J$ de un anillo $S$, escribiremos $V(J)$ par denotar $\Spec(S/J)$. Tambi\'en, si $S$ fuera un anillo graduado est\'andar y $J$ homog\'eneo, $V(J)$ podr\'a denotar $\Proj(S/J)$. Esta notaci\'on es habitual y hace referencia a la intuici\'on de pensar $V(J)$ como una subvariedad del espacio af\'in o proyectivo asociado al anillo de polinomios $S$ definida por ``los ceros'' de $f$, donde $f$ recorre todos los elementos de $J$.   


\medskip


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\section{Resultante univariada}\label{cap:Syl}

En esta primera parte, estudiaremos la resultante de dos polinomios univariados y de dos polinomios homog\'eneos en dos variables. Esta teor\'ia cl\'asica que data del siglo XIX nos permitir\'a comprender con facilidad el contexto geom\'etrico y algebraico de la teor\'ia de eliminaci\'on general, as\'i como de remarcar el caracter universal de la resultante.

\subsection{Definici\'on}

Sea $A$ un anillo conmutativo con unidad. Sean $f_1,f_2\in A[X]$ dos polinomios de grado $d_1,d_2>0$. Escribamos 
\begin{equation}\label{eq:f1f2}
 f_1(X)=\sum_{i=0}^{d_1}a_iX^i, \mbox{ y }f_2(X)=\sum_{i=0}^{d_2}b_iX^i.
\end{equation}


A estos dos polinomios les asociamos la matriz Sylvester definida como sigue.

\begin{definicion}
 Sean $A$ un anillo conmutativo con unidad, $f_1,f_2\in A[X]$ dos polinomios de grado $d_1,d_2>0$, como en \eqref{eq:f1f2}. La matriz
\[
\Syl(f_1,f_2)=\begin{pmatrix}
 a_{d_1} & 0 & \cdots & 0 		&  b_{d_2} & 0 & \cdots &\ & 0  \\
 a_{d_1-1} &  a_{d_1} &  & \vdots 	&  \vdots &  b_{d_2} &  &\ & \vdots  \\
 \vdots & a_{d_1-1} & \ddots & 0 	&   b_{0}& \vdots& \ddots &\ &  \\
 a_{0} & \vdots &  &a_{d_1} 		&  0& b_0 &  &\ & 0  \\
 0 & a_0 &  &a_{d_1-1} 			&\vdots & 0 &  \ddots &\  &b_{d_2} \\
 \vdots &  & \ddots & \vdots		& \vdots &  & &\ & \vdots \\
 0 & 0 & \cdots & a_0 			& 0 & 0 & \cdots &\ & b_0
\end{pmatrix}
\]
de $(d_1+d_2)\times (d_1+d_2)$ con coeficientes en $A$, se llama \textit{matriz de Sylvester} de $f_1,f_2$.
\end{definicion}


\begin{definicion}
 Sean $f_1,f_2\in A[X]$ dos polinomios de grado $d_1,d_2>0$. Definimos la \textit{Resultante de Sylvester} de $f_1,f_2$, como 
\[
 \Res_X(f_1,f_2)=\det(\Syl(f_1,f_2))
\]

\end{definicion}

\subsection{Propiedades elementales}

Los polinomios $f_1,f_2$ definen un morfismo de $A$-m\'odulos
\begin{equation}\label{eq:koszulf1f2}
 \begin{array}{ccc}
  A[X]_{<d_2}\oplus A[X]_{<d_1}&\nto{\partial}{\lto} &A[X]_{<d_1+d_2}\\
(h_1,h_2)&\mapsto& h_1f_1+h_2f_2 
  \end{array}
\end{equation}
En estos t\'erminos, la Proposici\'on \ref{prop:ResIdealf1f2} dice que $\Res_X(f_1,f_2)\in \im(\partial)$. Adem\'as, es f\'acil ver que la matriz de $\partial$ en bases can\'onicas coincide con la matriz $\Syl(f_1,f_2)$ (ver ejercicio \ref{ejer:sylvesterKos}).

\begin{proposicion}\label{prop:ResIdealf1f2}
 Sean $f_1,f_2\in A[X]$ dos polinomios de grado $d_1,d_2>0$. Entonces, existen dos polinomios $h_1,h_2$ tales que $\deg(h_i)<d_i$, $i=1,2$ y $\Res_X(f_1,f_2)=f_1h_1+f_2h_2\in A[X]$.
\end{proposicion}
\begin{proof}
 Es inmediato verificar que se tiene la siguiente igualdad de vectores
\[
 (X^{d_1+d_2-1},X^{d_1+d_2-1},\hdots,X,1) \Syl(f_1,f_2)= (X^{d_2}f_1,\hdots,Xf_1,f_1,X^{d_1}f_2,\hdots,Xf_2,f_2)
\]
Desarrollando la regla de Cramer se tiene que
\[
  \Res_X(f_1,f_2)\cdot 1 = \det M,
\]
donde $M$ es la matriz que se obtiene a partir de $\Syl(f_1,f_2)$ reemplazando la \'ultima fila por el vector $(X^{d_2}f_1,\hdots,Xf_1,f_1,X^{d_1}f_2,\hdots,Xf_2,f_2)$.

Calculando $\det(M)$ por la \'ultima fila, se tiene lo buscado.
\end{proof}

Para polinomios sobre un anillo \'integro, se tiene el sigueinte resultado, que es una de las motivaciones principales para el estudio de las resultantes.

\begin{proposicion}\label{prop:f1f2coprimos}
Sea $A$ un anillo \'integro con cuerpo de fracciones $K$. Sean $f_1,f_2\in A[X]$ dos polinomios de grado $d_1,d_2>0$ y sea $\partial$ un morfismo de $A$-m\'odulos como en \eqref{eq:koszulf1f2}. Entonces son equivalentes
\begin{enumerate}
 \item $\partial$ es inyectivo,
 \item $\Res_X(f_1,f_2)\neq 0$,
 \item $f_1$ y $f_2$ son coprimos en $K[X]$.
\end{enumerate}
\end{proposicion}
\begin{proof}
 La equivalencia entre los puntos 1.\ y 2.\ se desprende del Ejercicio \ref{ejer:inyectivoDet}.
Para ver que 1.\ y 3.\ son equivalentes, supongamos primero que $f_1$ y $f_2$ son coprimos en $K[X]$, y que existen polinomios $h_1$ y $h_2$ tales que $\deg(h_i)<d_i$, $i=1,2$, y $\partial(h_1,h_2)=0$. Esto \'ultimo dice que $h_1f_1=-h_2f_2$, y entonces, $f_1|h_2$ y $f_2|h_1$, de lo cual se deduce, observando los grados, que $h_1=h_2=0$.
Si  $f_1$ y $f_2$ no son coprimos en $K[X]$, entonces existe un polinomio $h$ de grado positivo tal que $f_i=hg_i$, con $\deg(g_i)<\deg(f_i)=d_i$, $i=1,2$. Sea $d\in A$ el producto de los denominadores de $g_1$ y $g_2$. La no-inyectividad de $\partial$ se defuce del hecho que $0=d(f_2f_1-f_1f_2)=h(g_2f_1-g_1f_2)$, es decir de que $0\neq(g_2,-g_1)\in \ker(\partial)$.
\end{proof}

Como consecuencia de esto se tiene que $\Res_X(f_1,f_2)\neq 0$ si y solo si $f_1$ y $f_2$ tienen una ra\'iz com\'un en una extensi\'on algebraica de $K$ (ver Ejercicios \ref{ejer:cerosCumones} y \ref{ejer:dimKer}).

Si introducimos una nueva variable $Y$ para homogeneizar a los polinomios $f_1,f_2$, podemos definir la resultante homog\'enea de dos polinomios homog\'eneos bivaluados de la siguiente forma:

\begin{definicion}
  Sean $f_1,f_2\in A[X,Y]$ dos polinomios homoge\'eneos de grado $d_1,d_2>0$. Definimos
\[
  \Res_{X,Y}(f_1(X,Y),f_2(X,Y)):= \Res_X(f_1(X,1),f_2(X,1)).
\]
\end{definicion}

\subsection{La universalidad de la resultante}

Una de las propiedades m\'as importantes de la resultante, es su car\'acter universal. Para ello, escribamos 
\begin{equation}\label{eq:f1f2bis}
 f_1(X)=\sum_{i=0}^{d_1}a_iX^i, \mbox{ y }f_2(X)=\sum_{i=0}^{d_2}b_iX^i,
\end{equation}
y sea $A=\ZZ[a_0,\hdots,a_{d_1}, b_0,\hdots,b_{d_2}]$ el anillo de polinomios en $d_1+d_2+2$ variables, llamado \textit{anillo de coeficientes universales} de $f_1,f_2$. Sea $k$ un anillo conmutativo con unidad, y $\epsilon: A\to k$ un morfismo de anillos que se extiende a $\epsilon: A[X]\to k[X]$ poniendo $\epsilon(X)=X$.

Considere el siguiente diagrama:
\begin{equation}\label{eq:diagResUniv}
 \xymatrix@1{  A[X]\times A[X]\ar[d]^{\epsilon\times \epsilon}\ar[r]^{\qquad \Res_X} & A\ar[d]^\epsilon \\
 k[X]\times k[X]\ar[r]^{\qquad \Res_X} & k}
\end{equation}

La universalidad de la resultante se traduce a decir que el diagrama \eqref{eq:diagResUniv} conmuta, es decir que, dados dos polinomios $f_1,f_2\in A[X]$ como en \eqref{eq:f1f2bis}
\[
 \Res_X(\epsilon(f_1), \epsilon(f_2))=\epsilon\Res_X(f_1,f_2)\in k.
\]

Esta propiedad de la resultante es una de las propiedades principales que desearemos conservar al extender la teor\'ia al contexto multivaluado. 

La intuici\'on detr\'as de esta propiedad esencial es que una especializaci\'on de coeficientes corresponde a un morfismo de evaluaci\'on $\epsilon:A\to k$. Por ejemplo, si $\pp$ es un primo de $A$, podemos considerar el morfismo $\epsilon_\pp$ que resulta de la composici\'on $A\to A_\pp\to \kappa(\pp):=A_\pp/\pp A_\pp$, donde el primero es el morfismo inyectivo de localizaci\'on en $\pp$ y el segundo es pasar al cociente por el \'unico ideal maximal de $A_\pp$. El morfismo $\epsilon_\pp$ corresponde a ``una evaluci\'on''. Esto es claro si $\pp=\mmm$ es maximal, ya que en ese caso $\kappa(\mmm):=A_\mmm/\mmm A_\mmm=A/\mmm$. Interpretamos  geom\'etricamente al morfismo $\epsilon_\pp$ como la inclusi\'on del punto $\Spec (\kappa(\pp))$ en $\Spec(A)$.


Gracias a esta universalidad, podremos concentrarnos en estudiar las propiedades de la resultante sobre el anillo de coeficientes universales $\ZZ[\{U_{i,\alpha}\}]$, y luego deducir propiedades en otros contextos mediante un cambio de base (o aplicando un morfismo de evaluaci\'on $\epsilon$).

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\subsection*{Ejercicios}
\begin{enumerate}
\item Sean $f_1,f_2\in A[X]$ dos polinomios de grado $d_1,d_2>0$. Entonces $\Res_X(f_1,f_2)=(-1)^{d_1d_2}\Res_X(f_2,f_1)$.

\item \label{ejer:sylvesterKos} Probar que la matriz de $\partial$ definida en \eqref{eq:koszulf1f2} en bases can\'onicas coincide con la matriz $\Syl(f_1,f_2)$ y deducir que $\Res_X(f_1,f_2)\in \im(\partial)$. Comparar con  la Proposici\'on \ref{prop:ResIdealf1f2}.

\item \label{ejer:inyectivoDet}
Sea $\partial:A^n\to A^n$ un morfismo de $A$-m\'odulos. Sea $M$ la matriz de $\partial$ en dos bases cualesquiera de $A^n$. Entonces $\partial$ es inyectivo sii $\det(M)\neq 0$.

\item \label{ejer:cerosCumones} Sea $A$ un anillo \'integro con cuerpo de fracciones $K$ y sean $f_1,f_2\in A[X]$. Entonces $\Res_X(f_1,f_2)\neq 0$ si y solo si $f_1$ y $f_2$ tienen una ra\'iz com\'un en una extensi\'on algebraica de $k$.

\item \label{ejer:dimKer} Sea $k$ un cuerpo y $f_1,f_2\in k[X]$. Entonces, $\dim_k \ker \Syl(f_1,f_2) = \deg (\gcd (f_1,f_2))$

\end{enumerate}

\bigskip

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\section {Teor\'ia de Eliminaci\'on}\label{sec:teoElim}

En esta secci\'on demostraremos el Teorema Principal de la Teor\'ia de eliminaci\'on. \'Este puede formularse en un lenguaje geom\'etrico, como haremos en la primera parte, y en uno m\'as algebraico como haremos m\'as adelante. En la Secci\'on \ref{sec:Res} relacionaremos estos resultados con lo que llamaremos la resultante homog\'enea o resultante de Macaulay.


\medskip

 Sea $A$ un anillo (conmutativo con unidad). Consideremos el anillo de polinomios $R:=A[X_1,\hdots,X_n]$, con la $\ZZ$-graduaci\'on dada por $\deg(X_i)=1$ para todo $i$ y $\deg(a)=0$ para todo $a\in A$, y escribamos $R_+:=(X_1,\hdots,X_n)$ el ideal irrelevante de $R$. 
 
 Sean $f_1,\hdots,f_r$ elementos homog\'eneos de $R$, con $\deg(f_i)=d_i$ para todo $i$. Concretamente, cada $f_i$ se escribe de la forma
\[
 f_i=\sum_{|\alpha|=d_i} u_{\alpha,i} X^\alpha 
\]
con $u_{\alpha,i}\in A$, $\alpha=(\alpha_1,\hdots,\alpha_n)$, $|\alpha|=\alpha_1+\cdots +\alpha_n$, $X^\alpha=X_1^{\alpha_1}\cdots X_n^{\alpha_n}$ y $f_{\alpha,i}\in A$ para todo $\alpha$ y todo $i$.

 Escribamos $I:=(f_1,\hdots, f_r)\subset R_+$, ideal de $R$, y $B:=R/I$. Como $I$ es homog\'eneo, $B$ es un $R$-m\'odulo graduado, con la graduaci\'on heredada de $R$.

\medskip

Antes de continuar, permit\'amosnos observar algunas propiedades del anillo cociente $B$ que ser\'an de utilidad.

\begin{observacion}\label{obs:BesGraduado}
Sea $B:=R/I$ el anillo graduado, con $B_d=R_d/(I\cap R_d)$. Se tiene que
\begin{enumerate}
\item Como $I\cap A=0$, entonces $B_0=A$.
\item $B$ est\'a generado como anillo por $A$ y $B_1$.
\item Para todo entero no-negativo $d$, $B_d$ es un $A$-m\'odulo finitamente generado.
\end{enumerate}
\end{observacion}

\medskip

Trabajaremos, frecuentemente en el contexto universal, es decir, supondremos que los coeficientes $u_{\alpha,i}$ son variables, que notaremos $U_{\alpha,i}$, y el anillo $A$ ser\'a el anillo, $A:=\ZZ[U_{\alpha,i}: i=1,\hdots,r, |\alpha|=d_i]$, de \textit{coeficientes universales} de los polinomios $f_i$.

\bigskip





\subsection{El Teorema Principal de Eliminaci\'on geom\'etricamente}

Obs\'ervese que los elementos $f_i$ son polinomios en las variables $X_j$, con coeficientes en $A$, con los cual $A$ puede ser pensado como el anillo de coeficientes que parametriza al sistema $\{f_1=\cdots=f_n=0\}$, del cual queremos eliminar las variables $X_j$'s.

Desde un punto de vista geom\'etrico, siendo $B$ un anillo graduado con coeficientes en $A$, se tiene que:

\[
 \Proj(B)\hookrightarrow \Proj(R):= \PP^{n-1}_{A} = \PP^{n-1}_{\ZZ} \times \Spec(A).
\]

Esta inclusi\'on de esquemas est\'a inducida por el morfismo suryectivo de anillos $R\to B$ que consiste en pasar al cociente por $I$.

Asociado al espacio $\PP^{n-1}_{A}$ hay una proyecci\'on natural $\pi: \PP^{n-1}_{A} \to \Spec(A)$. La restricci\'on de $\pi$ a $\Proj(B)$, $\pi: \Proj(B)\to \Spec(A)$ define un subesquema (cerrado) de $\Spec(A)$, $Z:=\pi(\Proj(B))$. El ideal de definici\'on de $Z$ en $\Spec(A)$, que notaremos $\Ac$, est\'a dado por el n\'ucleo del morfismo natural de anillos asociado a la proyecci\'on $\pi$, es decir:
\[
 \Ac := \ker(A \to \Gamma(\Proj(B), \Oc_{\Proj(B)}))= \ker(A \to \prod_i B_{(X_i)})= (I:_R (R_+)^\infty)\cap A = H^0_{R_+}(B)_0.
\]
La primera igualdad se deduce de que cada secci\'on $s\in \Gamma(\Proj(B), \Oc_{\Proj(B)})$ est\'a un\'ivocamente determinada por sus restricciones a cada abierto afin $D^+(X_i)=\Spec (B_{(X_i)})$. La segunda y tercera igualdad es simplemente observar que  
\[
 H^0_{R_+}(B) := \bigcup_{\ell\geq 1} (0:_B (R_+)^\ell)= \ker (B \to \prod_i B_{(X_i)})
\]
y que $A$ se incluye en $B$ en grado cero, es decir, que
\[
 \ker(A \to \prod_i B_{(X_i)})=\ker(B \to \prod_i B_{(X_i)})\cap A=H^0_{R_+}(B)_0.
\]

A partir del razonamiento anterior concluimos que el proceso de eliminaci\'on consiste en calcular $H^0_{R_+}(B)_0$. Es interesante notar que $H^0_{R_+}(B)= (I:_R (R_+)^\ell)/I= I^{\sat}/I$, donde $I^{\sat}$ es la saturaci\'on de $I$ respecto del ideal irrelevante $R_+$. El lector m\'as familiarizado con la teor\'ia de esquemas, podr\'a observar que los anillos $B$ y $B/H^0_{R_+}(B)$ definen el mismo subesquema proyectivo de $\PP^{n-1}_A$.

\begin{definicion}\label{def:IdealElim}
 Definimos el \textit{ideal eliminante de} $I$ como 
 \[
  \Ac:=H^0_{R_+}(B)_0 =(I:_A (R_+)^\infty).
 \]
\end{definicion}

Si $A$ es el anillo de polinomios $k[U_1,\hdots,U_m]$, $\Spec(A)=\AA^m_k$ el espacio af\'in de dimesni\'on $m$ sobre $k$. Sea $\PP^{n-1}_k$ el espacio proyectivo de dimensi\'on $n$ sobre $k$.  El espacio producto $\PP^{n-1}_k\times \AA^m_k$, viene provisto de sus dos proyecciones naturales, y nos centraremos en estudiar la proyecci\'on respecto de la segunda coordenada, que llamaremos $\pi$, definida como $\pi(x,y)=y\in \AA^m_k$. 
 Sea 
\[
 W:=\{(x,y)\in \PP^{n-1}_k\times \AA^m_k : f_i(x,y)=0,\ \forall i\}
\]
un subconjunto de $\PP^{n-1}_k\times \AA^m_k$.

