Álgebras de Hopf punteadas sobre grupos no abelianos

por Fernando Amado Fantino

Presentado ante la Facultad de Matemática, Astronomía y Física como parte de los requerimientos para la obtención del grado de Doctor en Matemática de la

Universidad Nacional de Córdoba

Marzo de 2008 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}FaMAF-UNC 2008

Director: Dr. Nicolás Andruskiewitsch para Adriana

Índice general

Resumen i

Abstract iii

Agradecimientos v

Introducción vii

1. Preliminares 1 1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Espacios vectoriales trenzados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Módulos de Yetter-Drinfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Álgebras de Hopf trenzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1. Categorías trenzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.2. Álgebras de Hopf trenzadas graduadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.3. Biproductos o bosonizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5. Álgebras de Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6. Método del levante para álgebras de Hopf punteadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Módulos de Yetter-Drinfeld sobre un grupo finito 17 2.1. Racks, quandles y conjuntos cruzados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Subespacios abelianos de un espacio vectorial trenzado . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Criterios de dimensión infinita mediante subracks abelianos . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4. Criterios de dimensión infinita mediante subracks no abelianos . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.1. Subracks de tipo D_{p} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.2. Subracks de tipo D_{3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.3. Subracks de tipo 𝔒 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3. Corradical: grupos simétricos 43

3.1. Notación y generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2. Usando técnicas basadas en subracks abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.1. Álgebras de Nichols correspondientes a ciclos de longitud par . . . . . . . . . 45 3.2.2. Álgebras de Nichols de órbitas con n transposiciones . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.3. Álgebras de Nichols correspondientes a permutaciones pares puras . . . . . . 60

3.3. Usando técnicas basadas en subracks no abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3.1. Criterios D_{p} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3.2. Criterio 𝔒 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4. Corradical: grupos alternados y diedrales 81 4.1. Grupos absolutamente reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2. Corradical: ℂ𝔸_{m} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.1. Caso 𝔸_{3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.2.2. Caso 𝔸_{4} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.2.3. Caso 𝔸_{5} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2.4. Caso 𝔸_{6} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2.5. Caso 𝔸_{7} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2.6. Caso 𝔸_{8} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.2.7. Caso 𝔸_{m}, m ≥ 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.3. Corradical: ℂ𝔻_{m} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5. Corradical: grupos de Mathieu simples 97

5.1. Usando técnicas basadas en subracks abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.1.1. El grupo M_{11} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.1.2. El grupo M_{12} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.1.3. El grupo M_{22} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.1.4. El grupo M_{23} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.1.5. El grupo M_{24} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.2. Usando técnicas basadas en subracks no abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6. Álgebras de Nichols sobre álgebras de Hopf semisimples 133

Resumen

Sea G un grupo finito no abeliano. Esta tesis trata acerca del problema de clasificación de las álgebras de Hopf punteadas complejas de dimensión finita H con grupo de elementos de tipo grupo G(H) isomorfo a G. Los principales resultados aquí presentados forman parte de varios trabajos: [AF1], [AF2], [F], [AF3] y [AFZ], estando los dos primeros ya publicados.

En esta tesis, se analizan criterios que permiten dar condiciones suficientes para que el álgebra de Nichols 𝔅(O, ρ) tenga dimensión infinita estudiando subracks de O, donde O es una clase de conjugación de G y ρ es una representación irreducible de G^{σ}, el centralizador de un elemento fijo σ en O. Más precisamente, se estudian criterios de dimensión infinita mediante subracks abelianos y se desarrollan criterios de dimensión infinita mediante subracks no abelianos.

Se utilizan estos criterios para cuando G pertenece a una de las siguientes familias de grupos no abelianos: simétricos, alternados, diedrales y de Mathieu simples.

Cuando G es un grupo simétrico, se prueba que si O es una clase de conjugación pura, entonces o bien el álgebra de Nichols 𝔅(O, ρ) es de dimensión infinita, o bien la trenza del módulo Yetter-Drinfeld M(O, ρ) es negativa. Además, si σ ∈ 𝕊_{m} de tipo (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, …, m^{n_{m}}), O la clase de conjugación de σ y ρ ∈ 𝕊̂_{m}^{σ} son tales que dim 𝔅(O, ρ) < ∞, entonces q_{σσ} = −1 y:

(i) n_{j} = 0, para todo j par, con j ≠ 2^{k}, k ≥ 1; (ii) n_{2^{k}} = 0, 1 ó 2, para todo k ≥ 2; (iii) n_{2} ≤ 5.

También se determinan otras restricciones:

(a) si existe j ≥ 3 tal que n_{j} ≥ 1, entonces n_{1} ≥ 1 y n_{2} = 0, ó n_{1} = 0 y n_{2} = 1 ó 2.

(b) si n_{j} = 0, 3 ≤ j ≤ m, entonces el tipo de σ es (1^{n_{1}}, 2^{l}), con ρ_{2} = χ_{(l)} ⊗ ϵ ó χ_{(l)} ⊗ sgn, l = 1, 3, 5.

(c) si σ es de tipo (2^{n_{2}}, 4^{n_{4}}, …, (2^{k})^{n_{2^{k}}}), entonces dim ρ = 1.

(d) si σ es de tipo (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, 8^{n_{8}}), entonces n_{8} = 0.

Para el caso en que G es un grupo alternado se obtiene que, salvo isomorfismos, las únicas álgebras de Hopf punteadas complejas de dimensión finita con grupo de elementos de tipo grupo isomorfo a 𝔸_{5} ó 𝔸_{7} son las álgebras de grupo ℂ𝔸_{5} ó ℂ𝔸_{7}, respectivamente. Además, se muestra que si σ ∈ 𝔸_{m}, salvo el caso σ = (1 2 3) ó (1 3 2) en 𝔸_{4}, satisface que dim 𝔅(O_{σ}, ρ) < ∞, entonces q_{σσ} = −1, y por lo tanto σ debe tener orden par. También se obtiene, para el caso de los grupos alternados 𝔸_{4}, 𝔸_{6} y 𝔸_{8}, una lista de pares (O, ρ) que dan lugar a M(O, ρ) de trenza negativa. Por otro lado, se estudian álgebras de Hopf punteadas sobre los grupos diedrales.

Cuando G es un grupo de Mathieu simple se prueba que o bien el álgebra de Nichols 𝔅(O, ρ) es de dimensión infinita, o bien la trenza del módulo de Yetter-Drinfeld M(O, ρ) es negativa. Como consecuencia de estos resultados se obtiene que si G ≃ M_{22} ó M_{24}, entonces el álgebra de grupo de G es (salvo isomorfismo) la única álgebra de Hopf punteada compleja de dimensión finita con grupo de elementos de tipo grupo isomorfo a G. Para estos cinco grupos se determina que, salvo 7 de 1137 pares (O, ρ), dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

Finalmente, se dan algunas consideraciones acerca de álgebras de Nichols sobre álgebras de Hopf semisimples: se muestra que si G(H) ≃ 𝔸_{5}, 𝔸_{7}, M_{22} ó M_{24}, entonces cualquier álgebra de Hopf punteada compleja de dimensión finita con corradical isomorfo a (ℂG)^{J}, con J un torcimiento, es necesariamente isomorfa a (ℂG)^{J}.

Palabras claves: álgebras de Hopf punteadas, álgebras de Nichols, racks.

2000 Mathematics Subject Classification: 16W30, 17B37

Abstract

Let G be a non-abelian finite group. This thesis is about the classification problem of finitedimensional complex pointed Hopf algebras H with group of group-like elements G(H) isomorphic to G. The main results that we present here are based on several articles: [AF1], [AF2], [F], [AF3] and [AFZ], being the two first already published.

In this thesis, we analyze criteria that allow to give sufficient conditions in order that the Nichols algebra 𝔅(O, ρ) is infinite-dimensional studying subracks of O, where O is a conjugacy class of G and ρ is an irreducible representation of G^{σ}, the centralizer of a fixed element σ in O. Indeed, we study infinite-dimensional criteria by means of abelian subracks and we develop infinite-dimensional criteria by means of non-abelian subracks.

These criteria are used in the cases when G belongs to one of the following families of non-abelian groups: symmetric, alternating, dihedral and Mathieu simple groups.

When G is a symmetric group, we prove that if O is an unmixed conjugacy class, then either the Nichols algebra 𝔅(O, ρ) is infinite-dimensional, or the braiding of the Yetter-Drinfeld module M(O, ρ) is negative. Furthermore, if σ ∈ 𝕊_{m} of type (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, …, m^{n_{m}}), O the conjugacy class of σ and ρ ∈ 𝕊̂_{m}^{σ} satisfy dim 𝔅(O, ρ) < ∞, then q_{σσ} = −1 and:

(i) n_{j} = 0, for all j even, with j ≠ 2^{k}, k ≥ 1; (ii) n_{2^{k}} = 0, 1 or 2, for all k ≥ 2; (iii) n_{2} ≤ 5.

Also, we have other restrictions:

(a) if there exists j ≥ 3 such that n_{j} ≥ 1, then n_{1} ≥ 1 and n_{2} = 0, or n_{1} = 0 and n_{2} = 1 or 2.

(b) if n_{j} = 0, 3 ≤ j ≤ m, then the type of σ is (1^{n_{1}}, 2^{l}), with ρ_{2} = χ_{(l)} ⊗ ϵ or χ_{(l)} ⊗ sgn, l = 1, 3, 5.

(c) if σ is of type (2^{n_{2}}, 4^{n_{4}}, …, (2^{k})^{n_{2^{k}}}), then dim ρ = 1.

(d) if σ is of type (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, 8^{n_{8}}), then n_{8} = 0.

For the case when G is an alternating group, we obtain that, up to isomorphisms, the only finite-dimensional complex pointed Hopf algebras with group-likes isomorphic to 𝔸_{5} or 𝔸_{7} are the group algebras ℂ𝔸_{5} or ℂ𝔸_{7}, respectively. Also, we show that if σ ∈ 𝔸_{m}, except the case σ = (1 2 3) or (1 3 2) in 𝔸_{4}, satisfies dim 𝔅(O_{σ}, ρ) < ∞, then q_{σσ} = −1, and σ has even order. In addition, we have, for the cases of the alternating groups 𝔸_{4}, 𝔸_{6} and 𝔸_{8}, a list of pairs (O, ρ) which give rise to M(O, ρ) of negative braiding. On the other hand, we study pointed Hopf algebras over dihedral groups.

When G is a Mathieu simple group we prove that either the Nichols algebra 𝔅(O, ρ) is infinitedimensional, or the braiding of the Yetter-Drinfeld module M(O, ρ) is negative. As a consequence of our research, we have that if G ≃ M_{22} or M_{24}, then the group algebra of G is (up to isomorphisms) the only finite-dimensional complex pointed Hopf algebra with group-likes isomorphic to G. For these five groups we determine that, up to 7 of 1137 pairs (O, ρ), dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

Finally, we give some considerations about the Nichols algebras over semisimple Hopf algebras: we show that if G(H) ≃ 𝔸_{5}, 𝔸_{7}, M_{22} or M_{24}, then any finite-dimensional complex pointed Hopf algebra with coradical isomorphic to (ℂG)^{J}, with J a twist, is necessarily isomorphic to (ℂG)^{J}.

Key words: pointed Hopf algebras, Nichols algebras, racks.

2000 Mathematics Subject Classification: 16W30, 17B37

Agradecimientos

En primer lugar, quiero agradecer a Nicolás por el constante apoyo que me ha brindado durante todo el doctorado (y desde antes también), por su excelente dirección y sus valiosos consejos que me han ayudado tanto humana como académicamente.

Quiero expresar mi gratitud a todos los docentes de la FaMAF; en particular, a los de mi comisión asesora: Esther Galina, Alejandro Tiraboschi y Jorge Vargas. Un especial agradecimiento a los profesores Sonia Natale, Matías Graña, Roberto Miatello, Fernando Levstein, Juan Pablo Rossetti, Leandro Cagliero. Los aportes de todos ellos han influido en mi formación.

También quiero agradecer a mis compañeros Martín M., Gastón G., Leandro V., Sebastián F., Ricardo P., Sebastián S., Pablo Rom., Andrés B., Marcos G., Pedro S.T., Pablo Roc., Juan Pablo A., Nadina R., César G., Jesús O., Agustín G., Iván A., Cristian V., Julia P.

No quiero olvidarme de mencionar a los organismos oficiales que con su financiación han permitido que pudiera llevar a cabo este doctorado como así también la realización de distintos trabajos de investigación: FaMAF, CIEM, CONICET, ANPCyT-Foncyt, Secyt-UNC, Agencia Córdoba Ciencia y Ministerio de Ciencia y Tecnología (Córdoba).

En estos cinco años han sido escenciales el apoyo y afecto de mi familia: Amado, Elvis, Marcela, Valeria, Germán, José, Maximiliano, Gustavo, Esther, Antonio, Fernanda, Patricia y Javier. A ellos también quiero dedicar este logro.

Finalmente, quiero agradecer a mi esposa Adriana por su apoyo incondicional y por estar a mi lado en todo momento. Sin su amor, comprensión y paciencia esto no hubiera sido posible.

Introducción

Generalidades

Las álgebras de Hopf, introducidas en la década del 50, han sido estudiadas en primer lugar en relación con grupos algebraicos siendo especialmente eficientes en la descripción de fenómenos típicos de característica positiva. Más adelante, fueron estudiadas como objetos de interés en sí mismos – ver por ejemplo [Sw].

Los grupos cuánticos, introducidos en 1986 por Drinfeld en su Conferencia [Dr], forman una clase particular de álgebras de Hopf. Los mismos pueden ser presentados a partir de deformaciones en un parámetro de álgebras universales de álgebras de Lie o de álgebras de funciones regulares de grupos algebraicos afines. También se las puede encontrar codificando la simetría de categorías trenzadas, es decir, categorías munidas de un producto tensorial asociativo y conmutativo. El hecho destacable aquí es que la transformación de conmutatividad

c : V ⊗ W → W ⊗ V

no es involutiva. De esta forma, se los pueden encontrar en diversas áreas relacionadas con la teoría conforme de campos; por ejemplo, en invariantes de variedades topológicas de dimensión baja.

En los últimos veinte años, los grupos cuánticos han atraído el interés de matemáticos de distintas áreas. En particular, ha habido gran interés en problemas de clasificación de álgebras de Hopf – ver por ejemplo [A]. También podemos citar las familias de álgebras de Hopf de dimensión finita introdicidas por Lusztig en [L1, L2], conocidas como núcleos de Frobenius-Lusztig.

La clasificación de álgebras de Hopf de dimensión finita se encarrila por dos caminos diferentes: las semisimples y las no semisimples. Los resultados conocidos hasta ahora ponen de relieve la estrecha relación entre las álgebras de Hopf tanto con los grupos finitos como con las álgebras de Lie. Por un lado, los grupos finitos se relacionan estrechamente con las álgebras de Hopf semisimples; mientras que por otro lado, ejemplos como los núcleos de Frobenius-Lusztig muestran la interacción de la teoría de Lie con la teoría de álgebras de Hopf no semisimples. Una estrategia para estudiar el caso no semisimple es considerar la posición relativa del corradical, es decir, de la mayor subcoálgebra cosemisimple. En efecto, en [AS1, AS4] se consideró una subclase particular de las álgebras de Hopf no semisimples: las punteadas, donde el corradical es una subálgebra de Hopf semisimple, y se mostró que ciertas clases de ellas están constituidas por variaciones de núcleos de Frobenius-Lusztig.

Las álgebras de Hopf tienen importantes aplicaciones en matemática y en física matemática. En efecto, las álgebras de Hopf dan lugar a categorías tensoriales finitas en el sentido de [ENiO, EO] mediante sus categorías de representaciones. De esta forma, por ejemplo, las álgebras de Hopf semisimples están presentes de una manera fundamental en la teoría de campos conformes racionales.

Además, las álgebras de Hopf no semisimples están relacionadas a teorías de campos conformes logarítmicos [Ga]. Es natural esperar que resultados de clasificación sobre álgebras de Hopf de dimensión finita tengan un impacto significante en aquellas áreas. Por otra parte, nuevos ejemplos pueden ser descubiertos en dichos estudios de clasificación.

Las álgebras de Hopf punteadas son una clase importante de álgebras de Hopf que contiene a las álgebras envolventes de las álgebras de Lie y a las correspondientes deformaciones cuánticas de Drinfeld y Jimbo. La estrategia general para su clasificación fue planteada por Andruskiewitsch y Schneider quienes obtuvieron una serie de resultados generales y particulares a partir de ella [AS1, AS2, AS3, AS4]. A la mencionada estrategia, que explicaremos más adelante, se la conoce como método del levante – ver el artículo panorámico [AS3].

Presentación del problema

Sea H un álgebra de Hopf con comultiplicación Δ. El conjunto

G(H) := {g ∈ H − 0 : Δ(g) = g ⊗ g}

forma un grupo con la multiplicación de H llamado el grupo de los elementos de tipo grupo de H. El álgebra de Hopf H es punteada si y sólo si el corradical de H es el álgebra de grupo de G(H).

Sea G un grupo finito. En el contexto anteriormente citado, un paso importante en la clasificación de las álgebras de Hopf complejas de dimensión finita H con G(H) ≃ G, es la determinación de todos los módulos de Yetter-Drinfeld V sobre el álgebra de grupo de G tales que el álgebra de Nichols 𝔅(V) es de dimensión finita.

Cuando el grupo finito G es abeliano, esto equivale al estudio de las álgebras de Nichols de tipo diagonal. En este sentido, importantes avances se han logrado en los últimos años debido a N. Andruskiewitsch, H.-J. Schneider, M. Graña e I. Heckenberger. La clasificación de las álgebras de Nichols de dimensión finita sobre un grupo abeliano G sigue de [H4], con importantes resultados parciales previos en [AS2, H1]. Esto conduce a substantiales resultados de clasificación de las álgebras de Hopf punteadas H con G(H) abeliano. En [AS4], se clasifican las álgebras de Hopf punteadas H con G(H) abeliano, tales que los divisores primos del orden del grupo son mayores que 7, utilizando aquellos resultados.

Por lo mencionado, la clasificación de las álgebras de Hopf punteadas complejas de dimensión finita H con G(H) abeliano está cerca de ser completada. Mientras que si G(H) es no abeliano, poco es lo que se conoce [MS, AGñ1, AGñ2, Gñ1, AZ, AF1, AF2, FrGñV, F, FrV, AFZ].

Para un grupo finito cualquiera G, los módulos de Yetter-Drinfeld irreducibles sobre ℂG están parametrizados (salvo isomorfismos) por pares (O, ρ), donde O es una clase de conjugación de G y ρ es una representación irreducible del centralizador G^{s} de un elemento fijo s ∈ O. Se denotará por M(O, ρ) al módulo de Yetter-Drinfeld irreducible correspondiente al par (O, ρ) y por 𝔅(O, ρ) a su álgebra de Nichols.

Así, el paso crucial para clasificar álgebras de Hopf punteadas complejas de dimensión finita H con G(H) ≃ G fijo, es determinar cuándo el álgebra de Nichols 𝔅(O, ρ) de un módulo de Yetter-Drinfeld irreducible M(O, ρ) sobre G es de dimensión finita.

En esta dirección, es natural comenzar por descartar módulos de Yetter-Drinfeld irreducibles sobre un grupo no abeliano finito que contienen un subespacio vectorial trenzado cuya álgebra de Nichols es de dimensión infinita. Para ello, se trata de determinar los pares (O, ρ) para los cuales el álgebra de Nichols de M(O, ρ) tiene dimensión infinita. Esta estrategia, sugerida inicialmente por M. Graña [Gñ1], consiste en: dado un par (O, ρ), encontrar un subespacio trenzado U de M(O, ρ), verificar si la dimensión del álgebra de Nichols 𝔅(U) es infinita; si es así, entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞. En síntesis:

Estrategia: dado (O, ρ), encontrar un subespacio trenzado U de M(O, ρ). Verificar si la dimensión del álgebra de Nichols 𝔅(U) es infinita. Si es así, entonces 𝔅(O, ρ) también será de dimensión infinita.

Principales resultados obtenidos

La presente tesis se enmarca en el problema de clasificación de las álgebras de Hopf punteadas complejas de dimensión finita H, en el contexto del método del levante, donde los elementos de tipo grupo G(H) forman un grupo no abeliano. Se trabajará sobre un cuerpo 𝕜 algebraicamente cerrado de característica cero que en la mayor parte de la tesis será 𝕜 = ℂ.

Gran parte de esta tesis se encuentra en los trabajos [AF1], [AF2], [F], [AF3] y [AFZ].

En [AF1], se dan varios resultados parciales sobre la clasificación de álgebras de Hopf punteadas complejas de dimensión finita cuyo corradical es el álgebra de grupo de un grupo simétrico. Más precisamente, se prueba que si s es una permutación pura en 𝕊_{m}, entonces 𝔅(O_{s}, ρ) es de dimensión infinita o M(O_{s}, ρ) tiene trenza negativa.

En [AF2], se aplica la estrategia de eliminación por medio de subracks abelianos a los grupos alternados y diedrales. En el mismo, se muestra que cualquier álgebra de Hopf punteada con trenza infinitesimal asociada con la clase de conjugación de un elemento σ en 𝔸_{m} es de dimensión infinita si el orden de σ es impar excepto cuando σ = (1 2 3) ó σ = (1 2 3) en 𝔸_{4} y ρ = ω, con ω ≠ 1 una raíz tercera de la unidad. En particular, se clasifican las álgebras de Hopf punteadas complejas de dimensión finita con corradical isomorfo a ℂ𝔸_{5}. El grupo alternado 𝔸_{5} fue el primer grupo finito no abeliano G para el cual se conocieron todas las álgebras de Hopf punteadas H con G(H) ≃ G. En dicho trabajo, también se estudian álgebras de Hopf punteadas sobre los grupos diedrales, dando condiciones necesarias sobre los módulos de Yetter-Drinfeld irreducibles sobre un grupo diedral para que sus correspondientes álgebras de Nichols sean de dimensión finita. Además, se dan generalizaciones de [AZ, Lema 1.3], una herramienta básica en [AZ, AF1], ver [AF2, Lemas 1.8, 1.9]. Un resultado similar aparece en [FrGñV, Corolario 2.2].

En [AF3], se desarrollaron técnicas de eliminación por medio de subracks no abelianos.

En [F], se aplicó la estrategia de eliminación por medio de subracks abelianos y no abelianos a los grupos de Mathieu simples. Para ello se utilizó el sistema computacional de álgebra discreta GAP [Sch+]. En dicho artículo, se determinó que si G es un grupo de Mathieu simple, s ∈ G, O_{s} la clase de conjugación de s y ρ una representación irreducible del centralizador de s, entonces, al igual que en las anteriores familias de grupos, o bien el álgebra de Nichols 𝔅(O_{s}, ρ) es de dimensión infinita, o bien la trenza del módulo de Yetter-Drinfeld M(O_{s}, ρ) es negativa. En particular, se determinó que no existen álgebras de Hopf punteadas complejas de dimensión finita con G(H) ≃ M_{22} ó M_{24} salvo las álgebras de grupo de M_{22} ó M_{24}, respectivamente.

En el trabajo [AFZ], se avanza en el estudio de las álgebras de Nichols de módulos de Yetter-Drinfeld sobre los grupos simétricos.

La tesis está organizada de la siguiente manera. En el Capítulo 1, damos definiciones y resultados básicos de la teoría de álgebras de Hopf. Además, se introducen otras definiciones necesarias para la tesis: espacio vectorial trenzado, módulo de Yetter-Drinfeld, etc. También se dan algunas nociones categóricas básicas para una mejor presentación del concepto de álgebra de Nichols y una mejor exposición del método del levante.

En el Capítulo 2, se explican las nociones elementales para entender la “estrategia de eliminación” por medio de subracks abelianos y no abelianos. También se define el concepto de trenza negativa y se dan las herramientas básicas y los criterios de eliminación que se usarán en los capítulos subsiguientes.

En el Capítulo 3, se estudian las álgebras de Hopf punteadas complejas con corradical el álgebra de grupo de un grupo simétrico. En el mismo, se muestra que si σ ∈ 𝕊_{m} es un producto de ciclos disjuntos de la misma longitud, O la clase de conjugación de σ y ρ una representación irreducible del centralizador de σ, entonces o bien el álgebra 𝔅(O, ρ) es de dimensión infinita, o bien la trenza del módulo de Yetter-Drinfeld M(O, ρ) es negativa. Más precisamente:

Teorema 1. Sea σ ∈ 𝕊_{kn} pura de tipo (k^{n}) y ρ ∈ 𝕊̂_{kn}^{π}.

(A) Si k es impar, entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

(B) Asumamos que k = 2.

(i) Si n es par, entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

(ii) Supongamos que n es impar, n > 1. Si ρ = χ_{(n)} ⊗ ϵ ó χ_{(n)} ⊗ sgn, entonces la trenza es negativa. En caso contrario, dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

(C) Asumamos que k = 2r, con r > 1.

(i) Si n = 1, entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞ si ρ = χ_{ω}, con ω ≠ −1, y la trenza es negativa si ρ = χ_{ω}, con ω = −1.

(ii) Asumamos que n > 1. Si deg ρ > 1, ó si deg ρ = 1 y ρ(σ) ≠ −1, entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞. Supongamos que deg ρ = 1 y ρ(σ) = −1. Si ρ = χ_{r,...,r} ⊗ μ, con r par ó impar, ó si ρ = χ_{c,...,c} ⊗ μ, con r par y c = \frac{r}{2} ó \frac{3r}{2} , entonces la trenza es negativa, donde μ = ϵ ó sgn; en caso contrario, dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

Más aún, despues de aplicar los criterios de eliminación mediante subracks no abelianos hemos probado que:

Teorema 2. Sea σ ∈ 𝕊_{m} de tipo (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, …, m^{n_{m}}), O la clase de conjugación de σ y ρ ∈ 𝕊̂_{m}^{σ}. Si dim 𝔅(O, ρ) < ∞, entonces q_{σσ} = −1 y:

(i) n_{j} = 0, para todo j par, con j ≠ 2^{k}, k ≥ 1;

(ii) n_{2^{k}} = 0, 1 ó 2, para todo k ≥ 2;

(iii) n_{2} ≤ 5.

Más aún,

(a) si existe j ≥ 3 tal que n_{j} ≥ 1, entonces • n_{1} ≥ 1 y n_{2} = 0; ó

• n_{1} = 0 y n_{2} = 1 ó 2;

(b) si n_{j} = 0, 3 ≤ j ≤ m, entonces el tipo de σ es (1^{n_{1}}, 2^{l}), con ρ_{2} = χ_{(l)} ⊗ ϵ ó χ_{(l)} ⊗ sgn, l = 1, 3, 5.

(c) si σ es de tipo (2^{n_{2}}, 4^{n_{4}}, …, (2^{k})^{n_{2^{k}}}), entonces dim ρ = 1;

(d) si σ es de tipo (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, 8^{n_{8}}), entonces n_{8} = 0.

En el Capítulo 4, se estudian las álgebras de Hopf punteadas complejas con corradical el álgebra de grupo de un grupo alternado o diedral. Se prueba que cualquier álgebra de Hopf punteada compleja H de dimensión finita con G(H) ≃ 𝔸_{5} ó 𝔸_{7}, es isomorfa al álgebra de grupo de 𝔸_{5} ó 𝔸_{7}, respectivamente. Además, se prueba que dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞, para cualquier σ en 𝔸_{n} de orden impar, excepto para σ = (1 2 3) ó σ = (1 3 2) en 𝔸_{4} y ρ = ω, con ω una raíz tercera de la unidad.

Teorema 3. Sean σ ∈ 𝔸_{m} y ρ ∈ 𝔸̂_{m}^{σ}. Supongamos que σ no es (1 2 3) ni (1 3 2) en 𝔸_{4}. Si dim 𝔅(O_{σ}, ρ) < ∞, entonces q_{σσ} = −1 y σ tiene orden par.

Los cuatro casos restantes son particularmente interesantes; los mismos corresponden al rack del “tetraedro” con cociclo constante ω ∈ 𝔾_{3} − 1. Las técnicas hasta ahora disponibles no proveen información acerca de la dimensión del álgebra de Nichols correspondiente. También se obtiene, para el caso de los grupos alternados 𝔸_{4}, 𝔸_{6} y 𝔸_{8}, una lista de pares (O, ρ) que dan lugar a M(O, ρ) de trenza negativa – ver Tabla 1; los pares restantes satisfacen dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞.

G Clase de conjugación  Centralizador  Representación
𝔸_{4} O_{σ}, σ = (1 2 3) ó (1 3 2)  ⟨σ⟩ ≃ ℤ/3  ρ(σ) = ω_{3}, ω_{3}^{2}
𝔸_{6} O_{σ}, σ = (1 2)(3 4 5 6)  ⟨σ⟩ ≃ ℤ/4  ρ(σ) = −1
𝔸_{8} O_{σ}, σ = (1 2 3 4)(5 6 7 8) 𝔸_{8}^{σ} no abeliano, |𝔸_{8}^{σ}| = 16 rep. de grado 1

Tabla 1: Casos de trenza negativa en los grupos 𝔸_{4}, 𝔸_{6} y 𝔸_{8}.

Finalmente, se estudian álgebras de Hopf punteadas sobre los grupos diedrales. Resumimos nuestras conclusiones para este caso en el siguiente enunciado.

Teorema 4. Sea M(O, ρ) el módulo de Yetter-Drinfeld irreducible sobre ℂ𝔻_{m} correspondiente al par (O, ρ). Supongamos que su álgebra de Nichols 𝔅(O, ρ) es de dimensión finita.

(a) Si m es impar, entonces (O, ρ) = (O_{x}, sgn), donde sgn ∈ 𝔻̂_{m}^{x}, 𝔻_{m}^{x} = ⟨x⟩ ≃ ℤ_{2}.

(b) Si m = 2n es par, entonces (O, ρ) es una de las siguientes:

(i) (O_{y^{n}}, ρ), con ρ ∈ 𝔻̂_{m} tal que ρ(y^{n}) = −1.

(ii) (O_{y^{h}}, χ^{j}), donde 1 ≤ h ≤ m − 1, h ≠ n y ω_{m}^{hj} = −1.

(iii) (O_{x}, sgn ⊗ sgn) ó (O_{x}, sgn ⊗ε), con sgn ⊗ sgn, sgn ⊗ε ∈ 𝔻̂_{m}^{x}, 𝔻_{m}^{x} = ⟨x⟩ ⊕ ⟨y^{n}⟩ ≃ ℤ_{2} × ℤ_{2}.

(iv) (O_{xy}, sgn ⊗ sgn) ó (O_{xy}, sgn ⊗ε), con sgn ⊗ sgn, sgn ⊗ε ∈ 𝔻̂_{m}^{xy}, 𝔻_{m}^{xy} = ⟨xy⟩ ⊕ ⟨y^{n}⟩ ≃ ℤ_{2} × ℤ_{2}.

G j |s_{j}| Centralizador Representación dim M(O_{s_{j}}, ρ)
M_{11} 4 4 ⟨x⟩ ≃ ℤ/8, x^{6} = s_{4} ν_{2}(x) := i 990
ν_{6}(x) := −i
6 8  ⟨s_{6}⟩ ≃ ℤ/8  χ_{(−1)}  990
7 8  ⟨s_{7}⟩ ≃ ℤ/8  χ_{(−1)}  990
M_{12} 13 10  ⟨s_{13}⟩ ≃ ℤ/10  χ_{(−1)}  9504
M_{23} 12 14  ⟨s_{12}⟩ ≃ ℤ/14  χ_{(−1)}  728640
13 14  ⟨s_{13}⟩ ≃ ℤ/14  χ_{(−1)}  728640

Tabla 2: Grupos de Mathieu simples: casos abiertos.

En los casos (i) y (ii) la dimensión es finita. En los casos (iii) y (iv), la trenza es negativa.

En el Capítulo 5, aplicamos la estrategia de eliminación por medio de subracks abelianos y no abelianos a los grupos de Mathieu simples. Los resultados obtenidos se detallan en el siguiente

Teorema 5. Sea G un grupo de Mathieu simple: M_{11}, M_{12}, M_{22}, M_{23} ó M_{24}, s ∈ G, O_{s} la clase de conjugación de s y ρ ∈ Ĝ^{s}. Si dim 𝔅(O_{s}, ρ) < ∞, entonces (O_{s}, ρ) es uno de los pares listados en Table 2. En particular, las únicas álgebras de Hopf punteadas complejas de dimensión finita con G(H) ≃ M_{22} ó M_{24} son las álgebras de grupo ℂM_{22} ó ℂM_{24}, respectivamente.

Finalmente, en el Capítulo 6, y teniendo en cuenta los resultados de los capítulos anteriores, se dan unas breves consideraciones acerca de álgebras de Nichols sobre álgebras de Hopf semisimples, que resumimos en el siguiente enunciado.

Teorema 6. Sea G(H) ≃ 𝔸_{5}, 𝔸_{7}, M_{22} ó M_{24}. Entonces cualquier álgebra de Hopf punteada compleja H de dimensión finita con corradical isomorfo a (ℂG)^{J}, con J un torcimiento, es necesariamente isomorfa al álgebra (ℂG)^{J}.

Capítulo 1

Preliminares

En este capítulo se darán las definiciones y nociones básicas sobre la teoría de álgebras de Hopf que serán necesarias para demostrar los resultados más importantes. Nuestras referencias para la teoría de álgebras de Hopf son [Sw], [Mo], [S] y [Ka], además, del artículo panorámico [AS3].

1.1. Definiciones

Trabajaremos sobre un cuerpo 𝕜 algebraicamente cerrado de característica cero. Todos los productos tensoriales que consideramos son sobre el cuerpo 𝕜, a menos que se exprese lo contrario. Sin pérdida de generalidad, se supondrá por brevedad de la exposición que 𝕜 = ℂ.

Notación: denotamos por 𝔾_{n} al grupo de las raíces n-ésimas de la unidad en ℂ, y por ω_{n} a la primera raíz n-ésima primitiva de la unidad, o sea ω_{n} := exp(\frac{i2π}{n}), donde i = \sqrt{−1}, y definimos 𝔾_{∞} := ∪_{n≥1}𝔾_{n}.

Definición 1.1.1. Una 𝕜-álgebra con unidad es un anillo A con un morfismo de anillos u : 𝕜 → A cuya imagen está contenida en el centro de A. La aplicación 𝕜 × A → A dada por (λ, a) ↦ u(λ)a le da a A una estructura de 𝕜-espacio vectorial tal que la multiplicación m : A × A → A resulta bilineal. Es decir, A es un 𝕜-espacio vectorial con dos aplicaciones 𝕜-lineales u y m tal que los siguientes diagramas conmutan:

Asociatividad:  Unidad:
[figure: A ⊗ A ⊗ A; m⊗id; id ⊗m; A ⊗ A; m; A ⊗ A; m; A; A ⊗ A; m; 𝕜 ⊗ A; u⊗id; A ⊗ 𝕜; id ⊗u; A]

Notar que la unidad en A está dada por 1_{A} = u(1_{𝕜}).

Definición 1.1.2. Sean V y W dos 𝕜-espacios vectoriales. Se define la aplicación flip τ como la aplicación lineal τ : V ⊗ W → W ⊗ V dada por τ(v ⊗ w) = w ⊗ v para todo v ∈ V, w ∈ W.

Notar que A es conmutativa si y sólo si m ∘ τ = m en A ⊗ A. Dualizando la noción de álgebra se define:

Definición 1.1.3. Una 𝕜-coálgebra con counidad es un 𝕜-espacio vectorial no nulo C munido de dos aplicaciones lineales, la comultiplicación o coproducto Δ : C → C ⊗ C y la counidad ε : C → 𝕜, tales que los siguientes diagramas conmutan:

Coasociatividad:  Counidad:
[figure: C; Δ; Δ; C ⊗ C; Δ⊗id; C ⊗ C; id ⊗Δ; C ⊗ C ⊗ C; C; Δ; ≃; ≃; 𝕜 ⊗ C; C ⊗ 𝕜; C ⊗ C; ε⊗id; id ⊗ε]

Se dice que C es coconmutativa si τ ∘ Δ = Δ en C.

Definición 1.1.4. Sean C y D dos coálgebras con comultiplicación Δ_{C} y Δ_{D} y counidad ε_{C} y ε_{D} respectivamente.

(i) Una aplicación lineal f : C → D es un morfismo de coálgebras si Δ_{D} ∘ f = (f ⊗ f)Δ_{C} y ε_{C} = ε_{D} ∘ f.

(ii) Un subespacio I ⊆ C es un coideal si Δ(I) ⊆ I ⊗ C + C ⊗ I y ε_{C}(I) = 0.

Es claro que I es un coideal de C si y sólo si el 𝕜-espacio vectorial C/I es una coálgebra con la comultiplicación inducida de Δ_{C}. Notar que, al ser ε_{C} un morfismo de coálgebras, se sigue que el subespacio C^{+} := Ker ε ⊆ C es un coideal de C.

Para trabajar con coálgebras usaremos la notación sigma de Sweedler: si c es un elemento de una coálgebra (C, Δ, ε), notaremos al elemento Δ(c) = ∑_{i} a_{i} ⊗ b_{i} ∈ C ⊗ C de la siguiente forma

Δ(c) = c_{(1)} ⊗ c_{(2)}.

De esta manera, el axioma de coasociatividad de C dado por (Δ ⊗ id) ∘ Δ = (id ⊗Δ) ∘ Δ, se puede expresar como

(c_{(1)})_{(1)} ⊗ (c_{(1)})_{(2)} ⊗ c_{(2)} = c_{(1)} ⊗ (c_{(2)})_{(1)} ⊗ (c_{(2)})_{(2)} = c_{(1)} ⊗ c_{(2)} ⊗ c_{(3)},

para todo c ∈ C.

Definición 1.1.5. Sea C una 𝕜-coálgebra. Un C-comódulo a izquierda es un 𝕜-espacio vectorial M munido de un morfismo lineal δ : M → C ⊗ M tal que los siguientes diagramas conmutan

\xymatrix{M \ar[r]^{δ} \ar[d]_{δ} & C ⊗ M \ar[d]^{id ⊗δ} & M \ar[r]^{δ} \ar[dr]_{≃} & C ⊗ M \ar[d]^{ε⊗id} \\ C ⊗ M \ar[r]_{Δ_{C}⊗id} & C ⊗ C ⊗ M &  & 𝕜 ⊗ M}

Análogamente se define un C-comódulo a derecha. Las categorías de C-comódulos a izquierda y a derecha se denotarán por ^{C}M y M^{C} respectivamente. También usaremos la notación sigma de Sweedler para los comódulos: si M es un C-comódulo a izquierda, entonces escribimos

δ(m) = m_{(−1)} ⊗ m_{(0)} ∈ C ⊗ M para todo m ∈ M.

Análogamente, si M es un C-comódulo a derecha con morfismo de estructura λ : M → M ⊗ C, entonces escribimos

λ(m) = m_{(0)} ⊗ m_{(1)} ∈ M ⊗ C para todo m ∈ M.

Sean M y N dos C-comódulos a izquierda con morfismos de estructura δ_{M} y δ_{N} respectivamente. Una aplicación lineal f : M → N es un morfismo de C-comódulos a izquierda si δ_{N} ∘f = (id ⊗f)∘δ_{M}.

Ejemplo 1.1.6. Sea f : C → D un morfismo de coálgebras. Entonces C es un D-comódulo a izquierda y a derecha vía los morfismos

δ = (f ⊗ id)Δ : C → D ⊗ C y λ = (id ⊗f)Δ : C → C ⊗ D.

Definición 1.1.7. Sea C una coálgebra.

(i) Un elemento c ∈ C se dice de tipo grupo si Δ(c) = c ⊗ c y ε(c) = 1. El conjunto de elementos de tipo grupo de C se denota por G(C).

(ii) Sean a, b ∈ G(C). El conjunto de elementos (a, b)-casi-primitivos de C se define como

P_{a,b} := {c ∈ C : Δ(c) = a ⊗ c + c ⊗ b};

en particular, 𝕜(a − b) ⊆ P_{a,b}. Diremos que un elemento casi-primitivo c ∈ C es trivial si c ∈ 𝕜[G(C)].

Diremos que una coálgebra C es simple si no posee subcoálgebras propias y diremos que es cosemisimple si es suma directa de subcoálgebras simples.

Sea C una coálgebra. El corradical de C es la suma de todas las subcoálgebras simples de C. Denotamos al corradical de C por C_{0}. Notar que C_{0} es la mayor subcoálgebra cosemisimple de C. En particular, 𝕜G(C) ⊆ C_{0}.

Definición 1.1.8. Si todas las subcoálgebras simples de C tienen dimensión uno, entonces C se dice punteada y se tiene que C_{0} = 𝕜[G(C)].

Definición 1.1.9. Una collección (B, m, u, Δ, ε) se dice una biálgebra si (B, m, u) es un álgebra, (B, Δ, ε) es una coálgebra y se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

(i) Δ y ε son morfismos de álgebras.

(ii) m y u son morfismos de coálgebras.

Una aplicación f : B → B′ entre biálgebras es un morfismo de biálgebras si f es un morfismo de álgebras y un morfismo de coálgebras. Un subespacio I ⊆ B es un bi-ideal si es un ideal bilátero y un coideal. Claramente, I es un bi-ideal de una biálgebra B si y sólo si el 𝕜-espacio vectorial B/I es una biálgebra con las operaciones inducidas por el cociente.

Definición 1.1.10. Sean C una coálgebra y A un álgebra. El conjunto Hom_{𝕜}(C, A) tiene una estructura de álgebra con el producto de convolución dado por

(f ∗ g)(c) = f(c_{(1)})g(c_{(2)}) para todo f, g ∈ Hom_{𝕜}(C, A), c ∈ C.

Definición 1.1.11. Sea (H, m, u, Δ, ε) una biálgebra. Decimos que H es un álgebra de Hopf si existe un elemento S ∈ Hom_{𝕜}(H, H) que es la inversa de la identidad id_{H} con respecto al producto de convolución. Es decir, S debe satisfacer las igualdades

S(h_{(1)})h_{(2)} = ε(h)1_{H} = h_{(1)}S(h_{(2)}) para todo h ∈ H.

Tal S recibe el nombre de antípoda de H.

Una aplicación f : H → K entre dos álgebras de Hopf es un morfismo de álgebras de Hopf si f es un morfismo de biálgebras y f(S_{H}(h)) = S_{K}(f(h)), para todo h ∈ H. En realidad, se puede ver que si f : H → K es un morfismo de biálgebras entre dos álgebras de Hopf, entonces necesariamente f preserva la antípoda, i. e. es un morfismo de álgebras de Hopf. Un subespacio I de H es un ideal de Hopf si I es un bi-ideal y S(I) ⊆ I. Claramente, I ⊆ H es un ideal de Hopf si y sólo si el espacio vectorial cociente H/I es un álgebra de Hopf. Por ejemplo, el coideal H^{+} = Ker ε es un ideal de Hopf de H y se denomina el ideal de aumento de H.

Sea H un álgebra de Hopf. El conjunto de elementos de tipo grupo G(H) forma un grupo con la multiplicación m.

Para cualquier álgebra de Hopf H, a los elementos casi-primitivos P_{1,1}(H) de H se los denomina elementos primitivos; se puede ver que P_{1,1} es un álgebra de Lie.

Ejemplo 1.1.12. Sea G un grupo. Entonces el álgebra de grupo 𝕜[G] = {∑_{g∈G} a_{g}e_{g} : a_{g} ∈ 𝕜, a_{g} ≠ 0 para finitos g} es una coálgebra cosemisimple con todas sus subcoálgebras de dimensión 1. Más aún, 𝕜[G] es un álgebra de Hopf con comultiplicación, counidad y antípoda dadas por

Δ(e_{g}) = e_{g} ⊗ e_{g},  ε(e_{g}) = 1  y  S(e_{g}) = e_{g^{−1}},

para todo g ∈ G, respectivamente. Es claro que e_{g} ∈ G(𝕜[G]) para todo g ∈ G. Más aún, se puede ver que G(𝕜[G]) ≃ G.

Ejemplo 1.1.13. Sean 𝔤 un álgebra de Lie y U(𝔤) su álgebra universal envolvente. Entonces U(𝔤) es un álgebra de Hopf con la estructura determinada por

Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x,  ε(x) = 0  y  S(x) = −x,  para todo x ∈ 𝔤.

Luego, x ∈ P_{1,1}(U(𝔤)) para todo x ∈ 𝔤. Más aún, se puede ver que P_{1,1}(U(𝔤)) ≃ 𝔤, como álgebras de Lie.

Observación 1.1.14. Si un álgebra de Hopf H está generada como un álgebra por elementos de tipo grupo y elementos primitivos, entonces H es punteada. En particular, un álgebra de grupo, el álgebra universal envolvente de un álgebra de Lie y las q-deformaciones del álgebra universal envolvente de un álgebra de Lie semisimple, son todas álgebras de Hopf punteadas.

Definición 1.1.15. Sean H un álgebra de Hopf y M un H-comódulo a izquierda. Se define el conjunto de coinvariantes de H en M por

co HM := {m ∈ M : δ(m) = 1 ⊗ m}.

Análogamente, si M es un H-comódulo a derecha, se define el conjunto de coinvariantes de H en M por

M^{co H} := {m ∈ M : λ(m) = m ⊗ 1}.

Sean A y H álgebras de Hopf y sea A ⟶^{π} H un morfismo de álgebras de Hopf. Entonces por el Ejemplo 1.1.6, A admite una estructura de H-comódulo a izquierda y a derecha. Luego, los espacios coinvariantes se denotan por ^{co H}A = ^{co π}A y A^{co H} = A^{co π} y están dados por

co πA = {a ∈ A : (π ⊗ id)Δ(a) = 1 ⊗ a}  y  A^{co π} = {a ∈ A : (id ⊗π)Δ(a) = a ⊗ 1}.

Más aún, estos espacios resultan ser subálgebras de A y se denominan las subálgebras de coinvariantes.

La filtración corradical

Una herramienta esencial en el estudio de las álgebras de Hopf punteadas es la filtración corradical, la cual es dual a la filtración de un álgebra por las potencias del radical de Jacobson.

Definición 1.1.16. Sea C una coálgebra y C_{0} el corradical de C.

Diremos que una familia de subespacios {C(n)}_{n∈ℕ} de C es una filtración de coálgebras si

(i) C(n) ⊆ C(n + 1) y C = ∪_{n∈ℕ}C(n).

(ii) Δ(C(n)) ⊆ ∑_{i=0}^{n} C(i) ⊗ C(n − i).

Para n ≥ 1 definimos recursivamente

C_{n} := Δ^{−1}(C_{n−1} ⊗ C + C ⊗ C_{0}).

Luego, {C_{n}}_{n∈ℕ} es una familia de subcoálgebras de C que da una filtración de coálgebras, ver [Mo, Cap. 5], [Sw, Cap. IX], [AS3, Def. 1.13]. Dicha filtración recibe el nombre de filtración corradical de C.

Una coálgebra corradicalmente graduada es una coálgebra graduada D = ⊕_{n≥0}D(n) tal que su filtración corradical coincide con la filtración ascendente estándar proveniente de su graduación: D_{n} = ⊕_{0≤j≤n}D(j). Una coálgebra estrictamente graduada es una coálgebra corradicalmente graduada D tal que D(0) es de dimensión 1 – ver [Sw].

La coálgebra graduada asociada a la filtración de coálgebras de C es gr C = ⊕_{n≥0} gr C(n), donde gr C(n) := C_{n}/C_{n−1}, n > 1, y gr C(0) := C_{0}. Notar que gr C es una coálgebra corradicalmente graduada.

Lema 1.1.17. [Mo, Teor. 5.3.1]. Sean C y D coálgebras y sea f : C → D un morfismo de coálgebras tal que f|_{C_{1}} es inyectiva, entonces f es inyectiva.

1.2. Espacios vectoriales trenzados

Definición 1.2.1. Un espacio vectorial trenzado es un par (W, c), donde W es un espacio vectorial y c ∈ GL(W ⊗ W) es una solución de la ecuación de trenzas

(c ⊗ id)(id ⊗ c)(c ⊗ id) = (id ⊗ c)(c ⊗ id)(id ⊗ c)  en End(W ⊗ W ⊗ W).  (1.1)

Es bien sabido que la ecuación de trenzas es equivalente a la ecuación cuántica de Yang-Baxter

R_{12}R_{13}R_{23} = R_{23}R_{13}R_{12},  (1.2)

donde R_{13} : W ⊗ W ⊗ W → W ⊗ W ⊗ W es el mapa dado por ∑_{j} r_{j} ⊗ id ⊗r^{j}, si R = ∑_{j} r_{j} ⊗ r^{j}. Análogamente se definen R_{12} y R_{23}.

La equivalencia entre las soluciones de (1.1) y (1.2) está dada por la igualdad c = τ ∘ R, donde τ es el flip definido en 1.1.2. Por esta razón algunos autores llaman a (1.1) la ecuación cuántica de Yang-Baxter.

Un ejemplo de espacio vectorial trenzado está dado por el siguiente.

Ejemplo 1.2.2. Sea W un espacio vectorial con base x_{i}, i ∈ I, q_{ij} ∈ 𝕜 una familia de escalares no nulos, c(x_{i} ⊗ x_{j}) = q_{ij}x_{j} ⊗ x_{i}. Luego, (W, c) es un espacio vectorial trenzado.

Dicho ejemplo será de gran importancia para la presente tesis.

1.3. Módulos de Yetter-Drinfeld

Los ejemplos de espacios vectoriales tenzados que nos interesan están relacionados con la noción de módulo de Yetter-Drinfeld.

Definición 1.3.1. Sea H una 𝕜-álgebra de Hopf con antípoda biyectiva. Un 𝕜-espacio vectorial M se dice un módulo de Yetter-Drinfeld (a izquierda) sobre H si tiene estructura de H-módulo a izquierda, de H-comódulo a izquierda y satisface la siguiente condición:

(hm)_{(−1)} ⊗ (hm)_{(0)} = h_{(1)}m_{(−1)}Sh_{(3)} ⊗ h_{(2)}m_{(0)},  ∀ h ∈ H, m ∈ M.  (1.3)

Se suele denotar por _{H}^{H}YD a la clase de todos los módulos de Yetter-Drinfeld sobre H que son de dimensión finita sobre 𝕜. Ésta resulta ser una categoría monoidal trenzada (ver Sección 1.4) con el producto tensorial sobre 𝕜, donde para M, N ∈ _{H}^{H}YD entonces M ⊗ N es un módulo de Yetter-Drinfeld sobre H con estructuras de módulo y de comódulo dadas por

h(m ⊗ n) = h_{(1)}m ⊗ h_{(2)}n,  (m ⊗ n)_{(−1)} ⊗ (m ⊗ n)_{(0)} = m_{(−1)}n_{(−1)} ⊗ m_{(0)} ⊗ n_{(0)}, (1.4)

objeto unidad 1 = 𝕜, axiomas de asociatividad y unidad análogos a los dados para espacios vectoriales, y trenza descripta por

c = c_{M,N} : M ⊗ N → N ⊗ M,  c(m ⊗ n) = m_{(−1)}n ⊗ m_{(0)}.  (1.5)

Resulta claro que c es un isomorfismo con inversa

(c_{N,M})^{−1} = c_{M,N}^{−1}, m ⊗ n ↦ n_{(0)} ⊗ S^{−1}(n_{(−1)})m.

Más aún, la categoría _{H}^{H}YD es rígida. En efecto, si M ∈ _{H}^{H}YD, entonces el (espacio vectorial) dual M^{∗} = Hom(M, ℂ) está en _{H}^{H}YD, con acción y coacción dadas por:

(h · f)(m) = f(S(h)(m)), h ∈ H, f ∈ M^{∗}, m ∈ M.
Si f ∈ M^{∗}, entonces δ(f) = f_{(−1)} ⊗ f_{(0)} está determinado por la ecuación
f_{(−1)}f_{(0)}(m) = S^{−1}(m_{(−1)})f(m_{(0)}),  m ∈ M.  (1.6)

Así, los mapas evaluación y coevaluación usuales son morfismos en la categoría _{H}^{H}YD.

Por otro lado, si denotamos por _{H}^{H}YD_{∞} a la categoría de todos los módulos de Yetter-Drinfeld sobre H (no necesariamente de dimensión finita), entonces _{H}^{H}YD_{∞} es una categoría monoidal trenzada, pero no es rígida.