Lo anteriormente dicho demuestra el siguiente resultado: 

\begin{corolario}
 Con la notaci\'on precedente, se tiene que 
 \[
  \pi(W)=V(\Ac).
 \]
\end{corolario}

En la subsecci\'on siguiente daremos una herramienta necesaria para calcular un (el) generador del ideal eliminante $\Ac$.

\subsection{Sobre la $R_+$-torsi\'on de $B$}

Pasaremos ahora a dar una interpretaci\'on del ideal $\Ac$ en t\'ermino de anuladores. 

\begin{lema}\label{lem:Ac=ann}
Se tiene la siguiente igualdad de ideales de $A$
\[
 \Ac := H^0_{R_+}(B)_0 = \bigcup_{\ell\geq 1} \annn_A(B_\ell).
\]
\end{lema}
\begin{proof}
Para cada par $(\nu,\ell)\in \ZZ_{\geq 0}^2$, definimos el morfismo $A$-lineal
\[
 \Theta_{\nu,\ell}: B_\nu \to \Hom_A(B_\ell, B_{\nu+\ell})
\]
definido por $\Theta_{\nu,\ell}(b)= (c \mapsto c\cdot b)$, con $b\in B_\nu$, $c\in B_\ell$ y $c\cdot b\in  B_{\nu+\ell}$.

Como $ H^0_{R_+}(B) := \bigcup_{\ell\geq 1} (0:_B (R_+)^\ell)$, se tiene que para cada $\nu\geq 1$,
\begin{equation}\label{eq:H0Bnu}
 H^0_{R_+}(B)_\nu = \bigcup_{\ell\geq 1} \ker(\Theta_{\nu,\ell}).
\end{equation}

Como $I\subset R_+$, entonces $A\cap I = 0$ y por lo tanto $B_0=A$, con lo cual 
\begin{equation}\label{eq:annABell}
 \annn_A(B_\ell)=\ker(\Theta_{0,\ell}) \mbox{ para todo }\ell\geq 0.
\end{equation}
A partir de \eqref{eq:H0Bnu} y \eqref{eq:annABell} se tiene que $H^0_{R_+}(B)_0 = \bigcup_{\ell\geq 1} \annn_A(B_\ell)$.
\end{proof}

\medskip

Obs\'ervese que como $B$ est\'a generado en grado $1$ como se mencion\'o en la Observaci\'on \ref{obs:BesGraduado}, el morfismo de multiplicaci\'on $B_1\otimes B_\ell \to B_{\ell+1}: c_1\otimes c_{\ell} \mapsto c_1 c_{\ell}$ es suryectivo, y todo elemento $c\in B_{\ell+1}$ puede ser descompuesto como $c=\sum_i c^i_1\otimes c^i_{\ell}$. Con la notaci\'on del Lema \ref{lem:Ac=ann} , dado $b\in \ker(\Theta_{\nu,\ell})$ se tiene que $bc=b(\sum_i c^i_1\otimes c^i_{\ell})= \sum_i c^i_1\otimes bc^i_{\ell}=0$ en $B_{\nu+\ell+1}$ y por lo tanto, se tiene para cada $(\nu,\ell)\in \ZZ_{\geq 0}^2$ la inclusi\'on 
\[
 \ker(\Theta_{\nu,\ell})\subset \ker(\Theta_{\nu,\ell+1}).
\]
Esto dice que $\annn_A(B_\ell)\subset \annn_A(B_{\ell+1})$ para todo $\ell\geq 0$, y por lo tanto  $H^0_{R_+}(B)_0$ puede ser calculado mediante el col\'imite filtrante $\underset{\ell}{\col} \annn_A(B_\ell)$.

\medskip

Una pregunta que surge en este punto es ?`Existe un valor de $\ell$  a partir del cual esta cadena ascendiente de anuladores se estaciona? ?`Cu\'al?

El siguiente resultado responde la primera pregunta, el Lema \ref{lema:regB} responde a la segunda cuando $I$ est\'a generado por una sucesi\'on regular.

\begin{lema}
 Sea $\nu_0\geq 0$ un entero tal que $H^0_{R_+}(B)_{\nu_0}=0$. Entonces, para todo entero $\ell\geq 0$ se tiene que
 \[
  \annn_A(B_{\nu_0})=\annn_A(B_{\nu_0+\ell}).
 \]
\end{lema}

\begin{proof}
A partir de \eqref{eq:H0Bnu}, con la notaci\'on del Lema \ref{lem:Ac=ann} y la hip\'otesis sobre $\nu_0$, se tiene que
\[
 0=H^0_{R_+}(B)_{\nu_0} = \bigcup_{\ell\geq 1} \ker(\Theta_{\nu_0,\ell}),
\]
de lo se obtiene que $\ker(\Theta_{\nu_0,\ell})=0$ para todo $\ell\geq 1$.
Repitiendo los argumentos anteriores, se tiene que si $a\in \annn_A(B_{\nu_0+\ell})$ entonces $aB_{\nu_0}\subset \ker(\Theta_{\nu_0,\ell})=0$ para todo $\ell\geq 0$. Luego $aB_{\nu_0}=0$ y se concluye que $a\in \annn_A(B_{\nu_0})$.
\end{proof}

Obs\'ervese 	que un tal entero $\nu_0\geq 0$ tal que $H^0_{R_+}(B)$ siempre existe ya que $H^0_{R_+}(B)$ es un $R$-m\'odulo de torsi\'on (ver Ejercicio \ref{ejer:torion}) y ser\'a estudiado en el Lema \ref{lema:regB} cuando $I$ est\'a generado por una sucesi\'on regular.

El lema anterior prueba que una vez alcanzado un entero $\nu_0$ para el cual $H^0_{R_+}(B)_{\nu_0}=0$,  entonces el ideal eliminante $\Ac$ puede ser calculado como $\annn_A(B_{\nu_0})$, y lo resumimos en el siguiente corolario. Un tal entero $\nu_0$ se llama \textit{\'indice de saturaci\'on de} $I$, ya que $I^{\sat}_{\nu_0}=I_{\nu_0}$.


\begin{corolario}\label{cor:AcAnn}
Sea $\nu_0\geq 0$ un entero tal que $I^{\sat}_{\nu_0}=I_{\nu_0}$. Entonces, 
 \[
  \Ac = \annn_A(B_{\nu_0}).
 \]
\end{corolario}


\subsection{El Teorema Principal de eliminaci\'on}

Recordemos que el Lema \ref{lem:Ac=ann} nos permit\'ia escribir al ideal eliminante $\Ac$ en t\'ermino de anuladores, de la siguiente forma
\[
 \Ac := H^0_{R_+}(B)_0 = \bigcup_{\ell\geq 1} \annn_A(B_\ell).
\]
Es f\'acil ver que el ideal $\Ac$ tambi\'en puede ser escrito como sigue 
\begin{equation}\label{eq:Ac}
 \Ac=\{f\in A: fX_i^\ell \in I, \mbox{ para todo } i \mbox{ y alg\'un } \ell \geq 1 \}.
\end{equation}

El siguiente resultado es conocido como Teorema Principal de Eliminaci\'on y constituye el resultado principal de esta secci\'on.

\begin{theorem}[de Eliminaci\'on]\label{Teo:deElim}
 Sea $A$ un anillo conmutativo, $R:=A[X_1,\hdots,X_n]$, $I\subset R_+$ un ideal homog\'eneo de $R$, $\Ac$ su ideal eliminante, $k$ un cuerpo y $\rho:A\to k$ un morfismo de anillos. Entonces $\rho(\Ac)=0$ sii existe un cero no-trivial de $I$ en $\overline{k}$.
\end{theorem}

Para demostrar el teorema anterior, haremos uso del siguiente lema:

\begin{lema}\label{lem:deElim}
 Sea $A$ un anillo conmutativo, $M$ un $A$-m\'odulo de tipo finito, $k$ un cuerpo y $\rho:A\to k$ un morfismo de anillos. Entonces, $M\otimes_A k\neq 0$ sii $\rho(\annn_A(M))=0$.
\end{lema}
\begin{proof}
 Si existe un elemento $a\in\annn_A(M)$ tal que $\rho(a)\in \rho(\annn_A(M))$ es no nulo en $k$, entonces $\rho(a)$ anula $M\otimes_A k$ ya que $a$ anula a $M$. Como $M\otimes_A k$ es un $k$-espacio vectorial, entonces no tiene torsi\'on, entonces deber\'ia ser $M\otimes_A k=0$.

 Veamos que si $M\otimes_A k\neq 0$ entonces $\rho(\annn_A(M))=0$. Para ello, supongamos que $M\otimes_A k\neq 0$. Como $M$ es de tipo finito, existe una sucesi\'on exacta de la forma
\[
 0 \lto K\nto{\iota}{\lto} A^p\nto{\pi}{\lto} M \lto 0.
\]
Tensorizando por $k$ se obtiene la sucesi\'on exacta
\[
 K\otimes_A k\nto{\iota\otimes id_k}{\lto} k^p\lto M\otimes_A k \lto 0.
\]
El hecho de que $M\otimes_A k\neq 0$ dice que $\iota\otimes id_k:K\otimes_A k \to k^p$ es suryectiva. Luego, existen elementos $a_1,\hdots,a_p\in K$ tales que la familia $\{\iota(a_1)\otimes_a k,\hdots,\iota(a_p)\otimes_a k\}$ es una base de $k^p$. Sea $[a]=[a_1|\cdots |a_p]\in \Mat_{p,p}(A)$ la matriz de multiplicaci\'on por $a_1,\hdots,a_p$ en base can\'onica. La observaci\'on anterior nos dice que $\rho([a])$ es una matriz inversible, y que por lo tanto $\det(\rho([a]))\neq 0$, y como $\rho$ es morfismo, $\det([a])\neq 0$. El Ejercicio \ref{ejer:cramer} dice que $\det([a])A^p\subset K$ y por lo tanto,  $0\neq \det([a])\in \annn_A(M)$, lo cual prueba que $\annn_A(M)\neq 0$.
\end{proof}


Estamos ahora en condiciones de demostrar el Teorema \ref{Teo:deElim}.

\begin{proof}[Demostraci\'on del Teorema \ref{Teo:deElim}]
 Supongamos que existe $0\neq \zeta\in \overline{k}^n$, que es un cero com\'un de $I$, es decir, $\rho(f)(\zeta)=0$ en $k\subset\overline{k}$ para todo $f\in I$. Sea $f\in \Ac$, como vimos en \eqref{eq:Ac} se tiene que $fX_i^\ell \in I$, para todo $i$ y alg\'un $\ell \geq 1$. En particular, se tiene que 
\[
 \rho(fX_i^\ell)(\zeta)=(\rho(f)X_i^\ell)(\zeta)=\rho(f)\zeta_i^\ell=0.
\]
Como $\zeta\neq 0$, existe un $i$ tal que $\zeta_i\neq 0$, de lo cual se deduce que $\rho(f)=0$. Esto prueba que $\rho(\Ac)=0$.

Supongamos ahora que $\rho(\Ac)=0$, y consideremos $B=R/I$. Recordemos que (por la Observaci\'on \ref{obs:BesGraduado}) $B$ es graduado con $B_d$ finitamente generado como $A$-m\'odulo para cada $d$ y $B$ como anillo est\'a generado por $A$ y $B_1$, es decir que la multiplicaci\'on
\[
 B_1\otimes_A B_d\to B_{d+1}: b\otimes b'\mapsto bb'
\]
es suryectiva. El Lema \ref{lem:Ac=ann} dice que $\Ac = \bigcup_{\ell\geq 1} \annn_A(B_\ell)$, y entonces para $d\geq 1$, $\annn_A(B_d)\subset \Ac$, y por lo tanto $\rho(\annn_A(B_d))=0$. Aplicando el Lema \ref{lem:deElim} con $M=B_d$ se tiene que $B_d\otimes_A k\neq 0$. 

Tensorizando $B$ con $k$ sobre $A$ se tiene $B':=B\otimes_A k$, que es graduado y que verifica que $B'_0=k$ y que $B'_d$ es un $k$ espacio vectorial no nulo de dimensi\'on finita. Adem\'as $B'_1$ est\'a generado por $\{x_1,\hdots,x_n\}$, siendo $x_i$ la clase de $X_i$ en $B'$, y el morfismo de multiplicaci\'on
$B'_1\otimes_A B'_d\to B'_{d+1}: b\otimes b'\mapsto bb'$ es suryectivo. De esta forma, si existiera un entero $\ell$ tal que $x_i^\ell=0$ en $B'$ para todo $i$, se tendr\'ia que $B'_{d}=0$ para todo $d\geq n(\ell-1)+1$, lo que contradir\'ia la no nulidad de $B'_d$. 

Esto dice que existe un elemento $\zeta\in B'_1$ tal que $0\neq \zeta^d\in B'_d$ para todo $d\geq 1$. 

Supongamos que $1-\zeta\in B'$ fuera inversible, es decir, que existe $\sigma\in B'$ tal que $(1-\zeta)\sigma=1$ y $\sigma=\sum_{i=0}^m\sigma_i$, con $\sigma_i\in B'_i$. Desarrollando se tiene que $\sigma_0+\sum_{i=1}^m(\sigma_i-\zeta\sigma_{i-1})-\zeta\sigma_{m}=1$, lo cual prueba que $\sigma_0=1$, $\sigma_i=\zeta\sigma_{i-1}$ es decir que $\sigma_i=\zeta^i$ para $i=1,\hdots m-1$, y que $\zeta^{m+1}=0$, lo cual es absurdo. Esto prueba que $1-\zeta\in B'$ no es inversible en $B'$.

Como $1-\zeta\in B'$ no es inversible en $B'$, existe un ideal maximal $\mmm$ que lo contiene. Sea $L=B'/\mmm$ el cuerpo cociente y $\pi':B'\to L$ la proyecci\'on natural. Claramente $(\zeta)=1$, y la restricci\'on de $\pi'$ a $B'_0=k$ da un morfismo natural $\iota:k\hookrightarrow L\subset \overline{k}$.

El diagrama conmutativo
\[
 \xymatrix@1{  B'\ar[r]^{\pi'} & L\\ B\ar[u]^{1\otimes \rho}\ar@{-->}[ur]^{\pi} & \\ R\ar[u]\ar@{-->}[uur]^{\epsilon}&
}
\]
muestra que el morfismo $\pi'$ se levanta a un mofismo $\pi$, que a su vez se levanta a un morfismo $\epsilon$. El morfismo $\epsilon:R\to L\subset \overline{k}$ satisface que $\epsilon(X_i)=\pi'(x_i)$. Definiendo $\zeta_i:=\epsilon(X_i)\in L$, se tiene que $(\zeta_1,\hdots,\zeta_n)\in \overline{k}^n$, y que $f(\zeta_1,\hdots,\zeta_n)=0$ para todo $f\in I$.
\end{proof}


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\subsection*{Ejercicios}
\begin{enumerate}
\item Sea $R$ un anillo conmutativo, sea $I$ un ideal de $R$ y $M$ un $R$-m\'odulo. Entonces $(0:_M I^\ell)=\Hom_R(R/I^\ell,M)$.

\item \label{ejer:torion} Sea $R$ un anillo graduado y $M$ un $R$-m\'odulo de $R_+$-torsi\'on. Entonces, existe un entero $\nu_0$ tal que  $H^0_{R_+}(M)_{\nu}=0$ para todo $\nu\geq \nu_0$.

\item \label{ejer:cramer} En el contexto de la demostraci\'on del Lema \ref{lem:deElim}, pruebe que $\det([a])A^p\subset K$.
\end{enumerate}

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\section{El complejo de Koszul}\label{sec:Koszul}



El complejo de Koszul fue primeramente introducido por Jean-Louis Koszul para definir una teor\'{i}a de cohomolog\'{i}a para \'{a}lgebras de Lie, y result\'{o} ser una construcci\'{o}n homol\'{o}gica muy valiosa para el \'{a}lgebra conmutativa.

\medskip

En esta secci\'on, supondremos que $R$ es un anillo conmutativo, con unidad (y no necesariamente noetheriano ni local por ahora). Sea $M$ un $R$-m\'{o}dulo. 

\medskip

Si $y$ es un elemento de $R$, entonces el endomorfismo de $R$-m\'odulos, multiplicar por $y$ (que se denotar\'{a} con $y$), nos da un complejo: $\k.(y): 0\to R \stackrel{y}{\to} R \to 0$, que resulta ser el complejo de Koszul asociado a $y$.


Este caso simple ilustra dos propiedades importantes del complejo de Koszul. Si se indexa con la posici\'on cero a la copia de $R$ que est\'a a la derecha y con uno a la que est\'{a} a la izquierda, se puede observar que la homolog\'ia en lugar cero es la imagen homom\'orfica de $R$ m\'odulo los m\'ultiplos de $y$. Mientras que la homolog\'ia en primer lugar representa el anulador del elemento $y$. Es decir: $H_{1}({\k.(y)})=\annn(\{y\})$ y  $H_{0}({\k.(y)})=R/R(y)$.

Sup\'{o}ngase ahora que se tienen dos elementos $x,y$ en $R$, consid\'{e}rese la sucesi\'{o}n (ordenada) $x,y$, que se puede pensar como un vector en $R^{2}$. Se construye el complejo de Koszul, $\k.(x,y)$, asociado a la sucesi\'{o}n $x,y$, de la siguiente forma:
\[
 \k.(x,y): \quad 0\to R \stackrel{\partial_{1}}{\to} R^{2} \stackrel{\partial_{0}}{\to} R \to 0.
\]
Donde los morfismos $\partial_{0}$ y $\partial_{1}$ son tales que $\partial_{0}$ es la matriz vertical $(x,y)^{t}$ y $\partial_{1}$ es la matriz horizontal $(-y,x)$. La condici\'{o}n $(x,y)^{t}\cdot(-y,x)=0$ dice que $\k.(x,y)$ resulta ser un complejo.

M\'{a}s generalmente, dados elementos $x_{1},\hdots,x_{n}$ del anillo $R$, se construye el complejo de Koszul asociado a la sucesi\'{o}n (importa el orden) $x_{1},\hdots,x_{n}$, denotado por $\k.(x_{1},\hdots,x_{n})$, como el producto tensorial en la categor\'{i}a de $R$-complejos de los complejos $\k.(x_{i})$, para cada $i$. Asumiremos ahora que los productos tensoriales, y las construcciones de \'algebras sim\'etricas y exteriores son como $R$-m\'odulos.

 Recordemos que el producto tensorial de complejos se define de la siguiente forma: Dados $\F.$ y $\G.$ dos complejos de cadenas de $R$-m\'odulos, acotados inferiormente. 
\[
 \F.: \quad \cdots\to F_{i}\stackrel{\varphi_i}{\to} F_{i-1}\stackrel{\varphi_{i-1}}{\to}\cdots, \mbox{ y }
 \G.: \quad \cdots\to G_{i}\stackrel{\psi_i}{\to} G_{i-1}\stackrel{\psi_{i-1}}{\to}\cdots.
\]

Se tiene el siguiente diagrama asociado al producto tensorial:
\[
 \xymatrix@1{ &\vdots& \vdots& \vdots& \\ \cdots\ar[r]& F_{i+1}\otimes
G_{j-1}\ar[u]^{1\otimes\psi_{j-1}}\ar[r]^{\varphi_{i+1}\otimes1}&
F_{i}\otimes G_{j-1}\ar[u]^{1\otimes\psi_{j-1}}\ar[r]^{\varphi_{i}\otimes1}&
F_{i-1}\otimes G_{j-1}\ar[u]^{1\otimes\psi_{j-1}}\ar[r]^{\varphi_{i-1}\otimes1}& \cdots\\
\cdots\ar[r]& F_{i+1}\otimes G_{j}\ar[u]^{1\otimes\psi_{j}}\ar[r]^{\varphi_{i+1}\otimes1}&
F_{i}\otimes G_{j}\ar[u]^{1\otimes\psi_{j}}\ar[r]^{\varphi_{i}\otimes1}&
F_{i-1}\otimes G_{j}\ar[u]^{1\otimes\psi_{j}}\ar[r]^{\varphi_{i-1}\otimes1}& \cdots\\
\cdots\ar[r]& F_{i+1}\otimes G_{j+1}\ar[u]^{1\otimes\psi_{j+1}}\ar[r]^{\varphi_{i+1}\otimes1}&
F_{i}\otimes G_{j+1}\ar[u]^{1\otimes\psi_{j+1}}\ar[r]^{\varphi_{i}\otimes1}&
F_{i-1}\otimes G_{j+1}\ar[u]^{1\otimes\psi_{j+1}}\ar[r]^{\varphi_{i-1}\otimes1}& \cdots\\
 &\vdots\ar[u]^{1\otimes\psi_{j+2}} & \vdots\ar[u]^{\psi_{j+2}} & \vdots\ar[u]^{1\otimes\psi_{j+2}}& }
\]
El complejo total asociado a este complejo doble se lo llama complejo producto tensorial de $\F.$ y $\G.$ y se lo escribe $\F.\otimes_R\G.: \quad \cdots\stackrel{\phi_{k+2}}{\to} D_{k+1} \stackrel{\phi_{k+1}}{\to} D_{k}\stackrel{\phi_k}{\to} D_{k-1}\stackrel{\phi_{k-1}}{\to}\cdots$, donde $D_{k}=\bigoplus_{i+j=k}{F_{i}\otimes G_{j}}$, y los morfismos $\phi_{k}$ est\'{a}n definidos de la siguiente forma:

$\phi_{k}|_{F_{i}\otimes G_{j}}:{F_{i}\otimes G_{j}}\to {F_{r}\otimes G_{s}}$

$\phi_{k}|_{F_{i}\otimes G_{j}}=\varphi_{i-1}\otimes1$, si $r=i-1$

$\phi_{k}|_{F_{i}\otimes G_{j}}=(-1)^{i} 1\otimes\psi_{j-1}$, si $s=j-1$

$\phi_{k}|_{F_{i}\otimes G_{j}}=0$, en caso contrario.

Se verifica f\'{a}cilmente que con estos morfismos $\F. \otimes_R \G.$ es un complejo de cadenas, que es el producto tensorial de $\F.$ con $\G.$ en la categor\'{i}a de complejos.

\medskip

Como se coment\'{o} antes se puede obtener el complejo de Koszul asociado a una sucesi\'{o}n arbitraria (finita), $x_{1},\hdots,x_{n}$, de elementos del anillo $R$,
$\k.(x_{1},\hdots,x_{n})$, mediante la tensorizaci\'{o}n de los complejos $\k.(x_{i})$,
es decir 
\[
 \k.(x_{1},\hdots,x_{n})=\bigotimes_{1\leq i\leq n}\k.(x_{i}).
\]

De esto se deduce que como el producto tensorial de complejos es conmutativo (salvo isomorfismos), entonces el complejo de Koszul asociado a una sucesi\'{o}n, resulta invariante (salvo isomorfismos) por reordenamientos en la sucesi\'{o}n. Es decir, dado $\sigma$ un elemento del grupo de automorfismos $G_{n}$, se tiene que $$\k.(x_{1},\hdots,x_{n}) =\bigotimes_{1\leq i\leq n}\k.(x_{i})\simeq \bigotimes_{1\leq i\leq n} \k.(x_{\sigma(i)})= \k.(x_{\sigma(1)},\hdots,x_{\sigma(n)}).$$ Esta construcci\'{o}n puede automatizarse usando el \'algebra exterior (cf. \cite{Eis95}).

Recordemos (sin demostraci\'{o}n), algunos de los resultados m\'{a}s importantes para nuestras aplicaciones que involucran al complejo de Koszul. Las demostraciones de estos resultados se pueden consultar en \cite{Eis95}. 

Primero veamos que si bien el complejo no determina si una dada sucesi\'{o}n es regular o no, determina algo aun m\'{a}s importante: dada una sucesi\'{o}n $x_{1},\hdots,x_{n}$, \'{e}ste permite determinar la longitud de una sucesi\'{o}n regular maximal en el ideal $I=(x_{1},\hdots,x_{n})$.

\begin {theorem}\label{suc reg mxl} Sea $N$ un m\'{o}dulo finitamente generado sobre un anillo $R$. Sup\'{o}ngase que $H_{j}({\k.(x_{1},\hdots,x_{n}) \otimes N})=0$ para $j>n-r$, y que $H_{n-r}({\k.(x_{1},\hdots,x_{n}) \otimes N})\neq 0$, entonces toda N-sucesi\'{o}n maximal en $I=(x_{1},\hdots,x_{n})\subseteq R$ tiene longitud $r$. \end{theorem}
Se notar\'{a} tambi\'{e}n por $\k.(x_{1},\hdots,x_{n};N)$ al complejo $\k.(x_{1},\hdots,x_{n}) \otimes N$. (Se suele notar $\k.^{R}(x_{1},\hdots,x_{n};N)$, cuando no se sobrentiende que el anillo de base es $R$).

En particular se tiene el siguiente resultado:

\begin{corolario}\label{suc reg}: Si $x_{1},\hdots,x_{n}$ es una  N-sucesi\'{o}n en $I$, que genera $I$. Entonces el complejo de Koszul
 $\k.(x_{1},\hdots,x_{n};N)$ resulta ac\'{i}clico, es decir, es una resoluci\'{o}n libre del m\'{o}dulo $R/I \otimes N$.
\end{corolario}



Como es sabido, todo m\'{o}dulo libre es proyectivo, entonces el complejo $\k.(\xs;N)$ resulta una
resoluci\'{o}n proyectiva del m\'{o}dulo $R/I \otimes_R N$. De esto \'{u}ltimo, tomando homolog\'{i}a, se obtienen los funtores derivados del funtor $\_\otimes_R N$, con lo cual, resulta que $H_{i}(\k.(\xs;N))=\Tor_{i}^{R}(R/I,N)$.


Adem\'{a}s, resulta que esta es la resoluci\'{o}n m\'as corta posible del m\'{o}dulo. Como la longitud del complejo es finita, entonces tambi\'{e}n se tiene que s\'{o}lo finitas homolog\'{i}as pueden ser no nulas, esto nos permite asociarle al m\'{o}dulo $R/I \otimes_R N$ un valor entero no negativo que se denomina \textit{profundidad} del m\'{o}dulo.


\subsection{El complejo de Koszul graduado}

Lamentablemente la rec\'{i}proca del corolario anterior es falsa en el caso general, aunque resulta cierta si el anillo de base es local o graduado. \'Este \'ultimo es el contexto general de estas notas, ya que en nuestras aplicaciones $R$ es un anillo de polinomios sobre un anillo conmutativo $A$.


\begin{theorem}\label{teo nulidad homol koszul} Sea $N$ un m\'{o}dulo finitamente generado sobre un anillo local (o graduado) $R$ con ideal maximal (o maximal homog\'eneo) $\mmm$. Sea $x_{1},\hdots,x_{n}$ una sucesi\'{o}n en $\mmm$. Sup\'{o}ngase que para alg\'{u}n $i$ se tiene que  $H_{i}(N \otimes {\k.(x_{1},\hdots,x_{n})})=0$, entonces se tiene que $H_j(N \otimes {\k.(x_{1},\hdots,x_{n})})=0$ para todo $j\geq i$.

En particular si $H_{1}(N \otimes {\k.(x_{1},\hdots,x_{n})})=0$, entonces $x_{1},\hdots,x_{n}$ forma una sucesi\'{o}n N-regular en $\mmm$.
\end{theorem}



Esto permite dar para el caso local una versi\'{o}n m\'{a}s fuerte del corolario anterior

\begin{corolario}\label{cor:aciclocal} Dado un anillo local (o graduado) $R$ con ideal maximal (o maximal homog\'eneo) $\mmm$, y $N$ un R-m\'{o}dulo finitamente generado . Sea $I=(x_{1},\hdots,x_{n})$ un ideal propio de $R$, que contiene una
sucesi\'{o}n N-regular de longitud $n$. Entonces $x_{1},\hdots,x_{n}$ es una sucesi\'{o}n N-regular.
\end{corolario}

De aqu\'{i} se deduce un resultado de importante valor geom\'{e}trico, ya que \'{e}ste expresa la naturaleza geom\'{e}trica del concepto de profundidad anteriormente mencionado.

\begin{corolario}Dado un anillo $R$ y $N$ un $R$-m\'{o}dulo finitamente generado, se tiene que si $x_{1},\hdots,x_{r}$ es una sucesi\'{o}n N-regular, entonces $x_{1}^{m},\hdots,x_{r}^{m}$ tambi\'{e}n lo es, para todo natural $m$. 
\end{corolario}


\medskip


Nos concentraremos ahora en estudiar al complejo de Koszul en el contexto espec\'ifico de nuestras aplicaciones. Para ello, sea $R$ un anillo graduado, $R=\oplus_{i\geq 0}R_i$, $M$ un $R$-m\'odulo graduado, e $I=(x_1,\hdots,x_n)$ un ideal homog\'eneo de $R$, donde $\deg(x_i)=d_i$ para todo $i$. Entonces el complejos de Koszul $\k.(x_1,\hdots,x_n;M)$ hereda la graduaci\'on de $R$ y se escribe
\[
 \k.(x_1,\hdots,x_n;M): \quad \cdots\to \bigoplus_{1\leq i<j\leq r}M(-d_i-d_j) \to \bigoplus_{1\leq i\leq r}M(-d_i)\to M\to M/I \to 0,
\]
donde $M(-d)_e=M_{e-d}$, y las flechas son morfismos de m\'odulos graduados, de grado cero.

Sea $r$, $n$ y $d_1,\hdots,d_r$ enteros positivos, y sean $f_1,\hdots,f_r$ polinomios homeg\'eneous de grado $d_1,\hdots,d_r$ en las variables $\X:=X_1,\hdots,X_n$ definidos como
\[
 f_i(\X)=\sum_{|\alpha|=d_i}U_{i,\alpha}\X^\alpha,
\]
para todo $i=1,\hdots,r$, donde $\alpha\in \NN^n$.

Sea $A:=\ZZ[U_{i,\alpha}: |\alpha|=d_i, \ i=1,\hdots,r]$ y escribamos $R=A[\X]$.

\begin{lema}\label{lem:polGenSucReg}
Si $r\leq n$ entonces $f_1,\hdots,f_r$ es una sucesi\'on regular en $R$.
\end{lema}
\begin{proof}
Para cada $i=1,\hdots,r$ sea $\epsilon_i:=U_{i,(0,\hdots,0,d_i,0,\hdots,0)}$ el coeficiente correspondiente a $X_i^{d_i}$ del polinomio $f_i$.

Obs\'ervese que todos los coeficientes $U_{i,\alpha}$ restantes forman una sucesi\'on regular en $R$. Adem\'as, el cociente de $R$ por estos $U_{i,\alpha}$ es isomorfo a $\ZZ[\epsilon_1,\hdots,\epsilon_r][\X]$ y $f_i=\epsilon_iX_i^{d_i}$ en el cociente.

Es f\'acil ver que en  $\ZZ[\epsilon_1,\hdots,\epsilon_r][\X]$ los polinomios $X_1-\epsilon_1,\hdots,X_r-\epsilon_r$ tambi\'en forman una sucesi\'on regular, que el anillo cociente queda isomorfo a $\ZZ[\X]$, y que $f_i=X_i^{d_i+1}$ en el cociente.

Finalmente, sabemos que $X_1^{d_1+1},\hdots,X_r^{d_r+1}$ es una sucesi\'on regular en $\ZZ[\X]$ independientemente del orden.
\end{proof}

Se tiene entonces como corolario el siguiente resultado

\begin{corolario}\label{cor:KosAciclico}
Sea $I=(f_1,\hdots,f_n)$, entonces el complejo de Koszul
\[
 \k.(f_1,\hdots,f_n;R): \quad \cdots\to \bigoplus_{1\leq i<j\leq r}R(-d_i-d_j) \to \bigoplus_{1\leq i\leq r}R(-d_i) \to R \to 0,
\]
es una resoluci\'on libre graduada y finita de $R/I$.
\end{corolario}

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\subsection*{Ejercicios}
\begin{enumerate}
 \item Sea $(R,R_+)$ un anillo local (o graduado) $x_1,\hdots,x_n\in R_+$. Entonces $x_1,\hdots,x_n$ es una sucesi\'on regular en $R$ sii para todo $i=0,\hdots,n-1$, $x_{i+1}$ no est\'a en ning\'un primo asociado de $(x_1,\hdots,x_{i-1})$.

\item Si los elementos $x_1,\hdots,x_n\in R$ forman una sucesi\'on regular en $R$, entonces $x_1^{\ell_1},\hdots,x_n^{\ell_n}$ tambi\'en.

\item Si un ideal $I$ de un anillo conmutativo Noetheriano puede ser generado por una sucesi\'on regular, entonces puede ser generado por un conjunto de elementos que son una sucesi\'on regular en cualquier orden.

\item Sea $\phi:R\to S$ un morfismo de anillos, sean $r_1,\hdots,r_n\in S$ y $s_i:=\phi(r_i)\in R$. Si $r_1,\hdots,r_n$ forman una sucesi\'on regular en $R$, entonces para todo $R$-m\'odulo $M$,
 $H_i(\k.(r_1,\hdots,r_n)\otimes_R M)=\Tor_i^S(S/(s_1,\hdots,s_n),M)$.
 
 \item Sea $\k.(\xs)$ el complejo de Koszul asociado a la sucesi\'on $\xs$, y supongamos que $x_j$ es una unidad de $A$. Entonces el complejo $\k.(\xs)$ resulta ac\'iclico. 

\end{enumerate}


\bigskip

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\section{Resultante}\label{sec:Res}
\bigskip

En esta secci\'on definiremos y estudiaremos el objeto principal de estas notas, que es la resultante homog\'enea, o resultante de Macaulay.

\bigskip

\subsection{Resultante de Macaulay}

Sea $r$, $n$ y $d_1,\hdots,d_r$ enteros positivos, y sean $f_1,\hdots,f_r$ polinomios homeg\'eneous de grado $d_1,\hdots,d_r$ en las variables $\X:=X_1,\hdots,X_n$ definidos como
\[
 f_i(\X)=\sum_{|\alpha|=d_i}U_{i,\alpha}\X^\alpha,
\]
para todo $i=1,\hdots,r$, donde $\alpha\in \NN^n$.

Sea $A:=\ZZ[U_{i,\alpha}: |\alpha|=d_i, \ i=1,\hdots,r]$ y escribamos $R=A[\X]$.

\newcounter{nc}
\setcounter{nc}{\arabic{theorem}}
\begin{theorem}\label{Teo:elim} Si $r=n$ entonces el ideal $\Ac$ es un ideal primo y principal de $A$, generado por un elemento que llamaremos \textit{Resultante} de $f_1,\hdots,f_n$, que denotaremos $\Res(f_1,\hdots,f_n)$, y que verifica que $\Res(X_1^{d_1},\hdots,X_n^{d_n})=1$. 
\end{theorem}

Para demostrar este teorema, vamos a seguir la demostraci\'on dada por Jean-Pierre Jouanolou en \cite{Jou91}. Cabe mencionar que el anillo $\ZZ$ puede ser reemplazado por un anillo conmutativo reducido, con el solo fin de que la resultante no quede definida a menos de constantes.