Observación 1.3.2. Un módulo de Yetter-Drinfeld es un espacio vectorial trenzado. Recíprocamente, un espacio vectorial trenzado puede ser realizado como un módulo de Yetter-Drinfeld sobre algún álgebra de Hopf H si y sólo si c es rígida – ver [Tk1]. En ese caso, puede ser realizado de varias maneras distintas.

Recordamos que un bimódulo de Hopf sobre un álgebra de Hopf H es simultáneamente un bimódulo y un bicomódulo satisfaciendo todas las posibles condiciones de compatibilidad. La categoría _{H}^{H}M_{H}^{H} de todos los bimódulos de Hopf sobre H es una categoría trenzada que es equivalente a _{H}^{H}YD_{∞}, como categorías trenzadas – [Wo], [AD], [Sbg], [Ro1].

Si H es un álgebra de Hopf de dimensión finita, entonces la categoría _{H}^{H}YD_{∞} es equivalente a la categoría de módulos sobre el doble de H [Mj]. La trenza en _{H}^{H}YD_{∞} corresponde a la trenza dada por la R-matriz canónica del doble. En particular, si H es un álgebra de Hopf semisimple, entonces _{H}^{H}YD_{∞} es una categoría semisimple. En efecto, el doble de un álgebra de Hopf semisimple es un álgebra de Hopf semisimple.

Es útil caracterizar de manera abstracta aquellos espacios vectoriales trenzados que provienen de módulos de Yetter-Drinfeld sobre álgebras de grupos.

Definición 1.3.3. Sea (W, c) un espacio vectorial trenzado de dimensión finita.

Se dice que (W, c) es de tipo grupo si existe una base v_{1}, …, v_{θ} de W y elementos g_{i}(v_{j}) ∈ W, para todo i, j, tales que

c(v_{i} ⊗ v_{j}) = g_{i}(v_{j}) ⊗ v_{i},  1 ≤ i, j ≤ θ.  (1.7)

Necesariamente g_{i} ∈ GL(W), para todo i, 1 ≤ i ≤ θ.

Se dice que (W, c) es de tipo grupo finito (resp. de tipo grupo abeliano) si es de tipo grupo y el subgrupo de GL(W) generado por g_{1}, …, g_{θ} es finito (resp. abeliano).

Diremos (W, c) es de tipo diagonal si existe una base v_{1}, …, v_{θ} de W y escalares no nulos q_{ij}, 1 ≤ i, j ≤ θ, tales que

c(v_{i} ⊗ v_{j}) = q_{ij}v_{j} ⊗ v_{i},  para todo 1 ≤ i, j ≤ θ.  (1.8)

A la matriz (q_{ij}) la llamaremos la matriz de la trenza y la denotaremos por Q.

Notar que el Ejemplo 1.2.2 especializado al caso de dimensión de W finita es un espacio vectorial trenzado de tipo diagonal.

El diagrama de Dynkin generalizado asociado a un espacio vectorial trenzado de tipo diagonal (W, c) como arriba es el diagrama con vértices {1, …, θ}, donde el vértice i es nombrado por q_{ii}, y si q_{ij}q_{ji} ≠ 1, entonces los vértices i y j están unidos por la arista nombrada por q_{ij}q_{ji}, i. e.

[figure: q_{ii}; q_{ij}q_{ji}; q_{jj}],

ver [H2].

Definición 1.3.4. Un espacio vectorial trenzado (W, c) de tipo diagonal es de tipo Cartan si q_{ii} es una raíz de la unidad para todo i, 1 ≤ i ≤ θ, q_{ii} ≠ 1 para todo i, 1 ≤ i ≤ θ, y existen a_{ij} ∈ ℤ, − ord q_{ii} < a_{ij} ≤ 0 tales que q_{ij}q_{ji} = q_{ii}^{a_{ij}} para todo 1 ≤ i ≠ j ≤ θ, donde ord q_{ii} denota el orden de q_{ii} en el grupo multiplicativo 𝔾_{∞}.

Si definimos a_{ii} := 2 para todo 1 ≤ i ≤ θ, entonces (a_{ij})_{1≤i,j≤θ} es una matriz de Cartan generalizada.

Observaciones 1.3.5. (i) Si W ∈ _{H}^{H}YD con trenza c, entonces (W, c) es de tipo grupo por (1.5). Recíprocamente, supongamos que (W, c) es un espacio vectorial trenzado de tipo grupo. Sea Γ el subgrupo de GL(W) generado por g_{1}, …, g_{θ}. Si definimos δ(v_{i}) := g_{i} ⊗ v_{i}, 1 ≤ i ≤ θ, entonces δ le da a (W, c) una estructura de 𝕜Γ-comódulo. Más aún, (W, c) es un módulo de Yetter-Drinfeld sobre Γ con trenza c – ver [Gñ3, Remark 2.14].

(ii) Un espacio vectorial trenzado de tipo diagonal es claramente de tipo grupo abeliano, y es de tipo grupo finito si los coeficientes q_{ij} son raíces de la unidad.

A continuación, daremos algunos conceptos categóricos para una mejor presentación de los contenidos que desarrollaremos más adelante.

1.4. Álgebras de Hopf trenzadas

1.4.1. Categorías trenzadas

Introducimos brevemente la noción de categoría trenzada, lo cual brinda un contexto más amplio para el estudio de las álgebras de Hopf trenzadas. Las categorías trenzadas fueron introducidas en [JoSt]; ver [Ka, Cap. XI, Cap. XIII] para una exposición más detallada.

Definición 1.4.1. Un categoría monoidal o tensorial es una colección (C, ⊗, a, 𝕀, ℓ, r) donde C es una categoría y ⊗ : C × C → C es un funtor,

𝕀 es un objeto en C, y

a : V ⊗ (W ⊗ U) → (V ⊗ W) ⊗ U, ℓ : V → V ⊗ 𝕀, r : V → 𝕀 ⊗ V son isomorfismos naturales que satisfacen los llamados axiomas del pentágono y del triángulo, [Ka, Cap. XI, (2.6) y (2.9)]. Estos axiomas expresan que el producto tensorial de un número finito de objetos está bien definido, sin importar en qué lugar se ponen los paréntesis; mientras que 𝕀 hace las veces de unidad para el producto tensorial.

Definición 1.4.2. Un categoría (tensorial) trenzada es una colección (C, ⊗, a, 𝕀, ℓ, r, c) donde

(C, ⊗, a, 𝕀, ℓ, r) es una categoría monoidal,

c_{V,W} : V ⊗ W → W ⊗ V es un isomorfismo natural

tal que se satisfacen los llamados axiomas del hexágono, ver [Ka, Cap. XIII, (1.3) y (1.4)].

Una consecuencia importante de los axiomas de una categoría trenzada es la siguiente igualdad para los objetos V, W, U:

(c_{V,W} ⊗ id_{U})(id_{V} ⊗c_{U,W})(c_{U,V} ⊗ id_{W}) = (id_{W} ⊗c_{U,V})(c_{U,W} ⊗ id_{V})(id_{U} ⊗c_{V,W}),  (1.9)

en la cual se han omitido los morfismos de asociatividad.

Definición 1.4.3. Una categoría simétrica es una categoría trenzada donde c_{V,W} c_{W,V} = id_{W ⊗V}, para todo par de objetos V, W en C.

Definición 1.4.4. Sea C una categoría monoidal y sea V un objeto en C. Un objeto dual a izquierda de V es una terna (V^{∗}, ev_{V} , coev_{V}), donde V^{∗} es un objeto en C y ev_{V} : V^{∗} ⊗ V → 𝕀, coev_{V} : 𝕀 → V ⊗ V^{∗} son morfismos en C tales que las composiciones

V ⟶ 𝕀 ⊗ V ⟶^{coev_{V} ⊗ id_{V}} V ⊗ V^{∗} ⊗ V ⟶^{id_{V} ⊗ ev_{V}} V ⊗ 𝕀 ⟶ V

y

V^{∗} ⟶ V^{∗} ⊗ 𝕀 ⟶^{id_{V^{∗}} ⊗ coev_{V}} V^{∗} ⊗ V ⊗ V^{∗} ⟶^{ev_{V} ⊗ id_{V^{∗}}} 𝕀 ⊗ V^{∗} ⟶ V^{∗}

coinciden con id_{V} y id_{V^{∗}}, respectivamente. Diremos que una categoría trenzada es rígida si todo objeto de C admite un dual a izquierda y un dual a derecha, [Ka, Cap. XIV, Def. 2.1].

1.4.2. Álgebras de Hopf trenzadas graduadas

La noción de álgebra de Hopf trenzada es un rasgo característico de las categorías trenzadas. Para ello necesitamos introducir los conceptos de álgebra y coálgebra en una categoría tensorial.

Puesto que en la presente tesis, se trabajará con álgebras de Hopf trenzadas en la categoría de módulos de Yetter-Drinfeld sobre un álgebra de Hopf H daremos esas definiciones en la categoría _{H}^{H}YD. Más aún, en la mayor parte de la tesis H será el álgebra de grupo de un grupo finito.

Sea H un álgebra de Hopf.

Definición 1.4.5. Un álgebra en la categoría _{H}^{H}YD es un álgebra asociativa (R, m), donde m : R ⊗ R → R es el producto, con unidad u : 𝕜 → R, tal que R es un objeto en _{H}^{H}YD, y m y u son morfismos en _{H}^{H}YD.

Una coálgebra en la categoría _{H}^{H}YD es una coálgebra coasociativa (R, Δ), donde δ : R → R ⊗ R es el coproducto, con counidad ε : R → 𝕜, tal que R es un objeto en _{H}^{H}YD, y Δ y ε son morfismos en _{H}^{H}YD.

Sean R y S dos álgebras en _{H}^{H}YD. La trenza c : S ⊗ R → R ⊗ S nos permite munir al módulo de Yetter-Drinfeld R ⊗ S con una estructura de álgebra torcida en _{H}^{H}YD. El producto en R ⊗ S es m_{R⊗S} := (m_{R} ⊗ m_{S})(id ⊗c ⊗ id). Denotaremos a esta álgebra por R\underline{⊗}S. Notar que la diferencia con el producto tensorial usual de álgebras es el uso de la trenza c en lugar del flip τ.

Definición 1.4.6. Una biálgebra trenzada en _{H}^{H}YD es una colección (R, m, u, Δ, ε), donde

(R, m, u,) es un álgebra en _{H}^{H}YD,

(R, Δ, ε,) es una coálgebra en _{H}^{H}YD,

Δ : R → R\underline{⊗}R es un morfismo de álgebras,

u : 𝕜 → R y ε : R → 𝕜 son morfismos de álgebras.

Un álgebra de Hopf trenzada en _{H}^{H}YD es una biálgebra trenzada que, además, satisface

la identidad es inversible con respecto al producto de convolución en Hom_{𝕜}(R, R).

A su inversa la llamaremos la antípoda de R.

Definición 1.4.7. Un álgebra de Hopf trenzada graduada en _{H}^{H}YD es un álgebra de Hopf trenzada R en _{H}^{H}YD munida de una graduación R = ⊕_{n≥0}R(n) de módulos de Yetter-Drinfeld, tal que R es graduada como álgebra y como coálgebra.

1.4.3. Biproductos o bosonizaciones

Sean A y H álgebras de Hopf y π : A → H y ı : H → A morfismos de álgebras de Hopf. Supongamos que πı = id_{H}, esto implica que π es suryectiva y que ı es inyectiva. De manera análoga a lo que se hace en teoría de grupo, lo que se quiere es reconstruir A a partir de H y del núcleo de π como un “producto semidirecto”. El candidato natural para el núcleo de π es el álgebra de coinvariantes

R := A^{co π} = {a ∈ A : (id ⊗π)Δ(a) = a ⊗ 1},  (1.10)

ver Definición 1.1.15. En general, A^{co π} no es un álgebra de Hopf en el sentido usual, sino un álgebra de Hopf trenzada en _{H}^{H}YD con la siguiente estructura

la acción · de H sobre R es la restricción de la acción adjunta (compuesta con ı),

la coacción es (π ⊗ id)Δ, R es una subálgebra de A,

la comultiplicación es Δ_{R}(r) = r_{(1)}ıπS(r_{(2)}) ⊗ r_{(3)}, para todo r ∈ R.

Definición 1.4.8. Sea R un álgebra de Hopf trenzada en _{H}^{H}YD. La bosonización o biproducto de R por H, que denotaremos R#H, es un álgebra de Hopf usual cuyo espacio vectorial subyacente es R ⊗ H, con multiplicación y comultiplicación dadas por

(r#h)(s#f) = r(h_{(1)} · s)#h_{(2)}f,  (1.11)
Δ(r#h) = r_{(1)}#(r_{(2)})_{(−1)}h_{(1)} ⊗ (r_{(2)})_{(0)}#h_{(2)},  (1.12)

para r, s ∈ R, h, f ∈ H.

Los mapas π : R#H → H y ı : H → R#H dados por π(r#h) = ε(r)h, ı(h) = 1#h, son morfismos de álgebras de Hopf. Además, se tiene que R = {a ∈ R#H : (id ⊗π)Δ(a) = a ⊗ 1}.

Recíprocamente, si A y H son álgebras de Hopf como antes y R = A^{co π}, entonces A ≃ R#H.

Sea A un álgebra de Hopf. Asumiremos de ahora en más que el corradical A_{0} de A no es solamente una subcoálgebra sino, además, una subálgebra de Hopf. Por ejemplo, esto ocurre en el caso que A es punteada.

Para estudiar la estructura de A consideraremos su filtración corradical, que es además una filtración de álgebras. Por lo tanto, la coálgebra graduada asociada es un álgebra de Hopf graduada. Más aún, H := A_{0} ≃ gr A(0) es una subálgebra de Hopf de gr A. La proyección π : gr A → gr A(0) es un morfismo de álgebras de Hopf cuyo núcleo es ⊕_{n>0} gr A(n); además, π es una retracción (inverso a izquierda) de la inclusión.

Podemos aplicar los resultados generales de bosonización.

Sea R el álgebra de los coinvariantes de π; R es un álgebra de Hopf trenzada en _{H}^{H}YD y gr A puede ser reconstruida a partir de R y H como una bosonización gr A ≃ R#H.

Puesto que R hereda la graduación de gr A, se tiene que R resulta un álgebra de Hopf trenzada graduada: R = ⊕_{n≥0}R(n), donde R(n) = gr A(n) ∩ R; más aún, R es estrictamente graduada. Por lo tanto,

(a) R(0) = 𝕜1. Luego, el corradical es trivial – ver [Sw, Cap. 11].

(b) R(1) = P (R), el espacio de elementos primitivos de R.

Notar que si un álgebra de Hopf trenzada R satisface (a) y (b), entonces no necesariamente satisface

(c) R está generada como un álgebra sobre 𝕜 por R(1).

Definición 1.4.9. Un álgebra de Hopf trenzada que satisfece (a), (b) y (c) se dice un álgebra de Nichols.

Notar que la subálgebra R′ de R generada por R(1), la cual es una subálgebra de Hopf de R, es en efecto un álgebra de Nichols.

Definición 1.4.10. Sea W := R(1) = P (R). La trenza c : W ⊗ W → W ⊗ W se llama la trenza infinitesimal de A. El rango de A es la dimensión de W = P (R). El álgebra de Hopf trenzada graduada R se llama el diagrama de A.

En la próxima sección se darán las definiciones y resultados básicos sobre la teoría de álgebras de Nichols.

1.5. Álgebras de Nichols

Sea H un álgebra de Hopf con antípoda biyectiva. En esta sección, se presentará un funtor 𝔅 de la categoría _{H}^{H}YD a la categoría de álgebras de Hopf trenzadas en _{H}^{H}YD; dado un módulo de Yetter-Drinfeld W, el álgebra de Hopf trenzada 𝔅(W) se llamará un álgebra de Nichols.

La estructura de un álgebra de Nichols apareció por primera vez en el artículo [N] con el nombre de biálgebra de tipo uno y fue redescubierta más tarde por varios autores. En nuestro lenguaje, una biálgebra de tipo uno es una bosonización 𝔅(W)#H. Luego, las álgebras de Nichols son los H-coinvariantes de biálgebras de tipo uno, también llamadas álgebras simétricas cuánticas en [Ro2]. Varios años después, Woronowicz definió álgebras de Nichols en [Wo], como la parte invariante de la por él llamada álgebra de formas diferenciales cuánticas en su contexto de “cálculo diferencial cuántico”. Por otro lado, las álgebras de Lusztig 𝔣 [L3] definidas por la no degeneración de una cierta forma bilineal invariante, son álgebras de Nichols. En efecto, las álgebras de Nichols pueden ser definidas por la no degeneración de una forma bilineal invariante – [AGñ1]. Por su parte, las álgebras 𝔅(W) son llamadas álgebras bitensoriales en [Sbg].

En algún sentido, las álgebras de Nichols son similares a las álgebras simétricas; en efecto, ambas nociones coinciden en la categoría trenzada trivial de los espacios vectoriales, o más generalmente en cualquier categoría simétrica, por ejemplo, en la categoría de súper espacios vectoriales. Pero cuando la trenza no es una simetría, entonces un álgebra de Nichols puede tener una estructura mucha más rica.

Presentamos ahora una manera alternativa de definir un álgebra de Nichols, de acuerdo a [AS3].

Definición 1.5.1. Sea W un módulo de Yetter-Drinfeld sobre H. Un álgebra de Hopf trenzada graduada R = ⊕_{n≥0}R(n) en _{H}^{H}YD se dice un álgebra de Nichols de W si 𝕜 ≃ R(0), W ≃ R(1) en _{H}^{H}YD,

P (R) = R(1), y

R está generada como álgebra por R(1).

La dimensión de W se llamará el rango de R.

A continuación, se mostrará la existencia y unicidad del álgebra de Nichols de W en _{H}^{H}YD.

Sea W un módulo de Yetter-Drinfeld sobre H. Puesto que _{H}^{H}YD es una categoría trenzada, el álgebra tensorial T (W) = ⊕_{n≥0}T (V)(n) del espacio vectorial W admite una estructura natural de módulo de Yetter-Drinfeld sobre H con la cual T (W) resulta un álgebra en _{H}^{H}YD. Además, existe un único mapa de álgebras Δ : T (W) → T (W)\underline{⊗}T (W) tal que Δ(v) = v ⊗ 1 + 1 ⊗ v, para todo v ∈ W. Así, si x, y ∈ W, entonces

Δ(xy) = 1 ⊗ xy + x ⊗ y + x_{(−1)} · y ⊗ x_{(0)} + yx ⊗ 1.

Con esta estructura, T (W) es un álgebra de Hopf trenzada graduada en _{H}^{H}YD con counidad ε : T (W) → 𝕜, ε(v) = 0, para todo v ∈ W. La existencia de la antípoda sale del hecho de que el corradical de la coálgebra T (W) es 𝕜 y por un resultado de Takeuchi [Mo, Lemma 5.2.10]. Por lo tanto, todos los cocientes de biálgebras trenzadas de T (W) en _{H}^{H}YD son álgebras de Hopf trenzadas en _{H}^{H}YD.

Consideremos la clase 𝔖 de todos los I ⊂ T (W) tales que

I es un ideal (homogéneo) generado por elementos homogéneos de grado ≥ 2,

I es coideal de T (W).

Sea 𝔖̃ el subconjunto de 𝔖 formado por los ideales I ∈ 𝔖 que son submódulos de Yetter-Drinfeld de T (W). Los ideales

I(W) = ∑_{I∈𝔖}I,  Ĩ(W) = ∑_{J∈𝔖̃}J,

son maximales en 𝔖 y 𝔖̃, respectivamente.

Si I ∈ 𝔖, entonces R := T (W)/I = ⊕_{n≥0}R(n) es un álgebra graduada y una coálgebra graduada con R(0) = 𝕜 y W ≃ R(1) ⊂ P (R). Si I ∈ 𝔖̃, entonces R es un álgebra de Hopf trenzada graduada en _{H}^{H}YD.

El siguiente resultado muestra la existencia y unicidad de álgebra de Nichols.

Proposición 1.5.2. [AS3, Prop. 2.2]. Sea 𝔅(W) := T (W)/Ĩ(W). Entonces se cumplen:

(1) W = P (𝔅(W)); luego, 𝔅(W) es un álgebra de Nichols de W.

(2) I(W) = Ĩ(W).

(3) Sea R = ⊕_{n≥0}R(n) un álgebra de Hopf graduada en _{H}^{H}YD tal que R(0) = 𝕜1 y R está generada como álgebra por W := R(1). Entonces existe un mapa suryectivo de álgebras de Hopf graduadas R → 𝔅(W) que es un isomorfismo de módulos de Yetter-Drinfeld en grado 1.

(4) Sea R = ⊕_{n≥0}R(n) un álgebra de Nichols de W. Entonces R ≃ 𝔅(W) como álgebras de Hopf trenzadas en _{H}^{H}YD.

(5) Sea R = ⊕_{n≥0}R(n) un álgebra de Hopf trenzada graduada en _{H}^{H}YD con R(0) = 𝕜1 y R(1) = P (R) = W. Entonces 𝔅(W) es isomorfa a la subálgebra 𝕜⟨W ⟩ de R generada por W.

Si U es un subespacio trenzado de W ∈ _{H}^{H}YD, es decir un subespacio tal que c(U ⊗ U) ⊆ U ⊗ U, donde c es la trenza de W, podemos definir 𝔅(U) := T (U)/I(U). Entonces la descripción en la proposición anterior también se aplica a 𝔅(U).

Corolario 1.5.3. [AS3, Cor. 2.3]. El mapa W → 𝔅(W) es un funtor de la categoría _{H}^{H}YD a la categoría de álgebras de Hopf trenzadas en _{H}^{H}YD. Si U es un submódulo de Yetter-Drinfeld de W, o más generalmente si U es un subespacio trenzado de W, entonces el mapa canónico 𝔅(U) → 𝔅(W) es inyectivo.

El grupo de trenzas

El grupo de trenzas está presentado por generadores σ_{1}, …, σ_{n−1} con las siguientes relaciones

σ_{i}σ_{i+1}σ_{i} = σ_{i+1}σ_{i}σ_{i+1},  1 ≤ i ≤ n − 2,
σ_{i}σ_{j} = σ_{j}σ_{i},  1 ≤ i, j ≤ n − 1, |i − j| > 1.

Existe una proyección natural π : 𝔹_{n} → 𝕊_{n}, π(σ_{i}) = τ_{i}, donde τ_{i} = (i i + 1), 1 ≤ i ≤ n − 1. La proyección π admite una sección (inverso a derecha) s : 𝕊_{n} → 𝔹_{n} determinada por

s(τ_{i}) = σ_{i},  1 ≤ i ≤ n − 1,
s(τω) = s(τ)s(ω),  si l(τω) = l(τ) + l(ω),

donde l denota la longitud de un elemento de 𝕊_{n} con respecto al conjunto de generadores τ_{1}, …, τ_{n−1}. El mapa s es llamado la sección de Matsumoto. En otras palabras, si ω = τ_{i_{1}} ⋯ τ_{i_{M}} es una expresión reducida de ω ∈ 𝕊_{n}, entonces s(ω) = σ_{i_{1}} ⋯ σ_{i_{M}}.

Usando la sección s se definen los siguientes elementos en 𝕜𝕊_{n}

𝔖_{n} := ∑_{σ∈𝕊_{n}} s(σ), 𝔖_{i,j} := ∑_{σ∈X_{i,j}} s(σ),

donde i + j = n y X_{i,j} := {σ ∈ 𝕊_{n} : σ(1) < ⋯ < σ(i), σ(i + 1) < ⋯ < σ(n)} es el conjunto de los (i, j)-shuffles. El elemento 𝔖_{n} es llamado el simetrizador cuántico.

Un espacio vectorial trenzado (W, c) induce representaciones del grupo de trenzas. Para todo n ≥ 2, definimos ρ_{n} : 𝔹_{n} → GL(W^{⊗n}) por

ρ_{n}(σ_{i}) = id ⊗ ⋯ ⊗ id ⊗c ⊗ id ⊗ ⋯ ⊗ id,

donde c actúa en el producto tensorial de la i-ésima y de la i + 1-ésima copias de W. Luego, ρ_{n} es una representación del grupo de trenzas. Por abuso de notación, se denotará también por 𝔖_{n} y 𝔖_{i,j} a los endomorfismos ρ(𝔖_{n}) y ρ(𝔖_{i,j}) de W^{⊗n} = T^{n}(W).

Si C = ⊕_{n≥0}C(n) es una coálgebra graduada con comultiplicación Δ, denotamos por Δ_{i,j} : C(i + j) → C(i) ⊗ C(j), i, j ≥ 0, la componente (i, j) del mapa Δ.

Proposición 1.5.4. Sea W ∈ _{H}^{H}YD. Entonces

Δ_{i,j} = 𝔖_{i,j},  (1.13)
𝔅(W) = ⨁_{n≥0} T^{n}(W)/ ker(𝔖_{n}).  (1.14)

Demostración. Ver [Sbg].

Para cualquier espacio vectorial trenzado (W, c) podemos definir 𝔅(W) por (1.14).

Esta descripción de las relaciones de 𝔅(W) no significa que dichas relaciones sean conocidas. En general, es bastante difícil calcular los núcleos de los mapas 𝔖_{n} en términos concretos.

1.6. Método del levante para álgebras de Hopf punteadas

Nuestra principal referencia para el problema de clasificación de álgebras de Hopf punteadas es [AS3].

Sea A un álgebra de Hopf punteada. Se considera la filtración corradical y la correspondiente coálgebra graduada asociada gr A. Ésta resulta un álgebra de Hopf graduada que se puede reconstruir a partir del corradical y de un álgebra de Hopf R en la categoría trenzada de módulos de Yetter-Drinfeld sobre el álgebra de grupo de G(A). Este resultado de presentación de gr A ≃ R#A_{0} puede ser interpretado como un análogo del Teorema de Cartier-Kostant-Milnor-Moore, válido para álgebras de Hopf coconmutativas en característica 0.

El problema de clasificación de las álgebras de Hopf punteadas de dimensión finita puede dividirse en los siguientes subproblemas:

(a) determinar todos los espacios vectoriales trenzados W de tipo grupo tal que 𝔅(W) es de dimensión finita.

(b) dado un grupo finito G, determinar todas las realizaciones de espacios vectoriales trenzados W como en (a) como módulos de Yetter-Drinfeld sobre G.

(c) el problema del Levante: para 𝔅(W) como en (a), calcular todas las álgebras de Hopf A tales que gr A ≃ 𝔅(W)#H.

(d) investigar cuándo un álgebra de Hopf punteada de dimensión finita está generada como álgebra por sus elementos de tipo grupo y sus elementos casi-primitivos, o sea gr A está generada en grado uno.

Dicha técnica se conoce como el método del levante, introducido por N. Andruskiewitsch y H.-J. Schneider.

El problema principal es poder determinar si el álgebra de Nichols de un espacio vectorial trenzado es de dimensión finita, o de dimensión de Gelfand-Kirillov finita, y en caso afirmativo encontrar una presentación eficiente por generadores y relaciones. En este sentido, importantes avances se han logrado en los últimos años debido a Heckenberger, [H1, H3, H4]. Más aún, en [AS4] se clasifican las álgebras de Hopf punteadas H con G(H) abeliano, tales que los divisores primos del orden del grupo son mayores que 7, utilizando aquellos resultados.

Módulos de Yetter-Drinfeld sobre el álgebra de grupo de un grupo finito y sus álgebras de Nichols.

El caso de módulos de Yetter-Drinfeld sobre álgebras de grupo es especialmente importante para las aplicaciones a álgebras de Hopf punteadas.

En este capítulo, se desarrollan las principales herramientas con las que se trabajará en el resto de la tesis. Explícitamente, se analizan criterios que permiten dar condiciones suficientes para que el álgebra de Nichols 𝔅(O, ρ) tenga dimensión infinita estudiando subracks de O. En la Sección 2.3, se estudian criterios de dimensión infinita mediante subracks abelianos. En la Sección 2.4, se desarrollan criterios de dimensión infinita mediante subracks no abelianos. Cabe destacar que estos últimos resultan ser notablemente útiles a la hora de aplicar la estrategia de eliminación citada en la introducción, y que antes del trabajo [AF3] no se contaba con métodos de eliminación por medio de subracks no abelianos.

Asumiremos que 𝕜 = ℂ y se denotará por 𝔾_{n} al grupo de las raíces n-ésimas de la unidad en ℂ. A lo largo de esta tesis la representación del grupo cíclico ℤ/2n = ⟨[1]⟩ correspondiente a ρ([1]) = ω_{2n}^{n} = −1 será denotada por χ_{(−1)}.

2.1. Racks, quandles y conjuntos cruzados

Introducimos ahora algunos conceptos que utilizaremos más adelante. Se seguirá el artículo [AGñ2].

Definición 2.1.1. Un rack es un par (X, ▷) donde X es un conjunto no vacío y ▷ : X × X → X es una función, tal que

ϕ_{i} : X → X,  ϕ_{i}(j) := i ▷ j,  es una biyección para todo i ∈ X,  (2.1)
i ▷ (j ▷ k) = (i ▷ j) ▷ (i ▷ k)  para todo i, j, k ∈ X.  (2.2)

Un quandle es un rack (X, ▷) que verifica

i ▷ i = i,  para todo i ∈ X.  (2.3)

Un conjunto cruzado es un quandle (X, ▷) que verifica además

j ▷ i = i siempre que i ▷ j = j.  (2.4)

Definición 2.1.2. Sean (X, ▷) e (Y, ▷) racks. Se dice que ψ : (X, ▷) → (Y, ▷) es un morfismo de racks si

ψ(i ▷ j) = ψ(i) ▷ ψ(j), para todo i, j ∈ X.

Morfismos de quandles (resp. conjuntos cruzados) son morfismos de racks entre quandles (resp. conjuntos cruzados).

Definición 2.1.3. Un subrack de un rack (X, ▷) es un subconjunto Y no vacío, tal que y ▷ Y = Y, para todo y ∈ Y.

Es claro que todo subrack de un quandle (resp. conjunto cruzado) es un quandle (resp. conjunto cruzado). Cabe destacar que si X es finito, entonces Y es un subrack si y sólo si y ▷ Y ⊂ Y, para todo y ∈ Y.

Ejemplo 2.1.4. Sea G un grupo cualquiera y X ⊆ G un subconjunto no vacío de G. Definamos ▷ : X × X → X por i ▷ j := iji^{−1}; luego, se tiene que:

(I) si X es estable por conjugación en todos los elementos de G, entonces (X, ▷) es un rack. Más aún, (X, ▷) es un conjunto cruzado, que llamaremos estándar.

(II) si X es estable por conjugación en sus propios elementos y X es finito, entonces ϕ_{i} resulta suryectiva y (X, ▷) es un rack.

En particular, una clase de conjugación de un grupo es un conjunto cruzado.

Sea (X, ▷) un rack. Se dice que X es trivial si i ▷ j = j, para todo i, j ∈ X.

Definición 2.1.5. Sea (X, ▷) un rack. Sea q : X × X → ℂ^{×} una función. Se dice que q es un 2-cociclo si q_{i,j▷k} q_{j,k} = q_{i▷j,i▷k} q_{i,k}, para todo i, j, k ∈ X.

Sea (X, ▷) un rack. Sea q : X ×X → ℂ^{×} un 2-cociclo y sea (ℂX, c_{q}) el espacio vectorial trenzado asociado, es decir ℂX es un espacio vectorial con base e_{k}, k ∈ X, y trenza c_{q}(e_{k} ⊗e_{l}) = q_{k,l} e_{k▷l} ⊗e_{k}, para todo k, l ∈ X. Se dice que un subrack T de X es abeliano si k ▷ l = l para todo k, l ∈ T. Si T es un subrack abeliano de X, entonces ℂT es un subespacio vectorial trenzado de (ℂX, c_{q}) de tipo diagonal.

Definición 2.1.6. Se dice que el espacio vectorial trenzado (ℂX, c_{q}) es negativo si para todo subrack abeliano T de X se cumple que q_{kk} = −1 y q_{kl}q_{lk} = 1 para todo k, l ∈ T. Luego, 𝔅(ℂT) es (equivalente por torcimiento) a un álgebra exterior y dim 𝔅(ℂT) = 2^{card T}. En tal caso, se dirá que la trenza es negativa.

Definición 2.1.7. Se dice que (ℂX, c_{q}) es débilmente finito si dim 𝔅(ℂT) < ∞ para todo subrack abeliano T de X.

Uno de nuestros objetivos es verificar cuándo (ℂX, c_{q}) no es débilmente finito, pues entonces dim 𝔅(ℂX) = ∞. El caso de trenza negativa es muy particular, pero hacemos notar que casi todos los espacios vectoriales trenzados con álgebra de Nichols de dimensión finita que “no vienen del caso abeliano” – ver [Gñ2] – son negativos.

Como vimos en Ejemplo 2.1.4, una clase de conjugación de un grupo es un rack; más aún, es un conjunto cruzado. En esta tesis, los racks con los que se trabajará serán de este tipo.

Sea G un grupo finito. Para un elemento s ∈ G denotaremos por O_{s} a la clase de conjugación de s en G y por Ĝ al conjunto de clases de isomorfismos de representaciones irreducibles de G. Se denotará con el mismo símbolo tanto a un representante de una clase en Ĝ como a la clase misma. Si ρ = (ρ, V) ∈ Ĝ, entonces deg ρ denotará la dimensión del espacio vectorial V. Usaremos la notación de rack g ▷ h = ghg^{−1}, g, h ∈ G.

Recordamos que un comódulo a izquierda M sobre el álgebra de grupo ℂG es el espacio vectorial G-graduado M = ⊕_{h∈G}M_{h}, donde M_{h} = {m ∈ M : δ(m) = h ⊗ m}, [Mo, Ex. 1.6.7].

Un módulo de Yetter-Drinfeld sobre G es un G-módulo a izquierda y un ℂG-comódulo a izquierda M satisfaciendo la condición de compatibilidad

δ(g.m) = ghg^{−1} ⊗ g.m,

para todo m ∈ M_{h}, g, h ∈ G.

En lo que sigue, mostraremos que la categoría _{ℂG}^{ℂG}YD es semisimple, i. e. los módulos de Yetter-Drinfeld sobre G son completamente reducibles.

Sean O una clase de conjugación de G y s ∈ O; obviamente, O = O_{s}. Sea σ_{1}, …, σ_{N} una numeración de O_{s} y sean g_{j} ∈ G tales que g_{j}▷s = σ_{j}, para todo j con 1 ≤ j ≤ N. Sea ρ = (ρ, V) ∈ Ĝ^{s} una representación irreducible del centralizador de s en G. Definimos

M(O_{s}, ρ) := Ind_{G^{s}}^{G} V = ℂG ⊗_{ℂG^{s}} V = ⨁_{j=1}^{N} g_{j} ⊗ V .  (2.5)

Escribiremos g_{j}v := g_{j} ⊗ v ∈ M(O_{s}, ρ), 1 ≤ j ≤ N, v ∈ V. M(O_{s}, ρ) resulta ser un módulo de Yetter-Drinfeld sobre ℂG con acción y coacción dadas por

g · (g_{j}v) = g_{l}(γ · v) y δ(g_{j}v) = σ_{j} ⊗ g_{j}v,  (2.6)

donde gg_{j} = g_{l}γ, para algún 1 ≤ l ≤ N y γ ∈ G^{s}, y trenza dada por

c(g_{j}v ⊗ g_{k}w) = σ_{j} · (g_{k}w) ⊗ g_{j}v = g_{l}(γ · w) ⊗ g_{j}v,  (2.7)

para todo 1 ≤ j, k ≤ N, v, w ∈ V, donde σ_{j}g_{k} = g_{l}γ para únicos l, 1 ≤ l ≤ N y γ ∈ G^{s}.

De cada clase de conjugación de G elegimos un representante; de esta manera, nos formamos un subconjunto S de G. El siguiente resultado parametriza a los módulos de Yetter-Drinfeld irreducibles sobre ℂG – ver [AGñ1, Prop. 3.1.2], [L4], [Wit]; ver también [DiPR] y [Ci], en los cuales se da la clasificación equivalente de los bimódulos de Hopf simples sobre 𝕜G, con 𝕜 = ℂ en el primero y 𝕜 un cuerpo cualquiera en el segundo.

Proposición 2.1.8. Los módulos de Yetter-Drinfeld M(O_{s}, ρ) son objetos simples en la categoría _{ℂG}^{ℂG}YD, y cualquier objeto simple de _{ℂG}^{ℂG}YD es isomorfo a M(O_{s}, ρ) para un único s ∈ S y una única ρ ∈ Ĝ^{s}.

Notar que M(O_{s}, ρ) depende del elemento s en O y de ρ en Ĝ^{s}. Sean s, s̃ ∈ O y sea g ∈ G tal que gsg^{−1} = s̃; luego, gG^{s}g^{−1} = Gs̃. Sea ρ̃ ∈ Ĝs̃ el pullback de ρ ∈ Ĝ^{s} via conjugación por g. Entonces M(O, ρ) = M(O, ρ̃); en particular

las imágenes de ρ y ρ̃ en GL(V) coinciden.  (2.8)

Además, la acción de G (por conjugación) sobre el rack O preserva los subracks abelianos. Entonces es natural preguntar: dados dos subracks abelianos maximales de O ¿son conjugados por algún g ∈ G?

Observación 2.1.9. Con las hipótesis y notación anteriores se tiene que, como s ∈ Z(G^{s}), el centro del grupo G^{s}, el Lema de Schur implica que

s actúa por un escalar q_{ss} sobre V.  (2.9)

Puesto que G es finito, q_{ss} está en 𝔾_{∞}.

Observación 2.1.10. Sea O la clase de conjugación de un elemento s ∈ G. Sean x_{1}, x_{2}, x_{3} ∈ O y sean g_{1}, g_{2}, g_{3} ∈ G tales que g_{i} ▷ s = x_{i}, 1 ≤ i ≤ 3. Sea ρ = (ρ, V) ∈ Ĝ^{s}. Si x_{1} ▷ x_{2} = x_{3}, entonces para cualquier par v, w ∈ V se tiene que

c(g_{1}v ⊗ g_{2}w) = g_{3}ρ(g_{3}^{−1}x_{1}g_{2})w ⊗ g_{1}v.

En efecto, es fácil ver que

x_{1} ▷ x_{2} = x_{3} si y sólo si g_{3}^{−1}x_{1}g_{2} ∈ G^{s}.  (2.10)

Ahora bien, ya que la trenza está dada por

c(g_{1}v ⊗ g_{2}w) = x_{1} · (g_{2}w) ⊗ g_{1}v = g_{3}ρ(g_{3}^{−1}x_{1}g_{2})w ⊗ g_{1}v,

el resultado sigue por (2.10).

2.2. Subespacios abelianos de un espacio vectorial trenzado

Como en [AF1, AF2], en un primer paso se buscan subespacios trenzados W de tipo diagonal de M(O, ρ) cuya álgebra de Nichols es de dimensión infinita.

Para ello, describimos a continuación cómo encontrar subespacios vectoriales trenzados W de tipo diagonal de un espacio vectorial trenzado M(O, ρ).

Sea G un grupo finito, O una clase de conjugación de G, ρ ∈ Ĝ^{s} con s ∈ O fijo. Como en la sección anterior, fijamos una numeración σ_{1} = s, σ_{2}, …, σ_{N} de O_{s} y g_{k} ∈ G tales que g_{k} ▷ s = σ_{k}, para todo 1 ≤ k ≤ N. Sean I ⊂ {1, …, N} y T := {σ_{k} : k ∈ I}. Se caracterizará cuándo T es un subrack abeliano de O_{s}. Sea

γ_{k,l} := g_{l}^{−1}σ_{k}g_{l},  k, l ∈ I.  (2.11)

Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

(a) σ_{k} ▷ σ_{l} = σ_{l} (i. e. σ_{k} y σ_{l} conmutan)  y  (b) γ_{k,l} ∈ G^{s}.

Asumamos que (a) (o, equivalentemente, (b)) se cumple para todo k, l ∈ I; entonces γ_{k,l} ∈ O_{s} ∩ G^{s}. Sea V el espacio vectorial de la representación ρ. Sean v_{1}, …, v_{R} autovectores simultáneos de los operadores ρ(γ_{k,l}), k, l ∈ I. Por (2.7), se tiene que

W = ℂ − span g_{k}v_{j}, k ∈ I, 1 ≤ j ≤ R,

es un subespacio trenzado de tipo diagonal de dimensión R card T. Notar que R depende no solamente de T sino también de la representación ρ; por ejemplo, si ρ es un carácter, entonces R = 1 = dim V, y M(O_{s}, ρ) es de tipo rack.

Resulta claro que para todo k, 1 ≤ k ≤ N, se cumple que

{g ∈ G : g ▷ s = σ_{k}} = g_{k} G^{s}.  (2.12)

Lema 2.2.1. Asumamos que σ_{k}, σ_{l} ∈ O_{s} conmutan y que deg ρ = 1. El escalar ρ(γ_{k,l}) no depende de la elección de g_{k} y g_{l}.

Demostración. Sean g̃_{k}, g̃_{l} ∈ G tales que g̃_{k} ▷ s = σ_{k} y g̃_{l} ▷ s = σ_{l}. De (2.12), g̃_{l} = g_{l}η, con η ∈ G^{s}. Si llamamos γ̃_{k,l} := g̃_{l}^{−1}g̃_{k} s g̃_{k}^{−1}g̃_{l}, entonces

γ̃_{k,l} = η^{−1} g_{l}^{−1}σ_{k}g_{l} η = η^{−1} γ_{k,l} η.

Así, ρ(γ̃_{k,l}) = ρ(η)^{−1}ρ(γ_{k,l})ρ(η) = ρ(γ_{k,l}), ya que deg ρ = 1.

Debido a este resultado, podemos elegir g_{1} = e, el elemento identidad del grupo G.

Observación 2.2.2. Si deg ρ = 1, entonces la condición de trenza negativa es equivalente a

(i) ρ(γ_{k,k}) = −1, y,

(ii) para todo par σ_{k}, σ_{l} ∈ O_{s} que conmuta, se cumple que ρ(γ_{k,l}γ_{l,k}) = 1.

El siguiente resultado es útil para probar que M(O_{s}, ρ) tiene trenza negativa cuando ρ es una representación de dimensión uno.

Lema 2.2.3. La condición (ii) arriba mencionada es equivalente a

(ii)’  para todo σ_{t} ∈ O_{s} ∩ G^{s}, se satisface que ρ(γ_{1,t}γ_{t,1}) = 1.

Demostración. Obviamente, (ii) implica (ii)’. Recíprocamente, supongamos que (ii)’ se cumple. Sean σ_{k}, σ_{l} ∈ O_{s} que conmutan. Entonces, γ_{k,l} = g_{l}^{−1}g_{k} s g_{k}^{−1}g_{l}, γ_{l,k} = g_{k}^{−1}g_{l} s g_{l}^{−1}g_{k} están en O_{s} ∩ G^{s}. Luego, γ_{k,l} = σ_{t}, para algún 1 ≤ t ≤ N; esto implica que γ_{t,1} = γ_{k,l} y γ_{1,t} = η^{−1}γ_{l,k}η, con η ∈ G^{s}. Así,

ρ(γ_{k,l}γ_{l,k}) = ρ(γ_{1,t}γ_{t,1}),

pues deg ρ = 1. Luego, ρ(γ_{k,l}γ_{l,k}) = 1, como queríamos probar.

2.3. Criterios de dimensión infinita mediante subracks abelianos

A continuación, se analizarán una serie de criterios que permiten dar condiciones suficientes para que el álgebra de Nichols de M(O, ρ) tenga dimensión infinita mediante subracks abelianos de O.

En primer lugar, damos el siguiente resultado general. La prueba del mismo sigue inmediatamente del Corolario 1.5.3.

Lema 2.3.1. Si U es un subespacio de W tal que c(U ⊗ U) = U ⊗ U y dim 𝔅(U) = ∞, entonces dim 𝔅(W) = ∞.

Una primera aplicación de este Lema es cuando existe v ∈ W −0 tal que c(v⊗v) = v⊗v; entonces dim 𝔅(W) = ∞. En particular, si W = M(O, ρ) y q_{ss} = 1, ver (2.9), entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞. Este resultado implica que si O_{e} es la clase de conjugación del elemento identidad de G y ρ ∈ Ĝ, entonces dim 𝔅(O_{e}, ρ) = ∞.

Teorema 2.3.2. [H1, Theor. 4], [AS2, Theor. 1.1]. Sea (W, c) un espacio vectorial trenzado de tipo Cartan. Entonces dim 𝔅(W) < ∞ si y sólo si la matriz de Cartan es de tipo finito.

Lema 2.3.3. [Gñ1, Lemma 3.1]. Supongamos que dim 𝔅(O, ρ) < ∞. Entonces

deg ρ > 2 implica q_{ss} = −1.

deg ρ = 2 implica q_{ss} = −1, ω_{3} ó ω_{3}^{2}.

Se dice que un elemento s ∈ G es real si es conjugado a su inverso s^{−1}; si s es real, diremos que la clase de conjugación de s es real. Notar que la condición de ser real puede ser leída en la tabla de caracteres del grupo G de la siguiente manera. La tabla de caracteres de un grupo es una matriz cuadrada cuyo tamaño es igual a la cantidad de clases de conjugación del grupo G, y en la entrada (i, j) aparece el escalar correspondiente al carácter de la i-ésima representación irreducible evaluado en la j-ésima clase de conjugación. Así, si todos los escalares en una columna de la tabla de caracteres de G son reales, entonces el representante de la clase de conjugación correspondiente a esa columna es real.

El siguiente lema, a diferencia del Lema 2.3.3, no supone ninguna restricción acerca del grado de la representación ρ ∈ Ĝ^{s}, salvo la hipótesis de que s sea real.

Lema 2.3.4. Si s es real y dim 𝔅(O_{s}, ρ) < ∞, entonces q_{ss} = −1 y s tiene orden par.

Si s^{−1} ≠ s, esto es [AZ, Lema 2.2]; mientras que si s^{−1} = s, entonces q_{ss} = ±1, pero q_{ss} = 1 es excluido por Lema 2.3.1.

Los dos lemas siguientes son generalizaciones de Lema 2.3.4 – ver [AF2, Lemas 1.8 y 1.9] o [FrGñV, Corolario 2.2]. Se considerarán elementos s que tienen una potencia en O, la clase de conjugación de s. Claramente, si s^{j} = xsx^{−1} está en O, entonces s^{j^{l}} = x^{l}sx^{−l} está en O, para todo l. Así, s^{j^{|x|}} = s; esto implica que |s| divide a j^{|x|} − 1. Luego,

N divide a j^{|x|} − 1,  (2.13)

con N := |q_{ss}|, recordar (2.9).

Nota: si bien el contexto es claro, notar que se está usando una misma notación para denotar dos cosas distintas. En efecto, |x| denota el orden de x en G, mientras que |q_{ss}| denota el orden de q_{ss} en 𝔾_{∞}.

Lema 2.3.5. Sean G un grupo finito, s ∈ G, O la clase de conjugación de s y ρ ∈ Ĝ^{s}. Supongamos que existe un entero j tal que s, s^{j} y s^{j^{2}} son elementos distintos y s^{j} está en O. Si dim 𝔅(O, ρ) < ∞, entonces q_{ss} = −1 y s tiene orden par.

Demostración. Asumamos que dim 𝔅(O, ρ) < ∞, luego N > 1. Es fácil ver que

x^{−h}s^{j^{l}}x^{h} = (x^{−h}sx^{h})^{j^{l}} = (s^{j^{|x|−h}})^{j^{l}} = s^{j^{|x|−h+l}},  para todo l, h.  (2.14)

Llamaremos t_{l} := s^{j^{l}}, g_{l} := x^{l}, l = 0, 1, 2; así t_{l} = g_{l}sg_{l}^{−1}, para l = 0, 1, 2. Las otras relaciones entre t_{l}’s y g_{h}’s se obtienen de (2.14). Para v ∈ V − 0 y l = 1 ó 2, se define W_{l} := ℂ − span de {g_{0}v, g_{l}v}. Luego, W_{l} es un subespacio vectorial trenzado de M(O, ρ) de tipo Cartan con

Q_{l} = (\begin{matrix}q_{ss} & q_{ss}^{j^{|x|−l}} \\ q_{ss}^{j^{l}} & q_{ss} \end{matrix}) , A_{l} = (\begin{matrix}2 & a_{12}(l) \\ a_{21}(l) & 2 \end{matrix}) ,

donde a_{12}(l) = a_{21}(l) ≡ j^{|x|−l} + j^{l} mod (N). Puesto que dim 𝔅(O, ρ) < ∞, se tiene que a_{12}(l) = a_{21}(l) = 0 ó −1. Consideremos ahora dos casos.

(i) Asumamos que a_{12}(1) = a_{21}(1) = 0. Esto implica que j^{|x|−1} + j ≡ 0 mod (N). Ya que N divide a j^{|x|} − 1, resulta que N divide a j^{2} + 1. Analizamos las dos posibilidades.

Si a_{12}(2) = a_{21}(2) = 0, entonces j^{|x|−2}+j^{2} ≡ 0 mod (N). Como N divide a j^{|x|}−1, obtenemos que N divide a j^{4} + 1. Entonces, −1 ≡ 1 mod (N); luego el resultado sigue.

Si a_{12}(2) = a_{21}(2) = −1, entonces j^{|x|−2} + j^{2} ≡ −1 mod (N). Se puede ver que N divide a j^{4} + j^{2} + 1; luego N divide a 1, lo cual es una contradicción.

(ii) Asumamos que a_{12}(1) = a_{21}(1) = −1. Esto implica que j^{|x|−1} + j ≡ −1 mod (N). Como N divide a j^{|x|} − 1, tenemos que N divide a j^{2} + j + 1. Se consideran dos posibilidades.

Si a_{12}(2) = a_{21}(2) = 0, entonces j^{|x|−2} + j^{2} ≡ 0 mod (N). Así, N divide a j^{4} + 1. Es fácil ver que N divide a j^{2}. Dado que j y |s| son coprimos, N debe ser 1, lo que es una contradicción.

Si a_{12}(2) = a_{21}(2) = −1, entonces el subespacio W̃ := ℂ − span de {g_{0}v, g_{1}v, g_{2}v} de M(O, ρ) es de tipo Cartan con

Q = (\begin{matrix}q_{ss} & q_{ss}^{j^{|x|−1}} & q_{ss}^{j^{|x|−2}} \\ q_{ss}^{j} & q_{ss} & q_{ss}^{j^{|x|−1}} \\ q_{ss}^{j^{2}} & q_{ss}^{j} & q_{ss} \end{matrix}) , A = (\begin{matrix}2 & −1 & −1 \\ −1 & 2 & −1 \\ −1 & −1 & 2 \end{matrix}) .

Por Teorema 2.3.2, se tiene que dim 𝔅(O, ρ) = ∞, lo cual es absurdo por hipótesis.

Esto concluye la demostración.

Lema 2.3.6. Sean G un grupo finito, s ∈ G, O la clase de conjugación de s y ρ = (ρ, V) ∈ Ĝ^{s} tales que dim 𝔅(O, ρ) < ∞. Supongamos que existe un entero j tal que s^{j} ≠ s y s^{j} está en O.

(a) Si deg ρ > 1, entonces q_{ss} = −1 y s tiene orden par.

(b) Si deg ρ = 1, entonces o bien q_{ss} = −1 y s tiene orden par, o bien q_{ss} ∈ 𝔾_{3} − 1.

Demostración. Se procederá y usará la notación como en la demostración del lema anterior. Si s^{j^{2}} ≠ s, entonces el resultado sigue por Lema 2.3.5. Asumamos que s^{j^{2}} = s. Esto implica que |s| divide a j^{2} − 1, así N divide a j^{2} − 1.

(a) Sean v_{1} y v_{2} en V linealmente independientes y sea W = ℂ– span {g_{0}v_{1}, g_{0}v_{2}, g_{1}v_{1}, g_{1}v_{2}}, con g_{0} := id y g_{1} := x. Luego, W es un subespacio vectorial trenzado de M(O, ρ) de tipo Cartan con

Q = (\begin{matrix}q_{ss} & q_{ss} & q_{ss}^{j^{|x|−1}} & q_{ss}^{j^{|x|−1}} \\ q_{ss} & q_{ss} & q_{ss}^{j^{|x|−1}} & q_{ss}^{j^{|x|−1}} \\ q_{ss}^{j} & q_{ss}^{j} & q_{ss} & q_{ss} \\ q_{ss}^{j} & q_{ss}^{j} & q_{ss} & q_{ss} \end{matrix}) , A = (\begin{matrix}2 & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & 2 & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & 2 & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & 2 \end{matrix}) ,

donde a_{ij} = a_{ji}, i ≠ j, a_{12} ≡ 2 ≡ a_{34} mod (N), a_{13} = a_{14} = a_{23} = a_{24} y

a_{13} ≡ j^{|x|−1} + j mod (N).

Si a_{12} = 0 ó a_{34} = 0, entonces N divide a 2 y el resultado sigue. Además, si a_{13} = 0, entonces j^{|x|−1} + j ≡ 0 mod (N); esto implica que N divide a j^{2} + 1, luego N divide a 2 y el resultado sigue. Por otro lado, si a_{ij} = a_{ji} = −1, para todo i, j, tenemos que la matriz A no es de tipo finito; entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞, por Teorema 2.3.2. Esto es una contradicción por hipótesis. Por lo tanto, (a) está probado.

(b) Para v ∈ V − 0 se define W := ℂ − span de {g_{0}v, g_{1}v}, con g_{0} := id y g_{1} := x. Luego, W es un subespacio vectorial trenzado de M(O, ρ) de tipo Cartan con

Q = (\begin{matrix}q_{ss} & q_{ss}^{j^{|x|−1}} \\ q_{ss}^{j} & q_{ss} \end{matrix}) , A = (\begin{matrix}2 & a_{12} \\ a_{21} & 2 \end{matrix}) ,

donde a_{12} = a_{21} ≡ j^{|x|−1} + j mod (N). Puesto que dim 𝔅(O, ρ) < ∞, se tiene que a_{12} = a_{21} = 0 ó −1. Consideramos ahora dos posibilidades.

(i) Supongamos que a_{12} = 0. Esto implica que j^{|x|−1}+j ≡ 0 mod (N). Ya que N divide a j^{|x|}−1, resulta que N divide a j^{2} + 1. Entonces, N divide a 2; luego N = 2, y el resultado sigue.

(ii) Supongamos que a_{12} = −1. Esto implica que j^{|x|−1} + j ≡ −1 mod (N). Como N divide a j^{|x|} − 1, se tiene que N divide a j^{2} + j + 1. Así, N divide a j + 2. Si p es un divisor primo de N, entonces p divide a j − 1 ó j + 1, porque N divide a j^{2} − 1. Si p divide a j + 1, entonces p divide a 1, una contradicción. Consecuentemente, N divide a j − 1. Por lo tanto, N divide a 3, i. e. N = 3 y el resultado sigue.

Esto concluye la prueba.

El siguiente resultado es una herramienta importante para determinar álgebras de Nichols de dimenión infinita por medio de subracks abelianos.

2.4. CRITERIOS DE DIMENSIÓN INFINITA MEDIANTE SUBRACKS NO ABELIANOS 25

Lema 2.3.7. Sean W un módulo de Yetter-Drinfeld, U ⊆ W un subespacio vectorial trenzado de tipo diagonal de W con coeficientes (q_{ij})_{1≤i,j≤θ} tales que q_{ii} es una raíz de la unidad para todo i, y G el diagrama de Dynkin generalizado asociado a U. Si G contiene un r-ciclo con r > 3, o un vértice con valencia mayor que 3, entonces el álgebra de Nichols 𝔅(U) tiene dimensión infinita. Por lo tanto, dim 𝔅(W) = ∞.

Demostración. Sigue de [H4, Lema 20].

2.4. Criterios de dimensión infinita mediante subracks no abelianos

En esta sección, presentaremos una familia de criterios que dan condiciones suficientes para que 𝔅(O, ρ) tenga dimensión infinita, mediante subracks no abelianos de O. Dichos criterios han sido desarrollados en [AF3]. Recordamos la notación x ▷ y = xyx^{−1}.

2.4.1. Subracks de tipo D_{p}

Sea n > 1 un entero impar. Sea 𝔻_{n} el grupo diedral de orden 2n, generado por x e y con relaciones x^{2} = e = y^{n} y xyx = y^{−1}. Sea O_{x} la clase de conjugación de x y sgn ∈ 𝔻̂_{n}^{x} la representación signo de 𝔻_{n}^{x} = ⟨x⟩ ≃ ℤ_{2}. El objetivo de esta sección es aplicar el siguiente resultado.

Teorema 2.4.1. [AHS, Theor. 4.8]. El álgebra de Nichols 𝔅(M(O_{x}, sgn) ⊕ M(O_{x}, sgn)) tiene dimensión infinita.

Observación 2.4.2. Notar que M(O_{x}, sgn)⊕M(O_{x}, sgn) es isomorfo como espacio vectorial trenzado a (ℂX_{p}, 𝔮), donde

X_{p} es el rack con 2p elementos x_{i}, y_{j}, i, j ∈ ℤ/p, y con estructura

x_{i} ▷ x_{j} = x_{2i−j}, x_{i} ▷ y_{j} = y_{2i−j}, y_{i} ▷ x_{j} = x_{2i−j}, y_{i} ▷ y_{j} = y_{2i−j}, i, j ∈ ℤ/p;

𝔮 es el cociclo constante 𝔮 ≡ −1.

Si d divide a p, entonces X_{d} puede ser identificado con un subrack de X_{p}. Por esta razón, a los efectos de determinar criterios de dimensión infinita basta considerar espacios vectoriales trenzados (ℂX_{p}, 𝔮), con p un primo impar. No obstante, comenzamos con definiciones y propiedades para las cuales no se necesita esa restricción sobre p.

Sea G un grupo finito y O una clase de conjugación de G.

Definición 2.4.3. Sea p ∈ ℤ, con p > 1. Una familia (σ_{i})_{i∈ℤ/p} de elementos distintos de G es de tipo D_{p} si

σ_{i} ▷ σ_{j} = σ_{2i−j}, i, j ∈ ℤ/p.  (2.15)

Sean (σ_{i})_{i∈ℤ/p} y (τ_{i})_{i∈ℤ/p} dos familias de tipo D_{p} en G, tales que σ_{i} ≠ τ_{j} para todo i, j ∈ ℤ/p. Diremos que (σ, τ) := (σ_{i})_{i∈ℤ/p} ∪ (τ_{i})_{i∈ℤ/p} es de tipo D_{p}^{(2)} si

σ_{i} ▷ τ_{j} = τ_{2i−j}, τ_{i} ▷ σ_{j} = σ_{2i−j}, i, j ∈ ℤ/p.  (2.16)

Observación 2.4.4. Si (σ_{i})_{i∈ℤ/p} es de tipo D_{p} entonces

σ_{i}^{−1} ▷ σ_{j} = σ_{2i−j},  σ_{i} ▷ σ_{j}^{−1} = σ_{2i−j}^{−1},  σ_{i}^{−1} ▷ σ_{j}^{−1} = σ_{2i−j}^{−1},  (2.17)
σ_{i}^{k} ▷ σ_{j} = σ_{2i−j},  σ_{i} ▷ σ_{j}^{k} = σ_{2i−j}^{k},  σ_{i}^{k} ▷ σ_{j}^{k} = σ_{2i−j}^{k},  (2.18)

para todo i, j ∈ ℤ/p, y para todo k impar.

Observación 2.4.5. Asumamos que p es impar. Si (σ, τ) = (σ_{i})_{i∈ℤ/p} ∪ (τ_{i})_{i∈ℤ/p} es de tipo D_{p}^{(2)}, entonces para todo i, j,

σ_{i}^{2} = σ_{j}^{2}, τ_{i}^{2} = τ_{j}^{2}, σ_{i}^{2}τ_{j} = τ_{j}σ_{i}^{2}, τ_{i}^{2}σ_{j} = σ_{j}τ_{i}^{2}.  (2.19)

En efecto, σ_{h}^{2}σ_{j} = σ_{j}σ_{h}^{2}; luego, σ_{2h−j}^{2} = σ_{h}σ_{j}^{2}σ_{h}^{−1} = σ_{j}^{2}. Así, h = \frac{i + j}{2} .

Lema 2.4.6. Si (σ, τ) = (σ_{i})_{i∈ℤ/p} ∪ (τ_{i})_{i∈ℤ/p} es de tipo D_{p}^{(2)}, entonces

(i) σ_{k}σ_{l} = σ_{t(l−k)+k} σ_{t(l−k)+l},

(ii) σ_{k}τ_{l} = σ_{2t(l−k)+k} τ_{2t(l−k)+l},

(iii) σ_{k}τ_{l} = τ_{(2t+1)(l−k)+k} σ_{(2t+1)(l−k)+l},

para todo k, l, t ∈ ℤ/p.

Notar que también se tienen relaciones análogas intercambiando los roles de σ y τ.

Demostración. Probaremos (i) por inducción en t; (ii) y (iii) son similares. La afirmación es obvia cuando t = 0. Puesto que σ_{k}σ_{l} = σ_{l}σ_{l▷k}, el resultado se cumple para t = 1. Supongamos que (i) se cumple para todo s ≤ t. Ahora bien,

σ_{k}σ_{l} = σ_{t(l−k)+k} σ_{t(l−k)+l}
= σ_{t(l−k)+l} σ_{(t(l−k)+l)▷(t(l−k)+k)} = σ_{(t+1)(l−k)+k} σ_{(t+1)(l−k)+l},

por hipótesis inductiva.

Lema 2.4.7. Asumamos que p es impar. Si (σ, τ) es de tipo D_{p}^{(2)}, entonces para cada i ∈ ℤ/p se tiene que

σ_{i}τ_{i} = σ_{0}τ_{0},  (2.20)
τ_{i}σ_{i} = τ_{0}σ_{0}.  (2.21)

Demostración. Sean i, j ∈ ℤ/p, con i ≠ j. Si escribimos (ii) del Lema 2.4.6 con k = i, l = j y t = −(p + 1)/2, entonces obtenemos σ_{i}τ_{j} = σ_{2i−j}τ_{i}. Luego, σ_{i}τ_{i}τ_{j}^{2} = σ_{i}τ_{j}τ_{j}τ_{i} = σ_{2i−j}τ_{i}τ_{i}τ_{2i−j} = σ_{2i−j}τ_{2i−j}τ_{i}^{2}, y, por (2.19),

σ_{i}τ_{i} = σ_{2i−j}τ_{2i−j}.

Ahora bien, tomando j = 2i se tiene (2.20). La prueba de (2.21) es análoga.

Sea (σ_{i})_{i∈ℤ/p} una familia de tipo D_{p} en G, con p impar. Sean

g_{i} = σ_{i/2},  (2.22)
α_{ij} = g_{i▷j}^{−1} σ_{i} g_{j} = σ_{i−j/2}^{−1} σ_{i} σ_{j/2},  (2.23)

para todo i, j ∈ ℤ/p. Entonces

g_{i} ▷ σ_{0} = σ_{i},  α_{ij} ∈ G^{σ_{0}},  i, j ∈ ℤ/p.

Sea (σ, τ) de tipo D_{p}^{(2)} y supongamos que existe g_{∞} ∈ G tal que g_{∞} ▷ σ_{0} = τ_{0}. Definimos

f_{i} = τ_{i/2} g_{∞},  (2.24)
β_{ij} = f_{i▷j}^{−1} σ_{i} f_{j} = g_{∞}^{−1} τ_{i−j/2}^{−1} σ_{i} τ_{j/2} g_{∞},  (2.25)
γ_{ij} = g_{i▷j}^{−1} τ_{i} g_{j} = σ_{i−j/2}^{−1} τ_{i} σ_{j/2},  (2.26)
δ_{ij} = f_{i▷j}^{−1} τ_{i} f_{j} = g_{∞}^{−1} τ_{i−j/2}^{−1} τ_{i} τ_{j/2} g_{∞}.  (2.27)

Luego,

f_{i} ▷ σ_{0} = τ_{i},  β_{ij}, γ_{ij}, δ_{ij} ∈ G^{σ_{0}},  i, j ∈ ℤ/p.

Lema 2.4.8. Sea (σ, τ) = (σ_{i})_{i∈ℤ/p} ∪ (τ_{i})_{i∈ℤ/p} de tipo D_{p}^{(2)}, con p primo impar, y supongamos que existe g_{∞} ∈ G tal que g_{∞} ▷σ_{0} = τ_{0}. Sean g_{i} y f_{i} como en (2.22) y (2.24), respectivamente. Entonces, para todo i, j ∈ ℤ/p,

(a) α_{ij} = δ_{ij} = σ_{0},

(b) β_{ij} = g_{∞}^{−1}σ_{0}g_{∞},

(c) γ_{ij} = τ_{0}.

Demostración. Sean k, l en ℤ/p. Luego, para todo r ∈ ℤ/p, tenemos que

σ_{k}σ_{l} = σ_{k+r}σ_{l+r}, σ_{k}τ_{l} = σ_{k+r}τ_{l+r}, σ_{k}τ_{l} = τ_{k+r}σ_{l+r}.  (2.28)

En efecto, en el caso que k = l esto sigue de (2.19) y del Lema 2.4.7, mientras que si k ≠ l, se obtiene de (2.19) y Lema 2.4.6. Existen identidades similares intercambiando σ’s y τ’s. Ahora,

α_{ij} = σ_{i−j/2}^{−1} σ_{i} σ_{j/2} =^{(2.28)} σ_{0},
δ_{ij} = g_{∞}^{−1}τ_{i−j/2}^{−1} τ_{i} τ_{j/2} g_{∞} =^{(2.28)} g_{∞}^{−1}τ_{0} g_{∞} = σ_{0},
β_{ij} = g_{∞}^{−1}τ_{i−j/2}^{−1} σ_{i} τ_{j/2} g_{∞} =^{(2.28)} g_{∞}^{−1} σ_{0} g_{∞},
γ_{ij} = σ_{i−j/2}^{−1} τ_{i} σ_{j/2} =^{(2.28)} σ_{i−j/2}^{−1} σ_{i−j/2}τ_{0} = τ_{0},

como queríamos probar.

Probaremos ahora el principal resultado de la sección.

Teorema 2.4.9. Sean p primo impar y (σ, τ) = (σ_{i})_{i∈ℤ/p} ∪ (τ_{i})_{i∈ℤ/p} una familia de elementos en G con σ_{0} ∈ O. Sea (ρ, V) una representación irreducible del centralizador G^{σ_{0}}. Asumamos que

(H1) (σ, τ) es de tipo D_{p}^{(2)};

(H2) (σ, τ) ⊆ O, con g_{∞} ∈ G tal que g_{∞} ▷ σ_{0} = τ_{0};

(H3) q_{σ_{0}σ_{0}} = −1;

(H4) existen v, w ∈ V − 0 tales que,

ρ(g_{∞}^{−1}σ_{0}g_{∞})w = −w,  (2.29)
ρ(τ_{0})v = −v.  (2.30)

Entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

Demostración. Sean v, w ∈ V − 0 como en (H4) y W el espacio vectorial generado por {g_{i}v : i ∈ ℤ/p} ∪ {f_{i}w : i ∈ ℤ/p}. Sea Ψ : ℂX_{p} → W dada por Ψ(x_{i}) = g_{i}v, Ψ(y_{i}) = f_{i}w, i ∈ ℤ/p. Puesto que los elementos σ_{i} y τ_{j} son todos diferentes, Ψ es un isomorfismo lineal. Luego, W es un subespacio vectorial trenzado de M(O, ρ) y Ψ es un isomorfismo de espacios vectoriales trenzados. En efecto, podemos calcular que la trenza en W está dada por:

c(g_{i}v ⊗ g_{j}v) = σ_{i}g_{j}v ⊗ g_{i}v = g_{i▷j}α_{ij}v ⊗ g_{i}v =^{(H3)} −g_{i▷j}v ⊗ g_{i}v,
c(g_{i}v ⊗ f_{j}w) = σ_{s}i_{j}w ⊗ g_{i}v = f_{i▷j}β_{ij}w ⊗ g_{i}v =^{(2.29)} −f_{i▷j}w ⊗ g_{i}v,
c(f_{i}w ⊗ g_{j}v) = τ_{i}g_{j}v ⊗ f_{i}w = g_{i▷j}γ_{ij}v ⊗ f_{i}w =^{(2.30)} −g_{i▷j}v ⊗ f_{i}w,
c(f_{i}w ⊗ f_{j}w) = τ_{s}i_{j}w ⊗ f_{i}w = f_{i▷j}δ_{ij}w ⊗ f_{i}w =^{(H3)} −f_{i▷j}w ⊗ f_{i}w,

por Lema 2.4.8. Luego, dim 𝔅(W) = ∞ por Teorema 2.4.1. Ahora el teorema sigue del Lema 2.3.1.

Como una consecuencia del Teorema 2.4.9, podemos enunciar un criterio muy útil.

Corolario 2.4.10. Sean G un grupo finito, σ_{i}, 0 ≤ i ≤ p − 1, elementos distintos en G, con p un primo impar. Asumamos que existe k, 1 ≤ k ≤ |σ_{0}|, tal que σ_{0}^{k} ≠ σ_{0} y σ_{0}^{k} ∈ O, la clase de conjugación de σ_{0}. Sea ρ = (ρ, V) ∈ Ĝ^{σ_{0}}. Si

(i) (σ_{i})_{i∈ℤ/p} es de tipo D_{p}, y

(ii) q_{σ_{0}σ_{0}} = −1,

entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

Demostración. Por la hipótesis (ii), el orden de σ_{0} es par; luego, k es impar, digamos que k = 2t+1, con t ≥ 1. Sean τ_{i} := σ_{i}^{k}, 0 ≤ i ≤ p − 1, y g_{∞} ∈ G tal que g_{∞} ▷ σ_{0} = σ_{0}^{k}. Sea (σ, τ) = (σ_{i})_{i∈ℤ/p} ∪ (τ_{i})_{i∈ℤ/p}; claramente, (σ, τ) ⊆ O. Afirmamos que (σ, τ) is de tipo D_{p}^{(2)}. En efecto, es fácil ver que σ_{i}, τ_{i}, i ∈ ℤ/p, son todos distintos; ahora, usando (i) y (2.18) la afirmación queda probada.

Resta verificar la hipótesis (H4) del Teorema 2.4.9. Puesto que g_{∞}σ_{0}g_{∞}^{−1} = σ_{0}^{k}, se tiene que g_{∞}^{l}σ_{0}g_{∞}^{−l} = σ_{0}^{k^{l}}, para todo l ≥ 0. En particular,

g_{∞}^{−1}σ_{0}g_{∞} = g_{∞}^{|g_{∞}|−1}σ_{0}g_{∞}^{−|g_{∞}|+1} = σ_{0}^{k^{|g∞|−1}}.

Ahora, como q_{σ_{0}σ_{0}} = −1 y k es impar, entonces tenemos que ρ(g_{∞}^{−1}σ_{0}g_{∞}) = − Id. Luego, se cumple (2.29), para cualquier w ∈ V − 0. Además, ρ(τ_{0}) = ρ(σ_{0}^{k}) = (− Id)^{k} = − Id, porque k es impar; así, se cumple (2.30), para cualquier v ∈ V − 0. Luego, tomando cualquier v y w en V − 0, estamos en las condiciones del Teorema 2.4.9. Por lo tanto, dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

Ejemplo 2.4.11. Let m ≥ 6. Let σ ∈ 𝕊_{m} de tipo (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, …, m^{n_{m}}), O the conjugacy class de σ y ρ ∈ 𝕊̂_{m}^{σ}. Si there exists j, 1 ≤ j ≤ m, such that

2p divides j, for some impar prime p, y

n_{j} ≥ 1;

entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

2.4.2. Subracks de tipo D_{3}

El caso de los racks de tipo D_{3} son particularmente interesantes. Es por eso que, en esta subsección, se estudian criterios para determinar cuándo una clase de conjugación O de un grupo contiene subracks de tipo de D_{3}.

Sean G un grupo finito, σ_{0}, σ_{1}, σ_{2} ∈ G distintos y O una clase de conjugación de G. Luego, (σ_{i})_{0≤i≤2} es de tipo D_{3} si vale que

σ_{i} ▷ σ_{j} = σ_{k},  donde i, j, k son todos distintos.  (2.31)

Notar que σ_{i} ▷ σ_{i} = σ_{i}, 0 ≤ i ≤ 2, y que (2.31) determina 6 relaciones.

Proposición 2.4.12. Si valen

σ_{0} ▷ σ_{1} = σ_{2},  (2.32)
σ_{0} ▷ σ_{2} = σ_{1},  (2.33)
σ_{1} ▷ σ_{2} = σ_{0},  (2.34)

entoces (σ_{i})_{0≤i≤2} es de tipo D_{3}.

Demostración. Tenemos que probar

σ_{2} ▷ σ_{1} = σ_{0},  (2.35)
σ_{2} ▷ σ_{0} = σ_{1},  (2.36)
σ_{1} ▷ σ_{0} = σ_{2}.  (2.37)

La igualdad (2.35) sigue de

σ_{2} ▷ σ_{1} =^{(2.32) y (2.33)} (σ_{0} ▷ σ_{1}) ▷ (σ_{0} ▷ σ_{2}) =^{(2.2)} σ_{0} ▷ (σ_{1} ▷ σ_{2}) =^{(2.34)} σ_{0}.

Por otro lado, si hacemos actuar σ_{2} en (2.34) tenemos

σ_{2} ▷ σ_{0} =^{(2.2)} (σ_{2} ▷ σ_{1}) ▷ (σ_{2} ▷ σ_{2}) =^{(2.35)} σ_{0} ▷ σ_{2} =^{(2.33)} σ_{1},

mientras que si hacemos actuar σ_{1} en (2.35) se tiene

σ_{1} ▷ σ_{0} =^{(2.2)} (σ_{1} ▷ σ_{2}) ▷ (σ_{1} ▷ σ_{1}) =^{(2.34)} σ_{0} ▷ σ_{1} =^{(2.32)} σ_{2}.

Esto concluye la prueba.

La siguiente es una caracterización de la propiedad de ser D_{3}.

Proposición 2.4.13. Sean σ_{0}, σ_{1} ∈ O. Definamos σ_{2} := σ_{0} ▷ σ_{1}. Entonces (σ_{i})_{0≤i≤2} es de tipo D_{3} si y sólo si

σ_{0} ∉ G^{σ_{1}},  (2.38)
σ_{0}^{2} ∈ G^{σ_{1}},  (2.39)
σ_{0} = σ_{1} ▷ (σ_{0} ▷ σ_{1}).  (2.40)

Demostración. Notar que la definición de σ_{2} es equivalente a (2.32) y que (2.40) equivale a (2.34).

Supongamos que (σ_{i})_{0≤i≤2} es de tipo D_{3}. Como σ_{2} ≠ σ_{1} se tiene que σ_{0} ∉ G^{σ_{1}}. Además, σ_{0}^{2} ▷ σ_{1} = σ_{0} ▷ (σ_{0} ▷ σ_{1}) = σ_{0} ▷ σ_{2} = σ_{1}. Esto implica que σ_{0}^{2} ∈ G^{σ_{1}}.

Recíprocamente, si σ_{0} ∉ G^{σ_{1}}, entonces σ_{0} ≠ σ_{1}, σ_{1} ≠ σ_{2}, y σ_{0} ≠ σ_{2} sigue de (2.38) y (2.40). Ahora bien, (2.33) se satisface pues σ_{0} ▷σ_{2} = σ_{0}^{2} ▷σ_{1} = σ_{1}. Por lo tanto, (σ_{i})_{0≤i≤2} es de tipo D_{3}.

Sean σ_{0}, σ_{1}, σ_{2}, τ_{0}, τ_{1}, τ_{2} ∈ G elementos distintos. Notar que (σ, τ) = (σ_{0}, σ_{1}, σ_{2}, τ_{0}, τ_{1}, τ_{2}) es de tipo D_{3}^{(2)}, si (σ_{i})_{0≤i≤2} y (τ_{j})_{0≤j≤2} son de tipo D_{3} y vale

σ_{i} ▷ τ_{j} = τ_{k},  τ_{i} ▷ σ_{j} = σ_{k},  donde i, j, k son todos distintos.  (2.41)

Notar que (2.41) determina 18 relaciones.

Lema 2.4.14. Sean (σ_{i})_{0≤i≤2} y (τ_{j})_{0≤j≤2} tales que valen (2.32), (2.33), (2.34) para σ y para τ, y además valen

σ_{0} ▷ τ_{0} = τ_{0},  (2.42)
σ_{0} ▷ τ_{1} = τ_{2},  (2.43)
σ_{1} ▷ τ_{0} = τ_{2},  (2.44)

entonces σ_{i} ▷ τ_{i} = τ_{i}, 0 ≤ i ≤ 2, y σ_{i} ▷ τ_{j} = τ_{k}, para todo i, j, k distintos.

Demostración. Tenemos que probar

σ_{0} ▷ τ_{2} = τ_{1},  (2.45)
σ_{2} ▷ τ_{2} = τ_{2},  (2.46)
σ_{1} ▷ τ_{1} = τ_{1},  (2.47)
σ_{2} ▷ τ_{0} = τ_{1},  (2.48)
σ_{2} ▷ τ_{1} = τ_{0},  (2.49)
σ_{1} ▷ τ_{2} = τ_{0},  (2.50)

La igualdad (2.45) es cierta pues

σ_{0} ▷ τ_{2} = σ_{0} ▷ (τ_{0} ▷ τ_{1}) = τ_{0} ▷ τ_{2} = τ_{1},

mientras que (2.46) y (2.47) valen pues

σ_{2} ▷ τ_{2} = (σ_{1} ▷ σ_{0}) ▷ (σ_{1} ▷ τ_{0}) = σ_{1} ▷ (σ_{0} ▷ τ_{0}) = σ_{1} ▷ τ_{0} = τ_{2},
σ_{1} ▷ τ_{1} = (σ_{0} ▷ σ_{2}) ▷ (σ_{0} ▷ τ_{2}) = σ_{0} ▷ (σ_{2} ▷ τ_{2}) = σ_{0} ▷ τ_{2} = τ_{1}.

Por otro lado,

σ_{2} ▷ τ_{0} = (σ_{0} ▷ σ_{1}) ▷ (σ_{0} ▷ τ_{0}) = σ_{0} ▷ (σ_{1} ▷ τ_{0}) = σ_{0} ▷ τ_{2} = τ_{1},

muestra (2.48). Finalmente,

σ_{2} ▷ τ_{1} = σ_{2} ▷ (σ_{0} ▷ τ_{2}) = σ_{1} ▷ (σ_{2} ▷ τ_{2}) = σ_{1} ▷ τ_{2} = σ_{1} ▷ (τ_{0} ▷ τ_{1}) = τ_{2} ▷ τ_{1} = τ_{0},

prueba (2.49) y (2.50).

Observación 2.4.15. Con esto hemos mostrado que 6 generadores σ_{0}, σ_{1}, σ_{2}, τ_{0}, τ_{1}, τ_{2} ∈ G, y 12 relaciones (2.32), (2.33), (2.34), para σ y para τ, (2.42), (2.43), (2.44), y sus relaciones análogas

τ_{0} ▷ σ_{0} = σ_{0},  (2.51)
τ_{0} ▷ σ_{1} = σ_{2},  (2.52)
τ_{1} ▷ σ_{0} = σ_{2},  (2.53)

implican que (σ, τ) es de tipo D_{2}^{(3)}.

Veremos que podemos prescindir de 3 de las 12 relaciones.

Lema 2.4.16. Sean σ_{0}, σ_{1}, σ_{2}, τ_{0}, τ_{1}, τ_{2} ∈ G, tales que valen (2.32), (2.33), (2.34), para σ y para τ, y las relaciones (2.42), (2.44) y (2.52). Entonces (σ, τ) es de tipo D_{3}^{(2)}.

Demostración. Por Lema 2.4.14, basta ver que valen (2.43), (2.51) y (2.53).

En primer lugar, (2.51) vale pues τ_{0} = σ_{0} ▷ τ_{0} = σ_{0}τ_{0}σ_{0}^{−1}. Por otro lado, haciendo actuar por τ_{0} a (2.44) tenemos que

τ_{1} = τ_{0} ▷ τ_{2} = (τ_{0} ▷ σ_{1}) ▷ (τ_{0} ▷ τ_{0}) = σ_{2} ▷ τ_{0};

ahora haciendo actuar por σ_{0} a esta última se tiene que

σ_{0} ▷ τ_{1} = (σ_{0} ▷ σ_{2}) ▷ (σ_{0} ▷ τ_{0}) = σ_{1} ▷ τ_{0} =^{(2.44)} τ_{2}.

Luego, vale (2.43). Por Lema 2.4.14, vale que σ_{i} ▷ τ_{i} = τ_{i}, 0 ≤ i ≤ 2, y σ_{i} ▷ τ_{j} = τ_{k}, para todo i, j, k distintos. Ahora bien, haciendo actuar por σ_{2} a (2.52) tenemos que

σ_{2} = (σ_{2} ▷ τ_{0}) ▷ (σ_{2} ▷ σ_{1}) = τ_{1} ▷ σ_{0},

que es (2.53). Luego, por Lema 2.4.14, cambiando los roles de σ y τ, se tiene que (σ, τ) es de tipo D_{3}^{(2)}, como se quería probar.

Los resultados anteriores nos permiten caracterizar la propiedad de ser D_{3}^{(2)} de una manera análoga a lo hecho en la Proposición 2.4.13. Proposición 2.4.17. Sean σ_{0}, σ_{1}, τ_{0}, τ_{1} todos distintos que verifican

(1) σ_{0} ∉ G^{σ_{1}},

(2) σ_{0}^{2} ∈ G^{σ_{1}},

(3) σ_{0} = σ_{1} ▷ (σ_{0} ▷ σ_{1}),

(4) τ_{0} ∉ G^{τ_{1}},

(5) τ_{0}^{2} ∈ G^{τ_{1}},

(6) τ_{0} = τ_{1} ▷ (τ_{0} ▷ τ_{1}),

(7) σ_{0} ▷ τ_{0} = τ_{0},

(8) σ_{1} ▷ τ_{0} = τ_{2},

(9) τ_{0} ▷ σ_{1} = σ_{2},

donde σ_{2} = σ_{0} ▷ σ_{1} y τ_{2} = τ_{0} ▷ τ_{1}. Entonces (σ, τ) es de tipo D_{3}^{(2)}. Lema 2.4.18. Sea G grupo finito, O una clase de conjugación de G y σ_{i}, τ_{i} ∈ O, 0 ≤ i ≤ 2. Supongamos que (σ, τ) es de tipo D_{3}^{(2)}. Entonces

(i) σ_{0}τ_{1} = τ_{2}σ_{0} = σ_{1}τ_{2} = τ_{0}σ_{1} = σ_{2}τ_{0} = τ_{1}σ_{2}, (ii) σ_{0}τ_{2} = τ_{1}σ_{0} = σ_{2}τ_{1} = τ_{0}σ_{2} = σ_{1}τ_{0} = τ_{2}σ_{1}, (iii) σ_{0}τ_{0} = σ_{1}τ_{1} = σ_{2}τ_{2}, (iv) τ_{0}σ_{0} = τ_{1}σ_{1} = τ_{2}σ_{2}. Demostración. (i) y (ii). Por cálculos directos. Veamos (iii). Usando (i) y las relaciones de rack, tenemos que

σ_{1}τ_{1}τ_{0}^{2} = σ_{1}τ_{1}τ_{2}^{2} = σ_{1}τ_{2}τ_{2}τ_{1} = σ_{0}τ_{1}τ_{1}τ_{0} = σ_{0}τ_{1}^{2}τ_{0} = σ_{0}τ_{0}^{2}τ_{0} = σ_{0}τ_{0}^{3}.

Luego, σ_{1}τ_{1} = σ_{0}τ_{0}. Ahora, aplicando τ_{0} ▷ _a esta última identidad se tiene que σ_{2}τ_{2} = σ_{0}τ_{0}. (iv) se prueba de manera análoga a (iii).

Aplicaciones

Presentaremos ahora una especialización de la Observación 2.4.2 al caso p = 3. Si bien lo mismo vale cuando p es un primo impar cualquiera, desarrollaremos este caso dado la importancia del criterio D_{3} a la hora de eliminar pares (O, ρ).

Sean G un grupo finito, O una clase de conjugación de G. Sean σ_{0}, σ_{1}, σ_{2} ∈ O elementos distintos tales que (σ_{i})_{0≤i≤2} es de tipo D_{3}. Definimos

g_{1} := σ_{0},  g_{2} := σ_{2},  g_{3} := σ_{1};

luego, se cumple que σ_{i} = g_{i} ▷ σ_{0}, 0 ≤ i ≤ 2. Es fácil ver que se satisfacen las siguientes relaciones

σ_{0}g_{1} = g_{1}σ_{0},  σ_{0}g_{2} = g_{3}σ_{0},  σ_{0}g_{3} = g_{2}σ_{0},
σ_{1}g_{1} = g_{3}σ_{0},  σ_{1}g_{2} = g_{2}σ_{0},  σ_{1}g_{3} = g_{1}σ_{0},
σ_{2}g_{1} = g_{2}σ_{0},  σ_{2}g_{2} = g_{1}σ_{0},  σ_{2}g_{3} = g_{3}σ_{0}.

Sea ρ = (ρ, V) ∈ Ĝ^{σ_{0}} y sea v ∈ V − 0. Definimos W := span- {g_{1}v, g_{2}v, g_{3}v}. Luego, W es un subespacio vectorial trenzado de M(O, ρ); para ello usar las relaciones inmediatas anteriores y el hecho de que la trenza en W satisface

c(g_{i}v ⊗ g_{j}v) = g_{i▷j}ρ(g_{i▷j}^{−1}σ_{i}g_{j})(v) ⊗ g_{i}v, para todo 1 ≤ i, j ≤ 3,

por la Observación 2.1.10.

Lema 2.4.19. Sean σ_{0}, σ_{1}, σ_{2}, g_{1}, g_{2}, g_{3}, (ρ, V), W como arriba. Supongamos que q_{σ_{0}σ_{0}} = −1. Entonces la trenza en W satisface

c(g_{i}v ⊗ g_{j}v) = −g_{i▷j}v ⊗ g_{i}v, 1 ≤ i, j ≤ 3,

donde i ▷ i = i, 0 ≤ i ≤ 2, e i ▷ j = k, para i, j, k distintos. Más aún, W es isomorfo a M(O_{2}^{3}, sgn) como espacios vectoriales trenzados, donde O_{2}^{3} denota la clase de conjugación de las transposiciones en 𝕊_{3} y sgn es la representación signo de ℤ/2.

Demostración. Por la primera identidad de (2.19) y q_{σ_{0}σ_{0}} = −1, tenemos que ρ(σ_{1}^{2}) = Id = ρ(σ_{2}^{2}). Ahora mostrar la primera afirmación es fácil. Veamos la segunda afirmación. La clase de conjugación de las transposiciones en 𝕊_{3} es

O_{2}^{3} = {σ̃_{1} = (1 2), σ̃_{2} = (2 3), σ̃_{3} = (1 3)}.

Si g̃_{1} = σ̃_{1}, g̃_{2} = σ̃_{3}, g̃_{3} = σ̃_{2}, entonces g̃_{i} ▷ σ̃_{1} = σ̃_{i}, 0 ≤ i ≤ 2. Luego, M(O_{2}^{3}, sgn) =span- {g̃_{1}v_{0}, g̃_{2}v_{0}, g̃_{3}v_{0}}, con v_{0} ∈ V_{0} − 0, donde V_{0} es el espacio vectorial de la representación signo de ℤ/2. Ahora bien, el mapa W → M(O_{2}^{3}, sgn) dado por

g_{1}v ↦ g̃_{1}v_{0},  g_{2}v ↦ g̃_{2}v_{0},  g_{3}v ↦ g̃_{3}v_{0},

es un isomorfismo de espacios vectoriales trenzados.

Observación 2.4.20. La prueba del lema anterior equivale a decir que el segundo grupo de cohomología de rack – ver [AGñ2, Definición 4.3] – H^{2}(D_{3}, ℤ), es isomorfo al grupo de los números enteros – ver [AGñ2, Remark 4.8].

En los capítulos subsiguientes, se dará una gran variedad de ejemplos de subracks de tipo D_{p} en una clase de conjugación.

[figure: 2; 5; 3; 4; 1; 6]

Figura 2.1: Rack del octaedro.

2.4.3. Subracks de tipo 𝔒

El rack del octaedro es el rack X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dado por los vértices del octaedro con la operación de rack dada por la regla de la “mano derecha”, i. e. si T_{i} es el mapa lineal ortogonal que fija a i y rota el plano ortogonal en un ángulo de π/2 con la regla de la mano derecha (dirigiendo el pulgar hacia i), entonces definimos ▷ : X × X → X por i ▷ j := T_{i}(j) – ver Figura 2.1.

Explícitamente,

1 ▷ 1 = 1, 2 ▷ 1 = 3, 3 ▷ 1 = 4, 4 ▷ 1 = 5, 5 ▷ 1 = 2, 6 ▷ 1 = 1,
1 ▷ 2 = 5, 2 ▷ 2 = 2, 3 ▷ 2 = 1, 4 ▷ 2 = 2, 5 ▷ 2 = 6, 6 ▷ 2 = 3,
1 ▷ 3 = 2, 2 ▷ 3 = 6, 3 ▷ 3 = 3, 4 ▷ 3 = 1, 5 ▷ 3 = 3, 6 ▷ 3 = 4,
1 ▷ 4 = 3, 2 ▷ 4 = 4, 3 ▷ 4 = 6, 4 ▷ 4 = 4, 5 ▷ 4 = 1, 6 ▷ 4 = 5,
1 ▷ 5 = 4, 2 ▷ 5 = 1, 3 ▷ 5 = 5, 4 ▷ 5 = 6, 5 ▷ 5 = 5, 6 ▷ 5 = 2,
1 ▷ 6 = 6, 2 ▷ 6 = 5, 3 ▷ 6 = 2, 4 ▷ 6 = 3, 5 ▷ 6 = 4, 6 ▷ 6 = 6.

Sean G un grupo finito, σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}, σ_{4}, σ_{5}, σ_{6} ∈ G distintos y O la clase de conjugación de σ_{1} en G. Recordamos la notación x ▷ y = xyx^{−1}.

Definición 2.4.21. Diremos que (σ_{i})_{1≤i≤6} es de tipo 𝔒 si vale que

σ_{i} ▷ σ_{j} = σ_{i▷j}, 1 ≤ i, j ≤ 6,

donde la operación ▷ en el subíndice es la operación de rack en el rack del octaedro. En otras palabras, (σ_{i})_{1≤i≤6} es de tipo 𝔒 si y sólo si {σ_{i} : 1 ≤ i ≤ 6} forma un subrack en O isomorfo al rack del octaedro.

Ejemplo 2.4.22. Sea m ≥ 4. Consideremos en 𝕊_{m} los 4-ciclos

σ_{1} = (1 2 3 4), σ_{2} = (1 2 4 3), σ_{3} = (1 3 2 4), σ_{4} = (1 3 4 2), σ_{5} = (1 4 2 3), σ_{6} = (1 4 3 2).

Es fácil ver que (σ_{i})_{1≤i≤6} satisface las relaciones dadas en la definición anterior. Luego, (σ_{i})_{1≤i≤6} es de tipo 𝔒.

Proposición 2.4.23. Sean G grupo finito, O una clase de conjugación de G y σ_{i} ∈ O, 1 ≤ i ≤ 6. Entonces (σ_{i})_{1≤i≤6} es de tipo 𝔒 si y sólo si valen las siguientes relaciones

σ_{1} ▷ σ_{2} = σ_{5},  σ_{1} ▷ σ_{3} = σ_{2},  σ_{1} ▷ σ_{4} = σ_{3},  σ_{1} ▷ σ_{5} = σ_{4},  σ_{1} ▷ σ_{6} = σ_{6}, (2.54)
σ_{2} ▷ σ_{1} = σ_{3},  σ_{2} ▷ σ_{3} = σ_{6},  σ_{2} ▷ σ_{4} = σ_{4},  σ_{2} ▷ σ_{5} = σ_{1},  σ_{2} ▷ σ_{6} = σ_{5}. (2.55)

Demostración. Aplicando σ_{1} ▷_a las relaciones en (2.55) y usando (2.54), se obtienen las relaciones σ_{5} ▷ σ_{j} = σ_{5▷j}, 1 ≤ j ≤ 6. De manera análoga, se obtienen las relaciones σ_{i} ▷ σ_{j} = σ_{i▷j}, 1 ≤ j ≤ 6, para i = 3, 4. Finalmente, las relaciones σ_{6} ▷ σ_{j} = σ_{6▷j}, 1 ≤ j ≤ 6, salen de aplicar σ_{5} ▷ _a las relaciones en (2.55) y usando (2.54).

Lema 2.4.24. Sean G grupo finito, O una clase de conjugación de G y σ_{i} ∈ O, 1 ≤ i ≤ 6. Si (σ_{i})_{1≤i≤6} es de tipo 𝔒, entonces

(i) σ_{1}^{4} = σ_{2}^{4} = σ_{3}^{4} = σ_{4}^{4} = σ_{5}^{4} = σ_{6}^{4},

(ii) σ_{1}σ_{6} = σ_{2}σ_{4} = σ_{3}σ_{5},

(iii) σ_{2}^{2}σ_{5}^{2} = σ_{1}^{3}σ_{6} = σ_{3}^{2}σ_{2}^{2},

(iv) σ_{5}^{2}σ_{2}^{2} = σ_{1}σ_{6}^{3} = σ_{2}^{2}σ_{3}^{2}.

Demostración. (i). Ya que σ_{i}▷(σ_{i}▷(σ_{i}▷(σ_{i}▷σ_{j}))) = σ_{j} para todo i, j, entonces σ_{i}^{4} ∈ G^{σ_{j}}, 1 ≤ i, j ≤ 6. Con esto podemos hacer

σ_{1}^{4} = (σ_{3}σ_{2}σ_{3}^{−1})^{4} = σ_{3}σ_{2}^{4}σ_{3}^{−1} = σ_{2}^{4} = (σ_{1}σ_{3}σ_{1}^{−1})^{4} = σ_{1}σ_{3}^{4}σ_{1}^{−1} = σ_{3}^{4} = (σ_{1}σ_{4}σ_{1}^{−1})^{4} = σ_{1}σ_{4}^{4}σ_{1}^{−1} =
σ_{4}^{4} = (σ_{1}σ_{5}σ_{1}^{−1})^{4} = σ_{1}σ_{5}^{4}σ_{1}^{−1} = σ_{5}^{4} = (σ_{2}σ_{6}σ_{2}^{−1})^{4} = σ_{2}σ_{6}^{4}σ_{2}^{−1} = σ_{6}^{4}.

(ii). Usando las relaciones dadas en la Definición 2.4.21 tenemos que

σ_{3}σ_{5} = σ_{3}σ_{1}σ_{2}σ_{1}^{−1} = σ_{3}σ_{2}σ_{5}σ_{2}^{−1}σ_{2}σ_{1}^{−1} = σ_{2}σ_{1}σ_{5}σ_{1}^{−1} = σ_{2}σ_{4},
σ_{3}σ_{5} = σ_{3}σ_{2}σ_{6}σ_{2}^{−1} = σ_{3}σ_{6}σ_{5}σ_{6}^{−1}σ_{6}σ_{2}^{−1} = σ_{6}σ_{2}σ_{5}σ_{2}^{−1} = σ_{6}σ_{1}.

Luego, σ_{1}σ_{6} = σ_{2}σ_{4} = σ_{3}σ_{5}.

(iii). Usando las relaciones del rack y (ii), tenemos que

σ_{2}^{2}σ_{5}^{2} = σ_{2}σ_{5}σ_{1}σ_{5} = σ_{5}σ_{1}σ_{1}σ_{5} = σ_{5}σ_{1}σ_{4}σ_{1} = σ_{5}σ_{3}σ_{1}^{2} = σ_{1}σ_{6}σ_{1}^{2} = σ_{1}^{3}σ_{6}.

Luego, σ_{2}^{2}σ_{5}^{2} = σ_{1}^{3}σ_{6}. Aplicando σ_{1} ▷(σ_{1} ▷(σ_{1} ▷_)) a esta última expresión se tiene que σ_{3}^{2}σ_{2}^{2} = σ_{1}^{3}σ_{6}.

(iv). Sigue de (iii) aplicando σ_{2} ▷ (σ_{2} ▷ _).

Definición 2.4.25. Sean σ_{i}, τ_{i} ∈ G, 1 ≤ i ≤ 6, elementos distintos. Diremos que (σ, τ) es de tipo 𝔒^{(2)}, si (σ_{i})_{1≤i≤6} y (τ_{j})_{1≤j≤6} son de tipo 𝔒 y

σ_{i} ▷ τ_{j} = τ_{i▷j},  τ_{i} ▷ σ_{j} = σ_{i▷j},  1 ≤ i, j ≤ 6,  (2.56)

donde la operación ▷ en el subíndice es la operación de rack en el rack del octaedro.

36  CAPÍTULO 2. MÓDULOS DE YETTER-DRINFELD SOBRE UN GRUPO FINITO

Lema 2.4.26. Sean G grupo finito, O una clase de conjugación de G y σ_{i}, τ_{i} ∈ O, 1 ≤ i ≤ 6. Supongamos que (σ, τ) es de tipo 𝔒^{(2)}. Entonces

(i) σ_{1}τ_{6} = σ_{6}τ_{1} = σ_{2}τ_{4} = σ_{4}τ_{2} = σ_{3}τ_{5} = σ_{5}τ_{3}, (ii) σ_{j}^{−1}τ_{j} = σ_{1}^{−1}τ_{1}, 2 ≤ j ≤ 6, (iii) τ_{2}^{−2}σ_{5}τ_{5} = τ_{1}^{−1}σ_{6}, (iv) τ_{2}^{−2}σ_{3}τ_{3} = σ_{1}τ_{6}^{−1},

(v) σ_{2}^{−2}σ_{5}τ_{5} = σ_{1}^{−2}τ_{1}σ_{6}, (vi) σ_{2}^{−2}σ_{3}τ_{3} = τ_{1}σ_{6}^{−1}.

Demostración. (i). Primero vemos que

σ_{1}τ_{6} = σ_{1} σ_{2}τ_{3}σ_{2}^{−1} = τ_{3}σ_{2}τ_{3}^{−1} τ_{3}σ_{6}τ_{3}^{−1} τ_{3}σ_{2}^{−1} = τ_{3} σ_{2}σ_{6}σ_{2}^{−1} = τ_{3}σ_{5}.  (2.57)

Ahora bien, aplicando σ_{2} ▷ _a (2.57) se tiene σ_{3}τ_{5} = τ_{6}σ_{1}. Aplicando nuevamente σ_{2} ▷ _a ésta última igualdad se tiene σ_{6}τ_{1} = τ_{5}σ_{3}. Las demás identidades se prueban de manera análoga.

(ii). Por (i) y Lema 2.4.24 (i) para (τ_{i})_{1≤i≤6}, tenemos que

σ_{2}^{−1}τ_{2} = σ_{2}^{−1}τ_{4}^{−1}τ_{4}τ_{2} = σ_{1}^{−1}τ_{6}^{−1}τ_{1}τ_{6} = σ_{1}^{−1}τ_{1}.

Las demás relaciones se obtienen de manera análoga.

(iii). Es fácil ver que

τ_{2}^{−2}σ_{5}τ_{5} = τ_{2}^{−4}τ_{2}τ_{2}τ_{5}σ_{5} = τ_{1}^{−4}τ_{2}τ_{5}τ_{1}σ_{5} = τ_{1}^{−4}τ_{5}τ_{1}τ_{1}σ_{5}
= τ_{1}^{−4}τ_{5}τ_{1}σ_{4}τ_{1} = τ_{1}^{−4}τ_{5}σ_{3}τ_{1}τ_{1} = τ_{1}^{−4}τ_{1}σ_{6}τ_{1}^{2} = τ_{1}^{−1}σ_{6}.

(iv). Se obtiene aplicando σ_{2} ▷ (σ_{2} ▷ _) a la identidad dada en (iii).

(v). Claramente,

σ_{2}^{−2}σ_{5}τ_{5} = σ_{2}^{−4}σ_{2}σ_{2}σ_{5}τ_{5} = σ_{1}^{−4}σ_{2}σ_{5}σ_{1}τ_{5} = σ_{1}^{−4}σ_{5}σ_{1}σ_{1}τ_{5} = σ_{1}^{−4}σ_{5}σ_{1}τ_{4}σ_{1}
= σ_{1}^{−4}σ_{5}τ_{3}σ_{1}σ_{1} = σ_{1}^{−4}σ_{1}τ_{6}σ_{1}σ_{1} = σ_{1}^{−1}τ_{6} = σ_{1}^{−2}τ_{1}σ_{6}.

(vi). Se obtiene aplicando σ_{2} ▷ (σ_{2} ▷ _) a la identidad dada en (v).

Aplicaciones

Sean G un grupo finito, O una clase de conjugación de G y (σ_{i})_{1≤i≤6} ⊂ O de tipo 𝔒. Definimos

g_{1} := σ_{1},  g_{2} := σ_{5},  g_{3} := σ_{2},  g_{4} := σ_{3},  g_{5} := σ_{4},  g_{6} := σ_{2}^{2}σ_{1};  (2.58)

luego, se cumple que σ_{i} = g_{i} ▷ σ_{1}, 1 ≤ i ≤ 6. Es fácil ver que se satisfacen las siguientes relaciones

σ_{1}g_{1} = g_{1}σ_{1}, σ_{1}g_{2} = g_{5}σ_{1},  σ_{1}g_{3} = g_{2}σ_{1}, σ_{1}g_{4} = g_{3}σ_{1}, σ_{1}g_{5} = g_{4}σ_{1},  σ_{1}g_{6} = g_{6}σ_{6},
σ_{2}g_{1} = g_{3}σ_{1}, σ_{2}g_{2} = g_{2}σ_{1},  σ_{2}g_{3} = g_{6}σ_{1}^{−1}, σ_{2}g_{4} = g_{4}σ_{6}, σ_{2}g_{5} = g_{1}σ_{6},  σ_{2}g_{6} = g_{5}σ_{6}^{3},
σ_{3}g_{1} = g_{4}σ_{1}, σ_{3}g_{2} = g_{1}σ_{6},  σ_{3}g_{3} = g_{3}σ_{1}, σ_{3}g_{4} = g_{6}σ_{6}^{−1}, σ_{3}g_{5} = g_{5}σ_{6},  σ_{3}g_{6} = g_{2}σ_{1}^{3},
σ_{4}g_{1} = g_{5}σ_{1}, σ_{4}g_{2} = g_{2}σ_{6},  σ_{4}g_{3} = g_{1}σ_{6}, σ_{4}g_{4} = g_{4}σ_{1}, σ_{4}g_{5} = g_{6}σ_{1}σ_{6}^{−2}, σ_{4}g_{6} = g_{3}σ_{1}^{2}σ_{6},
σ_{5}g_{1} = g_{2}σ_{1}, σ_{5}g_{2} = g_{6}σ_{1}^{−2}σ_{6}, σ_{5}g_{3} = g_{3}σ_{6}, σ_{5}g_{4} = g_{1}σ_{6}, σ_{5}g_{5} = g_{5}σ_{1},  σ_{5}g_{6} = g_{4}σ_{1}σ_{6}^{2},
σ_{6}g_{1} = g_{1}σ_{6}, σ_{6}g_{2} = g_{3}σ_{6},  σ_{6}g_{3} = g_{4}σ_{6}, σ_{6}g_{4} = g_{5}σ_{6}, σ_{6}g_{5} = g_{2}σ_{6},  σ_{6}g_{6} = g_{6}σ_{1}.

Sea ρ = (ρ, V) ∈ Ĝ^{σ_{1}} y sea v ∈ V − 0. Definimos W := span- {g_{i}v : 1 ≤ i ≤ 6}. Luego, W es un subespacio vectorial trenzado de M(O, ρ).

Lema 2.4.27. Sean (σ_{i})_{1≤i≤6}, (g_{i})_{1≤i≤6} y W como arriba. Sea (ρ, V) ∈ Ĝ^{σ_{1}}, con q_{σ_{1}σ_{1}} = −1. Entonces W y M(O_{4}^{4}, χ_{(−1)}) son isomorfos como espacios vectoriales trenzados, donde O_{4}^{4} denota

la clase de conjugación de los 4-ciclos en 𝕊_{4} y χ_{(−1)} ∈ { \atop 𝕊_{4}^{(1 2 3 4)}} es tal que χ_{(−1)}(1 2 3 4) = −1.