Para demostrar el Teorema \ref{Teo:elim} anterior, nos apoyaremos en tres lemas. Antes de eso, introducimos la siguiente notaci\'on.
\begin{definicion}\label{def:TF}
 Dado $I$ un ideal de un anillo graduado $R$, con ideal irrelevante $R_+$, se definen las \textit{formas de inercia} de $I$ como
 \[
  \TF_{R_+}(I):=\bigcup_{\ell\geq 0} (I:_R (R_+)^\ell).
 \]
\end{definicion}

Esta notaci\'on proviene de su nombre \textit{Tr\"agheitsformen}, en alem\'an, introducidas por Hurwitz en el contexto de la teor\'ia de eliminaci\'on.

\begin{lema}\label{lem:auxHur}
 Para todo entero $j=1,\hdots,n$ se tiene
\[
 \TF_{R_+}(I)= \bigcup_{\ell\geq 0} (I:_R X_j^\ell)=\ker(R\to B_{X_j}).
\]
Adem\'as, $\TF_{R_+}(I)$ es un ideal primo de $R$.
\end{lema}

De la segunda parte, intersecando con $A$, se tiene que $\Ac$ es un ideal primo de $A$.
 
\begin{proof}
 Sea $1\leq j \leq n$ un entero, y para cada $i=1,\hdots,r$, escribimos $U_i$ para denotar al coeficiente correspondiente al monomio $X_j^{d_i}$ del polinomio $f_i$.  Es decir, si $\beta=d_i\ee_j$, siendo $\ee_j$ el $j$-\'esimo vector can\'onico, $U_i=U_{i,\beta}$.
 
 En el anillo $R':=R[X_j^{-1}]$, el polinomio $f_i$ se escribe de la siguiente forma:
 \[
  f_i(\X)=X_j^{d_i}(U_i+\sum_{\alpha\neq \beta}U_{i,\alpha}\X^\alpha X_j^{-d_i}).
 \]
 
 Sea $A':=\ZZ[U_{i,\alpha}: i=1,\hdots,r, \alpha\neq \beta ]$, con lo cual $A=A'[U_1,\hdots,U_r]$, y escribamos $g_{i,\beta}:=\sum_{\alpha\neq \beta}U_{i,\alpha}\X^\alpha X_j^{-d_i}$.
 
  Se obtiene as\'i un isomorfismo de anillos 
\[
  B_{X_j} \nto{\sim}{\lto} A'[\X][X_j^{-1}]: U_i\mapsto U_i-f_i/X_j^{d_i}=-g_{i,\beta}.
\]
Esto prueba que cualesquiera sean $i,j$, $X_i$ no es un divisor de cero en $B_{X_j}$. Entonces la primera parte se desprende de que
\[
 \ker(R\to B_{X_i})=\ker(R\to B_{X_iX_j})=\ker(R\to B_{X_jX_i})=\ker(R\to B_{X_j})
\]
Adem\'as, como $\ZZ$ es \'integro, $B_{X_j}$ tambi\'en lo es, y por lo tanto, $\TF_{R_+}(I)$ es un ideal primo de $R$.
\end{proof}

\begin{lema}\label{lem:Hur}
 Si $r<n$ entonces $\TF_{R_+}(I)=I$. 
\end{lema}

\begin{proof}
De la definici\'on de $\TF_{R_+}(I)$ se desprende que $\TF_{R_+}(I)\supset I$. Demostraremos entonces que  $\TF_{R_+}(I)\subset I$. Por el Lema \ref{lem:auxHur}, basta mostrar que si existe un entero $\ell$ para el cual $X_n^\ell f\in I$ entonces $f\in I$. Si esto valiera para $\ell=1$, entonces siendo verdadero para $\ell-1$ tambi\'en se tendr\'ia para $\ell$ ya que $X_n^\ell f = X_n(X_n^{\ell-1} f)$. Veamos que vale si $\ell=1$.

Sea $f\in R$ y escribamos 
\begin{equation}\label{eqxnf}
X_nf=\sum_{i=1}^r h_if_i\in I.
\end{equation}
Se tiene que $\sum_{i=1}^r \overline{h_i}\overline{f_i}=0$ en $\overline{R}:=R/(X_n)$ y los polinomios $f_i$ son gen\'ericos en las variables $X_1,\hdots,X_{n-1}$. Sabemos (por el Lema \ref{lem:polGenSucReg}) que, como $r\leq n-1$, los polinomios $\overline{f_1},\hdots,\overline{f_r}$ forman una sucesi\'on regular en $\overline{R}$ y entonces el complejo de Koszul $\k.(\overline{f_1},\hdots,\overline{f_r};\overline{R})$ es ac\'iclico (ver el Corolario \ref{suc reg}). Adem\'as, la exactitud en la posici\'on $1$
\[
 \cdots\to \bigoplus_{1\leq i<j\leq r}\overline{R}(-d_i-d_j) \nto{\partial_2}{\lto} \bigoplus_{1\leq i\leq r}\overline{R}(-d_i)\nto{\partial_1}{\lto} \overline{R}\to\overline{R}/(\overline{f_1},\hdots,\overline{f_r}) \to 0.
\]
 del complejo $\k.(\overline{f_1},\hdots,\overline{f_r};\overline{R})$ dice que $(\overline{h_1},\hdots,\overline{h_r})\in \ker(\partial_1)$ si y solo si  $(\overline{h_1},\hdots,\overline{h_r})\in \im(\partial_2)$, es decir, si existe $h':=(\hdots,h'_{i,j},\hdots)\in \oplus_{1\leq i<j\leq n-1}\overline{R}(d_i-d_j)$ tal que $\partial_2(h')=(\overline{h_1},\hdots,\overline{h_r})$. Esta \'ultima condici\'on es equivalente (Ejercicio \ref{ejer:matAntisimKosz}) a que exista una matriz antisim\'etrica $H\in \Mat_{r,r}(\overline{R})$ tal que
\[
 H\cdot (\overline{f_1},\hdots,\overline{f_r})^t=(\overline{h_1},\hdots,\overline{h_r}).
\]
 Interpretando $\overline{R}$ como $R':=A[X_1,\hdots,X_{n-1}]$, y $H\in \Mat_{r,r}(R')$ definimos $g_i\in R$ de forma tal que 
\[
 H\cdot (f_1,\hdots,f_r)^t=(g_1,\hdots,g_r),
\]
donde $\overline{g_i}=\overline{h_i}$ para todo $i$, es decir que que existe para cada $i$, existe un polinomio $p_i$ tal que $h_i-g_i=X_np_i$. Adem\'as, como $H$ es antisim\'etrica, se tiene que $\sum f_ig_i=0$. Retomando la ecuaci\'on \eqref{eqxnf}, se tiene
\begin{equation}\label{eq:Xnf}
 X_nf=\sum_{i=1}^r (g_i+X_np_i)f_i=\sum_{i=1}^r g_if_i+ X_n\sum_{i=1}^r p_if_i.
\end{equation}
De \eqref{eq:Xnf} se deduce que  $X_nf = X_n\sum_{i=1}^r p_if_i$ en $R$ o equivalentemente (ya que $X_n$ no es divisor de ceros en $R$) $f = \sum_{i=1}^r p_if_i$, es decir, que $f\in I$. 
\end{proof}



\begin{lema}\label{lema:elimbis}
 Supongamos $r=n$ y sea $f\in \TF_{R_+}(I)\in R$. Entonces $f\in I$ \'o $f$ depende de todos los coeficientes $U_{i,\alpha}$ de todos los $f_i$.
\end{lema}
\begin{proof}
 Sea $U=U_{i,\alpha}$ un coeficiente cualquiera, es decir, fijemos alg\'un $i$ y alg\'un $\alpha$. El coeficiente $U$ corresponde al monomio $X^\alpha$ que aparece en $f_i$. Supongamos ahora que $f\in \TF_{R_+}(I)$ no depende $U$, y veamos que $f\in I$. 

 Escribamos $g_i:= f_i-UX^\alpha$ y consideremos el morfismo de \'algebras $\phi:R_{X_1\cdots X_n}\to R_{X_1\cdots X_n}$ definido como $U\mapsto -g_i/X^\alpha$, $U_{j,\beta}\mapsto U_{j,\beta}$ si $(j,\beta)\neq (i,\alpha)$ y $X_j\mapsto X_j$ para todo $j$. Obs\'ervese que $\phi(f_i)=0$ para todo $i$, y que como $f$ y $f_j$ no dependen de $U$ si $j\neq i$, entonces $\phi(X_n^\ell f)=X_n^\ell f$ para todo $\ell$ y $\phi(f_j)=f_j$ para todo $j\neq i$.

Como $f\in \TF_{R_+}(I)$, se tiene que $X_n^\ell f=\sum_i h_if_i\in I$ para alg\'un $\ell\in \NN$. Aplicando $\phi$ a la identidad anterior, usando que $\phi(f_i)=0$, $\phi(f_j)=f_j$ si $j\neq i$, y escribiendo $h_i':=\phi(h_i)$ se tiene que
\[
 X_n^\ell f=\phi(X_n^\ell f)=\sum_{j\neq i} h_j'f_j\in R_{X_1\cdots X_n}.
\]
Multiplicando por una potencia conveniente $X^\beta$ de las $X_i$'s se obtiene la siguiente igualdad en $R$
\[
 X^\beta \phi(X_n^\ell f)= X^\beta X_n^\ell f = \sum_{j\neq i} h_j''f_j\in R.
\]
Esto \'ultimo dice que si escribimos $I':=(f_1,\hdots,f_{i-1},f_{i+1},\hdots,f_n)$ el ideal generado por $n-1$ polinomios, entonces $f\in \TF_{R_+}(I')$. El Lema \ref{lem:Hur} aplicado con $r=n-1$ nos dice que $\TF_{R_+}(I')=I'\subset I$.
\end{proof}

Vayamos entonces a la demostraci\'on del Teorema de eliminaci\'on.

\newcounter{oldthm}
\setcounter{oldthm}{\arabic{theorem}}
\setcounter{theorem}{\arabic{nc}}
\begin{theorem} Si $r=n$, entonces el ideal $\Ac$ es un ideal primo y principal de $A$, generado por un elemento que llamaremos \textit{Resultante} de $f_1,\hdots,f_n$, que denotaremos $\Res(f_1,\hdots,f_n)$, y que verifica que $\Res(X_1^{d_1},\hdots,X_n^{d_n})=1$.
\end{theorem}
\setcounter{theorem}{\arabic{oldthm}}


\begin{proof}
 Sea $U=U_{i,\alpha}$ un coeficiente cualquiera, y escribamos $A':=\ZZ[U_{j,\beta}: (j,\beta)\neq (i,\alpha)]$. Con esta notaci\'on, $A=A'[U]$. Como $I\cap A =0$, el Lema \ref{lema:elimbis} dice que todo $0\neq f\in \Ac$ satisface que $\deg_U(f)\geq 1$. Definamos entonces
\[
 s:=\min\{\deg_U(f): 0\neq f\in \Ac\}.
\]
Sea $f\in \Ac$ que satisface $\deg_U(f)=s$. Como $A'$ es factorial, entonces existe una factorizaci\'on $f=\prod q_i$ en finitos $q_i$, con $q_i$ primo en $A=A'[U]$.

Como $\TF_{R_+}(I)$ es un ideal primo y $f\in \Ac$, por el Lema \ref{lem:auxHur}, entonces existe un $i$ tal que $q_i\in \Ac$. Como $q_i|f$, se tiene que $1\leq \deg_U(q_i)\leq \deg_U(f)= s$. Como $q_i\in \Ac$, por definici\'on de $s$ se tiene que $\deg_U(q_i)= \deg_U(f)= s$. Esto prueba que existe un elemento primo $\rr:=q_i\in \Ac$.


Veamos ahora que $\Ac=\rr A$. En efecto, como $A'$ es \'integro, dado $g\in \Ac$, aplicando el algoritmo de de divisi\'on en $A'[U]$ podemos escribir en $A$, $tg=u\rr+v$, donde $t\in A'$, $u\in A$ y $v$ verifica que $v=0$ \'o $\deg_U(v)<s$. Como $v=tg-u\rr$, entonces $v\in \Ac\subset A$ y $A\cap I=0$, si $v\neq 0$, entonces por el Lema \ref{lema:elimbis} $v$ depende de todos los coeficientes de los $f_i$, en particular depende de $U$, pero la elecci\'on de $s$, se tendr\'ia que $\deg_U(v)\geq s$, lo cual lleva a una contradicci\'on. Entonces se tiene que $v=0$ y por lo tanto $tg=u\rr$. Como $t$ no depende de $U$ y $\rr$ tiene grado positivo en $U$ y es primo, entonces $\rr|g$

Como esto vale para $U$ arbitrario, se tiene que $\rr$ es \'unico a menos de un elemento inversible de $A'$, es decir, de $\ZZ$. Este elemento es $1$ por la normalizaci\'on elegida en el enunciado.
\end{proof}



\subsection{Resultante y divisores}


Hemos visto en el Lema \ref{lem:polGenSucReg} que si $f_1,\hdots,f_r$ son $r$ polinomios gen\'ericos y $r\leq n$, entonces forman una sucesi\'on regular en $R$. El Corolario \ref{cor:KosAciclico} dice que entonces el complejo de Koszul $\k.(f_1,\hdots,f_r;R)$ es un complejo ac\'iclico de $R$-m\'odulos, y en particular, complejo Koszul es ac\'iclico en grados positivos si el n\'umero de polinomios $r$ es menor o igual al n\'umero de variables $n$

Veremos ahora c\'omo $\annn_A(B_{\nu})$ puede ser calculado mediante un producto alternado de determinantes, que vienen de los diferenciales de este complejo de Koszul graduado, en grado $\nu\geq\nu_0:=\sum(d_i-1)+1$. 


\medskip

En la Secci\'on \ref{sec:Res} vimos, en el Teorema \ref{Teo:elim} que el ideal $\Ac$ es primo y principal y que por lo tanto define una subvariedad de $\Spec(A)$ de codimensi\'on $1$. Luego, probamos entre el Lema \ref{lem:Ac=ann} y el Corolario \ref{cor:AcAnn} que $\Ac=\annn_A(B_\nu)$ si $\nu\geq\nu_0$, es decir, que es un $A$-m\'odulo de torsi\'on. 


Mostraremos ahora que todo $A$-m\'odulo $M$ de torsi\'on con $A$ un dominio noetheriano y factorial, define un divisor $\divv(M)$, y que dada una resoluci\'on libre de $M$, este divisor puede ser calculado mediante un producto alternado de determinantes. 

\medskip


En lo que sigue, s\'olo nos interesar\'a la estructura de $A$-m\'odulo de los objetos. Es importante que el lector tenga en cuenta que si bien lo que desarrollaremos en esta parte es general para cualquier $A$-m\'odulo con  $A$ un dominio noetheriano y factorial, nuestro es inter\'es est\'a en el caso en que $A$ es el anillo de coeficientes universales de $n$ polinomios gen\'ericos, $M=B_\nu$ con $\nu\geq\nu_0$ y la resoluci\'on libre $\F.$ de $M$ es $\k.(f_1,\hdots,f_r;R)_\nu$ con $\nu\geq\nu_0$.

\medskip


Sea $A$ un dominio noetheriano y factorial con cuerpo de fracciones $k$.


\begin{definicion}
Sea $A$ un anillo noetheriano y factorial y sea $M$ un $A$-m\'odulo de torsi\'on de tipo finito. Denotemos por $\divv(M)$ al divisor asociado a $M$:
\[
 \divv(M)=\sum_{\pp\in \ass_A(M), \hgt(\pp)=1} \ell(M_\pp)\pp,
\]
donde $\ass_A(M)=\{\pp\in \Spec(A): \exists m\in M, \annn_A(m)=\pp\}$ es el conjunto de primos asociados a $M$, $\hgt(\pp)$ es la altura de $\pp$ y $\ell(M_\pp)$ la longitud de $M_\pp$.
\end{definicion}

\begin{definicion}
 Si $I$ es un ideal de $A$, la parte principal de $I$, que frecuntemente se denota por $[I]$, consiste en el $\gcd$ de los generadores de $I$. 
\end{definicion}

Obs\'ervese que ac\'a entran la hip\'otesis de factorialidad requerida sobre $A$, as\'i como la finita generaci\'on de $I$, que est\'a garantizada por la noetherianidad de $A$.

Con esta notaci\'on, si el ideal $I$ se descompone en factores irreducibles de forma tal que su parte principal es $[I]=\prod_i \pp_i^{\ell_i}$, entonces $\divv(A/I)= \sum_i \ell_i\pp_i$.

\begin{theorem}\label{teo:detF}
$A$ un dominio noetheriano y factorial y $\F.$ un complejo finito de $A$-m\'odulos libres  finitamente generados. Escribamos 
\[
\F.: 0\to F_n\nto{\partial_n}{\lto}F_{n-1}\nto{\partial_{n-1}}{\lto} \cdots\nto{\partial_2}{\lto} F_1\nto{\partial_1}{\lto}F_0\to 0
\]
y supongamos que $F_i=E_{i+1}\oplus E_i$, $E_0=E_{n+1}=0$, $\partial_p=
\begin{pmatrix}
a_p & \phi_p \\
b_p & c_p
\end{pmatrix}$,
 donde $\phi_p:E_p\to E_p$ es un endomorfismo inyectivo. Entonces, $H_i(\F.)$ es un $A$-m\'odulo de torsi\'on para todo $i$, y 
 \[
 \sum_i (-1)^i\divv(H_i(\F.))=\sum_i (-1)^i\divv(\det \phi_i).
 \]

En particular, si $\F.$ es ac\'iclico, la parte principal de $H_0(\F.)$, $[H_0(\F.)]$, est\'a dada por el elemento $\prod_i (\det \phi_i)^{(-1)^{i+1}}$ de $A$.
\end{theorem}


\begin{proof}
Sea $k$ el cuerpo de fracciones de $A$. Debemos probar que $H_i(\F.)$ es un $A$-m\'odulo de torsi\'on para todo $i$, para ello, veamos que  $H_i(\F.)\otimes_A k=0$. Como $A$ es \'integro, $k$ es la localizaci\'on en el ideal $0$, es playo sobre $A$, entonces $H_i(\F.)\otimes_A k=H_i(\F.\otimes_A k)$.