Demostración. Por Lema (2.4.24) (i) y q_{σ_{1}σ_{1}} = −1, tenemos que ρ(σ_{i}^{4}) = Id, 1 ≤ i ≤ 6. La clase de conjugación de los 4-ciclos en 𝕊_{4} es

O_{4}^{4} = {σ̃_{1} = (1 2 3 4), σ̃_{2} = (1 2 4 3), σ̃_{3} = (1 3 2 4), σ̃_{4} = (1 3 4 2), σ̃_{5} = (1 4 2 3), σ̃_{6} = (1 4 3 2)}.

Si elegimos

g̃_{1} = σ̃_{1},  g̃_{2} = σ̃_{5},  g̃_{3} = σ̃_{2},  g̃_{4} = σ̃_{3},  g̃_{5} = σ̃_{4},  g̃_{6} = σ_{2}^{2}σ̃_{1},

entonces g̃_{i} ▷ σ̃_{1} = σ̃_{i}, 1 ≤ i ≤ 6. Luego, M(O_{4}^{4}, χ_{(−1)}) = span-{g̃_{i}v_{0}, : 1 ≤ i ≤ 6}, con v_{0} ∈ V_{0} − 0, donde V_{0} es el espacio vectorial de la representación χ_{(−1)} de 𝕊_{4}^{(1 2 3 4)}. Ahora bien, el mapa W → M(O_{4}^{4}, χ_{(−1)}) dado por

g_{i}v ↦ g̃_{i}v_{0}, 1 ≤ i ≤ 6,

es un isomorfismo de espacios vectoriales trenzados.

Nuestro objetivo es aplicar el siguiente resultado.

Teorema 2.4.28. [AHS, Theor. 4.7] El álgebra de Nichols 𝔅 (M(O_{4}^{4}, χ_{(−1)}) ⊕ M(O_{4}^{4}, χ_{(−1)})) tiene dimensión infinita.

A los efectos de dar una aplicación del mismo, comenzamos determinando el espacio vectorial trenzado subyacente a M(O_{4}^{4}, χ_{(−1)}) ⊕ M(O_{4}^{4}, χ_{(−1)}).

Observación 2.4.29. Sea (ℂX, 𝔮) el espacio vectorial trenzado dado por

X = {x_{i}, y_{j} : 1 ≤ i, j ≤ 6} es un rack de 12 elementos con la siguiente estructura de rack

x_{i} ▷ x_{j} = x_{i▷j}, y_{i} ▷ y_{j} = y_{i▷j}, x_{i} ▷ y_{j} = y_{i▷j}, y_{i} ▷ x_{j} = x_{i▷j}, para todo i, j,

donde la operación ▷ en el subíndice es la operación de rack en el rack del octaedro.

𝔮 es el cociclo constante −1, i. e. 𝔮 ≡ −1.

Entonces (ℂX, 𝔮) ≃ M(O_{4}^{4}, χ_{(−1)}) ⊕ M(O_{4}^{4}, χ_{(−1)}) como espacios vectoriales trenzados.

Demostración. Definimos

σ̃_{1} := (1 2 3 4) =: τ̃_{1},  σ̃_{2} := (1 2 4 3) =: τ̃_{2},  σ̃_{3} := (1 3 2 4) =: τ̃_{3},
σ̃_{4} := (1 3 4 2) =: τ̃_{4},  σ̃_{5} := (1 4 2 3) =: τ̃_{5},  σ̃_{6} := (1 4 3 2) =: τ̃_{6}.

Denotaremos por (σ̃_{j})_{1≤j≤6} (resp. (τ̃_{j})_{1≤j≤6}) a la primera copia (resp. a la segunda copia) de O_{4}^{4}, con sistema de representantes de coclases a izquierda de 𝕊_{4}^{(1 2 3 4)} dados por g̃_{1} = g̃_{7} = σ̃_{1}, g̃_{2} = g̃_{8} = σ̃_{5}, g̃_{3} = g̃_{9} = σ̃_{2}, g̃_{4} = g̃_{10} = σ̃_{3}, g̃_{5} = g̃_{11} = σ̃_{4}, g̃_{6} = g̃_{12} = σ_{2}^{2}σ̃_{1}. Ahora bien, el mapa M(O_{4}^{4}, χ_{(−1)}) ⊕ M(O_{4}^{4}, χ_{(−1)}) → (ℂX, 𝔮) dado por

σ̃_{i} ↦ x_{i} y τ̃_{i} ↦ y_{i}, 1 ≤ i ≤ 6,

es un isomorfismo de espacios vectoriales trenzados.

Antes de enunciar el resultado más importante de esta subsección mostraremos el siguiente resultado.

Lema 2.4.30. Sean σ_{i}, τ_{i} ∈ G, 1 ≤ i ≤ 6, elementos distintos, y O una clase de conjugación de G. Supongamos que (σ, τ) ⊆ O es de tipo 𝔒^{(2)}, con g ∈ G tal que g ▷ σ_{1} = τ_{1}. Sean

g_{1} = σ_{1},  g_{2} = σ_{5},  g_{3} = σ_{2},  g_{4} = σ_{3},  g_{5} = σ_{4},  g_{6} = σ_{2}^{2}σ_{1}, (2.59)
g_{7} = gσ_{1},  g_{8} = τ_{5}g,  g_{9} = τ_{2}g,  g_{10} = τ_{3}g,  g_{11} = τ_{4}g,  g_{12} = τ_{2}^{2}gσ_{1}. (2.60)

Entonces valen las siguientes relaciones:

τ_{1}g_{7} = g_{7}σ_{1},  τ_{1}g_{8} = g_{11}σ_{1},  τ_{1}g_{9} = g_{8}σ_{1},
τ_{2}g_{7} = g_{9}σ_{1},  τ_{2}g_{8} = g_{8}σ_{1},  τ_{2}g_{9} = g_{12}σ^{−1},
τ_{3}g_{7} = g_{10}σ_{1},  τ_{3}g_{8} = g_{7}g^{−1}τ_{6}g,  τ_{3}g_{9} = g_{9}σ_{1},
τ_{4}g_{7} = g_{11}σ_{1},  τ_{4}g_{8} = g_{8}g^{−1}τ_{6}g,  τ_{4}g_{9} = g_{7}g^{−1}τ_{6}g,
τ_{5}g_{7} = g_{8}σ_{1},  τ_{5}g_{8} = g_{12}σ_{1}^{−2}g^{−1}τ_{6}g,  τ_{5}g_{9} = g_{9}g^{−1}τ_{6}g,
τ_{6}g_{7} = g_{7}g^{−1}τ_{6}g,  τ_{6}g_{8} = g_{9}g^{−1}τ_{6}g,  τ_{6}g_{9} = g_{10}g^{−1}τ_{6}g,

τ_{1}g_{10} = g_{9}σ_{1},  τ_{1}g_{11} = g_{10}σ_{1},  τ_{1}g_{12} = g_{12}g^{−1}τ_{6}g,
τ_{2}g_{10} = g_{10}g^{−1}τ_{6}g,  τ_{2}g_{11} = g_{7}g^{−1}τ_{6}g,  τ_{2}g_{12} = g_{11}(g^{−1}τ_{6}g)^{3},
τ_{3}g_{10} = g_{12}(g^{−1}τ_{6}g)^{−1},  τ_{3}g_{11} = g_{11}g^{−1}τ_{6}g,  τ_{3}g_{12} = g_{8}σ_{1}^{3},
τ_{4}g_{10} = g_{10}σ_{1},  τ_{4}g_{11} = g_{12}σ_{1}(g^{−1}τ_{6}g)^{−2},  τ_{4}g_{12} = g_{9}σ_{1}^{2}g^{−1}τ_{6}g,
τ_{5}g_{10} = g_{7}g^{−1}τ_{6}g,  τ_{5}g_{11} = g_{11}σ_{1},  τ_{5}g_{12} = g_{10}σ_{1}(g^{−1}τ_{6}g)^{2},
τ_{6}g_{10} = g_{11}g^{−1}τ_{6}g,  τ_{6}g_{11} = g_{8}g^{−1}τ_{6}g,  τ_{6}g_{12} = g_{12}σ_{1},

σ_{1}g_{7} = g_{7}g^{−1}σ_{1}g,  σ_{1}g_{8} = g_{11}g^{−1}σ_{1}g,  σ_{1}g_{9} = g_{8}g^{−1}σ_{1}g,
σ_{2}g_{7} = g_{9}g^{−1}σ_{1}g,  σ_{2}g_{8} = g_{8}g^{−1}σ_{1}g,  σ_{2}g_{9} = g_{12}σ^{−2}(g^{−1}σ_{1}g),
σ_{3}g_{7} = g_{10}g^{−1}σ_{1}g,  σ_{3}g_{8} = g_{7}g^{−1}σ_{6}g,  σ_{3}g_{9} = g_{9}g^{−1}σ_{1}g,
σ_{4}g_{7} = g_{11}g^{−1}σ_{1}g,  σ_{4}g_{8} = g_{8}g^{−1}σ_{6}g,  σ_{4}g_{9} = g_{7}g^{−1}σ_{6}g,
σ_{5}g_{7} = g_{8}g^{−1}σ_{1}g,  σ_{5}g_{8} = g_{12}σ_{1}^{−2}g^{−1}σ_{6}g,  σ_{5}g_{9} = g_{9}g^{−1}σ_{6}g,
σ_{6}g_{7} = g_{7}g^{−1}σ_{6}g,  σ_{6}g_{8} = g_{9}g^{−1}σ_{6}g,  σ_{6}g_{9} = g_{10}g^{−1}σ_{6}g,

σ_{1}g_{10} = g_{9}g^{−1}σ_{1}g,  σ_{1}g_{11} = g_{10}g^{−1}σ_{1}g,  σ_{1}g_{12} = g_{12}g^{−1}σ_{6}g,
σ_{2}g_{10} = g_{10}g^{−1}σ_{6}g,  σ_{2}g_{11} = g_{7}g^{−1}σ_{6}g,  σ_{2}g_{12} = g_{11}γ_{2,12},
σ_{3}g_{10} = g_{12}γ_{3,10},  σ_{3}g_{11} = g_{11}g^{−1}σ_{6}g,  σ_{3}g_{12} = g_{8}σ_{1}^{2}(g^{−1}σ_{1}g),
σ_{4}g_{10} = g_{10}g^{−1}σ_{1}g,  σ_{4}g_{11} = g_{12}γ_{4,11},  σ_{4}g_{12} = g_{9}σ_{1}^{2}g^{−1}σ_{6}g,
σ_{5}g_{10} = g_{7}g^{−1}σ_{6}g,  σ_{5}g_{11} = g_{11}g^{−1}σ_{1}g,  σ_{5}g_{12} = g_{10}γ_{5,12},
σ_{6}g_{10} = g_{11}g^{−1}σ_{6}g,  σ_{6}g_{11} = g_{8}g^{−1}σ_{6}g,  σ_{6}g_{12} = g_{12}g^{−1}σ_{1}g,

γ_{2,12} = σ_{1}^{2}(g^{−1}σ_{1}g)^{−2}(g^{−1}σ_{6}g)^{3}, γ_{3,10} = σ_{1}^{−2}(g^{−1}σ_{1}g)^{2}(g^{−1}σ_{6}g)^{−1}, γ_{4,11} = σ_{1}^{−2}(g^{−1}σ_{1}g)^{3}(g^{−1}σ_{6}g)^{−2} y γ_{5,12} = σ_{1}^{2}(g^{−1}σ_{1}g)^{−1}(g^{−1}σ_{6}g)^{2},

τ_{1}g_{1} = g_{1}τ_{1},  τ_{1}g_{2} = g_{5}τ_{1},  τ_{1}g_{3} = g_{2}τ_{1},
τ_{2}g_{1} = g_{3}τ_{1},  τ_{2}g_{2} = g_{2}τ_{1},  τ_{2}g_{3} = g_{6}σ_{1}^{−2}τ_{1},
τ_{3}g_{1} = g_{4}τ_{1},  τ_{3}g_{2} = g_{1}τ_{6},  τ_{3}g_{3} = g_{3}τ_{1},
τ_{4}g_{1} = g_{5}τ_{1},  τ_{4}g_{2} = g_{2}τ_{6},  τ_{4}g_{3} = g_{1}τ_{6},
τ_{5}g_{1} = g_{2}τ_{1},  τ_{5}g_{2} = g_{6}σ_{1}^{−2}τ_{6},  τ_{5}g_{3} = g_{3}τ_{6},
τ_{6}g_{1} = g_{1}τ_{6},  τ_{6}g_{2} = g_{3}τ_{6},  τ_{6}g_{3} = g_{4}τ_{6},

τ_{1}g_{4} = g_{3}τ_{1},  τ_{1}g_{5} = g_{4}τ_{1},  τ_{1}g_{6} = g_{6}τ_{6},
τ_{2}g_{4} = g_{4}τ_{6},  τ_{2}g_{5} = g_{1}τ_{6},  τ_{2}g_{6} = g_{5}σ_{1}^{3}τ_{1}σ_{6},
τ_{3}g_{4} = g_{6}σ_{1}^{−1}τ_{1}σ_{6}^{−1},  τ_{3}g_{5} = g_{5}τ_{6},  τ_{3}g_{6} = g_{2}σ_{1}^{2}τ_{1},
τ_{4}g_{4} = g_{4}τ_{1},  τ_{4}g_{5} = g_{6}τ_{1}σ_{6}^{−2},  τ_{4}g_{6} = g_{3}σ_{1}τ_{1}σ_{6},
τ_{5}g_{4} = g_{1}τ_{6},  τ_{5}g_{5} = g_{5}τ_{1},  τ_{5}g_{6} = g_{4}τ_{1}σ_{6}^{2},
τ_{6}g_{4} = g_{5}τ_{6},  τ_{6}g_{5} = g_{2}τ_{6},  τ_{6}g_{6} = g_{6}τ_{1}.

Demostración. Por cálculos directos usando Lema 2.4.24 para σ y τ, y Lema 2.4.26.

Los resultados anteriores nos permiten enunciar el siguiente.

Teorema 2.4.31. Sean σ_{i}, τ_{i} ∈ G, 1 ≤ i ≤ 6, elementos distintos, O una clase de conjugación de G y ρ = (ρ, V) ∈ Ĝ^{σ_{1}}. Supongamos que

(H1) (σ, τ) es de tipo 𝔒^{(2)},

(H2) (σ, τ) ⊆ O, con g ∈ G tal que g ▷ σ_{1} = τ_{1},

40  CAPÍTULO 2. MÓDULOS DE YETTER-DRINFELD SOBRE UN GRUPO FINITO

(H3) q_{σ_{1}σ_{1}} = −1, que existe v ∈ V − 0 tal que (H4) ρ(σ_{6})v = −v, (H5) ρ(τ_{1})v = −v, y que existe w ∈ V − 0 tal que (H6) ρ(g^{−1}σ_{1}g)w = −w, (H7) ρ(g^{−1}σ_{6}g)w = −w, Entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞. Demostración. Sean g_{j}, 1 ≤ j ≤ 12, como en (2.59) y (2.60). Luego, g_{j} ▷ σ_{1} = σ_{j}, 1 ≤ j ≤ 6, y g_{j} ▷ σ_{1} = τ_{j}, 7 ≤ j ≤ 12. Por Lema 2.4.30, se tiene que

(a) si 1 ≤ i, j ≤ 6, entonces g_{i▷j}^{−1}σ_{i}g_{j} = σ_{1}^{r}σ_{6}^{s}, con r + s impar,

(b) si 7 ≤ i, j ≤ 12, entonces g_{i▷j}^{−1}τ_{i−6}g_{j} = σ_{1}^{r}(g^{−1}τ_{6}g)^{s}, con r + s impar,

(c) si 1 ≤ i ≤ 6 y 7 ≤ j ≤ 12, entonces g_{i▷j}^{−1}σ_{i}g_{j} = σ_{1}^{r}(g^{−1}σ_{1}g)^{s}(g^{−1}σ_{6}g)^{t}, con r + s + t impar,

(d) si 1 ≤ j ≤ 6 y 7 ≤ i ≤ 12, entonces g_{i▷j}^{−1}τ_{i−6}g_{j} = σ_{1}^{r}τ_{1}^{s}σ_{6}^{t}, con r+s+t impar, pues τ_{6} = σ_{1}^{−1}τ_{1}σ_{6}. Sean W := span-{g_{i}v, : 1 ≤ i ≤ 6} y W′ := span-{g_{i}w, : 7 ≤ i ≤ 12}, con v, w ∈ V − 0, donde

v satisface (H4)-(H5) y w satisface (H6)-(H7). Luego, W y W′ son subespacios vectoriales trenzados de M(O, ρ). Probaremos que

W ⊕ W′ ≃ M(O_{4}^{4}, χ_{(−1)}) ⊕ M(O_{4}^{4}, χ_{(−1)}),

como espacios vectoriales trenzados. Así, tendremos que W ⊕W′ es un subespacio vectorial trenzado de M(O, ρ) con dim 𝔅(W ⊕W′) = ∞, por Teorema 2.4.28. Ahora el resultado sigue por Lema 2.3.1.

Por Observación 2.4.29, sólo tenemos que ver que el isomorfismo de espacios vectoriales trenzados dado por

σ̃_{i} ↦ σ_{i} y τ̃_{i} ↦ τ_{i}, 1 ≤ i ≤ 6,

respeta el cociclo, i. e. 𝔮 ≡ −1. Para ello, calcularemos explícitamente la trenza en la base g_{i}v, g_{j+6}w, 1 ≤ i, j ≤ 6, de W ⊕ W′.

Por (a), (H3) y (H4), si 1 ≤ i, j ≤ 6, entonces

c(g_{i}v ⊗ g_{j}v) = g_{i▷j}ρ(g_{i▷j}^{−1}σ_{i}g_{j})(v) ⊗ g_{i}v = −g_{i▷j}v ⊗ g_{i}v.

Por Lema 2.4.26 (i), τ_{6} = σ_{1}^{−1}τ_{1}σ_{6}. Luego, g^{−1}τ_{6}g = (g^{−1}σ_{1}g)^{−1}σ_{1}(g^{−1}σ_{6}g). Por (b), (H3), (H6) y (H7), si 7 ≤ i, j ≤ 12, entonces

c(g_{i}w ⊗ g_{j}w) = g_{i▷j}ρ(g_{i▷j}^{−1}τ_{i−6}g_{j})(w) ⊗ g_{i}w = −g_{i▷j}w ⊗ g_{i}w.

Por (c), (H3), (H6) y (H7), si 1 ≤ i ≤ 6 y 7 ≤ j ≤ 12, entonces

c(g_{i}v ⊗ g_{j}w) = g_{i▷j}ρ(g_{i▷j}^{−1}σ_{i}g_{j})(w) ⊗ g_{i}v = −g_{i▷j}w ⊗ g_{i}v.

Por (d), (H3), (H4) y (H5), si 1 ≤ j ≤ 6 y 7 ≤ i ≤ 12, entonces

c(g_{i}w ⊗ g_{j}v) = g_{i▷j}ρ(g_{i▷j}^{−1}τ_{i−6}g_{j})(v) ⊗ g_{i}w = −g_{i▷j}v ⊗ g_{i}w.

Esto concluye la prueba.

El siguiente resultado es una consequencia inmediata del Teorema 2.4.31.

Corolario 2.4.32. Sean σ_{i}, τ_{i} ∈ G, 1 ≤ i ≤ 6, elementos distintos, O una clase de conjugación de G y ρ = (ρ, V) ∈ Ĝ^{σ_{1}} con q_{σ_{1}σ_{1}} = −1. Supongamos que (σ, τ) ⊆ O es de tipo 𝔒^{(2)}. Si σ_{6} = σ_{1}^{d} y τ_{1} = σ_{1}^{e}, d, e ∈ ℤ, entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

Demostración. Notar que d y e deden ser impares, pues son coprimos con |σ_{1}|. Luego, las hipótesis (H4) y (H5) se cumplen. Por otro lado, g^{−1}σ_{1}g = σ_{1}^{e^{|g|−1}}; esto implica que ρ(g^{−1}σ_{1}g) = − Id, y, por lo tanto, (H6) se cumple. La prueba de (H7) es similar.

Álgebras de Hopf punteadas sobre los grupos simétricos

En este capítulo, se estudian las álgebras de Nichols de módulos de Yetter-Drinfeld sobre los grupos simétricos. Como resultado, se prueba que o bien el álgebra de Nichols 𝔅(O, ρ) es de dimensión infinita, o bien la trenza del módulo Yetter-Drinfeld es negativa.

Este capítulo está dividido de la siguiente manera. En la Sección 3.1 se introducen las notaciones y nociones básicas. En la Sección 3.2, se consideran clases de conjugación puras y se utilizan los criterios de dimensión infinita mediante subracks abelianos, desarrollados en la Subsección 2.3, para descartar pares (O, ρ) con dim 𝔅(O, ρ) = ∞. Finalmente, en la Sección 3.3, se aplican los criterios de subracks no abelianos a otras clases de conjugación además de las puras.

Los resultados aquí presentados forman parte de los trabajos [AF1] y [AF3].

3.1. Notación y generalidades

Sean m ∈ ℕ y σ ∈ 𝕊_{m}. El tipo de la permutación σ es un símbolo (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, …, m^{n_{m}}) que quiere decir que en la descomposición de σ como producto de ciclos disjuntos aparecen n_{j} ciclos de longitud j; claramente, ∑_{j}^{m} j n_{j} = m. Así, escribiremos

σ = A_{1} ⋯ A_{m},  (3.1)

donde A_{j} = A_{1,j} ⋯ A_{n_{j},j} es el producto de los n_{j} j-ciclos A_{1,j}, …, A_{n_{j},j} de σ. Se omitirá escribir A_{j} cuando n_{j} = 0. Elegimos A_{1}, …, A_{m} tales que A_{1,1} = (1), …, A_{n_{1},1} = (n_{1}), A_{1,2} = (n_{1} + 1 n_{1} + 2),…, A_{n_{2},2} = (n_{1} + 2n_{2} − 1 n_{1} + 2n_{2}), y así siguiendo. Más precisamente, si 1 ≤ j ≤ m y r := ∑_{1≤k≤j−1} kn_{k}, entonces

A_{l,j} := (r + (l − 1)j + 1 r + (l − 1)j + 2 ⋯ r + lj),
B_{h,j} := (r + (h − 1)j + 1 r + hj + 1)(r + (h − 1)j + 2 r + hj + 2) ⋯ (r + hj r + (h + 1)j),

para todo l, h, con 1 ≤ l ≤ n_{j}, 1 ≤ h ≤ n_{j} − 1. Notar que B_{h,j} es una involución.

La clase de conjugación de σ es

O_{σ} = {τ ∈ 𝕊_{m} : tipo de τ = tipo de σ}.

Algunas veces también se usará el tipo como un subíndice de una clase de conjugación. El centralizador de σ en 𝕊_{m} es 𝕊_{m}^{σ} = T_{1} × ⋯ × T_{m}, con

T_{j} = ⟨A_{1,j}, …, A_{n_{j},j}⟩ ⋊ ⟨B_{1,j}, …, B_{n_{j}−1,j}⟩ ≃ (ℤ/j)^{n_{j}} ⋊ 𝕊_{n_{j}},  (3.2)

para todo j, 1 ≤ j ≤ m, donde B_{h,j}, 1 ≤ h ≤ n_{j} −1, actúa sobre A_{1,j}, …, A_{n_{j},j} como la trasposición (h h + 1) sobre 1, …, n_{j}.

A continuación describiremos las representaciones irreducibles de 𝕊_{m}^{σ}. Para ello mencionaremos antes algunos hechos conocidos sobre teoría de representaciones de grupos finitos. Recordamos que para un grupo finito G, Ĝ denota el conjunto de clases de isomorfismos de representaciones irreducibles de G y que se denotará con el mismo símbolo tanto a un representante de una clase en Ĝ como a la clase misma.

Sean G un grupo finito, H un subgrupo de G y θ = (θ, W) ∈ Ĥ, una representación irreducible de H. Describiremos brevemente la representación inducida de θ.

Denotemos por L = {ϕ_{1}, …, ϕ_{k}} a las coclases a izquierda de H en G, donde k = [G : H] es el índice de H en G, y sea {g_{ϕ_{1}} = e_{G}, …, g_{ϕ_{k}}} un sistema completo de representantes de coclases a izquierda de H en G. Así,

G = H ∪ g_{ϕ_{2}}H ∪ ⋯ ∪ g_{ϕ_{k}}H.

Sea g ∈ G. Para cada i, 1 ≤ i ≤ k, existe un único ī, 1 ≤ ī ≤ k, y un único h ∈ H tales que gg_{ϕ_{i}} = g_{ϕī}h. Notar que ī y h dependen de i y de g.

Para cada i, 1 ≤ i ≤ k, definimos formalmente V_{i} := g_{ϕ_{i}}W. Claramente, V_{i} ≃ W. Definamos V := ⊕_{1≤i≤k}V_{i}; en otras palabras, sea w_{1}, …, w_{r} una base de W, entonces V es el ℂ-espacio vectorial de base X, con X := {g_{ϕ_{i}}w_{j} : 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ r}.

Para i, j, con 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ r definimos ρ : G → End(V) por

ρ(g)(g_{ϕ_{i}}w_{j}) = g_{ϕī}θ(h)w_{j},  donde gg_{ϕ_{i}} = g_{ϕī}h.  (3.3)

Se puede ver que ρ = (ρ, V) es una representación de G, con deg ρ = [G : H] deg θ.

Let ρ = (ρ, V) ∈ 𝕊̂_{m}^{σ}. Luego, ρ = ρ_{1} ⊗⋯⊗ρ_{m}, con ρ_{j} ∈ T̂_{j}. Por (3.2), esto nos lleva a considerar las representaciones irreducibles de grupos de la forma Γ⋊Λ, con Γ abeliano. Las mismas se describen de la siguiente manera. Sea χ ∈ Γ̂ y μ ∈ Λ̂^{χ}, donde Λ^{χ} es el subgrupo de isotropía con respecto a la acción natural de Λ sobre Γ̂. Así, la representación inducida Ind_{Γ⋊Λ^{χ}}^{Γ⋊Λ}(χ ⊗ μ) es irreducible y cualquier representación irreducible de Γ ⋊ Λ es isomorfa a una de esta forma, para únicos χ y μ ∈ Λ̂^{χ} (salvo la acción de Λ) – ver [Se, 8.2]. Por lo tanto, ρ_{j} ∈ T̂_{j} tiene la forma

ρ_{j} = Ind_{(ℤ/j)^{n_{j}} ⋊𝕊_{n_{j}}^{χ_{j}}}^{(ℤ/j)^{n_{j}} ⋊𝕊_{n_{j}}} (χ_{j} ⊗ μ_{j}),  (3.4)

con χ_{j} ∈ { \atop (ℤ/j)^{n_{j}}}, μ_{j} ∈ 𝕊̂_{n_{j}}^{χ_{j}}. La representaciones irreducibles de (ℤ/j)^{n_{j}} son de la forma χ_{(t_{1,j},...,t_{n_{j} ,j})}, donde 0 ≤ t_{1,j}, …, t_{n_{j},j} ≤ j − 1 son tales que

χ_{(t_{1,j},...,t_{n_{j} ,j})}(A_{l,j}) = ω_{j}^{t_{l,j}},  1 ≤ l ≤ n_{j}.  (3.5)

Notar que si ρ_{j} es como en (3.4), entonces

deg ρ_{j} = [𝕊_{n_{j}} : 𝕊_{n_{j}}^{(χ_{j})}] deg μ_{j}.  (3.6)

Observación 3.1.1. Puesto que cada A_{j} pertenece a Z(𝕊_{m}^{σ}), A_{j} actúa por un escalar q_{A_{j}} sobre V. Luego,

q_{σσ} = q_{e}q_{o}, donde q_{e} = ∏_{j par} q_{A_{j}} y q_{o} = ∏_{1<j impar} q_{A_{j}}.

Observación 3.1.2. Asumamos que deg(ρ) = 1. Esto implica que deg(ρ_{j}) = 1, para todo j. Entonces

𝕊_{n_{j}}^{(χ_{j})} = 𝕊_{n_{j}} y μ_{j} = ϵ ó sgn ∈ 𝕊̂_{n_{j}},  para todo j,  (3.7)

por (3.6). Luego, t_{j} := t_{1,j} = ⋯ = t_{n_{j},j} y ρ_{j} = χ_{j} ⊗ μ_{j}, para todo j. En este caso, denotaremos a χ_{j} = χ_{(t_{j},...,t_{j})} por \overrightarrow{χ_{t_{j}}}. Por lo tanto, para todo j existe t_{j}, con 0 ≤ t_{j} ≤ j − 1, tal que

ρ = (\overrightarrow{χ_{t_{1}}} ⊗ μ_{1}) ⊗ ⋯ ⊗ (\overrightarrow{χ_{t_{m}}} ⊗ μ_{m}).  (3.8)

Si n_{j} = 0 ó 1, entonces ρ_{j} es sólo la representación trivial. Denotaremos

t := (t_{1}, …, t_{m});  (3.9)

esta m-tupla depende de ρ. Cualquier representación de 𝕊_{m}^{σ} de dimensión 1 está completamente determinada por (μ_{1}, …, μ_{m}) y t como arriba.

Denotaremos por ϵ y sgn a las representaciones trivial y signo de 𝕊_{n}, respectivamente.

3.2. Usando técnicas basadas en subracks abelianos

En esta subsección, se considerarán clases de conjugación O puras y su buscarán subespacios vectoriales trenzados de tipo diagonal U de M(O, ρ) tales que dim 𝔅(U) = ∞.

Definición 3.2.1. Diremos que σ ∈ 𝕊_{m} es pura si el tipo de σ es (k^{n}), i. e. si σ es un producto de n ciclos disjuntos de la misma longitud k y m = kn.

También llamaremos pura a la clase de conjugación de una permutacion pura.

3.2.1. Álgebras de Nichols correspondientes a ciclos de longitud par

Sea σ ∈ 𝕊_{k} de tipo (k), con 2 < k. Como se mencionó anteriormente, la clase de conjugación O_{σ} de σ es el conjunto de los k-ciclos en 𝕊_{k}.

Si k es impar, entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞, para toda ρ ∈ 𝕊̂_{k}, por Lema 2.3.4.

Asumamos que k = 2r, con r ≥ 1, y sea σ = (1 2 ⋯ k); el centralizador de σ es 𝕊_{k}^{σ} = ⟨σ⟩ ≃ ℤ/k. Si gcd(j, k) denota el máximo común divisor de j y k, entonces un subrack abeliano maximal de O_{σ} es

T = {σ^{j} : gcd(j, k) = 1}.

Claramente, card T ≥ 2. Sean ω ∈ 𝔾_{k} y χ_{ω} el carácter de 𝕊_{k}^{σ} definido por χ_{ω}(σ) := ω; sean M(O_{σ}, χ_{ω}) el correspondiente módulo de Yetter-Drinfeld y 𝔅(O_{σ}, χ_{ω}) su álgebra de Nichols. Se concluye de Lema 2.3.4:

Proposición 3.2.2. Sea σ ∈ 𝕊_{k} de tipo (k), con k par. Sea ω ∈ 𝔾_{k}. Entonces dim 𝔅(O_{σ}, χ_{ω}) = ∞ si ω ≠ −1, y la trenza es negativa si ω = −1.

3.2.2. Álgebras de Nichols de órbitas con n transposiciones

En esta subsección, se considerará el caso en que m = 2n y el tipo de σ en 𝕊_{2n} es (2^{n}), n > 1. Así, O_{σ} es el conjunto de permutaciones en 𝕊_{2n} que son producto de n transposiciones disjuntas. Fijemos σ = A_{1} ⋯ A_{n} en 𝕊_{2n}, con A_{i} = (2i − 1 2i). El centralizador es

𝕊_{2n}^{σ} = ⟨A_{1}, …, A_{n}⟩ ⋊ ⟨B_{1}, …, B_{n−1}⟩ ≃ (ℤ/2)^{n} ⋊ 𝕊_{n},

donde B_{j} = (2j − 1 2j + 1) (2j 2j + 2), 1 ≤ j ≤ n − 1. Es fácil ver que se verifican las siguientes relaciones

A_{i}^{2} = id = B_{j}^{2},  A_{i}A_{j} = A_{j}A_{i},  A_{i}B_{j} = B_{j}A_{i}, i ≠ j, j + 1,
A_{j}B_{j} = B_{j}A_{j+1},  B_{i}B_{j} = B_{j}B_{i}, |i − j| > 1,  B_{j}B_{j±1}B_{j} = B_{j±1}B_{j}B_{j±1}.

Representaciones irreducibles de (ℤ/2)^{n} ⋊ 𝕊_{n}

En primer lugar, listamos las representaciones irreducibles de (ℤ/2)^{n} ⋊ 𝕊_{n}. Sea e_{i} ∈ (ℤ/2)^{n} el elemento con un 1 en el lugar i y 0 en el resto; sea χ_{i} ∈ { \atop (ℤ/2)^{n}} dada por χ_{i}(e_{j}) = (−1)^{δ_{i,j}}. Las representaciones irreducibles de (ℤ/2)^{n} son los caracteres lineales

χ_{i_{1},...,i_{k}} := χ_{i_{1}} ⋯ χ_{i_{k}}, 0 ≤ k ≤ n, 1 ≤ i_{1} < ⋯ < i_{k} ≤ n,

donde k = 0 corresponde a la representación trivial χ_{(0)} de (ℤ/2)^{n}. Sea χ_{(k)} := χ_{1,...,k}. La acción de 𝕊_{n} sobre (ℤ/2)^{n} induce una acción natural de 𝕊_{n} sobre { \atop (ℤ/2)^{n}}; la órbita y el subgrupo de isotropía

de χ = χ_{i_{1},...,i_{k}} ∈ { \atop (ℤ/2)^{n}} son

O_{χ} = {χ_{j_{1},...,j_{k}} : 1 ≤ j_{1} < ⋯ < j_{k} ≤ n}  y  𝕊_{n}^{χ} ≃ 𝕊_{n−k} × 𝕊_{k},  (3.10)

respectivamente. En consecuencia, los caracteres χ_{(k)}, 0 ≤ k ≤ n, forman un conjunto completo de representantes de las órbitas en { \atop (ℤ/2)^{n}}. Como se discutió en la Subsección 3.1, todas las representaciones irreducibles de (ℤ/2)^{n} ⋊ 𝕊_{n} son de la forma

ρ = ρ_{χ_{(k)},μ} = Ind_{(ℤ/2)^{n}⋊𝕊_{n}^{χ_{(k)}}}^{(ℤ/2)^{n}⋊𝕊_{n}}(χ_{(k)} ⊗ μ), 0 ≤ k ≤ n, μ ∈ { \atop 𝕊_{n}^{χ_{(k)}}}.

Existen ∑_{k=0}^{n} P(n − k)P(k) representaciones irreducibles de (ℤ/2)^{n} ⋊ 𝕊_{n}, donde P es la función partición, pero no se necesita considerar a todas ellas. Notar que deg(ρ_{χ_{(k)},μ}) = [𝕊_{n} : 𝕊_{n}^{χ_{(k)}}] deg(μ).

Observación 3.2.3. (i) Si k = n, entonces 𝕊_{n} = 𝕊_{n}^{χ_{(k)}}, y ρ_{χ_{(n)},μ} = χ_{(n)} ⊗ μ, para toda μ ∈ 𝕊̂_{n}. En particular, las representaciones χ_{(n)} ⊗ ϵ y χ_{(n)} ⊗ sgn son de grado 1.

(ii) Si k es par, entonces ρ_{χ_{(k)},μ}(σ) actúa por q_{σσ} = 1, para todo μ ∈ { \atop 𝕊_{n}^{χ_{(k)}}}. Así, dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4. Por esta razón, podemos asumir k impar.

Sea σ_{1} = σ, σ_{2} …, σ_{N} una numeración de O_{σ}, como en Subsección 2 del capítulo 1. Hacemos notar que los elementos g_{1}, …, g_{N} que satisfacen g_{i} ▷ σ = σ_{i}, pueden ser elegidos involuciones.

Proposición 3.2.4. Si n es impar, entonces el espacio vectorial trenzado M(O_{σ}, ρ), con ρ = χ_{(n)}⊗ϵ, χ_{(n)} ⊗ sgn, es negativo.

Demostración. Asumamos que σ_{i} ≠ σ_{j} conmutan. Debemos mostrar que q_{ii} = −1, q_{jj} = −1 y q_{ij}q_{ji} = 1. Las dos primeras condiciones se cumplen porque σ_{l}g_{l} = g_{l}σ, 1 ≤ l ≤ N. Para la tercera, notar que γ_{ij} := g_{j}^{−1}σ_{i}g_{j} y γ_{ji} := g_{i}^{−1}σ_{j}g_{i} están en 𝕊_{2n}^{σ}, ver Sección 2.2; así podemos escribir

γ_{ij} = A_{1}^{d_{1}} ⋯ A_{n}^{d_{n}}B_{h_{1}} ⋯ B_{h_{P}} , γ_{ji} = A_{1}^{e_{1}} ⋯ A_{n}^{e_{n}}B_{l_{1}} ⋯ B_{l_{Q}},

donde d_{1}, …, d_{n}, e_{1}, …, e_{n} ∈ {0, 1}. Ya que γ_{ij}, γ_{ji} ∈ O_{σ}, los signos de las permutaciones γ_{ij} y γ_{ji} son iguales al signo de σ, que es −1, porque n es impar y el signo de cada permutación B_{l} es 1, 1 ≤ l ≤ n − 1. Esto implica que d_{1} + ⋯ + d_{n} y e_{1} + ⋯ + e_{n} son impares. Ahora bien, puesto que σ_{i}g_{j} = g_{j}γ_{ij} y σ_{j}g_{i} = g_{i}γ_{ji} entonces q_{ij}q_{ji} = ρ(γ_{ij}γ_{ji}). Consideraremos ambos casos.

(a) Asumir que ρ = χ_{(n)} ⊗ ϵ. En este caso, el resultado se cumple pues

ρ(γ_{ij}γ_{ji}) = (−1)^{d_{1}+···+d_{n}}(−1)^{e_{1}+···+e_{n}} = 1.

(b) Asumir que ρ = χ_{(n)} ⊗ sgn. Si σ_{i} = σ, entonces γ_{ij} = γ_{ji} = σ_{j}, porque g_{j} es una involución, y el resultado sigue. Veremos que el caso general sigue del caso σ_{i} = σ. Por definición, M(O_{σ}, ρ) es un 𝕊_{2n}-comódulo, con coacción dada por δ(g_{l}v) = σ_{l} ⊗ g_{l}v, donde V = ℂ - span de v. Entonces M(O_{σ}, ρ) = ⊕_{τ∈𝕊_{2n}} M(O_{σ}, ρ)_{τ}, donde

M(O_{σ}, ρ)_{τ} := {m ∈ M(O_{σ}, ρ) : δ(m) = τ ⊗ m}.

Claramente, M(O, ρ)_{τ} = g_{i}V, si τ = σ_{i}, y M(O, ρ)_{τ} = 0, si τ ∉ O_{σ}.

Si denotamos σ̃_{1} := σ_{i}, entonces M(O_{σ}, ρ) ≃ Ind_{𝕊σ̃_{1} ; 2n}^{𝕊_{2n}} Ṽ, donde Ṽ es una representación irreducible

de dimensión 1 de 𝕊σ̃_{1} ; 2n ≃ 𝕊_{2n}^{σ}, ver (2.8). Sean σ̃_{2} := σ_{j}, g̃_{1} := id y g̃_{2} tales que g̃_{2}σ̃_{1}g̃_{2}^{−1} = σ̃_{2}. Luego, existe ṽ en Ṽ que satisface

g_{i}ℂv = M(O_{σ}, ρ)_{σ_{i}} = g̃_{1}ℂṽ, g_{j}ℂv = M(O_{σ}, ρ)_{σ_{j}} = g̃_{2}ℂṽ;

digamos que g̃_{1}ṽ = λ_{1}g_{i}v y g̃_{2}ṽ = λ_{2}g_{j}v. Entonces

c(g̃_{1}ṽ ⊗ g̃_{2}ṽ) = c(λ_{1}g_{i}v ⊗ λ_{2}g_{j}v) = λ_{1}λ_{2}c(g_{i}v ⊗ g_{j}v)
= λ_{1}λ_{2}q_{ij}g_{j}v ⊗ g_{i}v = q_{ij}g̃_{2}ṽ ⊗ g̃_{1}ṽ,

y por el otro lado, c(g̃_{1}ṽ⊗ g̃_{2}ṽ) = q̃_{12}g̃_{l}ṽ⊗ g̃_{1}ṽ; así, q_{ij} = q̃_{12}. Análogamente, q_{ji} = q̃_{21}. Por lo tanto, q_{ij}q_{ji} = q̃_{12}q̃_{21} = 1, y el resultado sigue.

Se procede ahora a considerar los diferentes casos de acuerdo a la paridad de n. El caso n = 2 está contenido en [AZ]. En primer lugar, consideramos n = 3, 4 y después los casos generales n par y n impar.

Caso n = 3

Sea σ = (1 2)(3 4)(5 6) en 𝕊_{6}. Entonces O_{σ} tiene 15 elementos y el centralizador de σ es

𝕊_{6}^{σ} = ⟨A_{1} = (1 2), A_{2} = (3 4), A_{3} = (5 6)⟩ ⋊ ⟨B = (1 3)(2 4), C = (1 3 5)(2 4 6)⟩
≃ (ℤ/2)^{3} ⋊ 𝕊_{3}.

Las relaciones para los generadores A_{1}, A_{2}, A_{3}, B y C son B^{2} = C^{3} = 1 = A_{i}^{2}, A_{i}A_{j} = A_{j}A_{i}, BCB = C^{−1} y

BA_{1}B = A_{2},  BA_{2}B = A_{1},  BA_{3}B = A_{3},
CA_{1}C^{−1} = A_{2},  CA_{2}C^{−1} = A_{3},  CA_{3}C^{−1} = A_{1}.

Por lo visto en la Subsección 3.2.2, las representaciones irreducibles de 𝕊_{6}^{σ} son:

(1) Cuatro caracteres χ_{±,±}, dados por χ_{±,±}(A_{i}) = ±1 (el primer subíndice), χ_{±,±}(B) = ±1 (el segundo subíndice), χ_{±,±}(C) = 1.

(2) Dos representaciones θ_{±}, de dimensión 2, dadas por

θ_{±}(A_{i}) = (\begin{matrix}±1 & 0 \\ 0 & ±1 \end{matrix}) , θ_{±}(B) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , θ_{±}(C) = (\begin{matrix}ω & 0 \\ 0 & ω^{−1} \end{matrix}) ,

donde ω ∈ 𝔾_{3} es una raíz tercera primitiva de la unidad.

(3) Cuatro representaciones ϕ_{±}, ψ_{±}, de dimensión 3, dadas por

ϕ_{±}(A_{1}) = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) , ϕ_{±}(A_{2}) = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix}) ,

ϕ_{±}(A_{3}) = (\begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) ,  ϕ_{±}(B) = (\begin{matrix}±1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ±1 \\ 0 & ±1 & 0 \end{matrix}) ,  ϕ_{±}(C) = (\begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) ,

y

ψ_{±}(A_{1}) = (\begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix}) , ψ_{±}(A_{2}) = (\begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) ,

ψ_{±}(A_{3}) = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix}) ,  ψ_{±}(B) = (\begin{matrix}±1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ±1 \\ 0 & ±1 & 0 \end{matrix}) ,  ψ_{±}(C) = (\begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) .

Las representaciones χ_{−,±} coinciden con χ_{(n)} ⊗ ϵ y χ_{(n)} ⊗ sgn de Proposición 3.2.4, luego no podemos decidir la dimensión de sus álgebras de Nichols. Para las otras, se tiene:

Proposición 3.2.5. Sea σ ∈ 𝕊_{6} de tipo (2^{3}). Sea ρ en 𝕊̂_{6}^{σ}. Si ρ ≠ χ_{−,±} entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞.

Demostración. Podemos suponer que σ = A_{1}A_{2}A_{3} = (12)(34)(56). Sea ρ = (ρ, V) ∈ 𝕊̂_{6}^{σ}. Buscamos un subespacio trenzado de tipo diagonal de M(O_{σ}, ρ). Definimos σ_{1} := σ, σ_{2} := (12)(35)(46), σ_{3} := (12)(36)(45) en O_{σ}; si g_{1} = id, g_{2} = (4 5), g_{3} = (4 6) entonces g_{j} ▷ σ = σ_{j}, 1 ≤ j ≤ 3. Sea g_{j}v := g_{j} ⊗ v, v ∈ V, 1 ≤ j ≤ 3. La coacción en el módulo de Yetter-Drinfeld M(O_{σ}, ρ) está dada por δ(g_{j}v) = g_{j} ▷ σ ⊗ g_{j}v; necesitamos las acciones de los elementos σ_{j}, 1 ≤ j ≤ 3, las cuales son

σ_{1} · g_{1}v = g_{1}ρ(σ)(v),  σ_{1} · g_{2}v = g_{2}ρ(σ_{2})(v),  σ_{1} · g_{3}v = g_{3}ρ(σ_{3})(v),
σ_{2} · g_{1}v = g_{1}ρ(σ_{2})(v),  σ_{2} · g_{2}v = g_{2}ρ(σ)(v),  σ_{2} · g_{3}v = g_{3}ρ(σ_{2})(v),
σ_{3} · g_{1}v = g_{1}ρ(σ_{3})(v),  σ_{3} · g_{2}v = g_{2}ρ(σ_{3})(v),  σ_{3} · g_{3}v = g_{3}ρ(σ)(v).

Luego, la trenza está dada por

c(g_{1}v ⊗ g_{2}w) = g_{2}ρ(σ_{2})(w) ⊗ g_{1}v,  c(g_{1}v ⊗ g_{3}w) = g_{3}ρ(σ_{3})(w) ⊗ g_{1}v,
c(g_{2}v ⊗ g_{1}w) = g_{1}ρ(σ_{2})(w) ⊗ g_{2}v,  c(g_{2}v ⊗ g_{3}w) = g_{3}ρ(σ_{2})(w) ⊗ g_{2}v,
c(g_{3}v ⊗ g_{1}w) = g_{1}ρ(σ_{3})(w) ⊗ g_{3}v,  c(g_{3}v ⊗ g_{2}w) = g_{2}ρ(σ_{3})(w) ⊗ g_{3}v,

y c(g_{j}v ⊗ g_{j}w) = (g_{j} ▷ σ) · g_{j}w ⊗ g_{j}v = g_{j}ρ(σ)(w) ⊗ g_{j}v = −g_{j}w ⊗ g_{j}v, para todo 1 ≤ j ≤ 3 y v, w ∈ V.

Se considera ahora las diferentes posibilidades para ρ. Si ρ = χ_{+,±}, θ_{+} ó ψ_{±}, entonces q_{σσ} = 1 y dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.1.

Si ρ = θ_{−}, entonces ρ(σ_{2}) = ρ(σ_{3}) = (\begin{matrix}0 & −ω^{−1} \\ −ω & 0 \end{matrix}). Elegimos v_{1} = (\begin{matrix}1 \\ −ω \end{matrix}) y v_{2} = (\begin{matrix}1 \\ ω \end{matrix}). Luego,

ρ(σ_{2})(v_{1}) = ρ(σ_{3})(v_{1}) = v_{1}, ρ(σ_{2})(v_{2}) = ρ(σ_{3})(v_{2}) = −v_{2}. Por lo tanto, la trenza es diagonal de tipo Cartan en la base

w_{1} = g_{1}v_{1}, w_{2} = g_{1}v_{2}, w_{3} = g_{2}v_{1}, w_{4} = g_{2}v_{2}, w_{5} = g_{3}v_{1}, w_{6} = g_{3}v_{2}.

El correspondiente diagrama de Dynkin es A_{5}^{(1)}. Por Teorema 2.3.2, dim 𝔅(O_{σ}, θ_{−}) = ∞.

Supongamos que ρ = ϕ_{+}. Entonces ϕ_{+}(σ_{2}) = (\begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}), ϕ_{+}(σ_{3}) = (\begin{matrix}0 & 0 & −1 \\ 0 & −1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \end{matrix}). Elegimos

v_{1} = (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), v_{2} = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) y v_{3} = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix}). Luego,

ρ(σ_{2})(v_{1}) = −v_{1},  ρ(σ_{2})(v_{2}) = v_{2},  ρ(σ_{2})(v_{3}) = −v_{3},
ρ(σ_{3})(v_{1}) = −v_{1},  ρ(σ_{3})(v_{2}) = −v_{2},  ρ(σ_{3})(v_{3}) = v_{3}.

Por lo tanto, la trenza es diagonal de tipo Cartan en la base

w_{1} = g_{1}v_{1},  w_{2} = g_{1}v_{2},  w_{3} = g_{1}v_{3},
w_{4} = g_{2}v_{1},  w_{5} = g_{2}v_{2},  w_{6} = g_{2}v_{3},
w_{7} = g_{3}v_{1},  w_{8} = g_{3}v_{2},  w_{9} = g_{3}v_{3};

esto implica que el correspondiente diagrama de Dynkin contiene al diagrama de Dynkin affín A_{2}^{(1)}. Por Teorema 2.3.2, dim 𝔅(O_{σ}, ϕ_{+}) = ∞. Finalmente, el caso ρ = ϕ_{−} es análogo.

Caso n = 4

Sea σ = (1 2)(3 4)(5 6)(7 8) en 𝕊_{8}. El centralizador de σ es

𝕊_{8}^{σ} = ⟨A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}⟩ ⋊ ⟨B_{1}, B_{2}, B_{3}⟩ ≃ (ℤ/2)^{4} ⋊ 𝕊_{4},

donde A_{1} = (1 2), A_{2} = (3 4), A_{3} = (5 6), A_{4} = (7 8), B_{1} = (1 3)(2 4), B_{2} = (3 5)(4 6) y B_{3} = (5 7)(6 8). Por lo visto en la Sección 3.2.2, existen 20 representaciones irreducibles de 𝕊_{8}^{σ}, pero por Observación 3.2.3 (ii) sólo se necesitan considerar 6 de ellas. Ellas son

ρ_{1} = Ind(χ_{(1)} ⊗ ϵ),  ρ_{2} = Ind(χ_{(1)} ⊗ sgn),  ρ_{3} = Ind(χ_{(1)} ⊗ θ),
ρ_{4} = Ind(χ_{(3)} ⊗ ϵ),  ρ_{5} = Ind(χ_{(3)} ⊗ sgn),  ρ_{6} = Ind(χ_{(3)} ⊗ θ),

donde Ind quiere decir Ind_{(ℤ/2)^{4}⋊𝕊_{3}}^{(ℤ/2)^{4}⋊𝕊_{4}} y θ es la representación estándar de 𝕊_{3} (notar que 𝕊_{4}^{χ_{(1)}} ≃ 𝕊_{3} ≃

𝕊_{4}^{χ_{(3)}} – ver (3.10)). Con esta notación, podemos enunciar el siguiente resultado.

Proposición 3.2.6. Sea σ ∈ 𝕊_{8} de tipo (2^{4}). Entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞, para toda ρ ∈ 𝕊̂_{8}^{σ}.

Demostración. Podemos suponer que σ = (1 2)(3 4)(5 6)(7 8). Probaremos más adelante que si j = 1, 2, 4 ó 5 entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ_{j}) = ∞, ver Lemas 3.2.7 y 3.2.8. Veamos ahora los casos restantes j = 3, 6. Es claro que σ_{1} := σ, σ_{2} := (1 2)(3 4)(5 7)(6 8) y σ_{3} := (1 2)(3 4)(5 8)(6 7) están en O_{σ} y que satisfacen las mismas relaciones que en la demostración de Proposición 3.2.5, con g_{1} = id, g_{2} = (6 7), g_{3} = (6 8). Consideremos ρ_{3}. En una base adecuada, se tiene

ρ_{3}(σ_{2}) = (\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & −ω^{−1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −ω^{−1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ −ω & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −ω & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}),

ρ_{3}(σ_{3}) = (\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & −ω^{−1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −ω^{−1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ −ω & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −ω & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −1 & 0 \end{matrix}),

donde ω ∈ 𝔾_{3} es una raíz tercera primitiva de la unidad. Es fácil ver que

v_{1} = e_{1} + ωe_{5},  v_{2} = e_{2} + ωe_{6},  v_{3} = e_{3} + e_{4},  v_{4} = e_{3} − e_{4},
v_{5} = e_{1} − ωe_{5},  v_{6} = e_{2} − ωe_{6},  v_{7} = e_{7} + e_{8},  v_{8} = e_{7} − e_{8},

son autovectores de autovalores 1 o −1. En particular,

ρ_{3}(σ_{2})v_{7} = v_{7}, ρ_{3}(σ_{2})v_{8} = −v_{8}, ρ_{3}(σ_{3})v_{7} = −v_{7}, ρ_{3}(σ_{3})v_{8} = v_{8}.

Así, en la base w_{1} = g_{1}v_{7}, w_{2} = g_{1}v_{8}, w_{3} = g_{2}v_{7}, w_{4} = g_{2}v_{8}, w_{5} = g_{3}v_{7}, w_{6} = g_{3}v_{8}, la trenza es diagonal de tipo Cartan. El correspondiente diagrama de Dynkin es no conexo; sus componentes conexas son {1, 4, 6} y {2, 3, 5}, cada una de ellas dan lugar al diagrama de Dynkin afín A_{2}^{(1)}. Entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ_{3}) = ∞ por Teorema 2.3.2.

Finalmente, si ρ = ρ_{6} se tiene que

ρ_{6}(σ_{2}) = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −ω^{−1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −ω^{−1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −ω & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −ω & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}),

ρ_{6}(σ_{3}) = (\begin{matrix}0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −ω^{−1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −ω^{−1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & −1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −ω & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −ω & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}).

Los siguientes son autovectores de autovalores 1 o −1

v_{1} = e_{1} + e_{2},  v_{2} = e_{1} − e_{2},  v_{3} = e_{3} + ωe_{7},  v_{4} = e_{4} + ωe_{8},
v_{5} = e_{5} + e_{6},  v_{6} = e_{5} − e_{6},  v_{7} = e_{3} − ωe_{7},  v_{8} = e_{4} − ωe_{8}.

En particular,

ρ_{6}(σ_{2})v_{1} = v_{1}, ρ_{6}(σ_{2})v_{2} = −v_{2}, ρ_{6}(σ_{3})v_{1} = −v_{1}, ρ_{6}(σ_{3})v_{2} = v_{2}.

Así, en la base w_{1} = g_{1}v_{1}, w_{2} = g_{1}v_{2}, w_{3} = g_{2}v_{1}, w_{4} = g_{2}v_{2}, w_{5} = g_{3}v_{1}, w_{6} = g_{3}v_{2}, la trenza es diagonal de tipo Cartan. Esto es similar al caso de ρ_{3} intercambiando los roles de v_{7} por v_{1} y v_{8} por v_{2}. Entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ_{6}) = ∞ por Teorema 2.3.2.

Caso n general

Se comienza ahora el análisis del caso general. En primer lugar, se probarán dos lemas.

Lema 3.2.7. Si ρ = Ind_{(ℤ/2)^{n}⋊𝕊_{n}^{χ_{(1)}}}^{(ℤ/2)^{n}⋊𝕊_{n}}(χ_{(1)} ⊗ μ), con μ = ϵ ó sgn, entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞, para

todo n ≥ 2.

Demostración. Sean g_{1} = id, g_{2} = (2n − 2 2n − 1) y g_{3} = (2n − 2 2n). Se definen σ_{2} := g_{2} ▷ σ y σ_{3} := g_{3} ▷ σ, así

σ_{2} = A_{1}A_{2} ⋯ A_{n−2}(2n − 3 2n − 1)(2n − 2 2n),
σ_{3} = A_{1}A_{2} ⋯ A_{n−2}(2n − 3 2n)(2n − 2 2n − 1);

consideremos T = {σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}}. Por cálculos directo se puede ver que

σ_{2} = σA_{n−1}A_{n}B_{n−1} = σ_{3}A_{n−1}A_{n}  y  σ_{3} = σB_{n−1}.  (3.11)

Se procede ahora como en la demostración de la Proposición 3.2.5. Escribimos g_{j}v := g_{j} ⊗ v, v ∈ V, 1 ≤ j ≤ 3. La coacción está dada por δ(g_{j}v) = g_{j} ▷ σ ⊗ σ_{j}v; la acción de los elementos σ, σ_{2}, σ_{3} es

σ · g_{1}v = g_{1}ρ(σ)(v),  σ · g_{2}v = g_{2}ρ(σ_{2})(v),  σ · g_{3}v = g_{3}ρ(σ_{3})(v),
σ_{2} · g_{1}v = g_{1}ρ(σ_{2})(v),  σ_{2} · g_{2}v = g_{2}ρ(σ)(v),  σ_{2} · g_{3}v = g_{3}ρ(σ_{2})(v),
σ_{3} · g_{1}v = g_{1}ρ(σ_{3})(v),  σ_{3} · g_{2}v = g_{2}ρ(σ_{3})(v),  σ_{3} · g_{3}v = g_{3}ρ(σ)(v).

Luego, la trenza está dada por

c(g_{1}v ⊗ g_{2}w) = g_{2}ρ(σ_{2})(w) ⊗ g_{1}v,  c(g_{1}v ⊗ g_{3}w) = g_{3}ρ(σ_{3})(w) ⊗ g_{1}v,
c(g_{2}v ⊗ g_{1}w) = g_{1}ρ(σ_{2})(w) ⊗ g_{2}v,  c(g_{2}v ⊗ g_{3}w) = g_{3}ρ(σ_{2})(w) ⊗ g_{2}v,
c(g_{3}v ⊗ g_{1}w) = g_{1}ρ(σ_{3})(w) ⊗ g_{3}v,  c(g_{3}v ⊗ g_{2}w) = g_{2}ρ(σ_{3})(w) ⊗ g_{3}v,

y c(g_{j}v ⊗ g_{j}w) = (g_{j} ▷ σ) · g_{j}w ⊗ g_{j}v = g_{j}ρ(σ)(w) ⊗ g_{j}v = −g_{j}w ⊗ g_{j}v, para todo 1 ≤ j ≤ 3 y v, w ∈ V.

Consideremos ρ = Ind_{(ℤ/2)^{n}⋊𝕊_{n}^{χ_{(1)}}}^{(ℤ/2)^{n}⋊𝕊_{n}}(χ_{(1)} ⊗ ϵ). El espacio vectorial de la representación ρ tiene

dimensión n. Es fácil ver que para cada i, 1 ≤ i ≤ n, la matriz ρ(A_{i}) es diagonal con (ρ(A_{i}))_{i,i} = −1 y 1 en el resto; mientras que

ρ(B_{n−1}) = (\begin{matrix}Id & n−2 \\ & 0 & 1 \\ & 1 & 0 \end{matrix}) .

Por lo tanto, se tiene que ρ(σ) = − Id y, por (3.11),

ρ(σ_{2}) = (\begin{matrix}− Id_{n−2} \\ & 0 & 1 \\ & 1 & 0 \end{matrix}) , ρ(σ_{3}) = (\begin{matrix}− Id_{n−2} \\ & 0 & −1 \\ & −1 & 0 \end{matrix}) .

Elegimos v_{i} = e_{i}, 1 ≤ i ≤ n − 2, v_{n−1} = e_{n−1} + e_{n} y v_{n} = e_{n−1} − e_{n}. Luego,

ρ(σ_{2})v_{i} = −v_{i},  ρ(σ_{2})v_{n−1} = v_{n−1},  ρ(σ_{2})v_{n} = −v_{n},
ρ(σ_{3})v_{i} = −v_{i},  ρ(σ_{3})v_{n−1} = −v_{n−1},  ρ(σ_{3})v_{n} = v_{n},

con 1 ≤ i ≤ n − 2. Entonces la trenza es diagonal de tipo Cartan en la base B = {g_{j}v_{i}}, j = 1, 2, 3, 1 ≤ i ≤ n. El correspondiente diagrama de Dynkin no es de tipo finito porque contiene al diagrama de Dynkin affine A_{2}^{(1)}. Por Teorema 2.3.2, dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞.

Finalmente, si ρ = Ind_{(ℤ/2)^{n}⋊𝕊_{n}^{χ_{(1)}}}^{(ℤ/2)^{n}⋊𝕊_{n}}(χ_{(1)} ⊗ sgn), ρ(A_{i}) son como antes y

ρ(B_{n−1}) = (\begin{matrix}− Id_{n−2} \\ & 0 & 1 \\ & 1 & 0 \end{matrix}) .

Entonces,

ρ(σ_{2}) = (\begin{matrix}Id & n−2 \\ & 0 & 1 \\ & 1 & 0 \end{matrix}) , ρ(σ_{3}) = (\begin{matrix}Id & n−2 \\ & 0 & −1 \\ & −1 & 0 \end{matrix}) .

Sea v_{i} como antes; luego,

ρ(σ_{2})v_{i} = v_{i},  ρ(σ_{2})v_{n−1} = v_{n−1},  ρ(σ_{2})v_{n} = −v_{n},
ρ(σ_{3})v_{i} = v_{i},  ρ(σ_{3})v_{n−1} = −v_{n−1},  ρ(σ_{3})v_{n} = v_{n},

con 1 ≤ i ≤ n − 2. Entonces la trenza es diagonal de tipo Cartan en la base B. El correspondiente diagrama de Dynkin no es de tipo finito porque contiene al diagrama afín A_{2}^{(1)}. Por Teorema 2.3.2, dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞.

Lema 3.2.8. Si ρ = Ind_{(ℤ/2)^{n}⋊𝕊_{n}^{χ_{(n−1)}}}^{(ℤ/2)^{n}⋊𝕊_{n}}(χ_{(n−1)} ⊗ μ), con μ = ϵ ó sgn, entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞, para todo n ≥ 2.

Demostración. Sean g_{j}, σ_{j}, 1 ≤ j ≤ 3, como en la demostración de Lema 3.2.7.

Si ρ = Ind_{(ℤ/2)^{n}⋊𝕊_{n}^{χ_{(n−1)}}}^{(ℤ/2)^{n}⋊𝕊_{n}}(χ_{(n−1)} ⊗ ϵ), entonces para cada i, 1 ≤ i ≤ n, la matriz ρ(A_{i}) es diagonal con (ρ(A_{i}))_{n−i+1,n−i+1} = 1 y −1 en el resto; mientras que

ρ(B_{n−1}) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \\ Id & n−2 \end{matrix}) .

Por lo tanto, se tiene que ρ(σ) = − Id y, por (3.11),

ρ(σ_{2}) = (\begin{matrix}0 & −1 \\ −1 & 0 \\ Id & n−2 \end{matrix}) , ρ(σ_{3}) = (\begin{matrix}0 & −1 \\ −1 & 0 \\ & & − Id_{n−2} \end{matrix}) .

Elegimos v_{1} = e_{1} + e_{2}, v_{2} = e_{1} − e_{2} y v_{i} = e_{i}, 3 ≤ i ≤ n. Luego,

ρ(σ_{2})v_{1} = −v_{1},  ρ(σ_{2})v_{2} = v_{2},  ρ(σ_{2})v_{i} = v_{i},
ρ(σ_{3})v_{1} = −v_{1},  ρ(σ_{3})v_{2} = v_{2},  ρ(σ_{3})v_{i} = −v_{i},

con 3 ≤ i ≤ n. Entonces la trenza es diagonal de tipo Cartan en la base B = {g_{j}v_{i}}, j = 1, 2, 3, 1 ≤ i ≤ n. El correspondiente diagrama de Dynkin no es de tipo finito porque contiene al diagrama de Dynkin afín A_{5}^{(1)}. Por Teorema 2.3.2, dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞.

Finalmente, si ρ = Ind_{(ℤ/2)^{n}⋊𝕊_{n}^{χ_{(n−1)}}}^{(ℤ/2)^{n}⋊𝕊_{n}}(χ_{(n−1)} ⊗ sgn) entonces las matrices ρ(A_{i}) son las mismas que en el caso previo y

ρ(B_{n−1}) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \\ & & − Id_{n−2} \end{matrix}) .

Entonces,

ρ(σ_{2}) = (\begin{matrix}0 & −1 \\ −1 & 0 \\ & & − Id_{n−2} \end{matrix}) , ρ(σ_{3}) = (\begin{matrix}0 & −1 \\ −1 & 0 \\ Id & n−2 \end{matrix}) .

Sea v_{i} como antes; luego,

ρ(σ_{2})v_{1} = −v_{1},  ρ(σ_{2})v_{2} = v_{2},  ρ(σ_{2})v_{i} = −v_{i},
ρ(σ_{3})v_{1} = −v_{1},  ρ(σ_{3})v_{2} = v_{2},  ρ(σ_{3})v_{i} = v_{i},

con 3 ≤ i ≤ n. Entonces la trenza es diagonal de tipo Cartan en la base B. El correspondiente diagrama de Dynkin no es de tipo finito porque contiene al diagrama de Dynkin afín A_{5}^{(1)}. Por Teorema 2.3.2, dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞.

Notar que si n es impar, entonces el análogo del Lema 3.2.8 sigue de la Observación 3.2.3 (ii). A continuación se dará alguna notación para los casos n par y n impar, separadamente.

Notación en el caso n par. Supongamos que n = 2L y para cada l, con 1 ≤ l ≤ L, se define g_{l}^{+} := (4l − 2 4l − 1), g_{l}^{−} := (4l − 2 4l),

α_{l} := g_{l}^{+} ▷ σ, y β_{l} := g_{l}^{−} ▷ σ.

Esto es, si σ = A_{1}A_{2} ⋯ A_{2l−1}A_{2l} ⋯ A_{2L−1}A_{2L}, entonces

α_{l} = A_{1}A_{2} ⋯ (4l − 3 4l − 1)(4l − 2 4l) ⋯ A_{2L−1}A_{2L},
β_{l} = A_{1}A_{2} ⋯ (4l − 3 4l)(4l − 2 4l − 1) ⋯ A_{2L−1}A_{2L}.

Es fácil ver que g_{l}^{±}g_{h}^{±} = g_{h}^{±}g_{l}^{±}, para todo l, h distintos. Sea T el conjunto

T = {g_{l_{k}}^{±} ▷ (⋯ (g_{l_{1}}^{±} ▷ σ) ⋯) : 1 ≤ k ≤ L, 1 ≤ l_{1} < ⋯ < l_{k} ≤ L} ∪ {σ}.

Notar que g_{l_{k}}^{±} ▷ (⋯ (g_{l_{1}}^{±} ▷ σ) ⋯) = (g_{l_{k}}^{±} ⋯ g_{l_{1}}^{±}) ▷ σ. Sea T = {σ_{0} = σ, σ_{1}, …, σ_{N}} una numeración de T; elegimos g_{0} = id y g_{j} a los elementos g_{l}^{±} tales que g_{j} ▷ σ = σ_{j}, 1 ≤ j ≤ N.

El siguiente resultado sale por cálculos directos. Lema 3.2.9. Para todo l, 1 ≤ l ≤ L, se tiene que

(i) g_{l}^{−}g_{l}^{+}A_{2l−1}A_{2l}g_{l}^{+}g_{l}^{−} = g_{l}^{+}A_{2l−1}A_{2l}g_{l}^{+}. (ii) g_{l}^{+}g_{l}^{−}A_{2l−1}A_{2l}g_{l}^{−}g_{l}^{+} = g_{l}^{−}A_{2l−1}A_{2l}g_{l}^{−}. (iii) g_{l}^{±}A_{2l−1}A_{2l}g_{l}^{±}A_{2l−1}A_{2l} = g_{l}^{∓}A_{2l−1}A_{2l}g_{l}^{∓}. (iv) A_{2l−1}A_{2l}g_{l}^{±}A_{2l−1}A_{2l}g_{l}^{±} = g_{l}^{∓}A_{2l−1}A_{2l}g_{l}^{∓}.

(v) α_{l}β_{l} = A_{2l−1}A_{2l} = β_{l}α_{l}.

Lema 3.2.10. (1) Si 1 ≤ l ≤ L, entonces

α_{l} = σA_{2l−1}A_{2l}B_{2l−1} = β_{l}A_{2l−1}A_{2l}  y  β_{l} = σB_{2l−1}.

(2) T ⊆ O_{σ} ∩ 𝕊_{2n}^{σ}.

(3) Para cada i, j, 0 ≤ i, j ≤ N, existe k, 0 ≤ k ≤ N tal que σ_{i}g_{j} = g_{j}σ_{k}.

(4) T es abeliano.

Demostración. (1) es obvio. (2) Claramente, T ⊆ O_{σ}. Para ver que T ⊆ 𝕊_{2n}^{σ} se necesita probar que σ_{i} = (g_{l_{k}}^{±} ⋯ g_{l_{1}}^{±}) ▷ σ en 𝕊_{2n}^{σ}. Esto es claro para k = 1; luego se sigue por inducción en k.

(3) Notar que si i = 0 entonces k = j; si i = j entonces k = 0, etc. Fijemos σ_{i} = (g_{l_{k}}^{±} ⋯ g_{l_{1}}^{±}) ▷ σ, con 1 ≤ l_{1} < ⋯ < l_{k} ≤ L; supongamos que g_{j} = g_{h_{M}}^{±} ⋯ g_{h_{1}}^{±}, con 1 ≤ h_{1} < ⋯ < h_{M} ≤ L. Entonces

g_{j}σ_{i}g_{j} = g_{l_{k}}^{±} ⋯ g_{l_{1}}^{±}g_{h_{M}}^{±} ⋯ g_{h_{1}}^{±}σg_{h_{1}}^{±} ⋯ g_{h_{M}}^{±} g_{l_{1}}^{±} ⋯ g_{l_{k}}^{±}.

Si l_{r} ≠ h_{s} para todo r, s, entonces σ_{k} := g_{j}σ_{i}g_{j} está en T. Si l_{r} = h_{s} para algunos r y s, se tiene que en la expresión g_{j}σ_{i}g_{j} los factores g_{l_{r}}^{±} y g_{h_{s}}^{±} se cancelan mutuamente mientras que para los factores g_{l_{r}}^{±} y g_{h_{s}}^{∓} usamos el Lema 3.2.9(i),(ii) y resulta que

g_{j}σ_{i}g_{j} = ⋯ g_{l_{r}}^{±}g_{h_{s}}^{∓}σg_{h_{s}}^{∓}g_{l_{r}}^{±} ⋯ = ⋯ g_{h_{s}}^{∓}σg_{h_{s}}^{∓} · · · .

Por lo tanto, g_{j}σ_{i}g_{j} está en T.

(4) Tenemos que probar que σ_{i}σ_{j} = σ_{j}σ_{i}, para todo i, j.

(a) Analizamos los casos cuando σ_{i} = α_{l} ó β_{l} y σ_{j} = α_{h} ó β_{h}.

(i) Si σ_{i} = α_{l} y σ_{j} = α_{h}, entonces

σ_{i}σ_{j} = g_{l}^{+}A_{2l−1}A_{2l}g_{l}^{+}g_{h}^{+}A_{2h−1}A_{2h}g_{h}^{+}.

Si l = h entonces la afirmación es claramente cierta. Si l ≠ h se tiene que g_{l}^{+}A_{2l−1}A_{2l}g_{l}^{+} y g_{h}^{+}A_{2h−1}A_{2h}g_{h}^{+} conmutan porque son permutaciones disjuntas; luego el resultado sigue.

(ii) Si σ_{i} = β_{l} y σ_{j} = β_{h}, entonces procedemos en forma análoga al caso anterior.

(iii) Si σ_{i} = α_{l} y σ_{j} = β_{h}, entonces

σ_{i}σ_{j} = g_{l}^{+}A_{2l−1}A_{2l}g_{l}^{+}g_{h}^{−}A_{2h−1}A_{2h}g_{h}^{−}.

Si l ≠ h entonces g_{l}^{+}A_{2l−1}A_{2l}g_{l}^{+} y g_{h}^{−}A_{2h−1}A_{2h}g_{h}^{−} conmutan; de allí que σ_{i}σ_{j} = σ_{j}σ_{i}. Mientras que si l = h, se verifica fácilmente que σ_{i}σ_{j} = α_{l}β_{l} = id = β_{l}α_{l} = σ_{j}σ_{i}, y el resultado sigue.

(b) En general, para σ_{i} = (g_{l_{k}}^{±} ⋯ g_{l_{1}}^{±}) ▷ σ y σ_{j} = (g_{h_{M}}^{±} ⋯ g_{h_{1}}^{±}) ▷ σ, se obtiene que

σ_{i} = A_{1}A_{2} ⋯ g_{l_{1}}^{±}A_{2l_{1}−1}A_{2l_{1}}g_{l_{1}}^{±} ⋯ g_{l_{k}}^{±}A_{2l_{k}−1}A_{2l_{k}}g_{l_{k}}^{±} ⋯ A_{2L−1}A_{2L},
σ_{j} = A_{1}A_{2} ⋯ g_{h_{1}}^{±}A_{2h_{1}−1}A_{2h_{1}}g_{h_{1}}^{±} ⋯ g_{h_{M}}^{±} A_{2h_{M} −1}A_{2h_{M}} g_{h_{M}}^{±} ⋯ A_{2L−1}A_{2L}.

Ahora se tienen dos casos:

(i) Si l_{r} ≠ h_{s}, para todo r, s. Entonces

σ_{i}σ_{j} = g_{l_{1}}^{±}A_{2l_{1}−1}A_{2l_{1}}g_{l_{1}}^{±} ⋯ g_{l_{k}}^{±}A_{2l_{k}−1}A_{2l_{k}}g_{l_{k}}^{±}
g_{h_{1}}^{±}A_{2h_{1}−1}A_{2h_{1}}g_{h_{1}}^{±} ⋯ g_{h_{M}}^{±} A_{2h_{M} −1}A_{2h_{M}} g_{h_{M}}^{±} = σ_{j}σ_{i},

porque cada g_{l_{r}}^{±}A_{2l_{r}−1}A_{2l_{r}}g_{l_{r}}^{±} conmuta con cada g_{h_{s}}^{±}A_{2h_{s}−1}A_{2h_{s}}g_{h_{s}}^{±}. (ii) Si l_{r} = h_{s}, para algún r, s, entonces usamos (a) en cada factor correspondiente a l_{r} = h_{s}.

Esto concluye la prueba.

Para el resto de esta subsección fijamos un orden en T dado por

T = {σ_{0} = σ, σ_{1} = α_{1}, σ_{2} = β_{1}, …, σ_{2L−1} = α_{L}, σ_{2L} = β_{L}, … }.

A continuación se trabajará con ρ = ρ_{χ_{(k)},μ} en 𝕊̂_{2n}^{σ}, como en la Sección 3.2.2; sean V y V_{μ} los espacios vectoriales de las representaciones ρ y μ, respectivamente. Por Observación 3.2.3 (ii), sólo se necesita considerar k impar; así ρ(σ) = − Id. Ya que σ_{i}^{2} = id, para todo i, entonces los posibles autovalores de los operadores {ρ(σ_{i}) : 0 ≤ i ≤ N} son 1 y −1. Más aún, puesto que T es abeliano existe una base B = {v_{1}, …, v_{R}} de V formada por autovectores simultáneos para dichos operadores. Notar que

dim V = [𝕊_{n} : 𝕊_{n}^{χ_{(k)}}] dim V_{μ} = \binom{n}{k} dim V_{μ}.

Para cada i, 0 ≤ i ≤ N definimos f^{i} = (f_{1}^{i}, f_{2}^{i}, …, f_{R}^{i}) donde ρ(σ_{i})v_{r} = f_{r}^{i}v_{r}, 1 ≤ r ≤ R; por ejemplo f^{0} = (−1, −1, …, −1). Denotamos por E_{i} a la matriz con todas sus filas iguales a f^{i}. Luego, E_{0} es la matriz dim V × dim V con todas sus entradas iguales a −1.

Consideremos el subespacio W de M(O_{σ}, ρ) con base {w_{i,r} := g_{i}v_{r} = σ_{i} ⊗ v_{r} : 0 ≤ i ≤ N, 1 ≤ r ≤ R}. Entonces W es un subespacio vectorial trenzado de tipo Cartan y la matriz de los escalares (q_{a,b})_{a,b}– ver Definición 1.3.3– tiene la forma

Q = (\begin{matrix}E_{0} & E_{1} & E_{2} & ⋯ & E_{2L−1} & E_{2L} & ⋯ \\ E_{1} & E_{0} & E_{1} & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ E_{2} & E_{2} & E_{0} & ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ E_{2L−1} & ⋯ & ⋯ & ⋯ & E_{0} & E_{2L−1} & ⋯ \\ E_{2L} & ⋯ & ⋯ & ⋯ & E_{2L} & E_{0} & ⋯ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... \end{matrix}) .

Aquí los bloques diagonales son iguales a la matriz E_{0}; mientras que el bloque en la posición i, j es la matriz E_{k} donde σ_{i}σ_{j} = σ_{j}σ_{k}.

Notación en el caso n impar. Supongamos que n = 2L + 1 y que para cada l, con 1 ≤ l ≤ L, tomamos g_{l}^{+}, g_{l}^{−}, α_{l}, β_{l} y T como en caso n par. Así,

σ = A_{1}A_{2} ⋯ A_{2l−1}A_{2l} ⋯ A_{2L−1}A_{2L}A_{2L+1},
α_{l} = A_{1}A_{2} ⋯ (4l − 3 4l − 1)(4l − 2 4l) ⋯ A_{2L−1}A_{2L}A_{2L+1},
β_{l} = A_{1}A_{2} ⋯ (4l − 3 4l)(4l − 2 4l − 1) ⋯ A_{2L−1}A_{2L}A_{2L+1}.

Entonces g_{l}^{±},α_{l}, β_{l}, σ_{i}, σ_{j} y T satisfacen las mismas propiedades que antes.

Proposición 3.2.11. Sea ρ = (ρ, V) en 𝕊̂_{2n}^{σ}, n ≥ 2. Si

(a) n es par, ó

(b) n = 3 y ρ ≠ χ_{−,±}, ó

(c) n es impar y ρ ≠ ρ_{χ_{(n)},μ}, para todo μ en 𝕊̂_{n},

entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞.

Demostración. Sean ρ = ρ_{χ_{(k)},μ}, χ_{(k)} en { \atop (ℤ/2)^{n}} y μ en 𝕊̂_{n}. Por Observación 3.2.3 (ii), podemos asumir que k es impar. Distinguimos dos posibilidades.

(1) Par todo l, con 1 ≤ l ≤ L, ρ(α_{l}) = Id = ρ(β_{l}) o ρ(α_{l}) = − Id = ρ(β_{l}). Por Lema 3.2.10 (1), esto implica que

ρ(A_{2l−1}A_{2l}) = Id, para todo l.

Asumamos que n es par. Luego, ρ(σ) = ρ(A_{1}A_{2} ⋯ A_{2L−1}A_{2L}) = Id; así que q_{σ,σ} = 1 y dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞.

Asumamos que n es impar. Ya que ρ(σ) = − Id, resulta que ρ(A_{2L+1}) = − Id. Por lo discutido en Subsección 3.2.2, esto implica que ρ(A_{j}) = − Id, 1 ≤ j ≤ 2L + 1. Entonces ρ = ρ_{χ_{(n)},μ}, pero esto es una contradicción por hipótesis.

(2) Existe l con ρ(α_{l}) ≠ ± Id o ρ(β_{l}) ≠ ± Id o ρ(α_{l}) = ± Id = ∓ρ(β_{l}). Aquí se tiene que si dim V > 4 entonces la matriz de Cartan generalizada A es tal que su diagrama de Dynkin asociado no es de tipo finito y el resultado sigue. Para ver esto supongamos que existe l con ρ(α_{l}) ≠ ± Id; para los otros casos el argumento es similar. Recordemos que las componentes del vector f^{l} son 1 o −1; luego definimos c^{+} := card{r : f_{r}^{l} = 1} y c^{−} := card{r : f_{r}^{l} = −1}; notar que c^{+} + c^{−} = R. Consideramos tres casos.

(I) Si dim V ≥ 7 entonces el diagrama de Dynkin asociado tiene un vértice w con λ_{w} ≥ 4, donde λ_{w} denota el número de vértices del diagrama que son adyacentes a w. Consecuentemente, tal diagrama no es de tipo finito.

(II) Supongamos que dim V = 6; si c^{+} ≥ 4 o c^{−} ≥ 4 procedemos como en (I). Así, debemos considerar c^{+} ≤ 3 y c^{−} ≤ 3. Como c^{+} + c^{−} = 6 entonces c^{+} = 3 y c^{−} = 3, pero ya que no existe diagrama de Dynkin de tipo finito con dos vértices w, w′ con λ_{w} = 3 y λ_{w′} = 3, el resultado sigue.

(III) Si dim V = 5 sólo debemos considerar o bien c^{+} = 3 y c^{−} = 2 o bien c^{+} = 2 y c^{−} = 3, por (II). En cualquier caso se tiene que el diagrama de Dynkin asociado tiene dos vértices w, w′ con λ_{w} = 3 y λ_{w′} = 3 y el resultado sigue.

[figure: •^{1}; •^{2}; •^{3}; •^{4}; •_{5}; •_{6}]

En consecuencia, sólo nos queda considerar el caso dim V ≤ 4. Entonces, ya que dim V = \binom{n}{k} dim V_{μ}, donde V_{μ} es el espacio vectorial de la representación μ, se deben analizar las diferentes posibilidades para n, k y μ que satisfagan la condición

\binom{n}{k} dim V_{μ} ≤ 4.

Esta desigualdad se cumple solamente en los siguientes casos

(i) n = 2 y k = 1.

(ii) n = 3, k = 1 o 2 y dim V_{μ} = 1.

(iii) n = 4, k = 1 o 3 y dim V_{μ} = 1.

(iv) n cualquiera, k = 0 ó k = n y dim V_{μ} = 1, 2, 3 ó 4.

En (i), (ii) y (iii) el resultado se verifica por [AZ, Th. 2.7], Proposiciones 3.2.5 y 3.2.6, respectivamente. En el caso (iv), k ≠ 0 por Observación 3.2.3 (ii) y k = n sería considerado para n impar, pero esto fue descartado por hipótesis.

Teorema 3.2.12. Sea σ ∈ 𝕊_{2n} de tipo (2^{n}).

(a). Si n es par entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞ para toda ρ ∈ 𝕊̂_{2n}^{σ}.

(b). Si n es impar y ρ ≠ χ_{(n)} ⊗ ϵ, χ_{(n)} ⊗ sgn, entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞ para toda ρ ∈ 𝕊̂_{2n}^{σ}.

Recordemos que si ρ = χ_{(n)} ⊗ ϵ ó χ_{(n)} ⊗ sgn, entonces M(O_{σ}, ρ) tiene trenza negativa por Proposición 3.2.4.

Demostración. Podemos asumir que σ = (1 2)(3 4) ⋯ (2n − 1 2n). Por las Proposiciones 3.2.5 y 3.2.11, sólo se necesita considerar 3 < n impar y ρ = ρ_{χ_{(n)},μ}, con μ en 𝕊̂_{n}, μ ≠ ϵ, sgn. Notar que

ρ = Ind_{(ℤ/2)^{n}⋊𝕊_{n}^{χ_{(n)}}}^{(ℤ/2)^{n}⋊𝕊_{n}}(χ_{(n)} ⊗ μ) = Ind_{(ℤ/2)^{n}⋊𝕊_{n}}^{(ℤ/2)^{n}⋊𝕊_{n}}(χ_{(n)} ⊗ μ) = χ_{(n)} ⊗ μ.

Se distinguen dos posibilidades, como en la demostración de 3.2.11.

(1). Supongamos que ρ(α_{l}) = Id = ρ(β_{l}) o ρ(α_{l}) = − Id = ρ(β_{l}), para todo l, con 1 ≤ l ≤ L. Entonces es fácil verificar que ρ(B_{2l−1}) = ± Id, 1 ≤ l ≤ L. Ya que B_{2}, B_{4}, …, B_{2L} son permutaciones disjuntas se tiene que los operadores ρ(B_{j}), 1 ≤ j ≤ n, conmutan. Luego, existe una base de autovectores simultáneos para tales operadores. Esto dice que la representación μ no es irreducible salvo que dim V_{μ} = 1, y por lo tanto μ = sgn, pero esto es una contradicción por hipótesis. El caso ρ(α_{l}) = − Id = ρ(β_{l}), 1 ≤ l ≤ L, implica ρ(B_{2l−1}) = Id, 1 ≤ l ≤ L; por argumentos análogos se concluye μ = ϵ, lo que es una contradicción por hipótesis.

(2). Si n ≥ 7 y μ ≠ ϵ, sgn, entonces dim V_{μ} > 4, ver [FuHa, I.4.14]; luego, dim 𝔅(O_{σ}^{2n}, ρ) = ∞. Sólo queda el caso n = 5 con las representaciones

ρ = χ_{(5)} ⊗ ϕ, ρ = χ_{(5)} ⊗ ψ,

donde ϕ, ψ son las dos representaciones irreducibles de 𝕊_{5} de dimensión 4, digamos ϕ la representación estándar de 𝕊_{5} y ψ su representación conjugada.

Consideremos ρ = χ_{(5)} ⊗ ϕ; tomamos σ = A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}, B_{j}, σ^{±}, α_{l}, β_{l}, σ_{i}, σ_{j} y T como en el caso n impar; entonces 𝕊_{10}^{σ} = ⟨A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}⟩ ⋊ ⟨B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}⟩ ≃ (ℤ/2)^{5} ⋊ 𝕊_{5} y T = {σ_{0} = σ, σ_{1}, …, σ_{8}} que satisfacen

σ_{1} = B_{1}A_{3}A_{4}A_{5}, σ_{2} = σB_{1}, σ_{3} = A_{1}A_{2}B_{3}A_{5}, σ_{4} = σB_{3}, σ_{5} = B_{1}B_{3}A_{5},
σ_{6} = B_{1}A_{3}A_{4}B_{3}A_{5}, σ_{7} = A_{1}A_{2}B_{1}B_{3}A_{5}, σ_{8} = A_{1}A_{2}B_{1}A_{3}A_{4}B_{3}A_{5}.

La representación estándar de 𝕊_{5} puede ser dada por

ϕ(1 2) = (\begin{matrix}−1 & −1 & −1 & −1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}), ϕ(2 3) = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}),

ϕ(3 4) = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}), ϕ(4 5) = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}).

Entonces es claro que

ρ(σ) = − Id,  ρ(σ_{1}) = ρ(σ_{2}) = −ϕ(B_{1}),  ρ(σ_{3}) = ρ(σ_{4}) = −ϕ(B_{3}),

ρ(σ_{5}) = ρ(σ_{6}) = ρ(σ_{7}) = ρ(σ_{8}) = −ϕ(B_{1})ϕ(B_{3}) = (\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix}).

Si v_{1} = (1, 0, 0, 0), v_{2} = (0, 1, −1, 0), v_{3} = (1, 0, 0, −2) y v_{4} = (1, 1, 1, −4) entonces éstos son autovectores simultáneos de aquellos operadores. Así, resulta que f^{1} = f^{2} = (1, −1, −1, −1), f^{3} = f^{4} = (−1, 1, −1, −1) y f^{5} = f^{6} = f^{7} = f^{8} = (1, 1, −1, −1). Luego, en la base

w_{1} = g_{0}v_{1},  w_{2} = g_{0}v_{2},  w_{3} = g_{1}v_{1}
w_{4} = g_{1}v_{2},  w_{5} = g_{2}v_{1},  w_{6} = g_{2}v_{2},

la trenza es diagonal de tipo Cartan y la matriz Q de los escalares (q_{a,b})_{a,b} es

Q = (\begin{matrix}−1 & −1 & 1 & −1 & 1 & −1 \\ −1 & −1 & 1 & −1 & 1 & −1 \\ 1 & −1 & −1 & −1 & 1 & −1 \\ 1 & −1 & −1 & −1 & 1 & −1 \\ 1 & −1 & 1 & −1 & −1 & −1 \\ 1 & −1 & 1 & −1 & −1 & −1 \end{matrix});

el correspondiente diagrama de Dynkin es A_{5}^{(1)}. Por lo tanto, dim 𝔅(O_{σ}^{10}, ρ) = ∞.

Finalmente, si ρ = χ_{(5)} ⊗ ψ se procede como en el caso previo usando que la representación ψ está dada por ψ = sgn ×ϕ. De allí que, en la misma base anterior, la trenza resulta ser diagonal de tipo Cartan y se obtiene la misma matriz Q; luego, el resultado sigue.

3.2.3. Álgebras de Nichols correspondientes a permutaciones pares puras

Sean r, n ∈ ℕ, r, n ≥ 2. Sea σ = A_{1} ⋯ A_{n} en 𝕊_{2rn}, donde A_{j} es el 2r-ciclo

A_{j} = (2rj − 2r + 1 2rj − 2r + 2 ⋯ 2rj) ,

para todo j, 1 ≤ j ≤ n. Como se explicó en la Sección 3.1, se tiene que

𝕊_{2rn}^{σ} = ⟨A_{1}, …, A_{n}⟩ ⋊ ⟨B_{1}, …, B_{n−1}⟩ ≃ (ℤ/2r)^{n} ⋊ 𝕊_{n},  (3.12)

donde B_{i} es la involución

B_{i} = (2r(i − 1) + 1 2ri + 1)(2r(i − 1) + 2 2ri + 2) ⋯ (2ri 2r(i + 1)),

1 ≤ i ≤ n − 1. Entonces A_{j} y B_{i} satisfacen relaciones análogas a las dadas en la Subsección 3.2.2. Sea ρ una representación irreducible de 𝕊_{2rn}^{σ} de la forma

ρ = Ind_{(ℤ/2r)^{n}⋊𝕊_{n}^{χ}}^{(ℤ/2r)^{n}⋊𝕊_{n}}(χ ⊗ μ),  (3.13)

donde χ ∈ { \atop (ℤ/2r)^{n}} y μ ∈ 𝕊̂_{n}^{χ}. Sea ω = exp(\frac{iπ}{r}) ∈ 𝔾_{2r} una 2r-ésima raíz primitiva de la unidad; cualquier representación irreducible de (ℤ/2r)^{n} es isomorfa a χ_{u_{1},...,u_{n}}, donde

χ_{u_{1},...,u_{n}}(A_{j}) = ω^{u_{j}}, 1 ≤ j ≤ n,  (3.14)

con 0 ≤ u_{j} ≤ 2r − 1.

Notación: si ρ es como en (3.13), con χ como en (3.14), escribiremos ρ = ρ_{u_{1},...,u_{n},μ}.

Por Lema 2.3.4, si ρ(σ) ≠ − Id, entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞. Luego, en lo sucesivo sólo se considerará ρ = ρ_{χ_{u_{1},...,un},μ} tal que ρ(σ) = − Id; esto es

ω^{u_{1}+···+u_{n}} = −1,  (3.15)

i. e. u_{1} + ⋯ + u_{n} = r, 3r, 5r,…, (2n − 1)r.

Para cada (i, j), con 1 ≤ i < j ≤ n, se define

B_{ij} := \begin{cases}B_{i} & , si |i − j| = 1, \\ B_{i}B_{i+1} ⋯ B_{j−1} ⋯ B_{i+1}B_{i} & , si |i − j| > 1, \end{cases}

y σ_{(i,j)} := σB_{ij}. Notamos que B_{ij} actúa como la transposición (i j) sobre A_{1}, …, A_{n} y que los σ_{(i,j)} están en 𝕊_{2rn}^{σ}.

Para cada j, 1 ≤ j ≤ n, definimos

g_{A_{j}} := ∏_{h=1}^{r} (2(j − 1)r + h 2jr − h + 1).  (3.16)

Luego, g_{A_{j}} es una involución y satisface A_{j}^{−1} = g_{A_{j}}A_{j}g_{A_{j}}, 1 ≤ j ≤ n.

Ahora podemos enunciar el siguiente Lema.

3.2. USANDO TÉCNICAS BASADAS EN SUBRACKS ABELIANOS  61

Lema 3.2.13. Para cada (i, j), con 1 ≤ i < j ≤ n, se tiene que

(a) σ_{(i,j)} está en O.

(b) existe una involución g_{(i,j)} en 𝕊_{2rn} tal que σ_{(i,j)} = g_{(i,j)}σg_{(i,j)}.

(c) existen involuciones g, g̃_{(i,j)} en 𝕊_{2rn} tales que σ^{−1} = gσg y σ_{(i,j)}^{−1} = g̃_{(i,j)}σg̃_{(i,j)}. Demostración. Es suficiente probar esto para i = 1 y j = 2.

(a) y (b). Es fácil ver que

σ_{(1,2)} = σB_{1} = (1 2r + 2 3 2r + 4 5 ⋯ 4r − 2 2r − 1 4r)
× (2 2r + 3 4 2r + 5 6 ⋯ 4r − 1 2r 2r + 1)A_{3} ⋯ A_{n},

y que si

g_{(1,2)} = (2 2r + 2)(4 2r + 4) ⋯ (2r − 2 4r − 2)(2r 4r),

entonces g_{(1,2)} es una involución y σ_{(1,2)} = g_{(1,2)}σg_{(1,2)} ∈ O.

(c) Si definimos g := g_{A_{1}} ⋯ g_{A_{n}}, ver (3.16), entonces g es involución y satisface σ^{−1} = gσg. Finalmente, si r es par y

g̃_{(1,2)} = (2 4r)(4 4r − 2) ⋯ (2r 2r + 2)
(3 2r − 1)(5 2r − 3) ⋯ (r − 3 r + 5)(r − 1 r + 3)
(2r + 3 4r − 1)(2r + 5 4r − 3) ⋯ (2r + r − 1 2r + r + 3),

ó si r es impar y

g̃_{(1,2)} = (2 4r)(4 4r − 2) ⋯ (2r 2r + 2)
(3 2r − 1)(5 2r − 3) ⋯ (r − 2 r + 4)(r r + 2)
(2r + 3 4r − 1)(2r + 5 4r − 3) ⋯ (2r + r 2r + r + 2),

entonces g̃_{(1,2)} es involución y satisface σ_{(1,2)}^{−1} = g̃_{(1,2)}σg̃_{(1,2)}.

Se considerarán dos casos diferentes de acuerdo al grado de ρ. Caso I: deg ρ > 1. Teorema 3.2.14. Sea ρ en 𝕊̂_{2rn}^{σ}. Si deg ρ > 1 entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞. Demostración. Consideremos dos posibilidades.

(A) Asumamos que existe (i, j), con 1 ≤ i < j ≤ n, tal que ρ (σ_{(i,j)}) ≠ ± Id. Para simplificar la notación, escribiremos

σ_{1} := σ,  σ_{2} := σ^{−1},  σ_{3} := σ_{(i,j)},  σ_{4} := σ_{(i,j)}^{−1},
g_{1} := id,  g_{2} := g,  g_{3} := g_{(i,j)},  g_{4} := g̃_{(i,j)}.

Ahora se tienen las siguientes relaciones: σ_{1}g_{l} = g_{l}t_{l} , l = 1, 2, 3, 4, y

σ_{2}g_{1} = g_{1}σ_{2},  σ_{2}g_{2} = g_{2}σ_{1},  σ_{2}g_{3} = g_{3}σ_{4},  σ_{2}g_{4} = g_{4}σ_{3},  (3.17)
σ_{3}g_{1} = g_{1}σ_{3},  σ_{3}g_{2} = g_{2}σ_{4},  σ_{3}g_{3} = g_{3}σ_{1},  σ_{3}g_{4} = g_{4}σ_{2},  (3.18)
σ_{4}g_{1} = g_{1}σ_{4},  σ_{4}g_{2} = g_{2}σ_{3},  σ_{4}g_{3} = g_{3}σ_{2},  σ_{4}g_{4} = g_{4}σ_{1}.  (3.19)

Puesto que los elementos σ_{1}, σ_{2}, σ_{3} y σ_{4} conmutan entre sí entonces existe una base de V formada por autovectores simultáneos {v_{1}, …, v_{R}}, V el espacio vectorial de la representación ρ. Luego, o bien el operador ρ (σ_{(i,j)}) tiene al menos dos autovalores distintos o bien ρ (σ_{(i,j)}) = λ Id, con λ ≠ ±1.

En el primer caso, existen s y s′, 1 ≤ s, s′ ≤ R, tales que

ρ(σ_{(i,j)}) v_{s} = λ_{s}v_{s} y ρ(σ_{(i,j)}) v_{s′} = λ_{s′}v_{s′},

con λ_{s} ≠ λ_{s′}; consideremos el subespacio W de M(O, ρ) generado por

{g_{1}v_{s}, g_{1}v_{s′}, g_{2}v_{s}, g_{2}v_{s′}, g_{3}v_{s}, g_{3}v_{s′}, g_{4}v_{s}, g_{4}v_{s′}}.  (3.20)

Es claro que W es un subespacio vectorial trenzado de tipo diagonal de M(O, ρ). Ahora bien, si λ_{s}^{2} ≠ 1 entonces es fácil ver que su diagrama de Dynkin generalizado contiene un ciclo de la forma

[figure: λ_{s}^{2}; λ_{s}^{−2}; λ_{s}^{−2}; λ_{s}^{2}; -1; -1; -1; -1] ,  (3.21)

mientras que si λ_{s}^{2} = 1 entonces λ_{s}λ_{s′} ≠ 1, esto implica que el diagrama de Dynkin generalizado contiene un ciclo de la forma

[figure: λ_{s}λ_{s′}; λ_{s}^{−1}λ_{s′}^{−1}; λ_{s}^{−1}λ_{s′}^{−1}; λ_{s}λ_{s′}; -1; -1; -1; -1] .

Luego, en ambos casos se tiene que dim 𝔅(O, ρ) = ∞, por Lema 2.3.7.

En el segundo caso, tomamos cualquier s, 1 ≤ s ≤ R; entonces el subespacio de M(O, ρ) generado por

{g_{1}v_{s}, g_{2}v_{s}, g_{3}v_{s}, g_{4}v_{s}},

es un subespacio vectorial trenzado de tipo diagonal de M(O, ρ), y su diagrama de Dynkin contiene un ciclo como en (3.21). Por Lema 2.3.7, dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

(B) Asumamos que ρ (σ_{(i,j)}) = ± Id, para todo (i, j), con 1 ≤ i < j ≤ n. La relación σ_{(1,2)} = σB_{1} da que ρ(B_{1}) = ∓ Id; las relaciones σ_{(1,3)} = σB_{1}B_{2}B_{1} y ρ(B_{1}) = ± Id implican que ρ(B_{2}) = ∓ Id, y así siguiendo. Luego, los operadores ρ(A_{1}), …, ρ(A_{n}), ρ(B_{1}), …, ρ(B_{n−1}) conmutan, y, por lo tanto, existe una base de autovectores simultáneos de V para dichos operadores. Ya que deg ρ > 1, ρ no sería una representación irreducible de 𝕊_{2rn}^{σ}, lo cual es una contradicción por hipótesis.

Caso II: deg ρ = 1.

Sea v ∈ V − 0. Por (3.13), deg ρ = [𝕊_{n} : 𝕊_{n}^{χ}] deg μ; luego 𝕊_{n}^{χ} = 𝕊_{n} y deg μ = 1. Esto implica que ρ = χ_{c,...,c} ⊗ μ, para algún c, con 0 ≤ c ≤ 2r − 1, y μ = ϵ ó sgn. Notar que si c = 0 entonces ρ(σ) = 1, lo cual es una contradicción por hipótesis asumida al comienzo de la subsección. Así, podemos suponer que c ≠ 0.

Comenzaremos por el siguiente resultado.

Proposición 3.2.15. Sea ρ = χ_{c,...,c} ⊗ μ, con 0 < c ≤ 2r − 1.

(a) Si r es impar y c ≠ r, entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

(b) Si r es par y c ≠ \frac{r}{2}, r, \frac{3r}{2} , entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

Demostración. Sean

σ_{1} := σ,  σ_{2} := σ^{−1},  σ_{3} := A_{1}^{−1}A_{2} ⋯ A_{n},  σ_{4} := σ_{3}^{−1},
g_{1} := id,  g_{2} := g,  g_{3} := g_{A_{1}},  g_{4} := σ_{2} ⋯ σ_{n},

donde g_{A_{1}} fué definido en (3.16) y g es como en la parte (c) de la prueba de Lema 3.2.13. Es claro que se satisfacen σ_{1}g_{l} = g_{l}t_{l}, l = 1, 2, 3, 4, y las relaciones (3.17), (3.18) y (3.19) como en la parte (A) de la prueba del Teorema 3.2.14. Entonces el subespacio de M(O, ρ) generado por {g_{1}v, g_{2}v, g_{3}v, g_{4}v} es trenzado de tipo diagonal cuya matriz de coeficientes (q_{ij})_{ij} está dada por

Q = (\begin{matrix}−1 & −1 & −ω^{−2c} & −ω^{2c} \\ −1 & −1 & −ω^{2c} & −ω^{−2c} \\ −ω^{−2c} & −ω^{2c} & −1 & −1 \\ −ω^{2c} & −ω^{−2c} & −1 & −1 \end{matrix}) .

Ya que c ≤ 2r − 1, es fácil ver que ω^{4c} = 1 si y sólo si 2c = r, 2r o 3r. Ahora bien, resulta claro que si r es impar y c ≠ r, o si r es par y c ≠ \frac{r}{2}, r, \frac{3r}{2} , se tiene que ω^{4c} ≠ 1. Esto implica que el diagrama de Dynkin generalizado tiene un ciclo como en (3.21). Por lo tanto, dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

En los casos restantes, la trenza es siempre negativa.

Teorema 3.2.16. Asumamos que ρ(σ) = −1.

(a) Si r es impar y ρ = χ_{r,...,r} ⊗ μ, con μ = ϵ ó sgn, entonces la trenza es negativa.

(b) Si r es par y ρ = χ_{c,...,c} ⊗ μ, con c = \frac{r}{2}, r ó \frac{3r}{2} y μ = ϵ ó sgn, entonces la trenza es negativa.

Notar que, para ρ como en (a) ó en (b), ρ(σ) no es necesariamente igual a −1.

Para probar este Teorema, necesitaremos dos lemas. Recordemos que σ_{1} = σ, …, σ_{N} es una numeración de O_{σ} y sean g_{l} ∈ 𝕊_{2rn} tales que g_{l}σg_{l}^{−1} = σ_{l}, para todo l, 1 ≤ l ≤ N; elegimos g_{1} = id.

Sea σ_{l} en O_{σ}, tal que σσ_{l} = σ_{l}σ, i. e. σ_{l} en 𝕊_{2rn}^{σ}. Sabemos que γ_{l1} := g_{1}^{−1}σ_{l}g_{1} = σ_{l} y γ_{1l} := g_{l}^{−1}σg_{l} están en O_{σ} ∩ 𝕊_{2rn}^{σ}. Por (3.12), podemos escribir

γ_{l1} = A_{1}^{d_{1}} ⋯ A_{n}^{d_{n}}B,  (3.22)
γ_{1l} = A_{1}^{e_{1}} ⋯ A_{n}^{e_{n}}B′,  (3.23)

donde B y B′ están en ⟨B_{1}, …, B_{n−1}⟩ ≃ 𝕊_{n}. Sea Φ : ⟨B_{1}, …, B_{n−1}⟩ → 𝕊_{n} el isomorfismo de grupo dado por Φ(B_{i}) = (i i + 1), 1 ≤ i ≤ n − 1.

Para cada j, 1 ≤ j ≤ n, se define

A_{j} := {2rj − 2r + 1, 2rj − 2r + 2, …, 2rj},

i. e. A_{j} es el conjunto de números naturales que son “movidos"por A_{j}. También definimos

J := {j : A_{j}B ≠ BA_{j}}.  (3.24)

Si j ∉ J entonces d_{j} es coprimo con 2r, porque A_{j}^{d_{j}} es un ciclo de longitud 2r. Por ejemplo, si el tipo de Φ(B) es (L), entonces card J = L. Así, podemos escribir

γ_{l1} = ∏_{j∉J} A_{j}^{d_{j}}  ∏_{j∈J} A_{j}^{d_{j}}B,  (3.25)

y g_{l} puede ser elegido

g_{l} = ν ∏_{j∉J} ξ_{l,j} ,  (3.26)

donde

ξ_{l,j}A_{j}ξ_{l,j}^{−1} = A_{j}^{d_{j}}, para todo j ∉ J,

si j ∉ J y j′ ≠ j, entonces todo elemento de A_{j′} queda fijo por ξ_{l,j},

ν es tal que todo elemento de A_{j}, con j ∉ J, queda fijo por ν, y

ν ∏_{j∈J} A_{j} ν^{−1} = ∏_{j∈J} A_{j}^{d_{j}}B.  (3.27)

Lema 3.2.17. Φ(B) y Φ(B′) tienen el mismo tipo en 𝕊_{n}.