Adem\'as, la homolog\'ia de $\F.\otimes_A k$ es cero porque $\partial_i\otimes 1$ restringido a $E_i\otimes_A k$ es un automorfismo. Entonces $H_i(\F.)$ es de torsion para todo $i$.



Sea $\partial'_i = \begin{pmatrix} 0&I\\0&0 \end{pmatrix}$, entonces
 el complejo $(\F., \partial'_\bullet)$ tiene homolog\'ia cero. Definimos la aplicaci\'on $f_n = id$, $f_i = \begin{pmatrix}\phi_{i+1} &0\\c_{i+1} & I\end{pmatrix}:F_i\to F_i$ para todo $i < n$. 
Como 
\[
 \partial_i \circ f_i =\begin{pmatrix} a_i & \phi_i \\ b_i & c_i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\phi_{i+1} &0\\c_{i+1} & I\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0& \phi_{i} \\0&c_{i} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\phi_{i} &0\\c_{i} & I\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0&I\\0&0 \end{pmatrix}= f_{i-1}\circ \partial'_i,
\]
se tiene que los $\{f_i\}$ definen un morfismo $f_\bullet:(\F., \partial'_\bullet)\to(\F., \partial_\bullet)$.


Adem\'as, $f_i$ es inyectiva y $\coker(f_i)$ puede ser identificado con $\coker(\phi_{i+1})$. Los morfismos $\partial_i$ y $\partial_i'$ inducen morfismos $\Theta_{i+1}$ de acuerdo al siguiente diagrama
\[
 \xymatrix@1{ 0 & 0 \\
\coker(\phi_{i+1})\ar@{-->}[r]^{\theta_{i+1}}\ar[u]& \coker(\phi_{i})\ar[u]\\
F_i\ar[r]^{\partial_{i}}\ar[u]& F_{i-1}\ar[u]\\
 F_i\ar[r]^{\partial'_{i}}\ar[u]^{f_{i+1}}& F_{i-1}\ar[u]^{f_{i}}
}
\]
Esto dice que se tiene una sucesi\'on exacta corta de complejos
\begin{equation}\label{eq:secComplejos}
 0\to (\F., \partial'_\bullet)\nto{f_\bullet}{\lto}(\F., \partial_\bullet)\to (\coker(\phi_\bullet),\theta_\bullet)[1]\to 0.
\end{equation}
que se escribe en forma de digrama como sigue, donde las columnas son exactas
\[
 \xymatrix@1{  & & 0 && 0 & 0 \\
  & 0 \ar[r]& \coker(\phi_{n})\ar[r]^{\theta_{n}}\ar[u]& \cdots\ar[r]^{\theta_{3}}& \coker(\phi_{2})\ar[r]^{\theta_{2}}\ar[u]& \coker(\phi_{1})\ar[r]\ar[u] & 0\\
0\ar[r] & F_n \ar[r]^{\partial_{n}}\ar[u]& F_{n-1}\ar[r]^{\partial_{n-1}}\ar[u]& \cdots\ar[r]^{\partial_{2}}& F_1\ar[r]^{\partial_{1}}\ar[u]& F_0\ar[r]\ar[u] & 0\\
0\ar[r] & F_n \ar[r]^{\partial'_{n}}\ar[u]^{f_{n}}& F_{n-1}\ar[r]^{\partial'_{n-1}}\ar[u]^{f_{n-1}}& \cdots\ar[r]^{\partial'_{2}}& F_1\ar[r]^{\partial'_{1}}\ar[u]^{f_{2}}& F_0\ar[r]\ar[u]^{f_{1}} & 0\\
  & 0\ar[u] & 0\ar[u] && 0\ar[u] & 0\ar[u]
}
\]

La sucesi\'on exacta \eqref{eq:secComplejos} da una sucesi\'on exacta larga en homolog\'ia
\[
  \cdots \to H_i(\F., \partial'_\bullet)\to H_i(\F., \partial_\bullet)\to H_{i+1}(\coker(\phi_\bullet),\theta_\bullet) \to H_{i-1}(\F., \partial'_\bullet)\to \cdots.
\]

Como el complejo $(\F., \partial'_\bullet)$ es exacto, se tiene que el complejo $(\coker(\phi_\bullet),\theta_\bullet)[1]$ tiene la misma homolog\'ia que $(\F., \partial_\bullet)$. Esto es, $H_i(\F., \partial_\bullet)\cong H_{i+1}(\coker(\phi_\bullet),\theta_\bullet)$, y en particular sus divisores asociados coinciden, de lo cual se deduce que
\[
 \divv(\coker \phi_i) = \divv(\im \theta_{i-1}) + \divv(\ker \theta_{i-1}) = \divv(\im \theta_{i-1}) + \divv(\im \theta_i) + \divv(H_{i-1} (\F.)).
\]
La conclusi\'on sigue del siguiente resultado cl\'asico de Bourbaki \cite[Cap.\ 7, Sec.\ 4, n.\ 6, Corolario de la Prop.\ 13]{Bou1-7}:

Sea $M$ un $A$-m\'odulo finitamente generado y $\phi$ un endomorfismo inyectivo de $M$. Entonces $\divv(\coker \phi) = \divv(\det \phi)$.
\end{proof}

\medskip

Volvamos a nuestro contexto habitual y sea $A=\ZZ[U_{i,\alpha}]$ es el anillo de coeficientes universales de $n$ polinomios gen\'ericos $f_1,\hdots,f_n$, $M=B_\nu$ con $\nu\geq\nu_0$ y la resoluci\'on libre $\F.$ de $M$ es $\k.(f_1,\hdots,f_n;R)_\nu$ con $\nu\geq\nu_0$. Se tiene el siguiente resultado.

\begin{corolario} El complejo $\k.(f_1,\hdots,f_n;R)_\nu$ de $A$-m\'odulos es una resoluci\'on de $B_\nu$ con diferenciales $\partial_i^\nu$. Adem\'as, la parte principal de $B_\nu$, es decir $\annn_A(B_\nu)$, est\'a dada por $\prod_i (\det \partial_i^\nu)^{(-1)^{i+1}}$.
\end{corolario}


Esto permite calcular, teniendo una descomposici\'on como la del Teorema \ref{teo:detF}, un (el) generador de $\annn_A(B_\nu)$ como producto alternado de matrices que vienen de los diferenciales $\partial_i^\nu$ de $\k.(f_1,\hdots,f_n;R)_\nu$.

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\subsection*{Ejercicios}
\begin{enumerate}
 \item \label{ejer:matAntisimKosz}
En el contexto de la demostraci\'on del Lema \ref{lem:Hur}, $H_1(\k.(\overline{f_1},\hdots,\overline{f_r};\overline{R}))=0$ es equivalente a que exista una matriz antisim\'etrica $H\in \Mat_{r,r}(\overline{R})$ tal que
\[
 H\cdot (\overline{f_1},\hdots,\overline{f_r})^t=(\overline{h_1},\hdots,\overline{h_r}).
\]
\end{enumerate}

\bigskip

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\section {Ideales de Fitting}\label{sec:Fitting}


En esta secci\'on desarrollaremos el contenido b\'asico sobre ideales de Fitting, y determinantes de complejos, lo que est\'a estrictamente vinculado con el invariante de McRae, que se define a partir de un $A$-m\'odulo $M$, y que bajo buenas condiciones describe la parte de codimensi\'on uno del soporte de $M$. Quien est\'e interesado en profundizar las ideas r\'apidamente expuestas en esta secci\'on, puede consultar el trabajo de McRae \cite{MRae65}, que es la fuente original, y el art\'iculo de Northcott \cite{Nor76} en el cu\'al se trata la existencia y algunas propiedades de este invariante.

Para el c\'alculo de este invariante, que definiremos a partir de ideales de Fitting, haremos uso de una t\'ecnica desarrollada por Cayley conocida como determinante de un complejo. Para esto se puede consultar unas notas de Demazure \cite{Dem84} y un tratamiento m\'as general se puede obtener en el Ap\'endice del libro \cite{GKZ94}.




\subsection{Ideales de Fitting}


Sea $A$ un anillo conmutativo, $F$ y $G$ dos $A$-m\'odulos libres, y $\varphi:F\to G$ un morfismo de $A$-m\'odulos. Consideremos bases para estos m\'odulos, y notemos por $|\varphi|$ a la matriz de $\varphi$ escrita en estas bases. Definimos $\det_\nu(\varphi)$ como el ideal de $A$ generado por los menores de tama\~no $\nu \times \nu$ de $|\varphi|$. Haremos la convenci\'on de que la matriz de tama\~no nulo tiene determinante $1$, con lo cual $\det_\nu(\varphi)=A$ para todo $\nu\leq 0$.

\begin{proposicion}
Sea $M$ un $A$-m\'odulo finitamente generado, y sean $F\stackrel{\varphi}{\to}G\to M \to 0$ y $F'\stackrel{\varphi'}{\to}G'\to M\to 0$ dos presentaciones libres de $M$. Entonces para todo $\nu \in \ZZ$ se tiene que $$\det{}_{rg(G)-\nu}(\varphi)=\det{}_{rg(G')-\nu}(\varphi').$$
\end{proposicion}

Una demostraci\'on de este resultado, como de los siguientes, se puede consultar en \cite[Cap.\ 3.1.]{Nor76}. Podemos ahora dar la definici\'on de los ideales de Fitting:

\begin{definicion}Sea $M$ un $A$-m\'odulo finitamente generado, y sea $F\stackrel{\varphi}{\to}G\to M \to 0$ una presentaci\'on libre de $M$, definimos para cada $i\in \NN$, el $\nu$-\'esimo \textit{invariante de Fitting de $M$}, como el ideal $$\Fitt _\nu(M):=\det{}_{rg(G)-\nu}(\varphi).$$ El invariante $\Fitt_0(M)$ suele ser denotado por $\Fitt$ y llamado invariante de Fitting inicial de $M$.
\end{definicion}


Enunciaremos a continuaci\'on algunas propiedades relevantes sobre estos invariantes. N\'otese que el item $2$, es la mencionada propiedad de cambio de base deseada en nuestra aplicaci\'on al c\'alculo de resultantes.

\begin{proposicion}\label{prop fit} Sea $M$ un $A$-m\'odulo finitamente generado.

\begin{enumerate}
\item Los invariantes de Fitting de $M$ forman una sucesi\'on creciente: $$\Fitt(M)=\Fitt_0(M)\subset\Fitt_1(M)\subset\Fitt_2(M)\subset\cdots.$$ M\'as a\'un, si $M$ puede ser generado por $m$ elementos, entonces $\Fitt_m(M)=A$.
\item Dado un morfismo $A\to B$ de anillos, se tiene que, para todo $\nu\in \NN$ $$\Fitt_\nu(M\otimes_A B)=\Fitt_\nu(M)B \ .$$
\item Para todo $\nu\geq 1$ se tiene que $\annn(M)\Fitt_\nu(M)\subset\Fitt_{\nu-1}(M)$. M\'as a\'un, si $M$ puede ser generado por $m$ elementos, entonces $$\annn(M)^m\subset\Fitt(M)\subset \annn(M).$$
\item Si $M$ es un $A$-m\'odulo que admite una presentaci\'on finita (se dice que $M$ es finitamente presentado), entonces cada uno de sus invariantes de Fitting es un ideal finitamente generado de $A$.
\end{enumerate}
\end{proposicion}


Enunciaremos a continuaci\'on un resultado muy importante conocido como Lema de McCoy, que tampoco demostraremos.


\begin{lema}\label{mccoy}(McCoy) Sea $\varphi:F\to G$ un morfismo entre dos $A$-m\'odulos libres de rango $r_1$ y $r_2$ respectivamente. Entonces $\varphi$ es inyectiva si y solo si $\annn_A(\det_{r_1}(\varphi))=0$. m\'as a\'un, cuando se est\'a en esta situaci\'on se tiene que $r_1\leq r_2$.
\end{lema}

Utilizaremos este resultado al final de esta secci\'on para obtener una descomposici\'on de un complejo libre, como la deseada en el Teorema \ref{teo:detF}.


\subsection{La Caracter\'istica de Euler}


Nuevamente aqu\'i $A$ es un anillo conmutativo, y $M$ es un $A$-m\'odulo. Antes de poder definir el invariante de McRae de $M$, que denotaremos por $\rae(M)$, debemos definir algunos conceptos previos que est\'an \'intimamente ligados a \'el. 

Definiremos previamente otro invariante, conocido como \textit{Caracter\'istica de Euler}, que  tiene la propiedad de caracterizar a aquellos m\'odulos que tienen anulador trivial.

\begin{lema}
Sea $M$ un $A$-m\'odulo, y consideremos dos resoluciones libre finitas $\F.$ y $\F.'$ de $M$, entonces se tiene que $\sum_{i}(-1)^ir_i= \sum_{i}(-1)^ir'_i$, donde $r_i=rg(F_i)$ y $r'_i=rg(F'_i)$.
\end{lema}

Ahora podemos definir la Caracter\'istica de Euler de $M$ como sigue:

\begin{definicion} Sea $M$ un $A$-m\'odulo que admite una resoluci\'on libre finita $\F.$ por m\'odulos $F_i$ de rango $r_i$. Definimos la caracter\'istica de Euler de $M$ como $$\chi(M)=\sum_{i=0}^n(-1)^ir_i.$$
\end{definicion}


El siguiente teorema, debido a Vasconcelos, caracteriza los m\'odulos cuya caracter\'istica de Euler es cero, y que ser\'an de inter\'es pr\'oximamente.

\begin{lema} Sea $M$ un $A$-m\'odulo que admite una resoluci\'on libre finita de longitud finita. Entonces la caracter\'istica de Eurler de $M$ es un entero no negativo y
\begin{enumerate}
\item $\chi(M)>0$ si y solo si $\annn_A(M)=0$;
\item $\chi(M)=0$ si y solo si $\annn_A(M)\neq 0$, si y solo si $0:_A\annn_A(M)=0$.
\end{enumerate}
\end{lema}

Aplicando este resultado en el contexto habitual, donde $M=B_\nu$ para $\nu\geq \nu_0$, deducimos que $\chi(B_\nu)=0$ ya que $\annn_A(B_\nu)\neq 0$ y est\'a generado por la resultante. La \'ultima parte dice que $\annn_A(B_\nu)$ contiene un elemento que no es divisor de cero, que justamente es la resultante mencionada.

\subsection{El Invariante de McRae}


Estamos ahora en condiciones de definir el invariante de McRae de un $A$-m\'odulo que admite una resoluci\'on libre finita y tal que $\chi(M)=0$. Nuestra aplicaci\'on ser\'a como siempre al caso en que $A$ es el anillo de coeficientes universales, y $M=B_\nu$ para $\nu\geq \nu_0$.


De acuerdo con los establecido en el trabajo de Northcott \cite{Nor76}, daremos la siguientes definiciones:

\begin{definicion}
Si $M$ es un $A$-m\'odulo que tiene una resoluci\'on libre finita de longitud uno de la forma $0 \to F_1\to F_0\to M\to 0$ y tal que $\chi(M)=0$, diremos que $M$ es un \textit{m\'odulo elemental}.
\end{definicion}

Si $M$ es un $A$-m\'odulo elemental, entonces el ideal de Fitting inicial $\Fitt(M)$ es principal (adem\'as es integro y fraccionario). 

\begin{definicion}\label{def:McRae}
Notaremos por $\rae(M)$ al ideal de Fitting inicial de estos m\'odulos y lo llamaremos \textit{invariante de McRae} de $M$.
M\'as en general, si $M$ es un $A$-m\'odulo. Dada una resoluci\'on finita $\F.$ por m\'odulos elementales $F_i$, se le asocia un ideal invertible fraccionario 
\[
 \rae(M)=\prod_{i=0}^n\Fitt(F_i)^{(-1)^i},
\]
que se denomina \textit{invariante de McRae de $M$}.

\end{definicion}

Enunciaremos a continuaci\'on algunas propiedades importantes del invariante de McRae que est\'an para probar en los ejercicios de esta secci\'on, y cuya demostraci\'on se encuentra completa en \cite[Cap.\ 3.6 y 6.2]{Nor76}.

\medskip

Sea $M$ un $A$-m\'odulo que tiene una resoluci\'on finita de m\'odulos elementales. Entonces el ideal $\rae(M)$ de $A$ es un ideal principal generado por un elemento que no es divisor de cero. Adem\'as, satisface que $\Fitt(M)\subset\rae(M)$ y es minimal con esta propiedad, es decir, si $I$ es un ideal principal de $A$ que contiene a $\Fitt(M)$, entonces tambi\'en contiene a $\rae(M)$.

La propiedad anterior implica que si $A$ es un DFU, como lo es el anillo de coeficientes universales, entonces $\rae(M)$ est\'a generado por el gcd de los generadores de $\Fitt(M)$.

Adem\'as, hay una serie de equivalencias al hecho de tener una resoluci\'on por m\'odulos elementales, que se resumen en el siguiente resultado:

\begin{lema}
Si $M$ es un $A$-m\'odulo, entonces las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:
\begin{enumerate}
\item $M$ admite una resoluci\'on finita por m\'odulos elementales;
\item $M$ admite una resoluci\'on libre finita de caracter\'istica de Euler cero;
\item $M$ admite una resoluci\'on libre finita y $\annn(M)$ contiene un elemento que no es divisor de cero.
\end{enumerate}
\end{lema}

Esto \'ultimo nos dice que $M$ admite una resoluci\'on libre finita y $\annn(M)$ contiene un elemento que no es divisor de cero, entonces $M$ admite un resoluci\'on finita por m\'odulos elementales y por lo tanto podemos definir el invariante de McRae como en la Definici\'on \ref{def:McRae}.

en la pr\'oxima parte daremos un m\'etodo constructivo para calcular el ideal $\rae(M)$. 