Demostración. Consideraremos distintos casos de acuerdo al tipo de Φ(B) en 𝕊_{n}.

Si el tipo de Φ(B) es (1^{2rn}); esto quiere decir B = id. Se tiene que J = ∅; luego, podemos elegir g_{l} = ξ_{l,1} ⋯ ξ_{l,n}. Entonces

γ_{1l} = g_{l}^{−1}σg_{l} = ξ_{l,1}^{−1}A_{1}ξ_{l,1} ⋯ ξ_{l,n}^{−1}A_{n}ξ_{l,n},

y puesto que γ_{1l} está en O_{σ}, i. e. es un producto de ciclos disjuntos de longitud 2r, tenemos que ξ_{l,j}^{−1}A_{j}ξ_{l,j} es un ciclo de longitud 2r, para todo j. Esto implica que

γ_{1l} = A_{1}^{e_{1}} ⋯ A_{n}^{e_{n}},

con e_{1}, …, e_{n} coprimos con 2r; lo cual dice que B′ = id.

Si el tipo de Φ(B) es (2). Es suficiente hacer la prueba para el caso en que B = B_{i} para algún i, 1 ≤ i ≤ n − 1. Luego, J = {i, i + 1}. Así, si j ≠ i, i + 1, entonces d_{j} es coprimo con 2r y g_{l} puede elegido como en (3.26), i. e.

g_{l} = ν ∏_{j≠i,i+1} ξ_{l,j} ,

donde ν satisface νA_{i}A_{i+1}ν^{−1} = A_{i}^{d_{i}}A_{i+1}^{d_{i+1}}B, y si j ≠ i, i + 1 entonces los elementos de A_{j} quedan fijos por ν. Luego,

γ_{1l} = g_{l}^{−1}σg_{l} = ( ∏_{j≠i,i+1} ξ_{l,j}^{−1}A_{j}ξ_{l,j}) ν^{−1}A_{i}A_{i+1}ν = ( ∏_{j≠i,i+1} A_{j}^{e_{j}}) A_{i}^{e_{i}}A_{i+1}^{e_{i+1}}B′,

con e_{j} coprimo con 2r, si j ≠ i, i + 1. Esto implica que el tipo de Φ(B′) es (h_{1}^{b_{1}}, …, h_{K}^{b_{K}}) con

b_{1}h_{1} + ⋯ + b_{K}h_{K} ≤ 2.

Entonces el tipo de Φ(B′) es (1) ó (2); si es (1) se tiene que B′ = id, entonces B = id, por el primer caso, esto es una contradicción. Luego, el tipo de Φ(B′) es (2).

Notar que si el tipo de Φ(B) es (2^{a}) entonces lo mismo ocurre para Φ(B′), repitiendo el argumento previo en cada transposición disjunta que aparece en la descomposición de Φ(B) como producto de permutaciones disjuntas de 𝕊_{n}.

En general, podemos probar con el mismo argumento que si el resultado es cierto para cuando el tipo de Φ(B) es (L_{1}) y (L_{2}) entonces el resultado es también cierto si el tipo de Φ(B) es (L_{1}^{2}), con L_{1} = L_{2}, ó (L_{1}, L_{2}), con L_{1} ≠ L_{2}.

Sea Φ(B) de tipo (L). Usaremos inducción en L y el párrafo previo para probar que el tipo de Φ(B′) es (L). Explícitamente, asumamos que existe L > 2 tal que para todo h < L vale lo siguiente: si el tipo de Φ(B) es (h), entonces el tipo de Φ(B′) es (h). Supongamos que el tipo de Φ(B′) es (h_{1}^{b_{1}}, …, h_{K}^{b_{K}}). Se procede como en el caso L = 2. Podemos elegir g_{l} como en (3.26), con ν que satisface (3.27), y si j ∉ J entonces los elementos de A_{j} quedan fijos por ν. Luego,

γ_{1l} = g_{l}^{−1}σg_{l} = ( ∏_{j∉J} ξ_{l,j}^{−1}A_{j}ξ_{l,j}) (ν^{−1} ∏_{j∈J} A_{j} ν) = ∏_{j∉J} A_{j}^{e_{j}}  ∏_{j∈J} A_{j}^{e_{j}}B′,

con e_{j} coprimos con 2r si j ∉ J, porque γ_{1l} está en O_{σ}. Esto implica que

b_{1}h_{1} + ⋯ + b_{K}h_{K} ≤ L.

Si b_{1}h_{1} + ⋯ + b_{K}h_{K} < L ó si b_{1}h_{1} + ⋯ + b_{K}h_{K} = L con K > 1, entonces h_{1}, …, h_{K} < L, y por hipótesis inductiva y el párrafo previo se tiene que el tipo de Φ(B) es (h_{1}^{b_{1}}, …, h_{K}^{b_{K}}) ≠ (L), lo cual es una contradicción. Así, el tipo de Φ(B′) es (h_{1})^{b_{1}}, con b_{1}h_{1} = L; si b_{1} > 1 usamos hipótesis inductiva y el párrafo anterior para decir que el tipo de Φ(B) es (h_{1}^{b_{1}}) ≠ (L), lo cual es una contradicción. Por lo tanto, b_{1} = 1 y h_{1} = L, lo que quiere decir que el tipo de Φ(B′) = (L), y esto concluye la demostración.

Lema 3.2.18. Sean γ_{l1} y γ_{1l} como en (3.22) y (3.23), respectivamente.

(a) Para cualquier r si n es impar, entonces ∑_{j=1}^{n}(e_{j} + d_{j}) es par.

(b) Si r es par y n es par, entonces ∑_{j=1}^{n}(e_{j} + d_{j}) ≡ 0 mod (4).

Demostración. (a) Si n es impar se tiene que el signo de σ en 𝕊_{2rn} es

sgn σ = sgn A_{1} ⋯ sgn A_{n} = (−1)^{n} = −1,

porque A_{1}, …, A_{n} son ciclos de longitud par. Como γ_{l1} ∈ O_{σ} se tiene que sgn γ_{l1} = −1, por otro lado

sgn γ_{l1} = sgn A_{1}^{d_{1}} ⋯ sgn A_{n}^{d_{n}} sgn B = (−1)^{d_{1}+···+d_{n}},

porque B ∈ ⟨B_{1}, …, B_{n−1}⟩ y cada B_{1}, …, B_{n−1} es a producto de una cantidad par de transposiciones en 𝕊_{2rn}. Entonces d_{1} + ⋯ + d_{n} es impar. Análogamente, e_{1} + ⋯ + e_{n} es impar. Entonces el resultado sigue.

(b) Asumamos que n es par. En este caso el signo de σ en 𝕊_{2rn} es 1; puesto que γ_{l1} y γ_{1l} están en O_{σ}, d_{1} + ⋯ + d_{n} y e_{1} + ⋯ + e_{n} son pares. Supongamos que la descomposición de Φ(B) como producto de permutaciones disjuntas en 𝕊_{n} es

Φ(B) = τ_{1} ⋯ τ_{K}.  (3.28)

Por Lema 3.2.17, se obtiene que la descomposición de Φ(B′) como producto de permutaciones disjuntas en 𝕊_{n} es

Φ(B′) = τ′_{1} ⋯ τ′_{K}.

Así, |τ_{k}| = |τ′_{k}|, para todo k, y |B| = lcm(|τ_{1}|, …, |τ_{K}|) = |B′|, donde lcm denota el mínimo común múltiplo.

Para cada k, 1 ≤ k ≤ K, se define

J_{k} := {j : 1 ≤ j ≤ n y A_{j}Φ^{−1}(τ_{k}) ≠ Φ^{−1}(τ_{k})A_{j}}.  (3.29)

Claramente, card J_{k} = |τ_{k}|, para todo k. Notar que J_{1}, …, J_{K} son conjuntos disjuntos y si J es como en (3.24) entonces J = J_{1} ∪ ⋯ ∪ J_{K}. Además, es claro que

J_{k} = {j : 1 ≤ j ≤ n y A_{j}Φ^{−1}(τ′_{k}) ≠ Φ^{−1}(τ′_{k})A_{j}}.

por Lema 3.2.17. Escribimos γ_{l1} como en (3.25) de una manera más precisa

γ_{l1} = g_{l}σg_{l}^{−1} = ∏_{j∉J} A_{j}^{d_{j}} ∏_{j∈J_{1}} A_{j}^{d_{j}} ⋯ ∏_{j∈J_{K}} A_{j}^{d_{j}} B,

y g_{l} puede ser elegido como en (3.26)

g_{l} = ν_{1} ⋯ ν_{K} ∏_{j∉J} ξ_{l,j} ,

donde

ν_{k} ∏_{j∈J_{k}} A_{j} ν_{k}^{−1} = ∏_{j∈J_{k}} A_{j}^{d_{j}} Φ^{−1}(τ_{k}),  (3.30)

y si j ∉ J_{k} todo elemento de A_{j} queda fijo por ν_{k}; esto permite decir que si j ∉ J_{k} entonces A_{j} y ν_{k} conmutan. Luego, si γ_{1l} es como en (3.23) entonces

γ_{1l} = g_{l}^{−1}σg_{l} = ∏_{j∉J} A_{j}^{e_{j}} ∏_{j∈J_{1}} A_{j}^{e_{j}} ⋯ ∏_{j∈J_{K}} A_{j}^{e_{j}} B′,

con

∏_{j∈J_{k}} A_{j}^{e_{j}}Φ^{−1}(τ′_{k}) = ν_{k}^{−1} ∏_{j∈J_{k}} A_{j} ν_{k}.  (3.31)

Puesto que |γ_{l1}| = 2r, B^{2r} = id; esto implica que |B| divide a 2r, digamos 2r = |B|q, con q ≥ 1. Se puede probar en forma directa que

(∏_{j∈J} A_{j}^{d_{j}}B)^{h|B|} = ( ∏_{j∈J_{1}} A_{j})^{h \frac{|B|}{|τ_{1}|} ∑_{j∈J_{1}} d_{j}} ⋯ ( ∏_{j∈J_{K}} A_{j})^{h \frac{|B|}{|τ_{K} |} ∑_{j∈J_{K}} d_{j}} ,  (3.32)

para todo h ≥ 0. En particular, cuando h = q, ambos lados resultan iguales a id y esto implica que

( ∏_{j∈J_{k}} A_{j})^{q \frac{|B|}{|τ_{k}|} ∑_{j∈J_{k}} d_{j}} = id,

para todo k. Como el orden de ∏_{j∈J_{k}} A_{j} es 2r tenemos que |τ_{k}| divide a ∑_{j∈J_{k}} d_{j}. Análogamente, podemos probar que |τ′_{k}| divide a ∑_{j∈J_{k}} e_{j}, para todo k. Luego, para cada k, 1 ≤ k ≤ K, existen p_{k}, p′_{k} ≥ 1 tales que

∑_{j∈J_{k}} d_{j} = |τ_{k}|p_{k}  y  ∑_{j∈J_{k}} e_{j} = |τ_{k}|p′_{k}.  (3.33)

Por (3.30), (3.31) y (3.32), para cada k, 1 ≤ k ≤ K, se tiene que

( ∏_{j∈J_{k}} A_{j})^{h|B|} = ν_{k}^{−1}ν_{k} ( ∏_{j∈J_{k}} A_{j})^{h|B|} ν_{k}^{−1}ν_{k} = ν_{k}^{−1} (ν_{k} ∏_{j∈J_{k}} A_{j}ν_{k}^{−1})^{h|B|} ν_{k}

= ν_{k}^{−1} ( ∏_{j∈J_{k}} A_{j}^{d_{j}}Φ^{−1}(τ_{k}))^{h|B|} ν_{k} = ν_{k}^{−1} ( ∏_{j∈J_{k}} A_{j})^{h|B|p_{k}} ν_{k}

= (ν_{k}^{−1} ∏_{j∈J_{k}} A_{j}ν_{k})^{h|B|p_{k}} = ( ∏_{j∈J_{k}} A_{j}^{e_{j}}Φ^{−1}(τ′_{k}))^{h|B|p_{k}}

= ( ∏_{j∈J_{k}} A_{j})^{h|B|p_{k}p′_{k}} ,

para todo h ≥ 0. En particular, para h = 1 esto implica que 2r divide a |B|p_{k}p′_{k} − |B|. Como 2r = |B|q, se tiene que q divide a p_{k}p′_{k} − 1, para todo k; digamos que para cada k, 1 ≤ k ≤ K, existe x_{k} ≥ 1 tal que

p_{k}p′_{k} − 1 = qx_{k}.  (3.34)

Por un argumento similar al del párrafo anterior, podemos mostrar que

( ∏_{j∈J_{k}} A_{j})^{h|τ_{k}|} = ( ∏_{j∈J_{k}} A_{j})^{h|τ_{k}|p_{k}p′_{k}} ,  (3.35)

para todo h ≥ 0. Para h = 1, esto dice que 2r divide a |τ_{k}|p_{k}p′_{k} − |τ_{k}|. Usando (3.34) y que |B| = |τ_{k}|y_{k}, para algún y_{k} ≥ 1, tenemos que y_{k} divide a x_{k}, para cada k, digamos x_{k} = y_{k}z_{k}, para algún z_{k} ≥ 1. Consecuentemente,

|τ_{k}|p_{k}p′_{k} − |τ_{k}| = |τ_{k}| q y_{k} z_{k} = |B| q z_{k} = 2rz_{k}.

Ya que r es par resulta que |τ_{k}|p_{k}p′_{k} ≡ |τ_{k}| mod (4); esto quiere decir que

p′_{k} ∑_{j∈J_{k}} d_{j} ≡ |τ_{k}| mod (4)  y  p_{k} ∑_{j∈J_{k}} e_{j} ≡ |τ_{k}| mod (4).  (3.36)

Claramente,

( ∑_{j∈J_{k}} d_{j}) ( ∑_{j∈J_{k}} e_{j}) ≡ |τ_{k}|^{2} mod (4).  (3.37)

Usando (3.33), (3.36), (3.37) y que |τ_{k}|^{2} ≡ 0 ó 1 mod (4) se concluye que

∑_{j∈J_{k}} d_{j} ≡ ∑_{j∈J_{k}} e_{j} mod (4),  (3.38)

para todo k, 1 ≤ k ≤ K. Más aún, si |τ_{k}|^{2} ≡ 0 mod (4), entonces

∑_{j∈J_{k}} d_{j} ≡ 0 ≡ ∑_{j∈J_{k}} e_{j} mod (4)  ó  ∑_{j∈J_{k}} d_{j} ≡ 2 ≡ ∑_{j∈J_{k}} e_{j} mod (4),  (3.39)

y si |τ_{k}|^{2} ≡ 1 mod (4), entonces

∑_{j∈J_{k}} d_{j} ≡ 1 ≡ ∑_{j∈J_{k}} e_{j} mod (4)  ó  ∑_{j∈J_{k}} d_{j} ≡ 3 ≡ ∑_{j∈J_{k}} e_{j} mod (4).  (3.40)

Para h = 0, 1, 2 y 3, se define

K_{h} := {k : 1 ≤ k ≤ K y |τ_{k}| ≡ h mod (4)}.

Por (3.39), es claro que

∑_{k∈K_{0}∪K_{2}} ∑_{j∈J_{k}}(e_{j} + d_{j}) ≡ 0 mod (4),  (3.41)

mientras que por (3.40), se tiene que

∑_{j∈J_{k}}(e_{j} + d_{j}) ≡ 2 mod (4),  para todo k ∈ K_{1} ∪ K_{3}.  (3.42)

Además, si j ∉ J entonces d_{j} y e_{j} son coprimos con 2r y es fácil ver que

A_{j} = ξ_{l,j}^{−1}ξ_{l,j}A_{j}ξ_{l,j}^{−1}ξ_{l,j} = ξ_{l,j}^{−1}A_{j}^{d_{j}}ξ_{l,j} = (ξ_{l,j}^{−1}A_{j}ξ_{l,j})^{d_{j}} = A_{j}^{e_{j}d_{j}};

esto implica que 2r divide a e_{j}d_{j} −1, y puesto que r es par se tiene que e_{j}d_{j} ≡ 1 mod (4). Utilizando esto último y que d_{j} y e_{j} son impares para j ∉ J, se puede probar que

e_{j} + d_{j} ≡ 2 mod (4), para todo j ∉ J.  (3.43)

Por otro lado, dado que card J_{k} = |τ_{k}| entonces ∑_{k∈K_{0}∪K_{2}} card J_{k} es par. Además, ya que

n = card J^{c} + ∑_{k∈K_{1}∪K_{3}} card J_{k} + ∑_{k∈K_{0}∪K_{2}} card J_{k}

es par por hipótesis, entonces card J^{c} + ∑_{k∈K_{1}∪K_{3}} card J_{k} es par. Luego, es fácil verificar que

a := card J^{c} + card(K_{1} ∪ K_{3}) es par.  (3.44)

Ahora bien, por (3.41), (3.42) y (3.43), tenemos que

∑_{j=1}^{n}(e_{j} + d_{j}) = ∑_{j∈J^{c}}(e_{j} + d_{j}) + ∑_{k∈K_{1}∪K_{3}} ∑_{j∈J_{k}}(e_{j} + d_{j}) + ∑_{k∈K_{0}∪K_{2}} ∑_{j∈J_{k}}(e_{j} + d_{j})
≡ 2 card J^{c} + 2 card(K_{1} ∪ K_{3}) mod (4).

Concluimos que

∑_{j=1}^{n}(e_{j} + d_{j}) ≡ 2a ≡ 0 mod (4),  (3.45)

por (3.44). Esto concluye la prueba.

Demostración de Teorema 3.2.16.

Como en la Sección 2.2, fijamos una numeración σ_{1} = σ, …, σ_{N} de O_{σ} y g_{k} ∈ G tales que g_{k} ▷ σ = σ_{k}, 1 ≤ k ≤ N. Recordamos que para 1 ≤ k, l ≤ N se definió γ_{k,l} := g_{l}^{−1}σ_{k}g_{l} – ver (2.11).

Sea ρ ∈ 𝕊̂_{2rn}^{σ} como en (a) ó (b) del enunciado del Teorema. Puesto que deg ρ = 1, para probar que M(O_{σ}, ρ) es negativo tenemos que ver

(i) ρ(γ_{kk}) = −1 para todo k, 1 ≤ k ≤ N.

(ii)’ para todo σ_{l} ∈ O_{σ} ∩ G^{σ}, se cumple que ρ(γ_{1,l}γ_{l,1}) = 1.

por Observación 2.2.2 y Lema 2.2.3. La condición (i) se cumple trivialmente, ya que γ_{kk} = σ, para todo 1 ≤ k ≤ N, y ρ(σ) = −1, por hipótesis.

Probaremos (ii)’. Sea σ_{l} en O_{σ} ∩ 𝕊_{2rn}^{σ}. Luego, γ_{l1} = g_{1}^{−1}σ_{l}g_{1} = σ_{l} y γ_{1l} = g_{l}^{−1}σg_{l} pertenecen a 𝕊_{2rn}^{σ}, y supongamos que están dadas por (3.22) y (3.23), respectivamente.

Consideraremos dos casos.

Asumamos que ρ = χ_{r,...,r} ⊗ μ, con μ = ϵ ó sgn. Ya que ρ(σ) = −1 y ρ(σ) = ω^{rn}, con ω = exp(\frac{iσ}{r}), se tiene que n debe ser impar. Entonces

q_{1l}q_{l1} = (χ_{r,...,r} ⊗ μ)(γ_{1l}γ_{l1}) = (χ_{r,...,r} ⊗ μ)(γ_{1l}) (χ_{r,...,r} ⊗ μ)(γ_{l1})
= ω^{r ∑_{j=1}^{n} e_{j}+d_{j}}μ(B′)μ(B) = (−1)^{∑_{j=1}^{n} e_{j}+d_{j}} = 1,

por Lema 3.2.17 y Lema 3.2.18 (a).

Asumamos que r es par y ρ = χ_{c,...,c} ⊗ μ, con c = \frac{r}{2} ó \frac{3r}{2} , y μ = ϵ ó sgn. La condición ρ(σ) = −1 implica que n ≡ 2 mod (4); en particular n es par. Por Lema 3.2.17 y Lema 3.2.18 (b), podemos decir que

q_{1l}q_{l1} = (χ_{c,...,c} ⊗ μ)(γ_{1l}γ_{l1}) = (χ_{c,...,c} ⊗ μ)(γ_{1l}) (χ_{c,...,c} ⊗ μ)(γ_{l1})
= ω^{c ∑_{j=1}^{n} e_{j}+d_{j}}μ(B′)μ(B) = (±i)^{∑_{j=1}^{n} e_{j}+d_{j}} = 1.

Esto concluye la demostración.

El próximo resultado da condiciones necesarias acerca de los parámetros t_{l,j}, 1 ≤ l ≤ n_{j}, 1 ≤ j ≤ m, ver (3.5), para que 𝔅(O_{σ}, ρ) tenga dimensión finita.

Lema 3.2.19. Sea m ≥ 3. Sean σ ∈ 𝕊_{m} de tipo (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, …, m^{n_{m}}), O la clase de conjugación de σ y ρ ∈ 𝕊̂_{m}^{σ}. Si existen j, l, con 1 ≤ j ≤ m y 1 ≤ l ≤ n_{j}, tales que ω_{j}^{4t_{l,j}} ≠ 1, entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

Demostración. Notar que j ≠ 1, 2. Sea N = ∑_{j≥3} n_{j}. Consideramos los dos casos posibles.

(a) Asumamos que N = 1. En este caso, el tipo de σ es (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, j). Luego, ρ_{j} = χ_{t_{j}}, para algún t_{j}, 0 < t_{j} ≤ j − 1, y q_{σσ} = ± ω_{j}^{t_{j}} ≠ ±1, por hipotésis. Ahora el resultado sigue del Lema 2.3.4.

(b) Asumamos que N > 1. Por Lema 2.3.4, podemos suponer que q_{σσ} = −1. Luego, existe v ∈ V − 0 tal que ρ(A_{l,j})v = ω_{j}^{t_{l,j}}v. Definimos σ_{1} := σ, σ_{2} := σ A_{l,j}^{−2}, σ_{3} := σ_{2}^{−1} y σ_{4} := σ^{−1}; claramente, estos son cuatro elementos distintos. Sea τ = (i_{1} i_{2} ⋯ i_{j}) un j-ciclo. Definimos

g_{τ} := \begin{cases}(i_{2} i_{j})(i_{3} i_{j−1}) ⋯ (i_{l} i_{l+2}) & , si j = 2l es par, \\ (i_{2} i_{j})(i_{3} i_{j−1}) ⋯ (i_{l+1} i_{l+2}) & , si j = 2l + 1 es impar. \end{cases}  (3.46)

Luego, g_{τ} es una involución tal que τ^{−1} = g_{τ} τg_{τ}. Elegimos g_{1} := id, g_{2} := g_{A_{l,j}}, ver (3.46), g_{4} := g_{2}g_{3} y

g_{3} := ∏_{\begin{matrix}k≠j \\ 1≤h≤n_{k} \end{matrix}} g_{A_{h,k}} · ∏_{\begin{matrix}1≤h≤n_{j} \\ h≠l \end{matrix}} g_{A_{h,j}}.

Entonces σ_{r} = g_{r}σg_{r}^{−1}, r = 1, 2, 3, 4, y se tienen las siguientes relaciones

σ_{1}g_{1} = g_{1} σ_{1},  σ_{1}g_{2} = g_{2} σ_{2},  σ_{1}g_{3} = g_{3} σ_{3},  σ_{1}g_{4} = g_{4} σ_{4},
σ_{2}g_{1} = g_{1} σ_{2},  σ_{2}g_{2} = g_{2} σ_{1},  σ_{2}g_{3} = g_{3} σ_{4},  σ_{2}g_{4} = g_{4} σ_{3},
σ_{3}g_{1} = g_{1} σ_{3},  σ_{3}g_{2} = g_{2} σ_{4},  σ_{3}g_{3} = g_{3} σ_{1},  σ_{3}g_{4} = g_{4} σ_{2},
σ_{4}g_{1} = g_{1} σ_{4},  σ_{4}g_{2} = g_{2} σ_{3},  σ_{4}g_{3} = g_{3} σ_{2},  σ_{4}g_{4} = g_{4} σ_{1}.

Es fácil ver que W := ℂ-span{g_{1}v, g_{2}v, g_{3}v, g_{4}v} es un subspacio vectorial trenzado de tipo diagonal de M(O_{σ}, ρ), con matriz de trenza

Q = (\begin{matrix}−1 & ω_{j}^{2t_{l,j}} & ω_{j}^{−2t_{l,j}} & −1 \\ ω_{j}^{2t_{l,j}} & −1 & −1 & ω_{j}^{−2t_{l,j}} \\ ω_{j}^{−2t_{l,j}} & −1 & −1 & ω_{j}^{2t_{l,j}} \\ −1 & ω_{j}^{−2t_{l,j}} & ω_{j}^{2t_{l,j}} & −1 \end{matrix}) .

Puesto que ω_{j}^{4t_{l,j}} ≠ 1, el diagrama de Dynkin generalizado es de la forma dada por (3.47). Por lo tanto, dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.7.

[figure: ω_{j}^{−4t_{l,j}}; ω_{j}^{4t_{l,j}}; ω_{j}^{4t_{l,j}}; ω_{j}^{−4t_{l,j}}; -1; -1; -1; -1]  (3.47)

Observación 3.2.20. El lema anterior implica que si dim 𝔅(O_{s}, ρ) < ∞, con ρ ∈ 𝕊̂_{m}^{σ}, entonces los escalares q_{e} y q_{o} dados en la Observación 3.1.1 deben ser q_{o} = 1 y q_{e} = −1; más aún, para todo j impar debe ocurrir que t_{l,j} = 0, para todo l, con 1 ≤ l ≤ n_{j}.

3.3. Usando técnicas basadas en subracks no abelianos

En esta subsección, aplicamos los criterios de los subracks no abelianos D_{p}, p primo impar, y 𝔒, desarrollados en la Sección 2.4.

3.3.1. Criterios D_{p}

Proposición 3.3.1. Sea m ≥ 6. Sean σ ∈ 𝕊_{m} de tipo (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, …, m^{n_{m}}), O la clase de conjugación de σ y ρ ∈ 𝕊̂_{m}^{σ}. Si existe j, con 1 ≤ j ≤ m, tal que

2p divide a j, para algún primo impar p, y

n_{j} ≥ 1;

entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

Antes de probar esta proposición, mostraremos el siguiente lema, en el que p > 1 es un entero cualquiera.

Lema 3.3.2. Sean m, p ∈ ℤ_{>1}. Sea σ ∈ 𝕊_{m} de tipo (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, …, m^{n_{m}}) y O la clase de conjugación de σ. Si existe j, con 4 ≤ j ≤ m, tal que 2p divide a j, y

n_{j} ≥ 1;

entonces O contiene un subrack de tipo D_{p}^{(2)}.

Demostración. Sea j = 2p κ, con κ ≥ 1. Sea α = (i_{1} i_{2} ⋯ i_{j}) un j-ciclo que aparece en la descomposición de σ como producto de ciclos disjuntos y definimos

I := (i_{1} i_{3} i_{5} ⋯ i_{j−1}) and P := (i_{2} i_{4} i_{6} ⋯ i_{j}).

Afirmamos que

(a) I y P son pκ-ciclos disjuntos,

(b) α^{2} = IP,

(c) αIα^{−1} = P, (y entonces σIσ^{−1} = P),

(d) P^{t}αP^{t} = α^{2t+1}, P^{t}α^{−1}P^{t} = α^{2t−1}, para cualquier entero t.

Los primeros dos ítems son claros. (c) sigue de la fórmula bien conocida α(l_{1} l_{2} … l_{k})α^{−1} = (α(l_{1}) α(l_{2}) … α(l_{k})). (d). Por (c), se tiene que P^{t} = αI^{t}α^{−1}; esto implica que P^{t}αP^{t} = αI^{t}P^{t}; ahora por (b), P^{t}αP^{t} = αα^{2t}, como queríamos probar.

Definimos

σ_{i} := P^{iκ}σP^{−iκ},  0 ≤ i ≤ p − 1.  (3.48)

Notar que σ_{i} = P^{iκ}αP^{−iκ} σ̃, donde σ̃ := α^{−1}σ. Los elementos (σ_{i})_{i∈ℤ/p} son todos distintos; en efecto, si σ_{i} = σ_{l}, con i, l ∈ ℤ/p, entonces P^{iκ}σP^{−iκ} = P^{lκ}σP^{−lκ}, i. e. P^{(i−l)κ}σP^{−(i−l)κ} = σ, lo cual implica que i_{2} = σ(i_{1}) = P^{(i−l)κ}σP^{−(i−l)κ}(i_{1}) = P^{(i−l)κ}(i_{2}) = i_{2(i−l)κ+2}; luego, 2(i − l)κ = 0 en ℤ/j. Por lo tanto i = l.

Afirmamos que (σ_{i})_{i∈ℤ/p} es de tipo D_{p}. Si i, l ∈ ℤ/p, entonces

σ_{i} ▷ σ_{l} = P^{iκ}σP^{−iκ} P^{lκ}σP^{−lκ} P^{iκ}σ^{−1}P^{−iκ}
= P^{iκ} α P^{−iκ} P^{lκ} α P^{−lκ} P^{iκ}α^{−1}P^{−iκ} σ̃
= P^{(2i−l)κ} P^{(l−i)κ} α P^{(l−i)κ} α P^{(i−l)κ} α^{−1} P^{(i−l)κ} P^{−(2i−l)κ} σ̃
= P^{(2i−l)κ} α^{2(l−i)κ+1} α α^{2(i−l)κ−1} P^{−(2i−l)κ} σ̃
= P^{(2i−l)κ} α P^{−(2i−l)κ} σ̃ = P^{(2i−l)κ} σ P^{−(2i−l)κ} = σ_{i▷l},

por (d). Esto prueba la afirmación. Finalmente, (σ_{i})_{i∈ℤ/p} ∪ (σ_{i}^{−1})_{i∈ℤ/p} es una familia de type D_{p}^{(2)} - usar (2.17) y que j ≠ 4 para ver que σ_{i} ≠ σ_{j}^{−1}, para todo i, j.

Prueba de la Proposición 3.3.1. Por Lema 2.3.4, podemos asumir que q_{σσ} = −1 . Por Lema 3.3.2, se tiene una familia (σ_{i})_{i∈ℤ/p} de tipo D_{p}, con σ_{0} = σ. Ahora aplicamos el Corolario 2.4.10, con μ_{0} = σ_{0}, k = |σ_{0}| − 1. Luego, dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

La siguiente proposición es una notable aplicación del criterio D_{3}.

Proposición 3.3.3. Sea m ≥ 6. Sean σ ∈ 𝕊_{m} de tipo (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, …, m^{n_{m}}), O la clase de conjugación de σ y ρ ∈ 𝕊̂_{m}^{σ}. Si existe j, con 1 ≤ j ≤ m, tal que j = 2k, con k ≥ 2 y n_{j} ≥ 3, entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

Demostración. Notar que σ tiene orden par. Si q_{σσ} ≠ −1, entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4. Supongamos que q_{σσ} = −1. Sean

α_{1} = (i_{1} i_{2} ⋯ i_{j}), α_{2} = (i_{j+1} i_{j+2} ⋯ i_{2j}), α_{3} = (i_{2j+1} i_{2j+2} ⋯ i_{3j}),

tres j-ciclos que aparecen en la descomposición de σ como producto de ciclos disjuntos y definimos

I := (i_{1} i_{3} ⋯ i_{3j−1}), P := (i_{2} i_{4} ⋯ i_{3j}).

También definimos B_{1} := (i_{1} i_{j+1})(i_{2} i_{j+2}) ⋯ (i_{j} i_{2j}) y B_{2} := (i_{j+1} i_{2j+1})(i_{j+2} i_{2j+2}) ⋯ (i_{2j} i_{3j}). Se tiene que

(a) I y P son 3k-ciclos disjuntos,

(b) I^{k}P^{k} = B_{1}B_{2},

(c) α_{1}α_{2}α_{3}Iα_{3}^{−1}α_{2}^{−1}α_{1}^{−1} = P, (y, por ende, σIσ^{−1} = P),

(d) P^{k}σP^{k} = σB_{1}B_{2}, y

(e) P^{−k}σP^{−k} = σB_{2}B_{1}.

La primera es clara. Para ver (b) notar que

B_{1}B_{2} = (i_{1} i_{j+1} i_{2j+1})(i_{2} i_{j+2} i_{2j+2}) ⋯ (i_{j} i_{2j} i_{3j}).

Veamos (c). Llamemos α = α_{1}α_{2}α_{3} y sea r ∈ {1, 2, …, j}.

Si r = 1, entonces P(i_{1}) = i_{1} y αIα^{−1}(i_{1}) = αI(i_{j}) = α(i_{j}) = i_{1}.

Supongamos que 1 < r ≤ j.

• Si r es impar, entonces P(i_{r}) = i_{r} y αIα^{−1}(i_{r}) = αα^{−1}(i_{r}) = i_{r}.

• Si r es par, entonces P(i_{r}) = i_{r+2} y αIα^{−1}(i_{r}) = αI(i_{r−1}) = α(i_{r+1}) = i_{r+2}.

Para r ∈ {2j + 1, 2j + 2, …, 4j} ó r ∈ {4j + 1, 4j + 2, …, 4j} se procede de forma similar.

(d). Por (b) y (c), tenemos que σ^{−1}P^{k}σP^{k} = I^{k}P^{k} = B_{1}B_{2}, como queríamos probar.

(e). Por (b) y (c), tenemos que σ^{−1}P^{−k}σP^{−k} = I^{−k}P^{−k} = B_{2}B_{1} como se quería mostrar.

Definimos σ_{1} := σ, σ_{2} := P^{k}σP^{−k} y σ_{3} := P^{−k}σP^{k}. De la misma manera que en la prueba de Corolario 2.4.11 se puede ver que σ_{1}, σ_{2} y σ_{3} son elementos distintos. Veamos que σ_{1} ▷ σ_{2} = σ_{3}, σ_{1} ▷ σ_{3} = σ_{2} y σ_{2} ▷ σ_{3} = σ_{1}. Luego, (σ_{i})_{1≤i≤3} es de tipo D_{3}, por Proposición 2.4.12.

Por (d), se tiene que P^{k}σP^{k} ∈ 𝕊_{m}^{σ}, i. e. P^{k}σP^{k}σP^{−k}σ^{−1}P^{−k} = σ, o sea σP^{k}σP^{−k}σ^{−1} = P^{−k}σP^{k}. Luego, σ_{1} ▷ σ_{2} = σ_{3}. Análogamente, usando (e) se muestra que σ_{1} ▷ σ_{3} = σ_{2}. Para ver que σ_{2} ▷σ_{3} = σ_{1}, notar que σ_{2} ▷σ_{3} = P^{k}σP^{−k}P^{−k}σP^{k}P^{k}σ^{−1}P^{−k} = σ, pues P^{k}σP^{−2k} = P^{k}σP^{k}P^{−3k} = σB_{1}B_{2} ∈ 𝕊_{m}^{σ}, por (a) y (d).

Por lo tanto, por Corolario 2.4.10, con p = 3, dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

Proposición 3.3.4. Sea m ≥ 6. Sean σ ∈ 𝕊_{m} de tipo (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, …, m^{n_{m}}), O la clase de conjugación de σ y ρ ∈ 𝕊̂_{m}^{σ}. Si n_{2} ≥ 3 y existe j, con j ≥ 3, tal que n_{j} ≥ 1, entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

Demostración. Si q_{σσ} ≠ −1, entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4. Supongamos que q_{σσ} = −1. Definimos

x := (1 2)(3 4)(5 6), y := (1 4)(3 6)(2 5), z := (1 6)(2 3)(4 5)

y α := xσ. Es fácil ver que

σ_{1} := σ,  σ_{2} := yα,  σ_{3} := zα,

es de tipo D_{3}. Luego, dim 𝔅(O, ρ) = ∞, por Corolario 2.4.10, con p = 3.

Antes de enunciar la siguiente aplicación recordamos algunos hechos conocidos sobre teoría de representaciones de grupos finitos.

Proposición 3.3.5. Sea m ≥ 3. Sea ρ una representación irreducible de 𝕊_{n}, con deg ρ > 1, i. e. ρ ≠ ϵ, sgn. Si ρ no es fiel, entonces n = 4 y ρ es la representación irreducible de grado 2 de 𝕊_{4}. Es decir, toda representación irreducible de 𝕊_{n}, con deg ρ > 1, es fiel salvo la representación irreducible de grado 2 de 𝕊_{4}.

Observaciones 3.3.6. (i) Si ρ es una representación fiel de 𝕊_{n}, entonces ρ(τ) ≠ ± Id, para todo τ ∈ 𝕊_{n}.

(ii) Si n ≥ 2 y ρ = (ρ, W) ∈ 𝕊̂_{n}, con ρ ≠ sgn, entonces para todo τ ∈ 𝕊_{n}, con |τ| = 2, existe w ∈ W − 0, tal que ρ(τ)w = w.

Proposición 3.3.7. Sea m ≥ 12. Sean σ ∈ 𝕊_{m} de tipo (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, …, m^{n_{m}}), O la clase de conjugación de σ y ρ ∈ 𝕊̂_{m}^{σ}. Si n_{2} ≥ 6, entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

Demostración. Denotemos por A_{1,2}, …, A_{n_{2},2}, a las n_{2} transposiciones que aparecen en la descomposición de σ como producto de ciclos disjuntos, y definamos A_{2} = A_{1,2} ⋯ A_{n_{2},2}. Supongamos que A_{1,2} = (i_{1} i_{2}), A_{2,2} = (i_{3} i_{4}), A_{3,2} = (i_{5} i_{6}), A_{4,2} = (i_{7} i_{8}), A_{5,2} = (i_{9} i_{10}) y A_{6,2} = (i_{11} i_{12}). Definimos x := (i_{1} i_{2})(i_{3} i_{4})(i_{5} i_{6})(i_{7} i_{8})(i_{9} i_{10})(i_{11} i_{12}) y α := xσ.

Si existe j, con j ≥ 3, tal que n_{j} ≥ 1, entonces el resultado sigue de la Proposición 3.3.4. Supongamos que n_{j} = 0, para todo j ≥ 3, i. e. el tipo de σ es (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}). Si q_{σσ} ≠ −1, entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4.

Supongamos que q_{σσ} = −1. El centralizador de σ en 𝕊_{m} es 𝕊_{m}^{σ} = T_{1} × T_{2}, con T_{1} ≃ 𝕊_{n_{1}} y T_{2} = Γ ⋊ Λ, con

Γ := ⟨A_{1,2}, …, A_{n_{2},2}⟩, Λ := ⟨B_{1,2}, …, B_{n_{2}−1,2}⟩.

Notar que Γ ≃ (ℤ/2)^{n_{2}} y Λ ≃ 𝕊_{n_{2}}. Ahora bien, ρ = ρ_{1} ⊗ ρ_{2}, con ρ_{1} = (ρ_{1}, V_{1}) ∈ T̂_{1} y ρ_{2} = (ρ_{2}, V_{2}) ∈ T̂_{2}.

Para cada i, 1 ≤ i ≤ n_{2}, definimos χ_{i} ∈ Γ̂, por χ_{i}(A_{l,2}) = (−1)^{δ_{i,l}}, 1 ≤ l ≤ n_{2}. Luego, las representaciones irreducibles de Γ son

χ_{i_{1},...,i_{J}} := χ_{i_{1}} … χ_{i_{J}} , 0 ≤ J ≤ n_{2}, 1 ≤ i_{1} < ⋯ < i_{J} ≤ n_{2}.

Por convención, el caso J = 0 corresponde a la representación trivial de Γ.

Para cada J, con 0 ≤ J ≤ n_{2}, denotaremos χ_{(J)} := χ_{1,...,J}. La acción de Λ sobre Γ induce de manera natural una acción de Λ sobre Γ̂, a saber (λ · χ)(A_{l,2}) := χ(λ^{−1}A_{l,2}λ), 1 ≤ l ≤ n_{2}, λ ∈ Λ. La órbita y el subgrupo de isotropía de χ_{(J)} ∈ Γ̂ son

O_{χ_{(J)}} = {χ_{k_{1},...,k_{J}} : 1 ≤ k_{1} < ⋯ < k_{J} ≤ n_{2}},  (3.49)
Λ^{χ_{(J)}} = (Λ^{χ_{(J)}})_{1} × (Λ^{χ_{(J)}})_{2} = ⟨B_{1,2}, …, B_{J−1,2}⟩ × ⟨B_{J+1,2}, …, B_{n_{2}−1,2}⟩ ≃ 𝕊_{J} × 𝕊_{n_{2}−J}. (3.50)

Así, los caracteres χ_{(J)}, 0 ≤ J ≤ n, forman un conjunto completo de representantes de las órbitas en Γ̂ bajo la acción de Λ.

Como ρ_{2} ∈ { \atop Γ ⋊ Λ} entonces ρ_{2} = Ind_{Γ⋊Λ^{χ_{(J)}}}^{Γ⋊Λ} χ_{(J)} ⊗μ, con χ_{(J)} como arriba y μ = (μ, W) ∈ { \atop Λ^{χ_{(J)}}}.

Por (3.50), μ = μ_{1} ⊗ μ_{2}, con μ_{l} = (μ_{l}, W_{l}) ∈ { \atop (Λ^{χ})_{l}}, l = 1, 2. Sean \{ϕ_{1} = Λ^{χ_{(J)}}, …, ϕ_{k}\} las coclases izquierda de Λ^{χ_{(J)}} en Λ, donde k = [Λ : Λ^{χ_{(J)}}] = \frac{n_{2}!}{J!(n_{2}−J)!}.

Notemos que B_{1,2} = (i_{1} i_{3})(i_{2} i_{4}), B_{3,2} = (i_{5} i_{7})(i_{6} i_{8}) y B_{5,2} = (i_{9} i_{11})(i_{10} i_{12}). Definimos B := B_{1,2}B_{3,2}B_{5,2}. Notar que B tiene orden 2.

Como q_{σσ} = −1, entonces J es impar. Consideramos dos casos.

CASO (1): supongamos que J ≤ 5. Luego, B ∉ Λ^{χ_{(J)}}. Esto implica que la coclase a izquierda ϕ de Λ^{χ_{(J)}} en Λ que contiene a B no es la coclase trivial ϕ_{1}. Tomemos como representantes de las coclases ϕ_{1} y ϕ a g_{ϕ_{1}} = id y g_{ϕ} = B, respectivamente. Definamos v_{2} := g_{ϕ_{1}}w + g_{ϕ}w, con w ∈ W − 0. Notar que Bg_{ϕ_{1}} = g_{ϕ} id y Bg_{ϕ} = g_{ϕ_{1}} id. Usando (3.3), se tiene que

ρ_{2}(B)v_{2} = ρ_{2}(B)(g_{ϕ_{1}}w) + ρ_{2}(B)(g_{ϕ}w) = g_{ϕ}μ(id)w + g_{ϕ_{1}}μ(id)w = g_{ϕ}w + g_{ϕ_{1}}w = v_{2}.  (3.51)

Sea v := v_{1} ⊗ v_{2}, con v_{1} ∈ V_{1} − 0. Luego,

ρ(B)v = (ρ_{1} ⊗ ρ_{2})(id, B)(v_{1} ⊗ v_{2}) = ρ_{1}(id)v_{1} ⊗ ρ_{2}(B)v_{2} = v_{1} ⊗ v_{2} = v,  (3.52)

por (3.51). Definamos σ_{1} := σ,

σ_{2} := (i_{1} i_{6})(i_{3} i_{8})(i_{5} i_{10})(i_{7} i_{12})(i_{9} i_{2})(i_{11} i_{4}) α,
σ_{3} := (i_{1} i_{10})(i_{3} i_{12})(i_{5} i_{2})(i_{7} i_{4})(i_{9} i_{6})(i_{11} i_{8}) α,
τ_{1} := (i_{1} i_{4})(i_{3} i_{2})(i_{5} i_{8})(i_{7} i_{6})(i_{9} i_{12})(i_{11} i_{10}) α,
τ_{2} := (i_{1} i_{8})(i_{3} i_{6})(i_{5} i_{12})(i_{7} i_{10})(i_{9} i_{4})(i_{11} i_{2}) α,
τ_{3} := (i_{1} i_{12})(i_{3} i_{10})(i_{5} i_{4})(i_{7} i_{2})(i_{9} i_{8})(i_{11} i_{6}) α.

Se puede verificar por cálculos directos que (σ, τ) es de tipo D_{3}^{(2)}. Sea g := (i_{2} i_{4})(i_{6} i_{8})(i_{10} i_{12}); luego, g ▷ σ = τ_{1}. Más aún, τ_{1} = σB = gσg y σ_{2}τ_{2} = B = gσ_{2}τ_{2}g. Tenemos entonces que

ρ(τ_{1})v = −v = ρ(gσg)v  y  ρ(σ_{2}τ_{2})v = v = ρ(gσ_{2}τ_{2}g)v,

por (3.52). Por lo tanto, dim 𝔅(O, ρ) = ∞, por Teorema 2.4.9, con p = 3.

CASO (2): supongamos que J ≥ 7. Luego, B ∈ Λ^{χ_{(J)}}; más aún, B ∈ (Λ^{χ_{(J)}})_{1}. Además, Bg_{ϕ_{1}} = g_{ϕ_{1}}B.

Sea v_{2} = g_{ϕ_{1}}w, con w ∈ W − 0. Como W = W_{1} ⊗ W_{2} entonces w = w_{1} ⊗ w_{2}, con w_{1} ∈ W_{1} − 0 y w_{2} ∈ W_{2} − 0. Luego, usamos (3.3) y tenemos que

ρ_{2}(B)v_{2} = ρ_{2}(B)(g_{ϕ_{1}}w) = g_{ϕ_{1}}μ(B)w = g_{ϕ_{1}}(μ_{1} ⊗ μ_{2})(B, id)(w_{1} ⊗ w_{2})
= g_{ϕ_{1}}(μ_{1}(B)(w_{1}) ⊗ μ_{2}(id)(w_{2})) = g_{ϕ_{1}}((μ_{1}(B)(w_{1}) ⊗ w_{2}).

Notar que μ_{1} ∈ { \atop (Λ^{χ_{(J)}})_{1}}. Como (Λ^{χ_{(J)}})_{1} ≃ 𝕊_{J}, si μ_{1} ≠ sgn, con sgn la representación signo de 𝕊_{J}, entonces existe w_{1} ∈ W_{1} − 0 tal que μ_{1}(B)(w_{1}) = w_{1}, por Observación 3.3.6 (ii). En este caso, tenemos

ρ_{2}(B)v_{2} = g_{ϕ_{1}}(μ_{1}(B)(w_{1}) ⊗ w_{2}) = g_{ϕ_{1}}(w_{1} ⊗ w_{2}) = g_{ϕ_{1}}w = v_{2}.  (3.53)

Tomando v := v_{1} ⊗ v_{2}, con v_{1} ∈ V_{1} − 0, se tiene que

ρ(B)v = (ρ_{1} ⊗ ρ_{2})(id, B)(v_{1} ⊗ v_{2}) = ρ_{1}(id)v_{1} ⊗ ρ_{2}(B)v_{2} = v_{1} ⊗ v_{2} = v,

por (3.53). Considerando σ_{i}, τ_{i}, 1 ≤ i ≤ 3, como en el caso anterior, estamos en las hipótesis del Teorema 2.4.9, con p = 3. Por lo tanto, dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

Por otro lado, supongamos que μ_{1} = sgn. Sea w ∈ W, con w = w_{1} ⊗ w_{2}, w_{1} ∈ W_{1} − 0 y w_{2} ∈ W_{2} − 0. Sea v_{2} = g_{ϕ_{1}}w; como μ_{1}(B)(w_{1}) = −w_{1} entonces ρ_{2}(B)v_{2} = −v_{2}. Tomando v := v_{1} ⊗ v_{2}, con v_{1} ∈ V_{1} − 0, se tiene que

ρ(B)v = (ρ_{1} ⊗ ρ_{2})(id, B)(v_{1} ⊗ v_{2}) = ρ_{1}(id)v_{1} ⊗ ρ_{2}(B)v_{2} = −v_{1} ⊗ v_{2} = −v.  (3.54)

Definimos \overline{σ_{1}} := σ,

\overline{σ_{2}} := (i_{1} i_{6})(i_{4} i_{7})(i_{5} i_{10})(i_{8} i_{11})(i_{2} i_{9})(i_{3} i_{12})α,
\overline{σ_{3}} := (i_{1} i_{10})(i_{4} i_{11})(i_{2} i_{5})(i_{3} i_{8})(i_{6} i_{9})(i_{7} i_{12})α,
\overline{τ_{1}} := (i_{1} i_{3})(i_{2} i_{4})(i_{5} i_{7})(i_{6} i_{8})(i_{9} i_{11})(i_{10} i_{12})α,
\overline{τ_{2}} := (i_{1} i_{7})(i_{2} i_{12})(i_{3} i_{9})(i_{4} i_{6})(i_{5} i_{11})(i_{8} i_{10})α,
\overline{τ_{3}} := (i_{1} i_{11})(i_{2} i_{8})(i_{3} i_{5})(i_{4} i_{10})(i_{6} i_{12})(i_{7} i_{9})α.

Se puede ver que (\overline{σ}, \overline{τ}) es de tipo D_{3}^{(2)}. Ahora bien, sea \overline{g} := (i_{2} i_{3})(i_{6} i_{7})(i_{10} i_{11}); luego, \overline{g} ▷ σ = \overline{τ_{1}}. Más aún, \overline{τ_{1}} = B = \overline{g}σ\overline{g} y \overline{σ_{2}} \overline{τ_{2}} = σB = \overline{g} \overline{σ_{2}} \overline{τ_{2}} \overline{g}. Tenemos entonces que

ρ(\overline{τ_{1}})v = −v = ρ(\overline{g}σ\overline{g})v  y  ρ(\overline{σ_{2}} \overline{τ_{2}})v = v = ρ(\overline{g} \overline{σ_{2}} \overline{τ_{2}} \overline{g})v,

por (3.54). Por lo tanto, dim 𝔅(O, ρ) = ∞, por Teorema 2.4.9, con p = 3.

Cuando O es una clase de conjugación real de G, con representante de orden mayor que dos el Corolario 2.4.10, con p = 3, es particularmente muy útil, como lo muestran los siguientes resultados. Si bien el primero está contenido en el segundo, en aquél se indica, además, que no se puede decidir la dimensión del álgebra de Nichols mediante técnicas de subracks abelianos.

Proposición 3.3.8. Sea m ≥ 6. Sean σ ∈ 𝕊_{m} de tipo (1, 2, m − 3), O la clase de conjugación de σ y ρ ∈ 𝕊̂_{m}^{σ}. Entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

Demostración. Por el Lema 2.3.4 podemos asumir que q_{σσ} = −1. Llamemos

x := (1 2),  y := (1 3),  z := (2 3),  β := (4 5 ⋯ m),

y definamos σ_{0} := (1 2)(4 5 ⋯ m), σ_{1} := yβ, σ_{2} := zβ. Luego, 𝕊_{m}^{σ_{0}} = ⟨x⟩ × ⟨β⟩ ≃ ℤ/2 × ℤ/m − 3. Sea ρ ∈ 𝕊̂_{m}^{σ_{0}}; luego ρ = ρ_{1} ⊗ ρ_{2}, con ρ_{1} ∈ ℤ̂/2 y ρ_{2} ∈ { \atop ℤ/m − 3}. Asumamos que q_{σ_{0}σ_{0}} = −1. Ahora bien, como (σ_{i})_{0≤i≤2} es de tipo D_{3}, O es real y |σ_{0}| > 2, entonces estamos en las hipótesis del Corolario 2.4.10, con p = 3. Por lo tanto, dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

Observación 3.3.9. Notar que no es posible decidir si la dimensión del álgebra de Nichols de M(O, ρ) es infinita o no mediante de criterios de subracks abelianos. En efecto, con la hipótesis q_{σ_{0}σ_{0}} = −1 las posibilidades para ρ son

(a) si m es par: ρ_{2} = sgn y ρ_{m−3} = ϵ,

(b) si m es impar:

(i) ρ_{2} = sgn y ρ_{m−3} = ϵ, ó

(ii) ρ_{2} = ϵ y ρ_{m−3}(β) = −1.

Mostraremos que si ρ es como en (a) ó (b), entonces la trenza en M(O, ρ) es negativa. Se puede ver que

O ∩ 𝕊_{m}^{σ_{0}} = {xβ^{k},: k coprimo con m − 3}.

Sea k coprimo con m−3. Elegimos α_{k} ∈ 𝕊_{{4,...,m}} tal que α_{k} ▷β = β^{k}. Es fácil ver que α_{k}^{−1} ▷β = β^{k′}, donde k′ satisface kk′ ≡ 1 mod (m − 3). Tomamos g_{1} := α_{k}. Ahora, se tiene que si γ = xβ^{k}, entonces g_{1} ▷ σ_{0} = γ. Sea \overline{γ} = g_{1}^{−1}σg_{1}; luego, γ\overline{γ} = β^{k+k′}. Así, si ρ es como en (a) ó (b)(i), entonces ρ(γ\overline{γ}) = ρ_{2}(β^{k+k′}) = 1, mientras que si ρ es como en (b)(ii), entonces ρ(γ\overline{γ}) = ρ_{2}(β^{k+k′}) = 1, pues k + k′ es par. Por lo tanto, la trenza es negativa por Lema 2.2.3.

Proposición 3.3.10. Sea m ≥ 6. Sea m ≥ 6. Sean σ ∈ 𝕊_{m} de tipo (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, …, m^{n_{m}}), donde n_{1}, n_{2} ≥ 1 y n_{j} ≥ 1 para algún j, con 3 ≤ j ≤ m, O la clase de conjugación de σ y ρ ∈ 𝕊̂_{m}^{σ}. Entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

Demostración. Análoga a la prueba del resultado anterior.

3.3.2. Criterio 𝔒

Los siguientes resultados son aplicaciones del criterio dado por subracks de tipo 𝔒.

Proposición 3.3.11. Sea m ≥ 8. Sean σ ∈ 𝕊_{m} de tipo (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, 8^{n_{8}}), con n_{8} ≥ 1, O la clase de conjugación de σ y ρ ∈ 𝕊̂_{m}^{σ}. Entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

Demostración. Notar que σ tiene orden par. Si q_{σσ} ≠ −1, entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4. Supongamos que q_{σσ} = −1. Si n_{8} ≥ 3, entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞, por Proposición 3.3.3. Consideraremos dos casos.

CASO (I): n_{8} = 1. Sea A_{8} = (i_{1} i_{2} i_{3} i_{4} i_{5} i_{6} i_{7} i_{8}) el 8-ciclo que aparece en la descomposición de σ como producto de ciclos disjuntos. Definimos α := σ A_{8}^{−1}, σ_{1} := σ, σ_{6} := σ_{1}^{3}, τ_{1} := σ_{1}^{5}, τ_{6} := σ_{1}^{−1},

σ_{2} := (i_{1} i_{3} i_{8} i_{6} i_{5} i_{7} i_{4} i_{2}) α,  σ_{3} := (i_{1} i_{8} i_{2} i_{7} i_{5} i_{4} i_{6} i_{3}) α,
σ_{4} := (i_{1} i_{6} i_{4} i_{3} i_{5} i_{2} i_{8} i_{7}) α,  σ_{5} := (i_{1} i_{7} i_{6} i_{8} i_{5} i_{3} i_{2} i_{4}) α,
τ_{2} := (i_{1} i_{7} i_{8} i_{2} i_{5} i_{3} i_{4} i_{6}) α,  τ_{3} := (i_{1} i_{4} i_{2} i_{3} i_{5} i_{8} i_{6} i_{7}) α,
τ_{4} := (i_{1} i_{2} i_{4} i_{7} i_{5} i_{6} i_{8} i_{3}) α,  τ_{5} := (i_{1} i_{3} i_{6} i_{4} i_{5} i_{7} i_{2} i_{8}) α.

CASO (II): n_{8} = 2. Sean A_{1,8} = (i_{1} i_{2} i_{3} i_{4} i_{5} i_{6} i_{7} i_{8}) y A_{2,8} = (i_{9} i_{10} i_{11} i_{12} i_{13} i_{14} i_{15} i_{16}) los dos 8-ciclos que aparecen en la descomposición de σ como producto de ciclos disjuntos. Definimos A_{8} := A_{1,8}A_{2,8}, α := σ A_{8}^{−1}, σ_{1} := σ, σ_{6} := σ_{1}^{3}, τ_{1} := σ_{1}^{5}, τ_{6} := σ_{1}^{−1},

σ_{2} := (i_{1} i_{3} i_{8} i_{6} i_{5} i_{7} i_{4} i_{2})(i_{9} i_{11} i_{16} i_{14} i_{13} i_{15} i_{12} i_{10}) α,
σ_{3} := (i_{1} i_{8} i_{2} i_{7} i_{5} i_{4} i_{6} i_{3})(i_{9} i_{16} i_{10} i_{15} i_{13} i_{12} i_{14} i_{11}) α,
σ_{4} := (i_{1} i_{6} i_{4} i_{3} i_{5} i_{2} i_{8} i_{7})(i_{9} i_{14} i_{12} i_{11} i_{13} i_{10} i_{16} i_{15}) α,
σ_{5} := (i_{1} i_{7} i_{6} i_{8} i_{5} i_{3} i_{2} i_{4})(i_{9} i_{15} i_{14} i_{16} i_{13} i_{11} i_{10} i_{12}) α,
τ_{2} := (i_{1} i_{7} i_{8} i_{2} i_{5} i_{3} i_{4} i_{6})(i_{9} i_{15} i_{16} i_{10} i_{13} i_{11} i_{12} i_{14}) α,
τ_{3} := (i_{1} i_{4} i_{2} i_{3} i_{5} i_{8} i_{6} i_{7})(i_{9} i_{12} i_{10} i_{11} i_{13} i_{16} i_{14} i_{15}) α,
τ_{4} := (i_{1} i_{2} i_{4} i_{7} i_{5} i_{6} i_{8} i_{3})(i_{9} i_{10} i_{12} i_{15} i_{13} i_{14} i_{16} i_{11}) α,
τ_{5} := (i_{1} i_{3} i_{6} i_{4} i_{5} i_{7} i_{2} i_{8})(i_{9} i_{11} i_{14} i_{12} i_{13} i_{15} i_{10} i_{16}) α.

En ambos casos, tenemos que (σ, τ) = (σ_{l})_{1≤l≤6} ∪ (τ_{l})_{1≤l≤6} es una familia de tipo 𝔒^{(2)} con σ_{6} = s_{1}^{3} y τ_{1} = s_{1}^{5}. Ahora, el resultado sigue del Corolario 2.4.32.

Si bien la prueba del siguiente resultado usa criterios de subracks abelianos, el mismo será citado aquí a los fines de la exposición.

Proposición 3.3.12. Sea m ≥ 8. Sean σ ∈ 𝕊_{m} de tipo (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, (2^{l_{1}})^{n_{2^{l_{1}}}} , …, (2^{l_{k}})^{n_{2^{l_{k}}}}), O la clase de conjugación de σ y ρ ∈ 𝕊̂_{m}^{σ}. Si deg(ρ) > 1, entonces dim 𝔅(O, ρ) < ∞.

Demostración. Análogo a la prueba de [AF1, Theor. 4].

Observación 3.3.13. Recordamos que si deg(ρ) = 1, entonces deg(ρ_{j}) = 1 para todo j. En este caso, la proposición anterior implica que, si para algún k, 1 ≤ k ≤ K, existen r, r′, con 1 ≤ r, r′ ≤ n_{2^{l_{k}}} tales que t_{r,2^{l_{k}}} ≠ t_{r′,2^{l_{k}}} – ver (3.5) , entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

Proposición 3.3.14. Sea m ≥ 8. Sean σ ∈ 𝕊_{m} de tipo (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, 4^{2}), O la clase de conjugación de σ y ρ ∈ 𝕊̂_{m}^{σ}, con deg(ρ) = 1. Si dim 𝔅(O, ρ) < ∞, entonces ρ_{4} = χ_{(i,i)} ⊗ sgn ó χ_{(−i,−i)} ⊗ sgn, donde i = \sqrt{−1}.

Demostración. Notar que σ tiene orden par. Si q_{σσ} ≠ −1, entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4. Supongamos que q_{σσ} = −1. Sean A_{1,4} = (j_{1} j_{2} j_{3} j_{4}) y A_{2,4} = (j_{5} j_{6} j_{7} j_{8}) los dos 4-ciclos que aparecen en la descomposición de σ como producto de ciclos disjuntos. Denotemos A_{4} = A_{1,4}A_{2,4}. Si ρ(A_{1,4}) ≠ ρ(A_{2,4}), entonces dim 𝔅(O, ρ) = ∞, por Observación 3.3.13. En caso contrario, ρ(A_{1,4}) = ρ(A_{2,4}) = ω_{4}^{t_{4}}, con 0 ≤ t_{4} ≤ 3. Luego, ρ_{4} = χ_{(ω_{4}^{t_{4}},ω_{4}^{t_{4}})} ⊗ μ_{4}, con μ_{4} = ϵ ó sgn, i. e. la representación trivial ó signo de ℤ/2. Entonces, ρ(A_{4}) = ±1. Consideraremos dos casos.

CASO (I): q_{A_{4}} = 1. Luego, ρ(A_{1,4}) = ρ(A_{2,4}) = 1 ó −1. Definimos x_{1} := A_{4}, x_{6} := A_{1,4}A_{2,4}^{−1}, z_{1} := A_{1,4}^{−1}A_{2,4}, z_{6} := x_{1}^{−1},

x_{2} := A_{1,4} (j_{5} j_{6} j_{8} j_{7}),  x_{3} := A_{1,4} (j_{5} j_{7} j_{6} j_{8}),
x_{4} := A_{1,4} (j_{5} j_{7} j_{8} j_{6}),  x_{5} := A_{1,4} (j_{5} j_{8} j_{6} j_{7}),
z_{2} := (j_{1} j_{4} j_{3} j_{2})(j_{5} j_{6} j_{8} j_{7}),  z_{3} := (j_{1} j_{4} j_{3} j_{2})(j_{5} j_{7} j_{6} j_{8}),
z_{4} := (j_{1} j_{4} j_{3} j_{2})(j_{5} j_{7} j_{8} j_{6}),  z_{5} := (j_{1} j_{4} j_{3} j_{2})(j_{5} j_{8} j_{6} j_{7}).

Sea α = σx_{1}^{−1} y definamos σ_{j} := x_{j}α, τ_{j} = z_{j}α, 1 ≤ j ≤ 6. Es fácil ver que (σ, τ) es de tipo 𝔒^{(2)}. Ahora bien, τ_{1} = A_{1,4}^{−1}A_{2,4}α = σA_{1,4}^{−2}, σ_{6} = A_{1,4}A_{2,4}^{−1}α = σA_{2,4}^{−2}. Elegimos g := (1 2)(3 4); luego, g ▷ σ_{1} = τ_{1}, g^{−1}σ_{1}g = τ_{1} = σA_{1,4}^{−2} y g^{−1}σ_{6}g = g^{−1}A_{1,4}A_{2,4}^{−1}gα = A_{1,4}^{−1}A_{2,4}^{−1}α = σx_{1}^{−2}. Esto implica que ρ(τ_{1}) = ρ(g^{−1}σ_{1}g) = −ρ(A_{1,4}^{−2}) = −1, ρ(σ_{6}) = −ρ(A_{2,4}^{−2}) = −1 y ρ(g^{−1}σ_{6}g) = −ρ(x_{1}^{−2}) = −1. Luego, se satisfacen las hipótesis del Teorema 2.4.31. Por lo tanto, dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

CASO (II): q_{A_{4}} = −1. Luego, ρ(A_{1,4}) = ρ(A_{2,4}) = i ó −i, donde i = \sqrt{−1}. Sea μ_{4} = ϵ. Definimos x_{1} := A_{4},

x_{2} := (j_{1} j_{2} j_{4} j_{3})(j_{5} j_{6} j_{8} j_{7}), x_{3} := (j_{1} j_{3} j_{2} j_{4})(j_{5} j_{7} j_{6} j_{8}),

x_{4} := x_{2}^{−1}, x_{5} := x_{3}^{−1}, x_{6} := x_{1}^{−1}, z_{1} := (j_{1} j_{6} j_{3} j_{8})(j_{2} j_{7} j_{4} j_{5}),

z_{2} := (j_{1} j_{6} j_{4} j_{7})(j_{2} j_{8} j_{3} j_{5}), z_{3} := (j_{1} j_{7} j_{2} j_{8})(j_{3} j_{6} j_{4} j_{5}),

z_{4} := z_{2}^{−1}, z_{5} := z_{3}^{−1} y z_{6} := z_{1}^{−1}. Notar que z_{1} = A_{1,4}A_{2,4}B_{1,4}, con B := (j_{1} j_{5})(j_{2} j_{6})(j_{3} j_{7})(j_{4} j_{8}).

Sea α = σx_{1}^{−1} y definamos σ_{j} := x_{j}α, τ_{j} = z_{j}α, 1 ≤ j ≤ 6. Es fácil ver que (σ, τ) es de tipo 𝔒^{(2)}. Ahora bien, τ_{1} = A_{1,4}A_{2,4}B_{1,4}α = σB_{1,4}, σ_{6} = σA_{4}^{−2}. Elegimos g := (2 6)(4 8); luego, g ▷ σ_{1} = τ_{1}, g^{−1}σ_{1}g = τ_{1} y g^{−1}σ_{6}g = A_{1,4}^{−1}A_{2,4}^{−1}α = σA_{4}^{−2}B_{1,4}. Luego, si ρ_{4} ≠ χ_{(i,i)} ⊗ sgn, χ_{(−i,−i)} ⊗ sgn, entonces ρ(τ_{1}) = ρ(g^{−1}σ_{1}g) = ρ(σ_{6}) = ρ(g^{−1}σ_{6}g) = −1, y dim 𝔅(O, ρ) = ∞, por Teorema 2.4.31.

Álgebras de Hopf punteadas sobre los grupos alternados y diedrales

En este capítulo, aplicamos la estrategia de eliminación por medio de subracks abelianos y no abelianos a los grupos alternados. En particular, se clasifican las álgebras de Hopf punteadas complejas de dimensión finita con corradical isomorfo a ℂ𝔸_{5} y ℂ𝔸_{7}. Además, se muestra que cualquier álgebra de Hopf punteada con trenza infinitesimal asociada con la clase de conjugación de σ ∈ 𝔸_{m} es de dimensión infinita si el orden de σ es impar excepto para σ = (1 2 3) ó (1 3 2) en 𝔸_{4}.

También se estudian álgebras de Hopf punteadas sobre los grupos diedrales, dando condiciones necesarias sobre los módulos de Yetter-Drinfeld irreducibles sobre un grupo diedral para que sus correspondientes álgebras de Nichols sean de dimensión finita.

Parte de los resultados aquí presentados forman parte del trabajo [AF2].

4.1. Grupos absolutamente reales

Comenzamos considerando una clase particular de grupos reales.

Definición 4.1.1. Sea G un grupo finito. Se dice que s ∈ G es absolutamente real si existe una involución g en G tal que gsg = s^{−1}. Si esto ocurre, cualquier elemento en la clase de conjugación de s es absolutamente real y diremos que la clase de conjugación de s es absolutamente real. Se dirá que G es absolutamente real si todo elemento de G lo es.

Los grupos de Coxeter finitos son absolutamente reales. En efecto,

(i) los grupos diedrales son absolutamente reales, por cálculos directos.

(ii) los grupos de Weyl de álgebras de Lie semisimples de dimensión finita son absolutamente reales, por [Ca, Theor. C (iii), p. 45].

(iii) H_{3} es absolutamente real, por Proposición 4.1.5 siguiente.

(iv) H_{4} es absolutamente real, verificado usando GAP3, [Sch+].

Aquí, H_{3} y H_{4} denota a los grupos no cristalográficos de tipo H_{3} y H_{4}.

Obviamente, si s ∈ G es absolutamente real, entonces s es real. Luego, el párrafo anterior nos dice que la clase de grupos reales incluye a la de los grupos de Coxeter finitos. En efecto, todos los caracteres de un grupo de Coxeter finito son a valores reales – ver [BGr] para H_{4}. Por lo tanto, se tiene:

Teorema 4.1.2. Sea G un grupo de Coxeter finito y s ∈ G. Si s tiene orden impar, entonces dim 𝔅(O_{s}, ρ) = ∞, para todo ρ ∈ Ĝ^{s}.

Observación 4.1.3. Sean G, H grupos finitos. Notamos que:

(s, t) ∈ G × H es absolutamente real si y sólo si s ∈ G y t ∈ H son absolutamente reales.

G × H es absolutamente real si y sólo si G y H son absolutamente reales.

Supongamos que H es abeliano. Entonces H es absolutamente real si y sólo si H tiene exponente 2, i. e. H ≃ ℤ/2^{n} para algún entero n.

Si G es absolutamente real y H es abeliano de exponente 2 entonces G × H es absolutamente real.

En primer lugar, discutiremos cuándo un elemento de 𝔸_{m} es absolutamente real. Asumimos que σ ∈ 𝕊_{m} es de tipo (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, …, m^{n_{m}}). Entonces σ ∈ 𝔸_{m} si y sólo si ∑_{j par} n_{j} es par.

Lema 4.1.4. (a) Si n_{1} ≥ 2, entonces σ es absolutamente real en 𝔸_{m}.

(b) Si ∑_{h∈ℕ}(n_{4h} + n_{4h+3}) es par entonces σ es absolutamente real en 𝔸_{m}.

Demostración. Sea τ_{j} := (1 2 … j) para algún j y elijamos

g_{j} = \begin{cases}(1 j − 1)(2 j − 2) ⋯ (k − 1 k + 1), & si j = 2k es par, \\ (1 j − 1)(2 j − 2) ⋯ (k k + 1), & si j = 2k + 1 es impar. \end{cases}

Es fácil ver que g_{j}τ_{j}g_{j} = τ_{j}^{−1}, g_{j}^{2} = id y

sgn(g_{j}) = \begin{cases}(−1)^{k−1}, & si j = 2k es par, \\ (−1)^{k}, & si j = 2k + 1 es impar. \end{cases}

Para probar (b), observamos que existe una involución g ∈ 𝕊_{m} tal que gσg = σ^{−1}, que es un producto de “translaciones” de los g_{j}’s. Ya que el signo de g es (−1)^{∑_{h∈ℕ}(n_{4h}+n_{4h+3})}, se tiene que g ∈ 𝔸_{m} si y sólo si ∑_{h∈ℕ}(n_{4h} + n_{4h+3}) es par; (b) sigue. Probemos (a); por hipótesis existen al menos dos puntos fijos por σ, digamos m − 1, m. Por lo anterior existe una involución g ∈ 𝕊_{m−2} tal que gσg = σ^{−1}. Si g ∈ 𝔸_{m−2} ⊂ 𝔸_{m} ya estamos. En caso contrario, tomar g̃ = g (m − 1 m) ∈ 𝔸_{m}; g̃ es una involución y g̃σg̃ = σ^{−1}.

Proposición 4.1.5. Los grupos 𝔸_{5} y H_{3} son absolutamente reales.

Demostración. El tipo de σ ∈ 𝔸_{5} es (1^{5}), (3^{1}), (2^{2}) ó (5^{1}); en los dos primeros casos σ es absolutamente real por Lema 4.1.4 parte (a), y en los últimos dos por parte (b). Ya que H_{3} ≃ 𝔸_{5} × ℤ/2 (ver [Hu, Sección 2.13]), entonces el grupo de Coxeter es absolutamente real por Observación 4.1.3.

4.2. CORRADICAL: ℂ𝔸_{M}  83

4.2. Álgebras de Nichols sobre los grupos alternados

El siguiente es un criterio útil para decidir cuándo una clase de conjugación de una permutación par σ en 𝕊_{m} se parte en 𝔸_{m}.

Proposición 4.2.1. [JLi, Proposición 12.17] Sea σ ∈ 𝔸_{m}, con m > 1.

(1) Si σ conmuta con alguna permutación impar en 𝕊_{m}, entonces O_{σ}^{𝔸_{m}} = O_{σ}^{𝕊_{m}} y [𝕊_{m}^{σ} : 𝔸_{m}^{σ}] = 2.

(2) Si σ no conmuta con ninguna permutación impar en 𝕊_{m}, entonces O_{σ}^{𝕊_{m}} se parte en dos clases de conjugación en 𝔸_{m} de igual tamaño, con representantes σ y (1 2)σ(1 2), y 𝕊_{m}^{σ} = 𝔸_{m}^{σ}.

Observaciones 4.2.2. (i) Notar que si σ satisface (1) de Proposición 4.2.1, entonces σ es real. La recíproca no es cierta, e.g. considerar τ_{5} = (1 2 3 4 5) en 𝔸_{5}.

(ii) Se puede ver que si σ en 𝔸_{m} es de tipo (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, …, m^{n_{m}}), entonces σ satisface (2) de Proposición 4.2.1 si y sólo si n_{1} = 0 ó 1, n_{2h} = 0 y n_{2h+1} ≤ 1, para todo h ≥ 1. Así, si σ tiene orden par, entonces σ es real.

Enunciamos el principal Teorema de la sección.

Teorema 4.2.3. Sean σ ∈ 𝔸_{m} y ρ ∈ 𝔸̂_{m}^{σ}. Supongamos que σ no es (1 2 3) ni (1 3 2) en 𝔸_{4}. Si dim 𝔅(O_{σ}, ρ) < ∞, entonces q_{σσ} = −1 y σ tiene orden par.

Demostración. Si |σ| es par el resultado sigue por Lema 2.3.4 y Observación 4.2.2 (ii). Asumamos que |σ| ≥ 5 e impar. Si σ^{−1} está en O_{σ}, entonces el resultado sigue por Lema 2.3.4. Supongamos que σ^{−1} ∉ O_{σ}. Consideraremos dos casos.

(i) Si σ^{2} ∈ O_{σ}, entonces σ^{4} está en O_{σ}, y σ^{4} ≠ σ^{2} porque |σ| ≥ 5. Luego, el resultado sigue por Lema 2.3.5.

(ii) Asumir que σ^{2} ∉ O_{σ}. Sabemos que existen g y g′ en 𝕊_{m}, necesariamente permutaciones impares, tales que σ^{−1} = gσg^{−1} y σ^{2} = g′σg^{′−1}. Entonces g′′ = gg′ ∈ 𝔸_{m} y σ^{−2} = g′′σg^{′′−1}; así, σ^{−2} está en O_{σ}. Esto implica que σ^{4} está en O_{σ}, y σ^{4} ≠ σ^{−2} porque 5 ≤ |σ| es impar. Ahora, el resultado sigue por Lema 2.3.5.

Finalmente, supongamos que |σ| = 3, con tipo (1^{a}, 3^{b}). Si a ≥ 2 o b ≥ 2, entonces σ es real, por Lema 4.1.4 (a) y Observación 4.2.2, respectivamente. Por lo tanto, el resultado sigue por Lema 2.3.4. Esto concluye la prueba.

4.2.1. Caso 𝔸_{3}

Notar que 𝔸_{3} ≃ ℤ/3; luego 𝔸_{3} no es real. Este caso fue considerado en [AS1, Teorema 1.3].

4.2.2. Caso 𝔸_{4}

Por cálculos directos podemos verificar que 𝔸_{4} no es real, ya que (1 2 3) no es real en 𝔸_{4}. Sea σ en 𝔸_{4}; entonces el tipo de σ puede ser (1^{4}), (2^{2}) ó (1, 3). Si el tipo de σ es (1^{4}), entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞, para cualquier ρ en 𝔸̂_{4}, por Lema 2.3.1. Si el tipo de σ es (1, 3), entonces σ no es real; más aún, se tiene que

O_{(1 2 3)} = {(1 2 3), (1 3 4), (1 4 2), (2 4 3)},
O_{(1 3 2)} = {(1 3 2), (1 2 4), (1 4 3), (2 3 4)},

y 𝔸_{4}^{σ} = ⟨σ⟩ ≃ ℤ/3. Si ρ ∈ 𝔸̂_{4}^{σ} es trivial, entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞; en caso contrario no se sabe si la dimensión es finita o no. Esos cuatro casos corresponden al rack del tetraedro con cociclo constante ω y ω^{2}, respectivamente.

El siguiente resultado es una variación de [AZ, Teorema 2.7].

Proposición 4.2.4. Sea σ en 𝔸_{4} de tipo (2^{2}). Entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞, para todo ρ en 𝔸̂_{4}^{σ}.

Demostración. Podemos asumir que σ = (1 2)(3 4). Si llamamos σ_{1} := σ, σ_{2} := (1 3)(2 4) y σ_{3} := (1 4)(2 3), entonces O_{σ} = {σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}} y 𝔸_{4}^{σ} = ⟨σ_{1}⟩ × ⟨σ_{2}⟩ ≃ ℤ/2 × ℤ/2. Si g_{1} = id, g_{2} = (1 3 2) y g_{3} = (1 2 3), entonces σ_{j} = g_{j}σg_{j}^{−1}, j = 1, 2, 3, y

σ_{1}g_{2} = g_{2}σ_{3},  σ_{2}g_{1} = g_{1}σ_{2},  σ_{3}g_{1} = g_{1}σ_{3},
σ_{1}g_{3} = g_{3}σ_{2},  σ_{2}g_{3} = g_{3}σ_{3},  σ_{3}g_{2} = g_{2}σ_{2}.

Sean ρ en 𝔸̂_{4}^{σ} y M(O_{σ}, ρ) := g_{1}v⊕g_{2}v⊕g_{3}v, donde ⟨v⟩ es el espacio vectorial de la representación ρ. Luego, M(O_{σ}, ρ) es un espacio vectorial trenzado con trenza dada por – ver (2.7)– c(g_{j}v ⊗ g_{j}v) = g_{1}σ · v ⊗ g_{j}v y c(g_{j}v ⊗ g_{1}v) = g_{1}σ_{j} · v ⊗ g_{j}v, j = 1, 2, 3 y

c(g_{1}v ⊗ g_{2}v) = g_{2}σ_{3} · v ⊗ g_{1}v,  c(g_{1}v ⊗ g_{3}v) = g_{3}σ_{2} · v ⊗ g_{1}v,
c(g_{2}v ⊗ g_{3}v) = g_{3}σ_{3} · v ⊗ g_{2}v,  c(g_{3}v ⊗ g_{2}v) = g_{2}σ_{2} · v ⊗ g_{3}v.

Claramente, dim 𝔅(O_{σ}, ε ⊗ ε) = dim 𝔅(O_{σ}, ε ⊗ sgn) = ∞, por Lema 2.3.1. Si consideramos ρ = sgn ⊗ε (resp. sgn ⊗ sgn), entonces M(O_{σ}, ρ) es de tipo Cartan con matriz de coeficientes (q_{ij})_{ij} dada por

Q = (\begin{matrix}−1 & −1 & 1 \\ 1 & −1 & −1 \\ −1 & 1 & −1 \end{matrix}) , ( resp. Q = (\begin{matrix}−1 & 1 & −1 \\ −1 & −1 & 1 \\ 1 & −1 & −1 \end{matrix})).

En ambos casos la matriz de Cartan es A = (\begin{matrix}2 & −1 & −1 \\ −1 & 2 & −1 \\ −1 & −1 & 2 \end{matrix}). Por lo tanto, dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞,

por Teorema 2.3.2.

4.2.3. Caso 𝔸_{5}

El siguiente lema es el paso clave para este caso.

Lema 4.2.5. Sea σ ∈ 𝔸_{5}. Entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞, para todo ρ en 𝔸̂_{5}^{σ}.

Demostración. Sea σ ∈ 𝔸_{5}. Si el tipo de σ es (1^{5}), (1^{2}, 3) ó (5), tenemos que dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4 y Proposición 4.1.5. Asumamos que el tipo de σ es (2^{2}). Para j = 1, 2, 3, sean σ_{j} y g_{j} como en la demostración de Proposición 4.2.4. Por Proposición 4.2.1 y cálculos directos, resulta que O_{σ}^{𝔸_{5}} = O_{σ}^{𝕊_{5}} y 𝔸_{5}^{σ} = ⟨σ_{1}⟩ × ⟨σ_{2}⟩ ≃ ℤ/2 × ℤ/2. Notar que σ_{j} ∈ O_{σ}^{𝔸_{5}}, j = 1, 2, 3. Sean ρ ∈ 𝔸̂_{5}^{σ} y W := g_{1}v ⊕ g_{2}v ⊕ g_{3}v, donde ⟨v⟩ es el espacio vectorial de la representación ρ; entonces W es a subespacio vectorial trenzado de M(O_{σ}, ρ). Por lo tanto, dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞, por el mismo argumento dado en la prueba de Proposición 4.2.4.

Como una consecuencia inmediata del Lema 4.2.5 tenemos el siguiente resultado.

Teorema 4.2.6. Cualquier álgebra de Hopf punteada compleja H de dimensión finita con G(H) ≃ 𝔸_{5} es necesariamente isomorfa al álgebra de grupo de 𝔸_{5}.

Demostración. Sea H un álgebra de Hopf punteada compleja con G(H) ≃ 𝔸_{5}. Sea M ∈ _{ℂ𝔸_{5}}^{ℂ𝔸_{5}}YD la trenza infinitesimal de H – ver [AS3]. Asumamos que H ≠ ℂ𝔸_{5}; así, M ≠ 0. Sea N ⊂ M un submódulo irreducible. Entonces dim 𝔅(N) = ∞, por Lema 4.2.5. Por lo tanto, dim 𝔅(M) = ∞ y dim H = ∞.

4.2.4. Caso 𝔸_{6}

Sea σ en 𝔸_{6}. Si el tipo de σ es (1^{6}), (1^{2}, 2^{2}), (1^{3}, 3), (3^{2}) ó (1, 5), entonces σ es absolutamente real por Lema 4.1.4, y si el tipo de σ es (2, 4), entonces σ es real pues tiene orden par – ver Observación 4.2.2 (ii). Luego, 𝔸_{6} es un grupo real. Ahora, podemos resumir nuestros resultados en el siguiente enunciado.

Teorema 4.2.7. Sea M(O, ρ) un módulo de Yetter-Drinfeld irreducible sobre ℂ𝔸_{6}, correspondiente al par (O, ρ). Si dim 𝔅(O, ρ) < ∞, entonces O = O_{σ}, con σ = (1 2)(3 4 5 6), y ρ = sgn ∈ ℤ̂/4.

Observación 4.2.8. En este teorema no se afirma que la condición es suficiente.

Demostración. Sea σ en 𝔸_{6}. Si el tipo de σ es

(1^{6}), entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞, para todo ρ en 𝔸̂_{6}^{σ}, por Lema 2.3.1.

(1^{3}, 3), (3^{2}) ó (1, 5), entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞, para todo ρ en 𝔸̂_{6}^{σ}, por Lema 2.3.4.

Supongamos que el tipo de σ es (1^{2}, 2^{2}). Podemos asumir que σ = (1 2)(3 4). Es fácil ver que

𝔸_{6}^{σ} = ⟨a := (3 4)(5 6), b := (1 3 2 4)(5 6)⟩ ≃ 𝔻_{4}.

Notar que σ = b^{2}. Se sabe que 𝔻̂_{4} = {ρ_{1}, ρ_{2}, ρ_{3}, ρ_{4}, ρ_{5}}, donde ρ_{j}, j = 1, 2, 3 y 4, son los siguientes caracteres

ρ_{1}(a) = 1,  ρ_{2}(a) = −1,  ρ_{3}(a) = 1,  ρ_{4}(a) = −1,
ρ_{1}(b) = 1,  ρ_{2}(b) = 1,  ρ_{3}(b) = −1,  ρ_{4}(b) = −1,

y ρ_{5} es la representación de dimensión 2 dada por

ρ_{5}(a) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , ρ_{5}(b) = (\begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix}) .

Es claro que ρ_{j}(σ) = 1, j = 1, 2, 3 y 4. Entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.1. Consideremos ahora que ρ = ρ_{5}. Se define σ_{1} := (1 2)(3 4), σ_{2} := (1 3)(2 4), σ_{3} := (1 4)(2 3), g_{1} := id, g_{2} := (1 3 2) y g_{3} := (1 2 3). Resulta claro que

ρ(σ_{1}) = (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) , ρ(σ_{2}) = (\begin{matrix}0 & i \\ −i & 0 \end{matrix}) = −ρ(σ_{3}).

Si v_{1} := (\begin{matrix}i \\ 1 \end{matrix}), tenemos que ρ(σ_{1})(v_{1}) = −v_{1} y ρ(σ_{2})(v_{1}) = v_{1} = −ρ(σ_{3})(v_{1}). Definimos W :=

ℂ − span de {g_{1}v_{1}, g_{2}v_{1}, g_{3}v_{1}}. Entonces W es un subespacio trenzado de M(O_{σ}, ρ) de tipo Cartan con

Q = (\begin{matrix}−1 & −1 & 1 \\ 1 & −1 & −1 \\ −1 & 1 & −1 \end{matrix}) ,  A = (\begin{matrix}2 & −1 & −1 \\ −1 & 2 & −1 \\ −1 & −1 & 2 \end{matrix}) .  (4.1)

Ya que A no es de tipo finito se tiene que dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞, por Teorema 2.3.2.

Finalmente, asumamos que el tipo de σ es (2, 4). Entonces O_{σ} tiene 90 elementos y 𝔸_{6}^{σ} = ⟨σ⟩ ≃ ℤ/4. Llamemos ℤ̂/4 = {χ_{0}, χ_{1}, χ_{2}, χ_{3}}, donde χ_{l}(σ) = i^{l}, l = 0, 1, 2, 3. Es claro que si ρ = χ_{l}, con l = 0, 1 ó 3, entonces ρ(σ) ≠ −1. Esto implica que dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4.

Observación 4.2.9. Podemos ver que todo subrack abeliano maximal del rack O_{(12)(3456)} tiene dos elementos. Luego, M(O_{(1 2)(3 4 5 6)}, ρ) es un espacio trenzado negativo.

4.2.5. Caso 𝔸_{7}

El siguiente lema es el paso clave para este caso.

Lema 4.2.10. Sea σ ∈ 𝔸_{7}. Entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞, para todo ρ en 𝔸̂_{7}^{σ}.

Demostración. Es fácil ver que 𝔸_{7} tiene 9 clases de conjugación cuyos representantes son

s_{1} := id,  s_{2} := (1 2)(3 4),  s_{3} := (1 2 3),
s_{4} := (1 2 3)(4 5)(6 7),  s_{5} := (1 2 3)(4 5 6),  s_{6} := (1 2 3 4)(5 6),
s_{7} := (1 2 3 4 5),  s_{8} := (1 2 3 4 5 6 7),  s_{9} := (1 2 3 4 5 7 6).

Obviamente, dim 𝔅(O_{s_{1}}, ρ) = ∞, para toda ρ ∈ 𝔸̂_{7}. En los casos j = 3, 5, 7, 8, 9, se tiene que dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞, para toda ρ ∈ 𝔸̂_{7}^{s_{j}}, por Lema 4.2.3.

Caso j = 2. El elemento s_{2} = (1 2)(3 4) es real y se calcula con GAP que su centralizador 𝔸_{7}^{s_{2}} es un grupo no abeliano de orden 24 cuya tabla de caracteres está dada por la Tabla 4.1. Para cada k, 1 ≤ k ≤ 9, denotaremos por ρ_{k} a la representación irreducible correspondiente al carácter χ_{k}. Ahora bien, de la tabla de caracteres de 𝔸_{7}^{s_{2}} podemos deducir que si k ≠ 5, 8, 9, entonces q_{s_{2}s_{2}} ≠ −1; luego, dim 𝔅(O_{s_{2}}, ρ_{k}) = ∞, para k ≠ 5, 8, 9.

Supongamos que k = 5, 8 ó 9; luego q_{s_{2}s_{2}} = −1. Definimos σ_{1} := s_{2},

σ_{2} := (1 2)(6 7)  y  σ_{3} := (3 4)(6 7).

\begin{matrix}k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ |y_{k}| & 1 & 3 & 2 & 2 & 6 & 2 & 6 & 6 & 4 \\ |G^{y_{k}}| & 24 & 12 & 4 & 24 & 12 & 12 & 12 & 12 & 4 \\ |O_{y_{k}}| & 1 & 2 & 6 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 6 \\ χ_{1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ χ_{2} & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 \\ χ_{3} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ χ_{4} & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ χ_{5} & 2 & 2 & 0 & -2 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ χ_{6} & 2 & -1 & 0 & 2 & -1 & -2 & 1 & 1 & 0 \\ χ_{7} & 2 & -1 & 0 & 2 & -1 & 2 & -1 & -1 & 0 \\ χ_{8} & 2 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0 & -i\sqrt{3} & i\sqrt{3} & 0 \\ χ_{9} & 2 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0 & i\sqrt{3} & -i\sqrt{3} & 0 \end{matrix}

Tabla 4.1: Tabla de caracteres de 𝔸_{7}^{s_{2}}.

Estos elementos están en O_{s_{2}} ∩ 𝔸_{7}^{s_{2}} y σ_{2}, σ_{3} ∈ O_{y_{3}}^{𝔸_{7}^{s_{2}}} . Si elegimos g_{1} := id, g_{2} := (3 6)(4 7) y g_{3} := (1 6)(2 7), entonces se cumple que g_{j}s_{2}g_{j}^{−1} = σ_{j}, σ_{j}g_{1} = g_{1}σ_{j}, 1 ≤ j ≤ 3, y

σ_{1}g_{2} = g_{2}σ_{2},  σ_{1}g_{3} = g_{3}σ_{3},  σ_{3}g_{2} = g_{2}σ_{3},  σ_{2}g_{3} = g_{3}σ_{2}.

Como σ_{1}, σ_{2} y σ_{3} conmutan existe una base {v_{1}, v_{2}} de V_{k}, el espacio vectorial de la representación ρ_{k}, compuesta por autovectores simultáneos de ρ_{k}(σ_{1}), ρ_{k}(σ_{2}) y ρ_{k}(σ_{3}). Digamos que ρ_{k}(σ_{2})v_{l} = λ_{l}v_{l} y ρ_{k}(σ_{3})v_{l} = κ_{l}v_{l}, l = 1, 2. Notar que λ_{l}, κ_{l} = ±1, l = 1, 2, puesto que |σ_{2}| = 2 = |σ_{3}|. Más aún, como σ_{2}σ_{3} = s_{2} se tiene que λ_{l}κ_{l} = −1, l = 1, 2. De la Tabla 4.1, podemos deducir que λ_{1} + λ_{2} = 0, pues χ_{k}(O_{y_{3}}^{𝔸_{7}^{s_{2}}} ) = 0. Reordenando la base podemos suponer que λ_{1} = 1 = −λ_{2}. Definimos W := ℂ - span {g_{1}v_{1}, g_{2}v_{2}, g_{3}v_{2}}. Luego, W es un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{2}}, ρ_{k}) de tipo Cartan con matriz de coeficientes Q y matriz de Cartan A como en (4.1). Por lo tanto, dim 𝔅(O_{s_{2}}, ρ_{k}) = ∞.

Caso j = 4. El elemento s_{4} = (1 2 3)(4 5)(6 7) es real y su centralizador es 𝔸_{7}^{s_{4}} = ⟨x⟩ × ⟨s_{4}⟩ ≃ ℤ/2 × ℤ/6, con x := (4 6)(5 7). Luego, 𝔸̂_{7}^{s_{4}} = {ϵ ⊗ χ_{l}, sgn ⊗χ_{l} | 1 ≤ l ≤ 6}, con χ_{l}(s_{4}) = ω_{6}^{l}, y ϵ y sgn las representaciones trivial y signo del grupo ℤ/2, respectivamente. Si ρ = ϵ ⊗ χ_{l} ó sgn ⊗χ_{l}, con l ≠ 3, entonces q_{s_{4}s_{4}} ≠ −1, y dim 𝔅(O_{s_{4}}, ρ) = ∞.

Supongamos que ρ = ϵ ⊗ χ_{3} ó sgn ⊗χ_{3}; luego, q_{s_{4}s_{4}} = −1. Definimos σ_{1} := s_{4},

σ_{2} := (1, 2, 3)(4, 6)(5, 7) = xs_{4}^{4}  y  σ_{3} := (1, 2, 3)(4, 7)(5, 6) = xs_{4}.

Estos elementos están en O_{s_{4}} ∩ 𝔸_{7}^{s_{4}}. Si elegimos g_{1} := id, g_{2} := (5, 6, 7) y g_{3} := g_{2}^{−1}, entonces se cumple que g_{j}s_{4}g_{j}^{−1} = σ_{j}, σ_{j}g_{1} = g_{1}σ_{j}, 1 ≤ j ≤ 3, y

σ_{1}g_{2} = g_{2}σ_{3},  σ_{1}g_{3} = g_{3}σ_{2},  σ_{3}g_{2} = g_{2}σ_{2},  σ_{2}g_{3} = g_{3}σ_{3}.

Luego, es fácil ver que W := ℂ − span {g_{1}v, g_{2}v, g_{3}v}, con v ∈ V − 0, V el espacio vectorial de la representación ρ, es un subespacio trenzado de M(O_{s_{4}}, ρ) de tipo Cartan con matriz de coeficientes Q y matriz de Cartan A como en (4.1). Por lo tanto, dim 𝔅(O_{s_{4}}, ρ) = ∞.

Caso j = 6: El elemento s_{6} = (1 2 3 4)(5 6) es real y su centralizador es 𝔸_{7}^{s_{6}} = ⟨s_{6}⟩ ≃ ℤ/4. Sea ρ ∈ 𝔸̂_{7}^{s_{6}}. Si q_{s_{6}s_{6}} ≠ −1, entonces dim 𝔅(O_{s_{6}}, ρ) = ∞, por Lemma 2.3.4. Por otro lado, si q_{s_{6}s_{6}} ≠ −1, entonces dim 𝔅(O_{s_{6}}, ρ) = ∞, por Corolario 2.4.10, con p = 3, ya que si σ_{1} = s_{6}, σ_{2} := (1 2 3 4)(5 7), σ_{3} := (1 2 3 4)(6 7), entonces (σ_{i})_{0≤i≤2} es de tipo D_{3} y σ^{−1} ∈ O.

De manera análoga al caso 𝔸_{5} podemos enunciar.

Teorema 4.2.11. Cualquier álgebra de Hopf punteada compleja H de dimensión finita con G(H) ≃ 𝔸_{7} es necesariamente isomorfa al álgebra de grupo de 𝔸_{7}.

4.2.6. Caso 𝔸_{8}

El grupo 𝔸_{8} tiene 14 clases de conjugación cuyos representantes son s_{1} := id, s_{2} := (1, 2)(3, 4),

s_{3} := (1 2)(3 4)(5 6)(7 8),  s_{4} := (1 2 3),  s_{5} := (1 2 3)(4 5)(6 7),
s_{6} := (1 2 3)(4 5 6),  s_{7} := (1 2 3 4)(5 6),  s_{8} := (1 2 3 4)(5 6 7 8),
s_{9} := (1 2 3 4 5),  s_{10} := (1 2 3 4 5)(6 7 8),  s_{11} := (1 2 3 4 5)(6 8 7),
s_{12} := (1 2 3 4 5 6)(7 8),  s_{13} := (1 2 3 4 5 6 7),  s_{14} := (1 2 3 4 5 6 8).

Resumimos los resultados obtenidos para este caso en el siguiente enunciado.

Teorema 4.2.12. Sea M(O, ρ) un módulo de Yetter-Drinfeld irreducible sobre ℂ𝔸_{8}, correspondiente al par (O, ρ). Si dim 𝔅(O, ρ) < ∞, entonces O = O_{σ}, con σ = (1 2 3 4)(5 6 7 8), y ρ ∈ 𝔸̂_{8}^{σ} es la representación de grado 1 dada por la Tabla 4.3. En este caso, la trenza es nagativa.

Demostración. Obviamente, dim 𝔅(O_{s_{1}}, ρ) = ∞, para toda ρ ∈ 𝔸̂_{8}. Si j = 4, 6, 9, 10, 11, 13 ó 14, entonces dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞, para toda ρ ∈ 𝔸̂_{7}^{s_{j}}, por Lema 4.2.3.

Caso j = 12. El elemento s_{12} = (1 2 3 4 5 6)(7 8) es real y su centralizador es 𝔸_{7}^{s_{12}} = ⟨s_{12}⟩ ≃ ℤ/6. Luego, 𝔸̂_{7}^{s_{12}} = {χ_{l} | 1 ≤ l ≤ 6}, con χ_{l}(s_{12}) = ω_{6}^{l}. Si l ≠ 3, entonces q_{s_{12}s_{12}} ≠ −1, y dim 𝔅(O_{s_{12}}, χ_{l}) = ∞, por Lema 2.3.4.

Supongamos que l = 3; luego q_{s_{12}s_{12}} = −1. Definamos σ_{1} := s_{12}, σ_{2} := (1, 4, 3, 6, 5, 2)(7, 8) y σ_{3} := (1, 6, 3, 2, 5, 4)(7, 8). Es fácil ver que (σ_{i})_{0≤i≤2} es de tipo D_{3}. Luego, por Corolario 2.4.10, con p = 3, dim 𝔅(O_{s_{12}}, ρ) = ∞.

Caso j = 8. El elemento s_{8} = (1 2 3 4)(5 6 7 8) es real y su centralizador 𝔸_{8}^{s_{8}} es un grupo no abeliano de orden 16 cuya tabla de caracteres está dada por Tabla 4.2.

Para cada k, 1 ≤ k ≤ 10, denotaremos por ρ_{k} a la representación irreducible correspondiente al carácter χ_{k}. Se calcula con GAP que s_{8} ∈ O_{y_{3}}^{𝔸_{8}^{s_{8}}} . Ahora bien, de la tabla de caracteres de 𝔸_{8}^{s_{8}} podemos deducir que si k ≠ 2, 3, 4, 5, entonces q_{s_{8}s_{8}} ≠ −1; luego, dim 𝔅(O_{s_{8}}, ρ_{k}) = ∞.

Asumamos que k = 2, 3, 4 ó 5. Se calcula con GAP que γg^{−1}s_{8}g ∈ O_{y_{l}}^{𝔸_{8}^{s_{8}}} , con l = 1 ó 5, para todo γ ∈ O_{s_{8}} ∩ 𝔸_{8}^{s_{8}}, donde γ = gs_{8}g^{−1}. Por lo tanto, ρ_{k}(γg^{−1}s_{8}g) = 1. Luego, la trenza es negativa.

Mostraremos ahora que si k = 3, 4 ó 5, entonces dim 𝔅(O_{s_{8}}, ρ_{k}) = ∞, mediante la técnica de 𝔒, desarrollada en la Subsección 2.4.3.

\begin{matrix}k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ |y_{k}| & 1 & 2 & 4 & 4 & 2 & 4 & 2 & 4 & 4 & 2 \\ |G^{y_{k}}| & 16 & 8 & 16 & 8 & 16 & 16 & 8 & 8 & 8 & 8 \\ |O_{y_{k}}| & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ χ_{1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ χ_{2} & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 \\ χ_{3} & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ χ_{4} & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ χ_{5} & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ χ_{6} & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ χ_{7} & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ χ_{8} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ χ_{9} & 2 & 0 & 2i & 0 & -2 & -2i & 0 & 0 & 0 & 0 \\ χ_{10} & 2 & 0 & -2i & 0 & -2 & 2i & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}

Tabla 4.2: Tabla de caracteres de 𝔸_{8}^{s_{8}}.

Supongamos que k = 4 ó 5. Tomemos x_{i}, z_{i}, σ_{i}, τ_{i}, 1 ≤ i ≤ 6, como en el caso (I) de la prueba de la Proposición 3.3.14. Luego, (x, z) es de tipo 𝔒^{(2)}, y si elegimos g := (1 2)(3 4), entonces, g▷σ_{1} = τ_{1} y g^{−1}σ_{6}g = x_{1}^{−1}. Ahora bien, calculamos con GAP que x_{6}, z_{1} ∈ O_{y_{4}}^{𝔸_{8}^{s_{8}}} , la cuarta clase de conjugación del grupo 𝔸_{8}^{s_{8}} según el GAP. Así, de la Tabla 4.2, se tiene que ρ_{k}(τ_{1}) = ρ_{k}(g^{−1}σ_{1}g) = ρ_{k}(σ_{6}) = ρ_{k}(g^{−1}σ_{6}g) = −1, y dim 𝔅(O, ρ_{k}) = ∞, por Teorema 2.4.31.

Asumamos que k = 3. Tomemos x_{i}, z_{i}, σ_{i}, τ_{i}, 1 ≤ i ≤ 6 como en el caso (II) de la prueba de la Proposición 3.3.14. Luego, (x, z) es de tipo 𝔒^{(2)}, y si elegimos g := (2 6)(4 8), entonces, g ▷ σ_{1} = τ_{1} y gσ_{6}g = t_{1}^{−1}. Ahora bien, calculamos con GAP que z_{1}, z_{1}^{−1} ∈ O_{y_{9}}^{𝔸_{8}^{s_{8}}} . De la Tabla 4.2, se tiene que ρ_{k}(τ_{1}) = ρ_{k}(g^{−1}σ_{1}g) = ρ_{k}(σ_{6}) = ρ_{k}(g^{−1}σ_{6}g) = −1, y dim 𝔅(O, ρ_{k}) = ∞, por Teorema 2.4.31.

Se calculó con GAP que la representación ρ_{2} que sobrevive está definida por la Tabla 4.3. En la primera columna de dicha tabla aparecen representantes de las clases de conjugación de 𝔸_{8}^{s_{8}} y en la segunda el valor que toma la representación ρ_{2} en la clase de conjugación correspondiente.

\begin{matrix}y & ρ_{2}(y) \\ id & 1 \\ (5,7)(6,8) & -1 \\ (1,2,3,4)(5,6,7,8) & -1 \\ (1,2,3,4)(5,8,7,6) & 1 \\ (1,3)(2,4)(5,7)(6,8) & 1 \\ (1,4,3,2)(5,8,7,6) & -1 \\ (1,5)(2,6)(3,7)(4,8) & -1 \\ (1,5,3,7)(2,6,4,8) & 1 \\ (1,6,3,8)(2,7,4,5) & 1 \\ (1,6)(2,7)(3,8)(4,5) & -1 \end{matrix}

Tabla 4.3: La representación ρ_{2} de 𝔸_{8}^{s_{8}}.

\begin{matrix}k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\ |y_{k}| & 1 & 2 & 2 & 4 & 3 & 2 & 2 & 6 & 2 & 2 & 4 & 4 & 4 \\ |G^{y_{k}}| & 192 & 32 & 16 & 8 & 6 & 192 & 16 & 6 & 32 & 32 & 16 & 8 & 8 \\ |O_{y_{k}}| & 1 & 6 & 12 & 24 & 32 & 1 & 12 & 32 & 6 & 6 & 12 & 24 & 24 \\ χ_{1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ χ_{2} & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ χ_{3} & 2 & 2 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 & -1 & 2 & 2 & 2 & 0 & 0 \\ χ_{4} & 3 & -1 & 1 & -1 & 0 & 3 & 1 & 0 & -1 & 3 & -1 & -1 & 1 \\ χ_{5} & 3 & -1 & -1 & 1 & 0 & 3 & -1 & 0 & -1 & 3 & -1 & 1 & -1 \\ χ_{6} & 3 & 3 & 1 & 1 & 0 & 3 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ χ_{7} & 3 & -1 & 1 & -1 & 0 & 3 & 1 & 0 & 3 & -1 & -1 & 1 & -1 \\ χ_{8} & 3 & -1 & -1 & 1 & 0 & 3 & -1 & 0 & 3 & -1 & -1 & -1 & 1 \\ χ_{9} & 3 & 3 & -1 & -1 & 0 & 3 & -1 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ χ_{10} & 4 & 0 & -2 & 0 & 1 & -4 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ χ_{11} & 4 & 0 & 2 & 0 & 1 & -4 & -2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ χ_{12} & 6 & -2 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & -2 & -2 & 2 & 0 & 0 \\ χ_{13} & 8 & 0 & 0 & 0 & -1 & -8 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}

Tabla 4.4: Tabla de caracteres de 𝔸_{8}^{s_{3}}.

Caso j = 7. El elemento s_{7} = (1 2 3 4)(5 6) es real y su centralizador es 𝔸_{8}^{s_{7}} = ⟨x⟩ × ⟨s_{7}⟩ ≃ ℤ/2 × ℤ/4, con x = (5 6)(7 8). Sea ρ ∈ 𝔸̂_{8}^{s_{7}}. Si q_{s_{7}s_{7}} ≠ −1, entonces dim 𝔅(O_{s_{7}}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4. Mientras que si q_{s_{7}s_{7}} = −1, entonces dim 𝔅(O_{s_{7}}, ρ) = ∞, por Corolario 2.4.10, con p = 3; en efecto, si σ_{0} := s_{7}, σ_{1} := (1 2 3 4)(5 7) y σ_{2} := (1 2 3 4)(6 7), entonces (σ_{i})_{0≤i≤2} es de tipo D_{3}.