\subsection{Un algoritmo par calcular  $\rae(M)$}

A partir de ahora supondremos que $A$ es un dominio \'integro, y que $M$ es un $A$-m\'odulo que admite una resoluci\'on finita libre de longitud $n\geq 1$, 
\[
 \F. :\qquad 0\to F_n\stackrel{\partial_n}{\to} F_{n-1}\stackrel{\partial_{n-1}}{\to}\cdots \to F_1\stackrel{\partial_1}{\to} F_0\to M\to 0,
\]
tal que $\chi(M)=\sum_i (-1)^ir_i=0$, donde $r_i$ es el rango del m\'odulo $F_i$.


Descompongamos ahora los m\'odulos $F_i$ del complejo $\F.$, empezando desde la izquierda.

Sea $F^{(0)}_n:=0$ y $F^{(1)}_n:=F_n$, escribimos entonces $F=F^{(0)}_n\oplus F^{(1)}_n$ .  Como $\partial_n$ es inyectivo, entonces por el Lema de McCoy, \ref{mccoy}, se tiene que:
\begin{enumerate}
\item $F_{n-1}$ se escinde en $F^{(0)}_{n-1}\oplus F^{(1)}_{n-1}$, donde estos dos m\'odulos son libres de rango $r_n$ y $r_{n-1}-r_n$ respectivamente. El morfismo $\partial_n:F_n\to F_{n-1}$ se puede escribir matricialmente como $\partial_n=(\phi_n\ c_n)$, donde $\det(\phi_n)\neq 0$. Se reescribe el comienzo de la resoluci\'on anterior de la forma \[
 \xymatrix@1{ 0\ar[r]\ar@{}[d]|{\oplus}& 0\ar@{}[d]|{\oplus}\ar[r] & F_{n-1}^{(0)}\ar@{}[d]|{\oplus} \ar[r]&\cdots\\ 0\ar[r]& F_n^{(1)}\ar[ur]^{\phi_n}\ar[r]^{c_n} & F_{n-1}^{(1)}\ar[r] &\cdots}                                                                                                                                                                                                                                                                                      
\]
\item Ahora, como el morfismo $\phi_n$ es biyectivo sobre el cuerpo de fracciones de $A$ y como $\im(c_n)=\ker(c_{n-1})$, se deduce que $F_{n-2}$ se parte en $F^{(0)}_{n-2}\oplus F^{(1)}_{n-2}$, en dos m\'odulos libres de rango $r_{n-1}-r_n$ y $r_{n-2}-(r_{n-1}-r_n)$ respectivamente. El morfismo $\partial_{n-1}:F_n\to F_{n-1}$ se escribe matricialmente como 
\[
 \partial_{n-1}=\left( \begin{array}{cc} a_{n-1}& \phi_{n-1} \\b_{n-1} &c_{n-1} \end{array}\right),
\]
donde $\det(\phi_{n-1})\neq 0$. Se reescribe el comienzo de la resoluci\'on $\F.$ como
\[
 \xymatrix@1{ 0\ar[r]\ar@{}[d]|{\oplus}& 0\ar@{}[d]|{\oplus}\ar[r]& F_{n-1}^{(0)}\ar@{}[d]|{\oplus}\ar[r]^{a_{n-1}}\ar[dr]^{b_{n-1}} & F_{n-2}^{(0)}\ar@{}[d]|{\oplus} \ar[r]&\cdots\\ 0\ar[r]& F_n^{(1)}\ar[ur]^{\phi_n}\ar[r]^{c_n}& F_{n-1}^{(1)}\ar[ur]^{\phi_{n-1}}\ar[r]^{c_{n-1}} & F_{n-2}^{(1)}\ar[r] &\cdots}
\]
\item de esta forma se obtiene que para cada $i=0,\hdots,n$ $F_i$ se escinde como $F_i=F^{(0)}_i\oplus F^{(1)}_i$ con ambos m\'odulos libres de rango $\sum_{j=0}^{n-i-1}(-1)^jr_{i+1+j}$ y $\sum_{j=0}^{n-i}(-1)^jr_{i+j}$ repectivamente, y para $i=1,\hdots,n$ el morfismo $\partial_i:F^{(0)}_i\oplus F^{(1)}_i\to F^{(0)}_{i-1}\oplus F^{(1)}_{i-1}$ se escribe matricialmente como $$\partial_i=\left( \begin{array}{cc} a_i& \phi_i \\b_i &c_i \end{array}\right),$$ donde el determinante de $\phi_i$ es no nulo.
\item Finalmente, dado que $\chi(M)=\sum_{j=0}^n(-1)^jr_j=0$, una descomposici\'on de esta forma termina con un morfismo $\partial_1$ que se escribe como $(a_1 \ \phi_1)^t$, con $\det(\phi_1)\neq 0$, obteni\'endose una resoluci\'on libre con morfismos como se ilustra en el diagrama: 
\[
 \xymatrix@1{ 0\ar[r]\ar@{}[d]|{\oplus}& 0\ar@{}[d]|{\oplus}\ar[r]& F_{n-1}^{(0)}\ar@{}[d]|{\oplus}\ar[r]^{a_{n-1}}\ar[dr]^{b_{n-1}} & F_{n-2}^{(0)}\ar@{}[d]|{\oplus} \ar[r]&\cdots \ \cdots\ar[r]^{a_2}& F_1^{(0)}\ar@{}[d]|{\oplus}\ar[r]^{a_1}\ar[dr]^{b_1} & F_{0}^{(0)}\ar@{}[d]|{\oplus}\\
 0\ar[r]& F_n^{(1)}\ar[ur]^{\phi_n}\ar[r]^{c_n}& F_{n-1}^{(1)}\ar[ur]^{\phi_{n-1}}\ar[r]^{c_{n-1}} & F_{n-2}^{(1)}\ar[r]\ar[ru]^{\phi_{n-2}} &\cdots \ \cdots\ar[r]^{a_2}\ar[r]^{a_2}\ar[ru]^{\phi_2} & F_1^{(1)}\ar[ur]^{\phi_1}\ar[r]^{c_1} & F_0^{(1)}}
\]
\end{enumerate}


Obs\'ervese que se obtiene una familia de matrices cuadradas, que est\'an definidas complementando las filas o columnas de la matriz anteriormente definida, y cuyo determinate es no nulo.

\begin{corolario} 
Con la notaci\'on anterior, se tiene 
\[
 \rae(M)=\det(\F.)A:=\prod_{i=1}^n\det(\phi_i)^{(-1)^{i-1}}A=\frac{\det(\phi_1)\det(\phi_3)\hdots}{\det(\phi_2)\det(\phi_4)\hdots}A.
\]
\end{corolario}

Vimos que $\rae(M)$ es el menor ideal principal que contiene a $\Fitt(M)$, esto dice que $\rae(M)$ es la parte de codimensi\'on uno de $\Fitt(M)$. A partir de la Proposici\'on \ref{prop fit}.3., se tiene que los primos asociados de $\Fitt(M)$ son exactamente los mismos que los primos asociados de $\annn_A(M)$. M\'as precisamente, si $A$ es un DFU, y $P_1,\hdots, P_r$ denotan los factores irreducibles del gcd de un sistema de generadores de $\Fitt(M)$, entonces $P_1^{\ell_1}\hdots P_r^{\ell_r}$ es un generador de $\rae(M)$, donde $\ell_i$ denota la multiplicidad de $\rae(M)$ en $A/(P_i)$ que tambi\'en suele escribirse $e_i$.

\medskip

Aplicando estos resultados al anillo $A=\ZZ[U_{i,\alpha}]$ de coeficientes universares, que puede ser reemplazado por otro anillo aplicando la propiedad de cambio de base, tomando $M=B_\nu$ con $\nu\geq\nu_0$, se obtiene que
\[
 \rae(B_\nu)=\det((\k.)_\nu)A:=\prod_{i=1}^n\det(\phi_i^\nu)^{(-1)^{i-1}}A.
\]
Adem\'as, si $\nu\geq\nu_0$, se tiene que los primos asociados de $\Fitt(B_\nu)$ son exactamente los mismos que los primos asociados de $\annn_A(B_\nu)$, que $\annn_A(B_\nu)$ es principal y primo, y que $\rae(B_\nu)$ es el menor ideal principal que contiene a $\Fitt(B_\nu)$, esto dice que no s\'olo $\rae(B_\nu)$ es la parte de codimensi\'on uno de $\Fitt(B_\nu)$, sino que $\rae(B_\nu)=\annn_A(B_\nu)$.

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{Ejercicios}
\begin{enumerate}
 \item Sea $A$ un anillo conmutativo, y sea $M$ un $A$-m\'odulo presentado por
\[
 A^n\nto{\phi}{\lto} A^n \to M\to 0,
\]
donde $\det(\phi)$ no es divisor de cero en $A$. Entonces
\[
 \annn_A(M)=\Fitt_0(M):_A \Fitt_1(M).
\]

 \item En el contexto del ejercicio anterior, si $M$ es un $A$-m\'odulo presentado por
\[
 A^n\nto{\phi}{\lto} A^m \to M\to 0,
\]
donde $\det(\phi)$ no es divisor de cero en $A$, $m>n$, y $\depth \annn_AM=m-n+1$. Entonces $\annn_A(M)=\Fitt_0(M)$.

\item Sea $M$ un $A$-m\'odulo que tiene una resoluci\'on finita de m\'odulos elementales. Entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:
 \begin{enumerate}
\item Supongamos que se tiene dos resoluciones por m\'odulos elementales $$0\to F_n\to F_{n-1}\to \cdots \to F_1\to F_0\to M\to 0$$ y $$0\to F'_{n'}\to F'_{n'-1}\to \cdots \to F'_1\to F'_0\to M\to 0$$ del $A$-m\'odulo $M$, entonces $$\prod_{i=0}^n\Fitt(F_i)^{(-1)^i}= \prod_{i=0}^{n'}\Fitt(F'_i)^{(-1)^i}.$$
\item Si se tiene una sucesi\'on exacta de la forma $0 \to M' \to M \to M''\to 0$ de $A$-m\'odulos, donde $M'$ y $M''$ admiten ambos una resoluci\'on finita de m\'odulos elementales, entonces $\rae(M)=\rae(M')\rae(M'')$.
\item Sea $S$ un conjunto multiplicativamente cerrado de $A$. Entonces el $A_S$-m\'odulo $M_S$ tiene una resoluci\'on finita de m\'odulos elementales, y se tiene que $\rae(M)A_S=\rae(M_S)$.
\item El ideal fraccionario $\rae(M)$ de $A$, resulta un ideal \'integro de $A$. M\'as a\'un es un ideal principal generado por un elemento que no es divisor de cero, tal que $\Fitt(M)\subset\rae(M)$ y es minimal con esta propiedad, es decir, si $I$ es un ideal principal de $A$ que contiene a $\Fitt(M)$, entonces tambi\'en contiene a $\rae(M)$.
\item\label{menores} La propiedad (d) implica que cualquier generador de $\rae(M)$ sirve como gcd (m\'aximo com\'un divisor) de cualquier conjunto de generadores de $\Fitt(M)$. En particular, si $A$ es un DFU, $\rae(M)$ est\'a generado por el gcd de los generadores de $\Fitt(M)$.
 \end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

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\section{Ejemplos}\label{sec:ejemplos}

En esta secci\'on desarrollaremos dos ejemplos de resultantes multihomog\'eneas, que ser\'an acompa\~nados con el correspondiente c\'odico en Macaulay2 \cite{M2}, usando el paquete \texttt{EliminationMatrices} desarrollado junto con Laurent Bus\'e y Manuel Dubinsky \cite{BBD12}.

\begin{ejemplo} En este ejemplo veremos un caso muy simple, de dos polinomios homog\'eneos en dos variables, uno cuadr\'atico y uno lineal. Una aplicaci\'on t\'ipica de este ejemplo es el caso del c\'alculo del descriminante de un polinomio $f_1$. 
 
Sea $A=\QQ[a,b,c,d,e]$ y $R=A[x,y]$, $f_1=ax^2+bxy+cy^2$ y $f_2=dx+ey$.

\begin{verbatim}
i1 : load "EliminationMatrices.m2"

i2 : R=QQ[a,b,c,d,e,x,y];

i3 : f1=a*x^2+b*x*y+c*y^2;

i4 : f2=d*x+e*y;

i5 : vari = {x,y};

i6 : m =matrix {{f1,f2}};

             1       2
o6 : Matrix R  <--- R

i7 : eliminationMatrix(vari,m, Strategy=> Macaulay)

o7 = {2} | a d 0 |
     {2} | b e d |
     {2} | c 0 e |

             3       3
o7 : Matrix R  <--- R

i8 : det(oo)

        2              2
o8 = c*d  - b*d*e + a*e

o8 : R
\end{verbatim}

Un ejemplo cl\'asico es calcular la resultante de $f_1=ax^2+bxy+cy^2$ y $f_2=2ax+by$, que se obtiene substituyendo $d$ por $2a$ y $e$ por $b$.

\begin{verbatim}
i9 : substitute(oo,{d=>2*a, e=>b})

          2     2
o9 = - a*b  + 4a c

o9 : R

i10 : factor oo

             2
o10 = (a)(- b  + 4a*c)

o10 : Expression of class Product
\end{verbatim}

El hecho de poder evaluar directamente $d$ en $2a$ y $e$ en $b$ es justamente la propiedad de universalidad que tanto hemos remarcado. Eso dice que calcular la resultante conmuta con el morfismo de especializaci\'on.

\medskip

Otra forma de calcular la matriz resultante de Macaulay \texttt{Mnu} es como el morfismo 
\[
 M_{\nu_0}:=\paren{R(-2)\oplus R(-1)\to R}_{\nu_0}.
\]
para $\nu_0=(2-1)+(1-1)+1=2$.

\begin{verbatim}

i11 : K = koszul m

       1      2      1
o11 = R  <-- R  <-- R
      0      1      2

o11 : ChainComplex

i12 : nu = (2-1)+(1-1)+1;

i13 : Mnu = mapsComplex (nu, vari, K)

o13 = {{2} | a d 0 |, 0}
       {2} | b e d |
       {2} | c 0 e |

o13 : List

i14 : de = detComplex (nu, vari, K)

         2              2
o14 = c*d  - b*d*e + a*e

o14 : frac(R)
\end{verbatim}

Observar que en el caso en que $\nu_0$ es el \'indice de saturaci\'on, la matriz $M_{\nu_0}$ de dos polinomios homog\'eneos en dos variables, siempre resultar\'a cuadrada. No es as\'i si $\nu>\nu_0$, ni para m\'as polinomios y m\'as variables para ningu\'un $\nu$. Podemos verificar este hecho en este ejemplo, as\'i como que el determinante del complejo $\k.(f_1,f_2;R)_\nu$ no depende de $\nu\geq \nu_0$, y coincide con $ cd^2 -bde + ae^2$. 

\begin{verbatim}
i15 : Mnu = mapsComplex (nu+1, vari, K)

o15 = {{3} | a 0 d 0 0 |, {1} | -d |}
       {3} | b a e d 0 |  {1} | -e |
       {3} | c b 0 e d |  {2} | a  |
       {3} | 0 c 0 0 e |  {2} | b  |
                          {2} | c  |

o15 : List
\end{verbatim}

Esto dice que el complejo  $\k.(f_1,f_2;R)$ en grado $\nu=3$ se escribe
\[
 0\to R(-3)_\nu \nto{(-f_2,f_1)}{\lto} R(-2)_\nu\oplus R(-1)_\nu\nto{\binom{f_1}{f_2}}{\lto} R_\nu \to 0,
\]
el cual puede escribirse, identificando $R(-3)_\nu$ con $A$, $R(-2)_\nu\oplus R(-1)_\nu$ con $A^2\oplus A^3$ y $R_\nu$ con $A^4$
\[
 0\to A \nto{
\begin{pmatrix} 
 -d \\
 -e \\
 a \\
 b \\
 c
\end{pmatrix}
}{\lto} A^2\oplus A^3\nto{
\begin{pmatrix} 
a & 0 & d & 0 & 0 \\
b & a & e & d & 0 \\
c & b & 0 & e & d \\
0 & c & 0 & 0 & e
\end{pmatrix}}{\lto} A^4 \to 0.
\]

\begin{verbatim}

i16 : de = detComplex (nu+1, vari, K)

         2              2
o16 = c*d  - b*d*e + a*e

o16 : frac(R)
\end{verbatim}

Adem\'as, el divisor asociado al $0$-\'esimo ideal de Fitting de $M_\nu$, $\Fitt_0(M_\nu)$, para todo $\nu\geq \nu_0$, no depende de $\nu$. Estudiando la descomposici\'on primaria de $\Fitt_0(M_\nu)$, vemos que la parte principal de $\Fitt_0(M_\nu)$ est\'a dada por el primo $\Ac=(cd^2 -bde + ae^2)$.

En este ejemplo, el ideal $\Fitt_0(M_\nu)$ se calcula como el ideal de menores de $4$ por $4$ (maximales) de la matriz anterior.

\begin{verbatim}

i17 : minors(4,o15_0)

              2 2                  2         2    2           2       2  
o17 = ideal (c d  - b*c*d*e + a*c*e , - b*c*d  + b d*e - a*b*e , a*c*d 
      -----------------------------------------------------------------
                   2 2     2         2      3       3      2        2
      - a*b*d*e + a e , c*d e - b*d*e  + a*e , - c*d  + b*d e -a*d*e )

o17 : Ideal of R
\end{verbatim}

Su descomposic\'on primaria se caalcula como sigue

\begin{verbatim}
i18 : primaryDecomposition oo

                2              2                 2   2   2
o18 = {ideal(c*d  - b*d*e + a*e ), ideal (c, a, e , d , b )}

o18 : List
\end{verbatim}

De ac\'a leemos que
\[
 \Fitt_0(M_\nu)=\pp\cap \qq,
\]
donde  $\Ac=(cd^2 -bde + ae^2)$ es la parte principal de $\Fitt_0(M_\nu)$, y $\qq=(c,a,e^2,d^2,b^2)$ es la componente soportada sobre el ideal $(a,b,c,d,e)$, es decir, $V(\qq)$ es un punto m\'ultiple sobre el origen.

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo} En este ejemplo veremos un caso apenas m\'as complicados, de tres polinomios homog\'eneos en tres variables, uno cuadr\'atico y dos lineal. La elecci\'on de los grados est\'a limimitada por el comando \texttt{primaryDecomposition}.

Sea $A=\QQ[a,b,c,d,e,f,g,h,x,y,z]$ y $R=A[x,y,z]$, $f_1=ax^2+bxy+cy^2$ y $f_2=dx+ey$.

\begin{verbatim}
i1 : load "eliminationMatrices.m2"

i2 : R=QQ[a,b,c,d,e,f,g,h,x,y,z];

i3 : f1=a*x^2+b*x*y+c*y^2+d*z^2;

i4 : f2=e*x+a*y+f*z;

i5 : f3=g*x+h*y+e*z;

i6 : vari = {x,y,z};

i7 : m =matrix {{f1,f2,f3}};

             1       3
o7 : Matrix R  <--- R
\end{verbatim}

Calculamos la matriz resultante de Macaulay \texttt{Mnu} como el morfismo 
\[
M_{\nu_0}:=\paren{R(-2)\oplus R(-1)\oplus R(-1)\to R}_{\nu_0}.
\]
para $\nu_0=2$.

\begin{verbatim}

i8 : K = koszul m

      1      3      3      1
o8 = R  <-- R  <-- R  <-- R
     0      1      2      3

o8 : ChainComplex

i9 : nu = (2-1)+(1-1)+(1-1)+1

o9 = 2
\end{verbatim}

Adem\'as, podemos verificar que el determinante del complejo $\k.(f_1,f_2f_3;R)_\nu$ no depende de $\nu\geq \nu_0$. Adem\'as agregamos el comando \texttt{time} para mostrar el poco tiempo de c\'omputo que estos c\'alculos insumen, y verificamos que la matriz \texttt{Mnu\_0} tiene rango m\'aximo. 

\begin{verbatim}
i10 : Mnu = mapsComplex (nu, vari, K)

o10 = {{2} | a e 0 0 g 0 0 |, {1} | -g |, 0}
       {2} | b a e 0 h g 0 |  {1} | -h |
       {2} | 0 f 0 e e 0 g |  {1} | -e |
       {2} | c 0 a 0 0 h 0 |  {1} | e  |
       {2} | 0 0 f a 0 e h |  {1} | a  |
       {2} | d 0 0 f 0 0 e |  {1} | f  |

o10 : List

i11 : rank Mnu_0 == rank target Mnu_0

o11 = true
\end{verbatim}

Esto dice que el complejo  $\k.(f_1,f_2;R)$ en grado $\nu=2$ se escribe
\[
 0\to R(-4)_\nu \nto{\delta_2^\nu}{\to} (R(-3)\oplus R(-3)\oplus R(-2))_\nu\nto{\delta_1^\nu}{\to} (R(-2)\oplus R(-1)\oplus R(-1))_\nu\nto{\delta_0^\nu}{\to} R_\nu \to 0,
\]
el se escribe, siendo $\nu=2$, identificando $R(-4)_\nu=R(-3)_\nu=0$, $R(-2)_\nu\cong A$, $R(-1)_\nu=A^3$ y $R_\nu\cong A^6$, con
\[
 0\to 0\to 0\oplus 0\oplus A \nto{
\begin{pmatrix} 
 -g \\
 -h \\
 -e \\
 e \\
 a \\
f
\end{pmatrix}
}{\lto} A\oplus A^3\oplus A^3\nto{
\begin{pmatrix} 
a & e & 0 & 0 & g & 0 & 0 \\
b & a & e & 0 & h & g & 0 \\
0 & f & 0 & e & e & 0 & g \\
c & 0 & a & 0 & 0 & h & 0 \\
0 & 0 & f & a & 0 & e & h \\
d & 0 & 0 & f & 0 & 0 & e
\end{pmatrix}}{\lto} A^6 \to 0.
\]

Obs\'ervese ahora que el c\'alculo del ideal de Fitting $\Fitt_0(\mbox{\texttt{Mnu\_0}})$ es casi instant\'aneo:
\begin{verbatim}
i12 : fitt= time(minors (rank Mnu_0, Mnu_0))
     -- used 0.003 seconds

                3 2         3       4           2        2 2   
o12 = ideal (- a e f + a*b*e f - c*e f - a*b*e*f g + 2c*e f g -
      ---------------------------------------------------------------
       2     2      3 2     2   2       2 2                      3   
      a d*f*g  - c*f g  + 2a e*f h - b*e f h + 2a*d*e*f*g*h + b*f g*h
      ---------------------------------------------------------------
           2   2      3 2   4 2    2   3        4    2         
      - d*e f*h  - a*f h , a e  - a b*e  + a*c*e  + a b*e*f*g -
      ---------------------------------------------------------------
            2       3   2        2 2     3             2     
      2a*c*e f*g + a d*g  + a*c*f g  - 2a e*f*h + a*b*e f*h -
      ---------------------------------------------------------------
        2               2           2 2    2 2 2     3 3        4  
      2a d*e*g*h - a*b*f g*h + a*d*e h  + a f h , - a e  + a*b*e  -
      ---------------------------------------------------------------
         5        2          3       2     2        2 2     2 2     
      c*e  - a*b*e f*g + 2c*e f*g - a d*e*g  - c*e*f g  + 2a e f*h -
      ---------------------------------------------------------------
         3            2           2         3 2        2 2     3 3  
      b*e f*h + 2a*d*e g*h + b*e*f g*h - d*e h  - a*e*f h , - a e  +
      ---------------------------------------------------------------
           4      5        2          3       2     2        2 2  
      a*b*e  - c*e  - a*b*e f*g + 2c*e f*g - a d*e*g  - c*e*f g  +
      ---------------------------------------------------------------
        2 2         3            2           2         3 2  
      2a e f*h - b*e f*h + 2a*d*e g*h + b*e*f g*h - d*e h  -
      ---------------------------------------------------------------
           2 2   3 2         3       4                      2       
      a*e*f h , a e h - a*b*e h + c*e h + a*b*e*f*g*h - 2c*e f*g*h +
      ---------------------------------------------------------------
       2   2       2 2      2     2      2   2             2  
      a d*g h + c*f g h - 2a e*f*h  + b*e f*h  - 2a*d*e*g*h  -
      ---------------------------------------------------------------
         2   2      2 3      2 3     3 2         3       4   
      b*f g*h  + d*e h  + a*f h , - a e g + a*b*e g - c*e g -
      ---------------------------------------------------------------
               2       2   2    2   3      2 3     2         
      a*b*e*f*g  + 2c*e f*g  - a d*g  - c*f g  + 2a e*f*g*h -
      ---------------------------------------------------------------
         2                2       2 2       2   2      2   2
      b*e f*g*h + 2a*d*e*g h + b*f g h - d*e g*h  - a*f g*h )

o12 : Ideal of R

\end{verbatim}

Su descomposici\'on primaria se calcula as\'i

\begin{verbatim}
i13 : primaryDecomposition fitt

              3 2        3      4                   2       2   2  
o13 = {ideal(a e  - a*b*e  + c*e  + a*b*e*f*g - 2c*e f*g + a d*g  +
      ---------------------------------------------------------------
         2 2     2           2                      2         2 2  
      c*f g  - 2a e*f*h + b*e f*h - 2a*d*e*g*h - b*f g*h + d*e h  +
      ---------------------------------------------------------------
         2 2                   3   4 2   6   4       2 2 2    3   2
      a*f h ), ideal(h, g, f, e , a e , a -2a b*e + a b e + 2a c*e )}

\end{verbatim}
y se observa que 
\[
 \Fitt_0(M_\nu)=\Ac\cap \qq,
\]
donde $\Ac=(a^3e^2-abe^3+ce^4+abefg-2ce^2fg+a^2dg^2+cf^2g^2-2a^2efh+be^2fh-2adegh-bf^2gh+de^2h^2+af^2h^2)$ es la parte principal de $\Fitt_0(M_\nu)$, y $\qq=(h,g,f,e^3,a^4e^2,a^6-2a^4be+a^2b^2e^2+2a^3ce^2)$ es la componente soportada sobre el ideal $(h, g, f, e, a)$, es decir, $V(\qq)$ es un plano m\'ultiple de codimensi\'on $5$.

Obs\'ervese que, como antes, $\Ac$ puede calcularse mediante el determinante del complejo  $\k.(f_1,f_2;R)$ en grado $\nu=2$, uasando el comando \texttt{detComplex (nu, vari, K)}.
\end{ejemplo}

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\renewcommand{\thesection}{A}
\setcounter{theorem}{0}

\section*{Ap\'endice}\label{apendice}

El ojectivo de esta secci\'on es complementar el contenido de las notas con dos temas fuertemente vinculados con la teor\'ia de eliminaci\'on, y cuyo inter\'es trasciende la aplicaci\'on que le daremos.

Estos dos temas con, primero el estudio de los m\'odulos de cohomolog\'ia local, y luego uno de los invariantes m\'as importantes de un m\'odulo graduado, la regularidad de Castelnuovo-Mumford. 

El primero, cohomolog\'ia local, aparece en nuestras aplicaciones al definir el ideal eliminante, ya que escribimos $\Ac=H_{R_+}^0(B)_0$, es decir, como el $0$-\'esimo m\'odulo de cohomolog\'ia local de $B$ en grado $0$.

El segundo, el estudio de la  regularidad de Castelnuovo-Mumford, aparece al querer conocer a partir de qu\'e grado el m\'odulo $H_{R_+}^0(B)_\nu$ se anula. El Lema \ref{lema:regB} da una respuesta a este problema en el caso en que $I$ est\'e dado por una sucesi\'on regular.


\subsection{Cohomolog\'ia local.}\label{sec:CohomLocal}

La cohomolog\'ia local fue desarrollada por Alexander Grothendieck en la d\'ecada de 1960, en parte, para responder a una conjetura de Pierre Samuel acerca de cu\'ando ciertos tipos de anillos conmutativos son de dominios de factorizaci\'on \'unica.

La cohomolog\'ia local se ha convertido en una herramienta indispensable y es objeto de mucha investigaci\'on. Mostraremos ac\'a algunas propiedades y aplicaciones de la cohomolog\'ia local, principalmente orientadas a la teor\'ia de regularidad.

Entre muchos otros atributos, cohomolog\'ia local permite responder a muchas preguntas aparentemente dif\'icil. Un buen ejemplo de este problema, donde cohomolog\'ia local ofrece una respuesta parcial, es cu\'antos generadores tiene un ideal a menos de radical.


\medskip

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\subsubsection{Como funtor derivado de $\Gamma_I(-)$}

Sea $R$ un anillo noetheriano, $I\subset R$ un ideal y $M$ un $R$-m\'odulo. Se define
\[
 \Gamma_I(M):=\{m\in M: \textnormal{ existe } n\in \NN \textnormal{ tal que } I^nm=0\}
\]

\begin{observacion}
 Obs\'ervese que $\Hom_R(R/I,M)=\{m\in M:Im=0\}$ para todo ideal $I$ de $R$, se obtiene el isomorfismo natural
\[
 \Gamma_I(M)\cong \col \Hom_R(R/I^n,M).
\]
\end{observacion}

Luego, $M\mapsto \Gamma_I(M)$ define un funtor covariante $\Gamma_I(-)$.

\begin{lema}
 $\Gamma_I(-)$ es un funtor aditivo exacto a izquierda.
\end{lema}
\begin{proof}
 cf. \cite[Sec. 2]{Hun} o \cite[Prop. 3.5.1]{BH} en el caso $I=\mmm$.
\end{proof}

\begin{definicion}\label{defLC}
 Los funtores de cohomolog\'ia local $H^i_I(-)$ son los funtores derivados a derecha de $\Gamma_I(-)$. Es decir, si $\Ic^\bullet$ es una resoluci\'on injectiva del $R$-m\'odulo $M$, entonces $H^i_I(M)\cong H^i(\Gamma_I(\Ic^\bullet))$ para todo $i\geq 0$. 
\end{definicion}

\begin{observacion} Sea $R$ un anillo noetheriano.
\begin{enumerate}
 \item Sea $M$ un $R$-m\'odulo, entonces $H^0_I(M)\cong \Gamma_I(M)$ y $H^i_I(M)=0$ para todo $i<0$;
 \item si $J$ es un $R$-m\'odulo injectivo, entonces $H^i_I(J)=0$ para todo $i>0$;
 \item para todo $R$-m\'odulo $M$ y todo $i\geq0$ se tiene
\[
 H^i_I(M)\cong \col \ext^i_R(R/I^n,M);
\]

\end{enumerate}
\end{observacion}

Hay una inyecci\'on natural 
\[
\varphi: \ext^0_R(R/I^n,M) = \hom(R/I^n,M) \to M
\]
dada por $\varphi(f)= f(1)$, tal que $\im(\varphi)=\{m \in M : I^nm = 0\}=0:_MI^n$.

Aplicando el funtor l\'imte directo $\col \ext^0_R(R/I^n, M) = \col \hom(R/I^n,M)$
que coincide con la uni\'on $\cup_n{m\in M : I^nm=0}$ que a su vez coincide con $\Gamma_I(M)$ por definici\'on.

El funtor $\ext^i_R(R/I^,-)$ es el $i$-\'esimo derivado del funtor $\hom_R(R/I^n,-)$. Tomando col\'imites filtrantes, que conmutan con tomar funtores derivados por ser el col\'imite filtrante un funtor exacto (cf.\ \cite[Prop.\ A6.4]{Eis95}) se obtiene la equivalencia deseada.

\begin{observacion} Sea $R$ un anillo noetheriano.
\begin{enumerate}
 \item como $H^\bullet_I(-)$ es un $\delta$-funtor, dada una sucesi\'on exacta corta de $R$-m\'odulos $0 \to M'\to M\to M''\to 0$, da una sucesi\'on  exacta larga de cohomolog\'ia
\[
 0\to \Gamma_I(M')\to \Gamma_I(M)\to \Gamma_I(M'')\to H^1_I(M')\to \cdots
\]
\item adem\'as, si $I$ y $J$ son ideales de $A$, como $\{I^n+J^n\}$ es cofinal con $\{(I+J)^n\}$ y $\{I^n\cap J^n\}$ es cofinal con $\{(I\cap J)^n\}$, y  $\Gamma_I(\Gamma_J(M))= \Gamma_J(\Gamma_I(M))= \Gamma_{I+J}(M)$, de la  sucesi\'on exacta corta 
\[
 0\to R/ (I^n\cap J^n)\to R/I^n \oplus R/J^n\to R/(I^n+J^n)\to 0,
\]
aplicando $\Hom_R(-, M)$, se tiene la sucesi\'on exacta larga de Mayer-Vietoris
\[
 0\to \Gamma_{I+J}(M)\to \Gamma_I(M)\oplus\Gamma_J(M)\to \Gamma_{I\cap J}(M)\to H^1_{I+J}(M)\to \cdots.
\]
\end{enumerate}
\end{observacion}
\medskip

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\subsubsection{Como la homolog\'ia del complejo de \v Cech}

Sea $S$ un anillo noetheriano, $R=S[x_1,\hdots,x_n]$, $\mmm:=(x_1,\hdots,x_n)$ el \'unico ideal maximal graduado y $M$ un $R$-m\'odulo. El morfismo de localizaci\'on en $x_i$ define un complejo

\[
\Cpm(M) : 0\to M \to \oplus_i M_{x_i} \to \oplus_{i,j} M_{x_ix_j} \to \cdots
\]

Observe que $\ker(M \to \oplus_i M_{x_i})= \Gamma_\mmm(M)$. Por lo tanto, $H^0_\mmm(M)=H^0(\Cpm)$

\begin{proposicion} Para todo $R$-m\'odulo $M$ y para todo $i\geq 0$, 
 $$H^i_\mmm(M)=H^i(\Cpm).$$

\end{proposicion}

Si $R$ no es noetheriano, el complejo de \v Cech reci\'en definido no siempre calcula los funtores derivados de $\Gamma_I (-)$ en la categor\'ia de $R$-m\'odulos. Ni siquiera si $I$ es finitamente generado. Por esta y otras razones, la definici\'on general de cohomolog\'ia local probablemente debe hacerse en una categor\'ia m\'as amplia (haces sobre $\Spec (R)$, cf. \cite{HartLC67}).
\medskip


\begin{ejemplo}
Sea $p$ un n\'umero primo. Calculamos $H_\pp(\ZZ)$, donde $\pp$ es el ideal generado por $p$. Dado que $\ZZ$ es un dominio de ideales principales, todos los m\'odulos divisibles son inyectivos, y entonces una resoluci\'on inyectiva de $\ZZ$ est\'a dada por $0 \to \ZZ \to \QQ \to \QQ/\ZZ \to 0$.

El funtor $\Gamma_\pp(-)$ calcula la $p^n$-torsi\'on para todo $n$. Aplicando este funtor a la resoluci\'on inyectiva, se obtiene que hay un \'unico t\'ermino que no se anula, que vivie en lugar cohomol\'ogico $1$, a saber  $\Gamma_\pp(\QQ/\ZZ)$. Por lo tanto todas las cohomolog\'ias locales se anulan, excepto por $H^1_\pp(\ZZ)$, que es isomorfa a la $p$-torsi\'on en $\QQ/\ZZ$. Por la propiedad de factorizaci\'on \'unica, este m\'odulo puede ser identificado con $\ZZ [p^{-1}]/\ZZ$, donde $\ZZ [p^{-1}]$ es el anillo de los n\'umeros racionales cuyos denominadores son una potencia de $p$.
\end{ejemplo}

\begin{ejemplo}
 Un ejemplo muy similar que sea m\'as en la direcci\'on de estas notas es el c\'alculo de los $H_{R_+}^i(M)$, donde $R = k [X]$, $k$ es un cuerpo, ${R_+} = (X)$, y $M$ es un $R$-m\'odulo finitamente generado.

Por el teorema de estructura para dominio de ideales principales, $M$ es suma directa de m\'odulos c\'iclicos. Como los funtores de cohomolog\'ia local conmutan con sumas directas, que basta con calcular la cohomolog\'ia local de $R / (g)$ para alg\'un $g \in R$.

En primer lugar, calcular la cohomolog\'ia local de $R$ sobre s\'i mismo, es decir, cuando $g = 0$.
Como en el ejempoplo anterior, como $R$ es un dominio de ideales principales, todo m\'odulos divisible es inyectivo. 

La c\'apsula inyectiva de $R$ es su cuerpo de fracciones $K = k(X)$, y como $K / R$ es divisible, resulta inyectivo. 

As\'i una resoluci\'on inyectiva est\'a dada por
\[
 0 \to R \to K \to K/R \to 0.
\]

Ahora aplicamos $\Gamma_{R_+}(-)$ y calculamos la cohomolog\'ia local como la cohomolog\'ia del complejo
\[
 0 \to \Gamma_{R_+} (K) \to \Gamma_{R_+} (K / R) \to 0.
\]

Se desprende que $H_{R_+}^j (R) = 0$ para todo $j\neq 1$ y se puede identificar $\Gamma_{R_+} (K / R) \cong H^1_{R_+} (R)$. 

Como antes, la propiedad de factorizaci\'on \'unica muestra que
$H_{R_+} (R) \cong R [X^{-1}] / R = k [X, X^{-1}] / k [X]$.

Este m\'odulo tiene una $k$-base formada por elementos de la forma $\frac{1}{X^n}$, con $n \geq 1$. La multiplicaci\'on por $X$ en act\'ua de forma usual, $X\cdot\frac{1}{X^n}=\frac{1}{X^{n-1}}$ si $n>1$, y  al final, cuando $n=1$, $X\cdot\frac{1}{X}= 0$.

Para calcular $H_{R_+}^i (R / (g))$ cuando $g \neq 0$, se utiliza la secuencia exacta corta,
\[
0 \to R \nto{\times g}{\lto} R \to R / (g) \to 0.
\]
Esta sucesi\'on exacta corta induce una larga sucesi\'on exacta en cohomolog\'ia, con las flechas de $H_{R_+}^i (R)$ a $H_{R_+}^i (R)$ dadas por la multiplicaci\'on por $g$. Dado que s\'olo hay un s\'olo m\'odulo de cohomolog\'ia local no nulo de $R$, se obtiene una sucesi\'on exacta de cuatro t\'erminos:
\[
0 \to H_{R_+}^0 (R / (g)) \to H_{R_+}^1 (R) \nto{\times g}{\lto} H_{R_+}^1 (R) \to H_{R_+}^1 (R / (g)) \to 0.
\]
Como cada elemento de $H_{R_+}^1 (R)$ es anulado por una potencia de ${R_+}$, si $h$ es un elemento coprimo con $X$, entonces $h$ debe actuar como una unidad en $H_{R_+}^1 (R)$. Esto \'ultimo se debe a que existen $a, b\in R$ tales que $ah = 1 - bX$, y $1 - bX$ act\'ua como una unidad en este m\'odulo. Escribiendo $g = X^n h$ donde $\gcd(h, X) = 1$, se deduce que $H_{R_+}^0(R / (g))$ es el n\'ucleo de la multiplicaci\'on por $X^n$ en $H_{R_+}^1 (R)$ y $H_{R_+}^1 (R / (g))$ es el con\'ucleo de la multiplicaci\'on por $X^n$. El conjunto de elementos en $H_{R_+}^1 (R)$ anulados por $X^n$ es generado por $\frac{1}{X^n}$ y por lo tanto es isomorfo a $R / (X^n)$. Como $H_{R_+}^1 (R) = R [X^{-1}] / R$, este m\'odulo es divisible por $R$, y por lo tanto el con\'ucleo es $0$.

Resumimos los resultados: si $g = 0$, entonces $H_{R_+}^i (R) = 0$ para todo $i \neq 1$, y $H_{R_+}^1 (R) \cong R [X^{-1}] / R=\frac{1}{X}k[X^{-1}]$. Si $g \neq 0$, escribimos $g = X^nh$, donde $X$ no divide $h$, se tiene que $H_{R_+}^i (R / (g)) = 0$ para todo $i \neq 0$ y $H_{R_+}^0 (R / (g)) \cong R / (X^n)$.
\end{ejemplo}

Como corolario de este ejemplo se desprenden (por inducci\'on) dos resultados: el primero correspondiente al caso $g=0$

\begin{corolario}\label{cor:lcR} Si $R=A[X_1,\hdots,X_n]$ es un anillo de polinomios en $n$ variables sobre un dominio $A$ (esta hip\'otesis puede ser relajada), y sea $R_+:=(X_1,\hdots,X_n)$ el ideal maximal irrelevante de $R$. Entonces
\begin{center}
$H_{R_+}^i (R) = 0$ para todo $i \neq n$, y $H_{R_+}^n (R) \cong \frac{1}{X_1\cdots X_n}A[X_1^{-1},\hdots,X_n^{-1}]$.
\end{center}
\end{corolario}

El segundo corolario corresponde al caso $g\neq 0$.

\begin{corolario}\label{cor:lcB} Si $R=A[X_1,\hdots,X_n]$ es un anillo de polinomios en $n$ variables sobre un dominio $A$ (esta hip\'otesis puede ser relajada), sea $R_+:=(X_1,\hdots,X_n)$ el ideal maximal irrelevante de $R$ y $f_1,\hdots,f_n$ $n$ polinomios homog\'eneos de $R$, con $\deg(f_i)=d_i$, que forman una sucesi\'on regular en $R$. Escribamos $B:=R/(f_1,\hdots,f_n)$. Entonces
\begin{center}
$H_{R_+}^i (B) = 0$ para todo $i \neq 0$, y $H_{R_+}^0 (B) \cong R/(X_1^{d_1},\hdots,X_n^{d_n})$.
\end{center}
\end{corolario}


A continuaci\'on enunciamos una propiedad fundamental de la cohomolog\'ia local que nos permite cambiar de bases.

\begin{proposicion}\label{bcLocCoho}
 Sea $R$ un anillo noetheriano, $I$ un ideal y $M$ un $R$-m\'odulo. Sea $\phi:R\to R'$ un morfismo de anillos y $M'$ un $R'$-m\'odulo. Sea $I'$ el ideal $I\cdot R'$ en $R'$.
\begin{enumerate}
 \item Si $\phi$ es playa entonces $H^j_I(M)\otimes_R R' \cong H^j_{I'}(M\otimes_R R')$. En particular, la cohomolog\'ia local conmuta con localizaci\'on y completaci\'on.
 \item \label{bcLocCoho2}$H^j_I(N) \cong H^j_{I'}(N)$, donde la primera cohomolog\'ia local es calculada sobre $R$ y la segunda sobre $R'$.
\end{enumerate}
\end{proposicion}
\begin{proof}
Elija generadores $x_1,\hdots, x_n$ de $I$. El primer punto se sigue del hecho que $\Cp(\X;M)\otimes_R R' \cong \Cp(\X;M\otimes_R R') $, y como $R'$ es playo sobre $R$ la cohomolog\'ia conmuta con $\otimes$.

El segundo punto es consecuencia de los isomorfismos $\Cp(\X;N) \cong \Cp(\X;R)\otimes_R N \cong \Cp(\X;R)\otimes_R R' \otimes_{R'} N \cong \Cp(\phi(\X);R')\otimes_R N \cong \Cp(\phi(\X);N)$.
\end{proof}

\'Esto dice que calcular la cohomolog\'ia local sobre el anillo de base coincide con hacerlo sobre la localizaci\'on. 

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\renewcommand{\thesection}{B}
\setcounter{theorem}{0}

\subsection{Regularidad de Castelnuovo-Mumford}\label{sec:RegCM}

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La regularidad de Castelnuovo-Mumford es un invariante fundamental en \'algebra conmutativa y en  geometr\'ia algebraica. Es una especie de cota universal para invariantes importantes de \'algebras graduadas como por ejemplo para el m\'aximo grado de las syzygies de un ideal y para el m\'aximo grado de no-nulidad de los m\'odulos de cohomolog\'ia local.

Intuitivamente, mide la complejidad de un m\'odulo o de un haz: la regularidad de un m\'odulo aproxima el mayor grado de un generador minimal y la regularidad de un haz estima el menor twist para el cual el haz est\'a generado por sus secciones globales.  Este invariante fue usado para medir la complejidad de problemas computacionales en geometr\'ia algebraica y en \'algebra conmutativa (ver por ejemplo \cite{EG84} o \cite{BaMum}).

Se ha intentado encontrar cotas superiores para la regularidad de Castelnuovo-Mumford en termino de invariantes m\'as simples como por ejemplo lo son la dimensi\'on y la multiplicity. De todas formas, la regularidad de Castelnuovo-Mumford no puede ser acotada en t\'ermino de ninguno de \'estos dos, lo cual hace su c\'alculo aun m\'as interesante y no trivial en muchos casos.

A pesar de que la definici\'on original, dada por Mumford en 1966 en \cite{MumRed} fue enunciada en t\'ermino de anulaci\'on de la cohomolog\'ia de haces, daremos una definici\'on puramente algebraica de esta regularidad, en t\'erminos de m\'odulos  cohomolog\'ia local, dada originalmente por Ooishi  en 1982 \cite{Ooi82}. Cabe mencionar que las dos definiciones puramente algebraicas m\'as populares de regularidad de Castelnuovo-Mumford son, una en t\'ermino de n\'umeros de Betti introducida por Eisenbud y Goto en 1984 en \cite{EG84} y la otra usando cohomolog\'ia local (ver def.\ en \ref{defLC}), que es la que adoptaremos.

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Hay dos resultados esenciales que motivan definir la regularidad de Castelnuovo-Mumford en t\'erminos de cohomolog\'ia local: el teorema de Grothendieck que establece que $H^i_\mmm(M)=0$ para $i > \dim(M)$ y $i < \depth (M)$, as\'i como la no nulidad de estos m\'odulos para $i = \dim(M)$ y $i = \depth (M)$; y el teorema de anulaci\'on de Serre que determina la anulaci\'on de las piezas graduadas $H^i_\mmm (M)_\mu$ para todo $i$, y todo $\mu\gg 0$. La regularidad de Castelnuovo-Mumford es una cota inferior para este grado de anulaci\'on. 

Si $H^i_\mmm (M) \neq 0$, se define
\begin{equation}\label{def:ai}
 a_i(M) := \sup\{\mu\ |\ H^i_\mmm (M)_\mu \neq 0\},
\end{equation}
en caso contrario, $a_i(M) := -\infty$. Una notaci\'on tambi\'en frecuente en la literatura es la de ``end", en nuestro caso, escribir\'iamos $a_i(M):=\eend(H^i_\mmm(M))$. 

\begin{definicion}\label{def:reg} (Regularidad Castelnuovo-Mumford) Sea $M$ un R-m\'odulo graduado y sea $\ell\in \NN_0$. Se define la regularidad de Castelnuovo-Mumford de $M$ a nivel $\ell$ como
\[
 \reg^\ell(M) := \sup \{  a_i(M)  + i: i \geq \ell\}.
\]

La regularidad de Castelnuovo-Mumford de $M$ se define como
\[
\reg(M) := \reg^0(M).
\]
\end{definicion}

Obs\'ervese que como $\cd_\mmm (M) <\infty$, tenemos
\[
 \reg^\ell(M) \in \ZZ \cup \{-\infty\}.
\]

El m\'aximo sobre los $i$ positivos es tambi\'en un invariante interesante: 
\[
 \greg(M) := \sup_{i>0}\{a_i(M) + i\} = \reg(M/H^0_\mmm (M)).
\]

Ver Bayer y Mumford \cite{BaMum} o \cite{MumRed}.


A continuaci\'on repasamos algunos hechos simples sobre la regularidad.
\medskip

\begin{lema}\label{lema:propsReg}
Sea $M$ un R-m\'odulo graduado finitamente generado $\ell,k\in \NN_0$. Luego, se tienen las siguientes afirmaciones:

\begin{enumerate}
\item Si $k \geq l$ entonces $\reg^k (M) \leq \reg^\ell (M)$.
\item Para todo $n \in \ZZ$ se tiene $\reg^\ell (M (n)) = \reg^\ell (M) - n$.
\item $\reg (M) = \max \{\eend (\Gamma_\mmm (M)), \reg^1 (M)\}$.
\item $\reg (M / \Gamma_\mmm (M)) = \reg^1 (M / \Gamma_\mmm (M)) = \reg^1 (M) \leq \reg (M)$.
\item $M = \Gamma_\mmm (M)$ si y s\'olo si $\reg^1 (M) = -\infty$.
\item $M = 0$ si y s\'olo si $\reg (M) =-\infty$.
\end{enumerate}
\end{lema}

Podemos dar una caracterizaci\'on alternativas de Regularidad en nivel $\ell$, sin necesitar pasar por la definici\'on de los m\'odulos $a_i(M)$:

Para todo $\ell \in \NN_0$ y que todo R-m\'odulo graduado finitamente generado tiene:
\begin{equation}
 \reg^\ell(M) = \inf\{r \in \ZZ : H^i_\mmm(M)_{r+i-\ell}=0,\forall i \geq \ell\}.
\end{equation}

A continuaci\'on damos dos resultados que son los que motivaron este ap\'endice sobre regularidad, por su aplicaci\'on a estas notas sobre resultantes.

\begin{lema}\label{lema:regR} Si $R=A[X_1,\hdots,X_n]$ es un anillo de polinomios en $n$ variables sobre un dominio $A$ (esta hip\'otesis puede ser relajada), y sea $R_+:=(X_1,\hdots,X_n)$ el ideal maximal irrelevante de $R$. Entonces
\[
 \reg(R)=0.
\]
Adem\'as, $\reg(R)=\reg^\ell(R)$ para todo $\ell\leq n$.
\end{lema}
\begin{proof}
Por el Corolario \ref{cor:lcR} se tiene que $H_{R_+}^i (R) = 0$ para todo $i \neq n$, y $H_{R_+}^n (R) \cong \frac{1}{X_1\cdots X_n}A[X_1^{-1},\hdots,X_n^{-1}]$. Aplicando la definici\'on de $a_i(R)$ dada en \eqref{def:ai}
\[
 a_n(R) := \sup\{\mu\ |\ H^n_\mmm (R)_\mu \neq 0\},\mbox{ y } a_i(R) = -\infty \mbox{ si } i\neq n.
\]

Ahora, como $H^n_\mmm (R)_\mu=\frac{1}{X_1\cdots X_n}A[X_1^{-1},\hdots,X_n^{-1}]_\mu$, tenemos $H^n_\mmm (R)_{-n}\cong \frac{1}{X_1\cdots X_n}A\neq 0$ y $H^n_\mmm (R)_\mu=0$ si $\mu\geq -n+1$. Luego, $ a_n(R)=-n$.

Por la Definici\'on \ref{def:reg} se tiene que $\reg^\ell(R) := \sup \{  a_i(R)  + i: i \geq \ell\}$, de lo que se deduce que
para todo $\ell\leq n$, 
\begin{center}
 $\reg(R)=\reg^\ell(R)=\reg^n(R)=  a_n(R)  + n= -n+n =0$.\qedhere
\end{center}
\end{proof}


El segundo corolario corresponde al caso $g\neq 0$.

\begin{lema}\label{lema:regB} Si $R=A[X_1,\hdots,X_n]$ es un anillo de polinomios en $n$ variables sobre un dominio $A$ (esta hip\'otesis puede ser relajada), sea $R_+:=(X_1,\hdots,X_n)$ el ideal maximal irrelevante de $R$ y $f_1,\hdots,f_n$ $n$ polinomios homog\'eneos de $R$, con $\deg(f_i)=d_i$, que forman una sucesi\'on regular en $R$. Escribamos $B:=R/(f_1,\hdots,f_n)$. Entonces
\[
 \reg(B)=\sum_i(d_i-1).
\]
Adem\'as, $\reg^\ell(R)=-\infty$ para todo $\ell\geq 1$.
\end{lema}
\begin{proof}
Por el Corolario \ref{cor:lcB} se tiene que $H_{R_+}^i (B) = 0$ para todo $i \neq 0$, y $H_{R_+}^0 (B) \cong R/(X_1^{d_1},\hdots,X_n^{d_n})$. Aplicando la definici\'on de $a_i(R)$ dada en \eqref{def:ai}
\[
 a_0(R) := \sup\{\mu\ |\ H^0_\mmm (R)_\mu \neq 0\},\mbox{ y } a_i(R) = -\infty \mbox{ si } i\neq 0.
\]

Sea $\mu_0:=\sum_i(d_i-1)$. Como $H_{R_+}^0 (B):\mu \cong R/(X_1^{d_1},\hdots,X_n^{d_n})_\mu$, tenemos que $H^0_\mmm (B)_{\mu_0}$ es isomorfo al $A$-m\'odulo $X_1^{d_1-1}\cdots X_n^{d_n-1}A \neq 0$ y $H^0_\mmm (B)_\mu=0$ si $\mu\geq \mu_0$. Luego, $ a_0(B)=\mu_0$.

Por la Definici\'on \ref{def:reg} se tiene que $\reg^\ell(B) -\infty$ si $\ell \geq 1$, y que  
\begin{center}
 $\reg(B)=\reg^0(B)=  a_0(B)  + 0= \mu_0$.\qedhere
\end{center}
\end{proof}

Este resultado demuestra que $H^0_\mmm (B)_{\nu}=0$ si $\nu\geq \nu_0:=\sum_i(d_i-1)+1$, y que adem\'as, este valor es \'optimo.

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\subsection*{Ejercicios}
\begin{enumerate}
 \item Probar que $\Gamma_I(-)$ es un funtor aditivo exacto a izquierda

 \item Probar el Corolario \ref{cor:lcR}.
 
 \item Probar el Corolario \ref{cor:lcB}.

\item Extender el Corolario \ref{cor:lcB} al caso de $r<n$ polinomios homog\'eneos de $R=A[X_1,\hdots,X_n]$, con $\deg(f_i)=d_i$, que forman una sucesi\'on regular en $R$.

 \item Probar el Lema \ref{lema:propsReg}.

\end{enumerate}


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\def\cprime{$'$}
\begin{thebibliography}{Mum66}

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