Caso j = 5. El elemento s_{5} = (1 2 3)(4 5)(6 7) es real y su centralizador es 𝔸_{8}^{s_{5}} = ⟨x⟩ × ⟨s_{5}⟩ ≃ ℤ/2 × ℤ/6, con x = (4, 6)(5, 7). Sea ρ ∈ 𝔸̂_{8}^{s_{5}}. Si q_{s_{5}s_{5}} ≠ −1, entonces dim 𝔅(O_{s_{5}}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4. Asumamos que q_{s_{5}s_{5}} = −1. Sean σ_{0} := s_{5}, σ_{1} := (1 2 3)(4 5)(6 8) y σ_{2} := (1 2 3)(4 5)(7 8), entonces (σ_{i})_{0≤i≤2} es de tipo D_{3}. Luego, dim 𝔅(O_{s_{5}}, ρ) = ∞, por Corolario 2.4.10.

Caso j = 3. El elemento s_{3} = (1 2)(3 4)(5 6)(7 8) es real y su centralizador 𝔸_{8}^{s_{3}} es un grupo no abeliano de orden 192 cuya tabla de caracteres está dada por la Tabla 4.4.

Para cada k, 1 ≤ k ≤ 13, denotaremos por ρ_{k} a la representación irreducible correspondiente al carácter χ_{k}. Ahora bien, de la tabla de caracteres de 𝔸_{8}^{s_{3}} podemos deducir que si k ≠ 10, 11, 13, entonces q_{s_{3}s_{3}} ≠ −1; luego, dim 𝔅(O_{s_{3}}, ρ_{k}) = ∞.

Supongamos que k = 10. Luego, deg ρ_{k} = 4 y q_{s_{3}s_{3}} = −1. Sean σ_{1} := s_{3},

σ_{2} := (1, 2)(3, 4)(5, 7)(6, 8) y σ_{3} := (1, 2)(3, 4)(5, 8)(6, 7);

es claro que σ_{l} ∈ O_{s_{3}} ∩ 𝔸_{8}^{s_{3}}, 1 ≤ l ≤ 3. Elegimos g_{1} := id, g_{2} := (6, 7, 8) y g_{3} := g_{2}^{−1}. Luego, g_{l}σ_{1}g_{l}^{−1} = σ_{l}, σ_{l}g_{1} = g_{1}σ_{l}, 1 ≤ l ≤ 3, y se satisfacen las siguientes relaciones

σ_{1}g_{2} = g_{2}σ_{3},  σ_{1}g_{3} = g_{3}σ_{2},  σ_{3}g_{2} = g_{2}σ_{2},  σ_{2}g_{3} = g_{3}σ_{3}.

Puesto que σ_{1}, σ_{2} y σ_{3} conmutan, existe una base {v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}} de V_{10}, el espacio vectorial de la representación ρ_{10}, compuesta por autovectores simultáneos de ρ_{10}(σ_{1}), ρ_{10}(σ_{2}) y ρ_{10}(σ_{3}). Digamos

\begin{matrix}k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\ |y_{k}| & 1 & 3 & 2 & 2 & 4 & 2 & 6 & 2 & 2 & 6 & 6 & 2 & 4 & 4 \\ |G^{y_{k}}| & 96 & 12 & 32 & 8 & 8 & 96 & 12 & 32 & 48 & 12 & 12 & 16 & 8 & 8 \\ |O_{y_{k}}| & 1 & 8 & 3 & 12 & 12 & 1 & 8 & 3 & 2 & 8 & 8 & 6 & 12 & 12 \\ χ_{1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ χ_{2} & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ χ_{3} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ χ_{4} & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ χ_{5} & 2 & -1 & 2 & 0 & 0 & 2 & -1 & 2 & -2 & 1 & 1 & -2 & 0 & 0 \\ χ_{6} & 2 & -1 & 2 & 0 & 0 & 2 & -1 & 2 & 2 & -1 & -1 & 2 & 0 & 0 \\ χ_{7} & 2 & 2 & 2 & 0 & 0 & -2 & -2 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ χ_{8} & 2 & -1 & 2 & 0 & 0 & -2 & 1 & -2 & 0 & i\sqrt{3} & - i\sqrt{3} & 0 & 0 & 0 \\ χ_{9} & 2 & -1 & 2 & 0 & 0 & -2 & 1 & -2 & 0 & -i\sqrt{3} & i\sqrt{3} & 0 & 0 & 0 \\ χ_{10} & 3 & 0 & -1 & -1 & 1 & 3 & 0 & -1 & -3 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ χ_{11} & 3 & 0 & -1 & 1 & -1 & 3 & 0 & -1 & -3 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ χ_{12} & 3 & 0 & -1 & -1 & 1 & 3 & 0 & -1 & 3 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 \\ χ_{13} & 3 & 0 & -1 & 1 & -1 & 3 & 0 & -1 & 3 & 0 & 0 & -1 & 1 & -1 \\ χ_{14} & 6 & 0 & -2 & 0 & 0 & -6 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}

Tabla 4.5: Tabla de caracteres de 𝔸_{8}^{s_{2}}.

que ρ_{10}(σ_{2})v_{l} = λ_{l}v_{l} y ρ_{10}(σ_{3})v_{l} = κ_{l}v_{l}, 1 ≤ l ≤ 4, donde λ_{l}, κ_{l} = ±1, 1 ≤ l ≤ 4, ya que |σ_{2}| = 2 = |σ_{3}|. Se calcula con GAP que σ_{2}, σ_{3} ∈ O_{y_{7}}^{𝔸_{8}^{s_{3}}} . De la Tabla 4.4, podemos deducir que λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} + λ_{4} = 2 = κ_{1} + κ_{2} + κ_{3} + κ_{4}; así, reordenando la base {v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}}, podemos suponer que λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = 1 y λ_{4} = −1. Por otro lado, σ_{2}σ_{3} = (5 6)(7 8) ∈ O_{y_{2}}^{𝔸_{8}^{s_{3}}} . De la Tabla 4.4, se tiene que λ_{1}κ_{1} + λ_{2}κ_{2} + λ_{3}κ_{3} + λ_{4}κ_{4} = 0. Luego, κ_{1} + κ_{2} + κ_{3} − κ_{4} = 0, y esto implica que κ_{4} = 1, y κ_{1} + κ_{2} + κ_{3} = 1. Ahora, reordenando v_{1}, v_{2}, v_{3}, podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que κ_{1} = −1. Definimos W := ℂ − span de {g_{1}v_{1}, g_{2}v_{1}, g_{3}v_{1}}; luego, W es un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{3}}, ρ_{10}) de tipo Cartan, con matriz de coeficientes y matriz de Cartan dadas por (4.1). Por lo tanto, dim 𝔅(O_{s_{3}}, ρ_{10}) = ∞. Si k = 11 ó 13 se procede de manera análoga.

Caso j = 2. El elemento s_{2} = (1 2)(3 4) es real y su centralizador 𝔸_{8}^{s_{2}} es un grupo no abeliano de orden 96 cuya tabla de caracteres está dada por la Tabla 4.5.

Para cada k, 1 ≤ k ≤ 14, denotaremos por ρ_{k} a la representación irreducible correspondiente al carácter χ_{k}. Ahora bien, de la tabla de caracteres de 𝔸_{8}^{s_{2}} podemos deducir que si k ≠ 7, 8, 9, 14, entonces q_{s_{2}s_{2}} ≠ −1; luego, dim 𝔅(O_{s_{2}}, ρ_{k}) = ∞.

Supongamos que k = 7, 8, 9 ó 14. Sean σ_{1} := s_{2}, σ_{2} := (1 3)(2 4) y σ_{3} := (1 4)(2 3); es claro que σ_{j} ∈ O_{s_{2}} ∩ 𝔸_{8}^{s_{2}}, 1 ≤ j ≤ 3. Elegimos g_{1} := id, g_{2} := (2 3 4) y g_{3} := g_{2}^{−1}. Luego, g_{j}σ_{1}g_{j}^{−1} = σ_{j}, σ_{j}g_{1} = g_{1}σ_{j}, 1 ≤ j ≤ 3, y se satisfacen las siguientes relaciones

σ_{1}g_{2} = g_{2}σ_{3},  σ_{1}g_{3} = g_{3}σ_{2},  σ_{3}g_{2} = g_{2}σ_{2},  σ_{2}g_{3} = g_{3}σ_{3}.

Como σ_{1}, σ_{2} y σ_{3} conmutan, existe un autovector simultáneo v para los operadores ρ_{k}(σ_{1}), ρ_{k}(σ_{2}) y ρ_{k}(σ_{3}), digamos que ρ_{k}(σ_{2})v = λv y ρ_{k}(σ_{3})v = κv. Notar que λ, κ = ±1, puesto que |σ_{2}| = 2 = |σ_{3}|. Más aún, como σ_{2}σ_{3} = s_{2}, se tiene que λκ = −1. Definimos W := ℂ - span {g_{1}v, g_{2}v, g_{3}v}. Luego, W es un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{2}}, ρ_{k}) de tipo diagonal con matriz de coeficientes Q dada por

(\begin{matrix}−1 & κ & λ \\ λ & −1 & κ \\ κ & λ & −1 \end{matrix})

cuya matriz de Cartan es como en (4.1). Por Teorema 2.3.2, dim 𝔅(O_{s_{2}}, ρ_{k}) = ∞.

Observación 4.2.13. El espacio vectorial trenzado M(O_{s_{8}}, ρ_{2}) tiene dimensión |O_{s_{8}}| = 1260.

4.2.7. Caso 𝔸_{m}, m ≥ 8

Sea σ ∈ 𝔸_{m}, con |σ| par. Investigamos ahora las álgebras de Nichols asociadas con σ por reducción al estudio análogo para la órbita de σ en 𝕊_{m}. Por Observación 4.2.2 (ii), O_{σ}^{𝔸_{m}} = O_{σ}^{𝕊_{m}} y [𝕊_{m}^{σ} : 𝔸_{m}^{σ}] = 2. Así, podemos determinar las representaciones irreducibles de 𝔸_{m}^{σ} a partir de las de 𝕊_{m}^{σ}. Sabemos que si el tipo de σ es (1^{n_{1}}, 2^{n_{2}}, …, m^{n_{m}}), entonces 𝕊_{m}^{σ} = T_{1} ⋯ T_{m}, con T_{i} ≃ (ℤ/i)^{n_{i}} ⋊ 𝕊_{n_{i}}, 1 ≤ i ≤ m.

Algunas generalidades y notación. Sean G un grupo finito, H un subgrupo de G de índice dos, y η una representación de G. Es fácil ver que

η′(g) := \begin{cases}η(g), & si g ∈ H, \\ −η(g), & si g ∈ G \ H, \end{cases}

define una nueva representación de G. Notar que Res_{H}^{G} η = Res_{H}^{G} η′. Por otro lado, cualquier representación ρ de H define una representación \overline{ρ} de H dada por \overline{ρ}(h) := ρ(ghg^{−1}), para todo h ∈ H, donde g es un elemento arbitrario fijo en G \ H. A \overline{ρ} la llamaremos la representación conjugada de ρ. Ya que g es único, salvo multiplicación por un elemento de H, la representación conjugada es única salvo isomorfismo.

Sea s ∈ H tal que O_{s}^{H} = O_{s}^{G}; luego, [G^{s} : H^{s}] = 2. Sea η en Ĝ^{s}. Entonces tenemos dos casos:

(i) η ≄ η′. Si ρ := Res_{H^{s}}^{G^{s}} η, entonces ρ ∈ Ĥ^{s}, ρ ≃ \overline{ρ} y Ind_{H^{s}}^{G^{s}} ρ ≃ η ⊕ η′.

(ii) η ≃ η′. Se tiene que Res_{H^{s}}^{G^{s}} η ≃ ρ ⊕ \overline{ρ} y Ind_{H^{s}}^{G^{s}} ρ ≃ η ≃ Ind_{H^{s}}^{G^{s}} \overline{ρ}.

Más aún, si ρ es una representación irreducible de H^{s}, entonces ρ es una restricción de alguna η ∈ Ĝ^{s} ó es un sumando directo de Res_{H^{s}}^{G^{s}} η como en (ii), ver [FuHa, Ch. 5].

Observación 4.2.14. Si η ∈ Ĝ^{s} y ρ := Res_{H^{s}}^{G^{s}} η, es fácil comprobar que

M(O_{s}^{G}, η) ≃ M(O_{s}^{H}, ρ),  para el caso (i),  (4.2)
M(O_{s}^{G}, η) ≃ M(O_{s}^{H}, ρ) ⊕ M(O_{s}^{H}, \overline{ρ}),  para el caso (ii),  (4.3)

como espacios vectoriales trenzados.

Aplicamos esta observación para el caso G = 𝕊_{m} y H = 𝔸_{m}. Usaremos la notación dada en el capítulo anterior.

4.3. CORRADICAL: ℂ𝔻_{M}  93

Lema 4.2.15. Supongamos que el tipo de σ es ((2r)^{n}), con r ≥ 1 y n par. Sea ρ en 𝔸̂_{m}^{σ}, con m = 2rn.

(a) Si q_{σσ} ≠ −1, entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞.

(b) Si ρ ≃ \overline{ρ} y q_{σσ} = −1, entonces

(I) si r = 1, entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞.

(II) Asumamos que r > 1. Si deg ρ > 1, entonces dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞. Supongamos que deg ρ = 1. Si ρ = χ_{r,...,r} ⊗μ, con r par o impar, ó si ρ = χ_{c,...,c}⊗μ, con r par y c = \frac{r}{2} ó \frac{3r}{2} , donde μ = ε ó sgn, entonces la trenza es negativa; en caso contrario, dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞.

Demostración. (a) sigue por Observación 4.2.2 (ii) y Lema 2.3.4. (b). Puesto que ρ ≃ \overline{ρ}, ρ = Res_{𝔸_{m}^{σ}}^{𝕊_{m}^{σ}}(η), con η ∈ 𝕊̂_{m}^{σ}, η ≄ η′ e Ind_{𝔸_{m}^{σ}}^{𝕊_{m}^{σ}} ρ ≃ η ⊕η′. Notar que η(σ) = − Id porque ρ(σ) = − Id. Ahora bien, como los racks son los mismos, i. e. O_{σ}^{𝔸_{m}} = O_{σ}^{𝕊_{m}}, el resultado sigue por lo demostrado en el capítulo anterior.

Observación 4.2.16. Mantenemos la notación del lema. Si ρ no es isomorfa a su representación conjugada \overline{ρ}, entonces existe η ∈ 𝕊̂_{m}^{σ} tal que Res_{𝔸_{m}^{σ}}^{𝕊_{m}^{σ}}(η) = ρ ⊕ \overline{ρ} e Ind_{𝔸_{m}^{σ}}^{𝕊_{m}^{σ}} ρ ≃ η ≃ η′ ≃ Ind_{𝔸_{m}^{σ}}^{𝕊_{m}^{σ}} \overline{ρ}. Claramente, η(σ) y \overline{ρ}(σ) actúa por escalar −1, y resulta que M(O_{σ}^{𝕊_{m}}, η) ≃ M(O_{σ}^{𝔸_{m}}, ρ)⊕M(O_{σ}^{𝔸_{m}}, \overline{ρ}) como espacios vectoriales trenzados. No se consigue nueva información con las técnicas actuales disponibles.

4.3. Álgebras de Nichols sobre los grupos diedrales

El grupo diedral 𝔻_{m} de orden 2m está generado por x e y con relaciones x^{2} = e = y^{m} y xyx = y^{−1}. Sea χ el carácter de ℤ/m ≃ ⟨y⟩, dado por χ(y) = ω_{m}, con ω_{m} la primera raíz m-ésima primitiva de la unidad. Denotaremos indistintamene por O_{σ} ó por O_{σ}^{m} a la clase de conjugación de un elemento σ en 𝔻_{m}.

Teorema 4.3.1. Sea M(O, ρ) el módulo de Yetter-Drinfeld irreducible sobre ℂ𝔻_{m} correspondiente al par (O, ρ). Supongamos que su álgebra de Nichols 𝔅(O, ρ) es de dimensión finita.

(a) Si m es impar, entonces (O, ρ) = (O_{x}, sgn), donde sgn ∈ 𝔻̂_{m}^{x}, 𝔻_{m}^{x} = ⟨x⟩ ≃ ℤ/2.

(b) Si m = 2n es par, entonces (O, ρ) es una de las siguientes:

(i) (O_{y^{n}}, ρ) donde ρ ∈ 𝔻̂_{m} satisface ρ(y^{n}) = −1.

(ii) (O_{y^{h}}, χ^{j}) donde 1 ≤ h ≤ m − 1, h ≠ n y ω_{m}^{hj} = −1.

(iii) (O_{x}, sgn ⊗ sgn) ó (O_{x}, sgn ⊗ε), donde sgn ⊗ sgn, sgn ⊗ε ∈ 𝔻̂_{m}^{x}, 𝔻_{m}^{x} = ⟨x⟩ ⊕ ⟨y^{n}⟩ ≃ ℤ/2 × ℤ/2.

(iv) (O_{xy}, sgn ⊗ sgn) ó (O_{xy}, sgn ⊗ε), donde sgn ⊗ sgn, sgn ⊗ε ∈ 𝔻̂_{m}^{xy}, 𝔻_{m}^{xy} = ⟨xy⟩ ⊕ ⟨y^{n}⟩ ≃ ℤ/2 × ℤ/2.

En los casos (i) y (ii) la dimensión es finita. En los casos (iii) y (iv), la trenza es negativa.

Clase de conjugación Centralizador Representación

dim 𝔅(V)
e  𝔻_{m}  cualquiera  ∞
O_{y^{h}} = {y^{±h}}, h ≠ 0, | O_{y^{h}} |= 2  ℤ/m ≃ ⟨y⟩  cualquiera  ∞
O_{x} = {xy^{h} : 0 ≤ h ≤ m − 1}, | O_{x} |= m ℤ/2 ≃ ⟨x⟩  ε  ∞

sgn

trenza negativa

Tabla 4.6: Álgebras de Nichols de módulos de Yetter-Drinfeld irreducibles sobre 𝔻_{m}, m impar.

Observación 4.3.2. Existen isomorfismos de espacios vectoriales trenzados

M(O_{x}, sgn ⊗ sgn) ≃ M(O_{xy}, sgn ⊗ sgn),
M(O_{x}, sgn ⊗ε) ≃ M(O_{xy}, sgn ⊗ε).

Observación 4.3.3. Asumamos por simplicidad que m es impar y que m = de, donde d, e son enteros ≥ 2. Entonces el rack (indescomponible) O_{x}^{m} es una unión disjunta de e racks isomorfos a O_{x}^{d}; en otras palabras, O_{x}^{m} es una extensión de O_{x}^{e} por O_{x}^{d} (y viceversa), ver [AGñ1, Sección 2]. Así, existe un epimorfismo de espacios vectoriales trenzados M(O_{x}^{m}, sgn) → M(O_{x}^{e}, sgn), como así también una inclusión M(O_{x}^{d}, sgn) → M(O_{x}^{m}, sgn). Las técnicas actuales no permiten calcular el álgebra de Nichols 𝔅(O_{x}^{m}, sgn) a partir del álgebra de Nichols 𝔅(O_{x}^{e}, sgn). Observación 4.3.4. En el Teorema 4.3.1 no afirmamos que las condiciones son suficientes. Ver Tablas 4.6, 4.7. Por ejemplo, se sabe que dim 𝔅(O_{x}^{m}, sgn) < ∞ cuando m = 3 – ver [MS]; para otro m impar, el problema está abierto.

Procedemos ahora con la demostración del Teorema 4.3.1.

Demostración. Si σ = id, entonces q_{σσ} = 1 y dim 𝔅(O_{σ}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.1.

Consideramos dos casos.

CASO 1: m impar.

(I) Si σ = y^{h}, con 1 ≤ h ≤ m, es fácil ver que O_{y^{h}} = {y^{h}, y^{−h}} y 𝔻_{m}^{y^{h}} = ⟨y⟩ ≃ ℤ/m. Entonces { \atop ℤ/m} = \{χ_{l}\}_{l=1}^{m}, donde χ_{l}(y) = ω_{m}^{l}. M(O_{y^{h}}, χ_{l}) es un espacio vectorial trenzado de tipo diagonal. Si q_{σσ} ≠ −1, entonces dim 𝔅(O_{y^{h}}, χ_{l}) = ∞, por Lema 2.3.4. Asumamos q_{σσ} = −1; así, se tiene que −1 = χ_{l}(σ) = χ_{l}(y^{h}) = ω_{m}^{lh}. Esto es una contradicción porque m es impar.

(II) Si σ = x, entonces O_{x} = {x, xy, …, xy^{m−1}} y 𝔻_{m}^{x} = ⟨x⟩ ≃ ℤ/2. Claramente, dim 𝔅(O_{x}, ε) = ∞. Por otro lado, M(O_{x}, sgn) es un espacio vectorial trenzado negativo, porque todo subrack abeliano de O_{x} tiene un solo elemento; en efecto, xy^{j}xy^{k} = xy^{k}xy^{j}, 0 ≤ j, k ≤ m − 1, si y sólo si j = k.

CASO 2: m par. Digamos que m = 2n.

(I) Si σ = y^{n}, entonces O_{y^{n}} = {y^{n}} y 𝔻_{m}^{y^{n}} = 𝔻_{m}. Resulta claro que dim 𝔅(O_{y^{n}}, ρ) = ∞, para todo ρ ∈ 𝔻̂_{m} con ρ(σ) = Id. Por otro lado, si (ρ, V) ∈ 𝔻̂_{m} es tal que ρ(σ) = − Id, entonces se tiene que 𝔅(O_{y^{n}}, ρ) = ⋀(V), el álgebra exterior de V; luego, dim 𝔅(O_{y^{n}}, ρ) = 2^{dim V}.

Clase de conjugación  Centralizador  Representación

dim 𝔅(V)
e  𝔻_{m}  cualquiera  ∞
O_{y^{n}} = \{y^{n}\}, | O_{y^{n}} |= 1  𝔻_{m}  {(V, ρ) ∈ 𝔻̂_{m}, \atop ρ(y^{n}) = 1}  ∞

{(V, ρ) ∈ 𝔻̂_{m}, \atop ρ(y^{n}) = −1}  2^{dim V}

{O_{y^{h}} = \{y^{±h}\}, h ≠ 0, n, \atop | O_{y^{h}} |= 2}  ℤ/m ≃ ⟨y⟩  {χ^{j}, \atop ω_{m}^{hj} = −1}  4
{χ^{j}, \atop ω_{m}^{hj} ≠ −1}  ∞
{O_{x} = \{xy^{2h} : 0 ≤ h ≤ n − 1\} \atop | O_{x} |= n}  {ℤ/2 × ℤ/2 ≃ ⟨x⟩ ⊕ \atop ⟨y^{n}⟩} {ε ⊗ ε, \atop ε ⊗ sgn}  ∞

sgn ⊗ sgn, sgn ⊗ε

trenza negativa

{O_{xy} = \{xy^{2h+1} : 0 ≤ h ≤ n − 1\} \atop | O_{x} |= n} {ℤ/2 × ℤ/2 ≃ ⟨xy⟩ ⊕ \atop ⟨y^{n}⟩} {ε ⊗ ε, \atop ε ⊗ sgn}  ∞

sgn ⊗ sgn, sgn ⊗ε

trenza negativa

Tabla 4.7: Álgebras de Nichols de módulos de Yetter-Drinfeld irreducibles sobre 𝔻_{m}, m = 2n par.

(II) Si σ = y^{h}, h ≠ 0, n; entonces O_{y^{h}} = {y^{h}, y^{−h}} y 𝔻_{m}^{y^{h}} = ⟨y⟩ ≃ ℤ/m. Por el Lema 2.3.4, es claro que dim 𝔅(O_{y^{h}}, χ_{l}) = ∞, para todo l tal que χ_{l}(y^{h}) ≠ −1, i. e. ω_{m}^{hl} ≠ −1. Por otro lado, es fácil ver que 𝔅(O_{y^{h}}, χ_{l}) = ⋀(M(O_{y^{h}}, χ_{l})), por lo tanto dim 𝔅(O_{y^{h}}, χ_{l}) = 4, para todo χ_{l} con χ_{l}(y^{h}) = −1.

(III) Si σ = x, entonces O_{x} = {xy^{2h} : 0 ≤ h ≤ n − 1} y 𝔻_{m}^{x} = ⟨x⟩ ⊕ ⟨y^{n}⟩ ≃ ℤ/2 × ℤ/2. Por Lema 2.3.1, dim 𝔅(O_{x}, ε ⊗ ε) = dim 𝔅(O_{x}, ε ⊗ sgn) = ∞.

Para los casos ρ = sgn ⊗ε o sgn ⊗ sgn, hacemos notar el siguiente hecho.

(i) Si n es impar y 0 ≤ j, k ≤ n − 1, se tiene que

xy^{2j}xy^{2k} = xy^{2k}xy^{2j} si y sólo si j = k.

(ii) Si n es par y 0 ≤ j ≤ k ≤ n − 1, tenemos que

xy^{2j}xy^{2k} = xy^{2k}xy^{2j} si y sólo si k = j ó j + \frac{n}{2}.

Los casos (i) y (ii) dicen que todo subrack abeliano maximal de O_{x} tiene uno y dos elementos, respectivamente. Luego, en ambos casos la trenza es negativa. En efecto, el resultado es obvio para el caso (i), mientras que en el caso (ii) tenemos que si σ_{j} := xy^{2j} = xy^{j} x (xy^{j})^{−1} y σ_{k} := xy^{2k} = xy^{k} x (xy^{k})^{−1} conmutan en O_{x}, entonces q_{jj} = −1 = q_{kk} y q_{jk}q_{kj} = 1; así, la trenza resulta negativa.

(IV) Si σ = xy, entonces O_{xy} = {xy^{2h+1} : 0 ≤ h ≤ n − 1} y 𝔻_{m}^{xy} = ⟨xy⟩ ⊕ ⟨y^{n}⟩ ≃ ℤ/2 × ℤ/2. El resultado sigue como en (III) usando el isomorfismo 𝔻_{m} → 𝔻_{m}, x ↦ xy, y ↦ y – ver Observación 4.3.2.

Álgebras de Hopf punteadas sobre los grupos de Mathieu simples

En este capítulo, aplicamos la estrategia de eliminación por medio de subracks abelianos y no abelianos a los grupos de Mathieu simples. Sea G un grupo de Mathieu simple, s ∈ G, O_{s} la clase de conjugación de s y ρ una representación irreducible del centralizador de s. Se probará que o bien el álgebra de Nichols 𝔅(O_{s}, ρ) es de dimensión infinita, o bien la trenza del módulo de Yetter-Drinfeld M(O_{s}, ρ) es negativa. Los casos de trenza negativa son listados en la Tabla 5.1. Como consecuencia de estos resultados se obtiene que si G = M_{22} ó M_{24}, entonces el álgebra de grupo de G es (salvo isomorfismo) la única álgebra de Hopf punteada compleja de dimensión finita H con grupo de elementos de tipo grupo isomorfo a G.

Los resultados aquí presentados forman parte del trabajo [F].

Se hizo uso del sistema de cómputo de álgebra discreta GAP [Sch+] para calcular tablas de caracteres, representantes de clases de conjugación, intersecciones entre centralizadores y clases de con-

jugación. Estos cómputos están disponibles en www.mate.uncor.edu/˜ fantino/GAP/mathieu.htm.

En buena parte del capítulo la frase “se computa” significa que se ha hecho el cálculo con el sistema de cómputo de álgebra discreta mencionado.

Resumimos en el siguiente enunciado el contenido del presente capítulo.

Teorema 7. Sea G un grupo de Mathieu simple, s ∈ G, O_{s} la clase de conjugación de s y ρ ∈ Ĝ^{s}. La trenza es negativa en los casos listados en la Tabla 5.1. En caso contrario, dim 𝔅(O_{s}, ρ) = ∞. En particular, cualquier álgebra de Hopf punteada compleja de dimensión finita H con G(H) ≃ M_{22} ó M_{24} es isomorfa al álgebra de grupo ℂM_{22} ó ℂM_{24}, respectivamente.

5.1. Usando técnicas basadas en subracks abelianos

En esta sección, se determinan condiciones necesarias sobre los módulos de Yetter-Drinfeld irreducibles sobre un grupo de Mathieu simple para que sus correspondientes álgebras de Nichols sean de dimensión finita mediante técnicas de subracks abelianos.

Se seguirá las convenciones dadas en los capítulos anteriores. Se denotará ω_{n} := e^{\frac{2πi}{n}}, donde i = \sqrt{−1}. La representación del grupo cíclico ℤ/2n = ⟨[1]⟩ correspondiente a ρ([1]) = ω_{2n}^{n} = −1

G j |s_{j}| Centralizador Representación dim M(O_{s_{j}}, ρ)
M_{11} 4 4 ⟨x⟩ ≃ ℤ/8, x^{6} = s_{4} ν_{2}(x) := i 990
ν_{6}(x) := −i
6 8  ⟨s_{6}⟩ ≃ ℤ/8  χ_{(−1)}  990
7 8  ⟨s_{7}⟩ ≃ ℤ/8  χ_{(−1)}  990
M_{12} 13 10  ⟨s_{13}⟩ ≃ ℤ/10  χ_{(−1)}  9504
M_{23} 12 14  ⟨s_{12}⟩ ≃ ℤ/14  χ_{(−1)}  728640
13 14  ⟨s_{13}⟩ ≃ ℤ/14  χ_{(−1)}  728640

Tabla 5.1: Grupos de Mathieu simples: casos abiertos.

será denotada por χ_{(−1)}. Para y ∈ G^{s}, se denotará a la clase de conjugación de y en el grupo G^{s} por O_{y}^{G^{s}}.

En las tablas de caracteres, que aparecen a partir de la Sección 5.1.1, se incluye la siguiente información. La primera fila enumera las clases de conjugación del grupo con el parámetro j o k, la segunda fila da el orden de un representante de cada clase de conjugación, la tercera fila da el orden del centralizador del representante en el grupo correspondiente. A los efectos de simplificar la escritura, en algunas tablas de caracteres se omitirá el cardinal de las clases de conjugación y el orden de los centralizadores. Además, para una mejor lectura de dichas tablas se donotará por z′ (y no por z̄) al conjugado de un número complejo z.

A lo largo de este capítulo, se usará la notación dada en el GAP para denotar a un ciclo; esto es, se utilizará comas para separar los elementos en los ciclos. Por ejemplo, denoteremos aquí a un l-ciclo por τ = (j_{1}, …, j_{l}) mientras que en los capítulos anteriores lo denotábamos τ = (j_{1} ⋯ j_{l}).

5.1.1. El grupo M_{11}

El grupo de Mathieu simple M_{11} puede ser dado como un subgrupo de 𝕊_{11} de la siguiente manera

M_{11} := ⟨ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11), (3, 7, 11, 8)(4, 10, 5, 6) ⟩.

En la Tabla 5.2, se muestra la tabla de caracteres de M_{11}, donde A = (−1 − i\sqrt{11})/2, B = i\sqrt{2}. Explícitamente, los representantes de las clases de conjugación de M_{11} son

s_{1} := id,  s_{2} := (1, 9, 7, 10, 8, 11, 5, 4, 3, 6, 2),
s_{3} := (1, 7, 8, 5, 3, 2, 9, 10, 11, 4, 6),  s_{4} := (1, 8, 2, 7)(4, 6, 10, 5),
s_{5} := (1, 2)(4, 10)(5, 6)(7, 8),  s_{6} := (1, 3, 11, 6, 7, 10, 4, 5)(8, 9),
s_{7} := (1, 10, 11, 5, 7, 3, 4, 6)(8, 9),  s_{8} := (1, 6, 4)(2, 9, 7)(8, 11, 10),
s_{9} := (1, 2, 3, 4, 8)(5, 10, 7, 11, 6),  s_{10} := (1, 5, 8, 4, 6, 9)(2, 10, 3)(7, 11).

Resumimos nuestro estudio para el grupo M_{11} en el siguiente enunciado.

Teorema 5.1.1. Sea ρ ∈ M̂_{11}^{s_{j}}, con 1 ≤ j ≤ 10. La trenza es negativa en los casos j = 4, con ρ = ν_{2} ó ν_{6}, j = 6, 7 y 10, con ρ = χ_{(−1)}. En caso contrario, dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞.

\begin{matrix}j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ |s_{j}| & 1 & 11 & 11 & 4 & 2 & 8 & 8 & 3 & 5 & 6 \\ |G^{s_{j}}| & 7920 & 11 & 11 & 8 & 48 & 8 & 8 & 18 & 5 & 6 \\ |O_{s_{j}}| & 1 & 720 & 720 & 990 & 165 & 990 & 990 & 440 & 1584 & 1320 \\ χ_{1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ χ_{2} & 10 & -1 & -1 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ χ_{3} & 10 & -1 & -1 & 0 & -2 & B & B′ & 1 & 0 & 1 \\ χ_{4} & 10 & -1 & -1 & 0 & -2 & B′ & B & 1 & 0 & 1 \\ χ_{5} & 11 & 0 & 0 & -1 & 3 & -1 & -1 & 2 & 1 & 0 \\ χ_{6} & 16 & A & A′ & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 \\ χ_{7} & 16 & A′ & A & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 \\ χ_{8} & 44 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 \\ χ_{9} & 45 & 1 & 1 & 1 & -3 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ χ_{10} & 55 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 0 & -1 \end{matrix}

Tabla 5.2: Tabla de caracteres de M_{11}.

Demostración. De la Tabla 5.2, se puede ver que para j = 4, 5, 8, 9 y 10, s_{j} es real.

CASO: j = 8, 9. Por Lema 2.3.4, dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞, para toda ρ ∈ M̂_{11}^{s_{j}}.

CASO: j = 2, 3. Se computa que s_{j}^{3} y s_{j}^{9} están en O_{s_{j}}, y s_{j}^{3} ≠ s_{j}^{9}. Ya que |s_{j}| = 11 se tiene que

dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞, para toda ρ ∈ M̂_{11}^{s_{j}}, por Lema 2.3.5.

CASO: j = 4. El elemento s_{4} es real y su centralizador es

M_{11}^{s_{4}} = ⟨x := (1, 4, 7, 5, 2, 10, 8, 6)(3, 11)⟩ ≃ ℤ/8,

con x^{6} = s_{4}. Sea M̂_{11}^{s_{4}} = {ν_{0}, …, ν_{7}}, donde ν_{l}(x) := ω_{8}^{l}, 0 ≤ l ≤ 7. Claramente, si l = 0, 1, 4, 5 ó 7, entonces q_{s_{4}s_{4}} ≠ −1, y dim 𝔅(O_{s_{4}}, ν_{l}) = ∞, por Lema 2.3.4. Los dos casos restantes corresponden a l = 2, 6. Se computa que O_{s_{4}} ∩ M_{11}^{s_{4}} = {s_{4}, s_{4}^{−1}}. Ahora, resulta fácil ver que la trenza es negativa.

CASO: j = 6, 7. El centralizador es M_{11}^{s_{j}} = ⟨s_{j}⟩ ≃ ℤ/8 y s_{j}^{3} está en O_{s_{j}}. Como 3 no divide a |s_{j}| = 8 se tiene que q_{s_{j}s_{j}} ≠ −1, entonces dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.6. El caso restante corresponde a ρ(s_{j}) = ω_{8}^{4} = −1, el cual satisface q_{s_{j}s_{j}} = −1. Se computa que O_{s_{j}} ∩ M_{11}^{s_{j}} = {s_{j}, s_{j}^{3}}. Por cálculos directos se puede probar que la trenza es negativa.

CASO: j = 10. El elemento s_{10} es real y su centralizador es M_{11}^{s_{10}} = ⟨s_{10}⟩ ≃ ℤ/6. Ahora bien, tenemos que si q_{s_{10}s_{10}} ≠ −1, entonces dim 𝔅(O_{s_{10}}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4. El caso restante corresponde a ρ(s_{10}) = ω_{6}^{3} = −1, el cual satisface q_{s_{10}s_{10}} = −1. Se computa que O_{s_{10}} ∩ M_{11}^{s_{10}} = {s_{10}, s_{10}^{−1}}; luego la trenza resulta negativa.

CASO: j = 5. El centralizador M_{11}^{s_{5}} es un grupo no abeliano de orden 48, cuya tabla de caracteres

\begin{matrix}k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ |y_{k}| & 1 & 2 & 3 & 2 & 6 & 4 & 8 & 8 \\ |G^{y_{k}}| & 48 & 4 & 6 & 48 & 6 & 8 & 8 & 8 \\ |O_{y_{k}}| & 1 & 12 & 8 & 1 & 8 & 6 & 6 & 6 \\ μ_{1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ μ_{2} & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ μ_{3} & 2 & 0 & -1 & 2 & -1 & 2 & 0 & 0 \\ μ_{4} & 2 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0 & i\sqrt{2} & -i\sqrt{2} \\ μ_{5} & 2 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0 & -i\sqrt{2} & i\sqrt{2} \\ μ_{6} & 3 & -1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 1 \\ μ_{7} & 3 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & -1 & -1 \\ μ_{8} & 4 & 0 & 1 & -4 & -1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}

Tabla 5.3: Tabla de caracteres de M_{11}^{s_{5}}.

está dada por la Tabla 5.3. Los representantes de las clases de conjugación de M_{11}^{s_{5}} son

y_{1} := id,  y_{2} := (4, 10)(5, 8)(6, 7)(9, 11),
y_{3} := (3, 9, 11)(4, 8, 6)(5, 10, 7),  y_{4} := (1, 2)(4, 10)(5, 6)(7, 8) = s_{5},
y_{5} := (1, 2)(3, 9, 11)(4, 7, 6, 10, 8, 5),  y_{6} := (1, 4, 2, 10)(5, 7, 6, 8),
y_{7} := (1, 4, 6, 7, 2, 10, 5, 8)(3, 9),  y_{8} := (1, 4, 7, 5, 2, 10, 8, 6)(3, 11).

Para todo k, 1 ≤ k ≤ 8, llamaremos ρ_{k} = (ρ_{k}, V_{k}) a la representación irreducible de M_{11}^{s_{5}} cuyo carácter es μ_{k}. De la Tabla 5.3, podemos decir que si k ≠ 4, 5, 8, entonces q_{s_{5}s_{5}} ≠ −1 y dim 𝔅(O_{s_{5}}, ρ_{k}) = ∞, por Lema 2.3.4. Por otro lado, si k = 4, 5 u 8, entonces q_{s_{5}s_{5}} = −1. Para estos tres casos probaremos que dim 𝔅(O_{s_{5}}, ρ_{k}) = ∞. La intersección O_{s_{5}} ∩ M_{11}^{s_{5}} tiene 13 elementos y contiene a σ_{1} := s_{5}, σ_{2} := (4, 10)(5, 8)(6, 7)(9, 11) y σ_{3} := (1, 2)(5, 7)(6, 8)(9, 11). Notar que estos elementos conmutan entre sí y σ_{2}σ_{3} = s_{5}. Elegimos g_{1} := id,

g_{2} := (1, 9)(2, 11)(4, 10)(5, 7) y g_{3} := (1, 2)(4, 9)(6, 7)(10, 11).

Estos elementos están in M_{11} y satisfacen

σ_{1}g_{1} = g_{1}σ_{1},  σ_{1}g_{2} = g_{2}σ_{2},  σ_{1}g_{3} = g_{3}σ_{3},  (5.1)
σ_{2}g_{1} = g_{1}σ_{2},  σ_{2}g_{2} = g_{2}σ_{1},  σ_{2}g_{3} = g_{3}σ_{2},  (5.2)
σ_{3}g_{1} = g_{1}σ_{3},  σ_{3}g_{2} = g_{2}σ_{3},  σ_{3}g_{3} = g_{3}σ_{1}.  (5.3)

Supongamos que k = 4. Como σ_{1}, σ_{2} y σ_{3} conmutan existe una base {v_{1}, v_{2}} de V_{4}, el espacio vectorial de la representación ρ_{4}, compuesta por autovectores simultáneos de ρ_{4}(σ_{1}), ρ_{4}(σ_{2}) y ρ_{4}(σ_{3}). Digamos que ρ_{4}(σ_{2})v_{l} = λ_{l}v_{l} y ρ_{4}(σ_{3})v_{l} = κ_{l}v_{l}, l = 1, 2. Notar que λ_{l}, κ_{l} = ±1, l = 1, 2, puesto que |σ_{2}| = 2 = |σ_{3}|. Más aún, como σ_{2}σ_{3} = s_{5} se tiene que λ_{l}κ_{l} = −1, l = 1, 2. De la Tabla 5.3, podemos deducir que λ_{1} + λ_{2} = 0 pues σ_{2} = y_{2} y μ_{4}(O_{y_{2}}^{M_{11}^{s_{5}}} ) = 0. Reordenando la base podemos suponer que λ_{1} = 1 = −λ_{2}.

Definimos W := ℂ - span {g_{1}v_{1}, g_{2}v_{2}, g_{3}v_{2}}. Luego, W es un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{5}}, ρ) de tipo Cartan. En efecto, es fácil calcular que la matriz de coeficientes Q es

(\begin{matrix}−1 & −1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 \\ −1 & −1 & −1 \end{matrix}) .  (5.4)

La matriz de Cartan correspondiente está dada por

A = (\begin{matrix}2 & −1 & −1 \\ −1 & 2 & −1 \\ −1 & −1 & 2 \end{matrix}) .  (5.5)

Por Teorema 2.3.2, dim 𝔅(O_{s_{5}}, ρ_{4}) = ∞.

El caso k = 5 es análogo al caso k = 4 ya que μ_{5}(O_{y_{2}}^{M_{11}^{s_{5}}} ) = 0.

Finalmente, el caso k = 8 se puede reducir a los casos anteriores. En efecto, como σ_{1}, σ_{2} y σ_{3} conmutan existe una base {v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}} de V_{8}, el espacio vectorial de la representación ρ_{8}, compuesta por autovectores simultáneos de ρ_{8}(σ_{1}), ρ_{8}(σ_{2}) y ρ_{8}(σ_{3}). Digamos que ρ_{8}(σ_{2})v_{l} = λ_{l}v_{l} y ρ_{8}(σ_{3})v_{l} = κ_{l}v_{l}, 1 ≤ l ≤ 4, donde λ_{l}, κ_{l} = ±1, 1 ≤ l ≤ 4, puesto que |σ_{2}| = 2 = |σ_{3}|. De la Tabla 5.3, podemos deducir que λ_{1} +λ_{2} +λ_{3} +λ_{4} = 0 = κ_{1} +κ_{2} +κ_{3} +κ_{4} pues σ_{2}, σ_{3} ∈ O_{y_{2}}^{M_{11}^{s_{5}}} y μ_{8}(O_{y_{2}}^{M_{11}^{s_{5}}} ) = 0. Esto implica que existen r, t ∈ {1, 2, 3, 4} tales que λ_{r} = 1 = −λ_{t}. Ahora bien, si se define W := ℂ - span {g_{1}v_{r}, g_{2}v_{t}, g_{3}v_{t}}, entonces W es un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{5}}, ρ) de tipo Cartan, con matriz de Cartan dada por (5.5). Por lo tanto, dim 𝔅(O_{s_{5}}, ρ_{8}) = ∞.

Observación 5.1.2. El grupo M_{11}^{s_{8}} tiene 9 clases de conjugación. Luego, podemos señalar el siguiente hecho: existen 84 pares (O, ρ) posibles para M_{11}; 79 de ellos dan lugar a álgebras de Nichols de dimensión infinita, y 5 tienen M(O, ρ) de trenza negativa.

5.1.2. El grupo M_{12}

El grupo de Mathieu simple M_{12} puede ser dado como un subgrupo de 𝕊_{12} de la siguiente manera

M_{12} := ⟨ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11), (3, 7, 11, 8)(4, 10, 5, 6), (1, 12)(2, 11)(3, 6)(4, 8)(5, 9)(7, 10) ⟩.

En la Tabla 5.4, se muestra la tabla de caracteres de M_{12}, con A = (−1 − i\sqrt{11})/2. Explícitamente, los representantes de las clases de conjugación de M_{12} son s_{1} := id,

s_{2} := (1, 8, 12)(2, 3, 11, 9, 10, 6)(4, 5),  s_{3} := (1, 12, 8)(2, 11, 10)(3, 9, 6),
s_{4} := (2, 9)(3, 10)(4, 5)(6, 11),  s_{5} := (1, 12, 7, 4)(2, 9, 10, 5, 11, 3, 6, 8),
s_{6} := (1, 7)(2, 10, 11, 6)(3, 8, 9, 5)(4, 12),  s_{7} := (1, 9, 4, 2, 11, 8)(3, 10, 12, 5, 6, 7),
s_{8} := (1, 4, 11)(2, 8, 9)(3, 12, 6)(5, 7, 10),  s_{9} := (1, 2)(3, 5)(4, 8)(6, 10)(7, 12)(9, 11),
s_{10} := (1, 7, 2, 6, 5)(3, 9, 12, 10, 11),  s_{11} := (2, 10, 6, 4, 12, 5, 7, 3, 8, 11, 9),
s_{12} := (2, 6, 12, 7, 8, 9, 10, 4, 5, 3, 11),  s_{13} := (1, 2, 7, 10, 5, 6, 8, 12, 9, 4)(3, 11),
s_{14} := (1, 10, 11, 8, 4, 5, 12, 3)(6, 9),  s_{15} := (1, 11, 4, 12)(3, 10, 8, 5).

Resumimos nuestro estudio para el grupo M_{12} en el siguiente enunciado.

\begin{matrix}j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ |s_{j}| & 1 & 6 & 3 & 2 & 8 & 4 & 6 & 3 & 2 & 5 & 11 & 11 & 10 & 8 & 4 \\ |G^{s_{j}}| & 95040 & 6 & 54 & 192 & 8 & 32 & 12 & 36 & 240 & 10 & 11 & 11 & 10 & 8 & 32 \\ χ_{1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ χ_{2} & 11 & 0 & 2 & 3 & 1 & 3 & -1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 \\ χ_{3} & 11 & 0 & 2 & 3 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 3 \\ χ_{4} & 16 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 4 & 1 & A’ & A & -1 & 0 & 0 \\ χ_{5} & 16 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 4 & 1 & A & A’ & -1 & 0 & 0 \\ χ_{6} & 45 & 0 & 0 & -3 & -1 & 1 & -1 & 3 & 5 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 1 \\ χ_{7} & 54 & 0 & 0 & 6 & 0 & 2 & 0 & 0 & 6 & -1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ χ_{8} & 55 & 1 & 1 & 7 & -1 & -1 & 1 & 1 & -5 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 \\ χ_{9} & 55 & -1 & 1 & -1 & -1 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ χ_{10} & 55 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -5 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 3 \\ χ_{11} & 66 & -1 & 3 & 2 & 0 & -2 & 0 & 0 & 6 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\ χ_{12} & 99 & 0 & 0 & 3 & 1 & -1 & -1 & 3 & -1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 1 & -1 \\ χ_{13} & 120 & 1 & 3 & -8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ χ_{14} & 144 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -3 & 4 & -1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ χ_{15} & 176 & 0 & -4 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}

Tabla 5.4: Tabla de caracteres de M_{12}.

Teorema 5.1.3. Sea ρ ∈ M̂_{12}^{s_{j}}, con 1 ≤ j ≤ 15. La trenza es negativa en los casos j = 2, 5, 13 y 14, con ρ = χ_{(−1)}. En caso contrario, dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞.

Demostración. CASO: j = 3, 8, 10. De la Tabla 5.4, vemos que s_{j} es real. Por Lema 2.3.4, dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞, para toda ρ ∈ M̂_{12}^{s_{j}}.

CASO: j = 11, 12. Se computa que los elementos s_{j}^{3} y s_{j}^{9} están en O_{s_{j}}, y s_{j}^{3} ≠ s_{j}^{9}. Como |s_{j}| = 11

se tiene que dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞, para toda ρ ∈ M̂_{12}^{s_{j}}, por Lema 2.3.5.

CASO: j = 2. El elemento s_{2} es real y M_{12}^{s_{2}} = ⟨s_{2}⟩ ≃ ℤ/6. Ahora bien, si q_{s_{2}s_{2}} ≠ −1, entonces dim 𝔅(O_{s_{2}}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4. El caso restante corresponde a ρ(s_{2}) = ω_{6}^{3} = −1, el cual satisface q_{s_{2}s_{2}} = −1. Se computa que O_{s_{2}} ∩ M_{12}^{s_{2}} = {s_{2}, s_{2}^{−1}}. Luego, es fácil ver que la trenza es negativa.

CASO: j = 5, 14. El elemento s_{j} es real y M_{12}^{s_{j}} = ⟨s_{j}⟩ ≃ ℤ/8. Si q_{s_{j}s_{j}} ≠ −1, entonces dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4. El caso que falta corresponde a ρ(s_{j}) = ω_{8}^{4} = −1, y satisface q_{s_{j}s_{j}} = −1. Se computa que O_{s_{j}} ∩ M_{12}^{s_{j}} = {s_{j}, s_{j}^{3}, s_{j}^{5}, s_{j}^{7}}, y se puede mostrar fácilmente que la trenza es negativa.

CASO: j = 13. El elemento s_{13} es real y M_{12}^{s_{13}} = ⟨s_{13}⟩ ≃ ℤ/10. Si q_{s_{13}s_{13}} ≠ −1, entonces dim 𝔅(O_{s_{13}}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4. El caso restante corresponde a ρ(s_{13}) = ω_{10}^{5} = −1, y satisface q_{s_{13}s_{13}} = −1. Se computa que O_{s_{13}} ∩ M_{12}^{s_{13}} = {s_{13}, s_{13}^{3}, s_{13}^{7}, s_{13}^{9}}; como antes, la trenza resulta negativa.

CASO: j = 7. El elemento s_{7} es real y su centralizador es

M_{12}^{s_{7}} = ⟨x, s_{7}⟩ ≃ ℤ/2 × ℤ/6,

con x := (1, 12)(2, 7)(3, 11)(4, 6)(5, 9)(8, 10). Definamos {ν_{0}, …, ν_{5}}, donde ν_{l}(s_{7}) := ω_{6}^{l}, 0 ≤ l ≤ 5. Luego,

M̂_{12}^{s_{7}} = {ϵ ⊗ ν_{l}, sgn ⊗ν_{l} | 0 ≤ l ≤ 5},

donde ϵ y sgn son la representación trivial y signo de ℤ/2, respectivamente. Resulta claro que si ρ ∈ M̂_{12}^{s_{7}}, con l ≠ 3, entonces q_{s_{7}s_{7}} ≠ −1, y dim 𝔅(O_{s_{7}}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4. Los dos casos restantes son ρ = ϵ ⊗ ν_{3} y ρ = sgn ⊗ν_{3}. Se probará que en ambos casos el álgebra de Nichols 𝔅(O_{s_{7}}, ρ) es de dimensión infinita. Se computa que O_{s_{7}} ∩ M_{11}^{s_{7}} tiene 6 elementos y que contiene a σ_{1} := s_{7},

σ_{2} := (1, 5, 4, 7, 11, 10)(2, 3, 8, 12, 9, 6),  σ_{3} := (1, 3, 4, 12, 11, 6)(2, 5, 8, 7, 9, 10).

Notar que σ_{2}σ_{3} = s_{7}^{−1}. Elegimos g_{1} := id, g_{2} := (2, 7, 12)(3, 9, 5)(6, 8, 10) y g_{3} := g_{2}^{−1}. Se puede ver que se satisfacen las siguientes relaciones

σ_{1}g_{1} = g_{1}σ_{1},  σ_{1}g_{2} = g_{2}σ_{3},  σ_{1}g_{3} = g_{3}σ_{2},  (5.6)
σ_{2}g_{1} = g_{1}σ_{2},  σ_{2}g_{2} = g_{2}σ_{1},  σ_{2}g_{3} = g_{3}σ_{3},  (5.7)
σ_{3}g_{1} = g_{1}σ_{3},  σ_{3}g_{2} = g_{2}σ_{2},  σ_{3}g_{3} = g_{3}σ_{1}.  (5.8)

Si W := ℂ - span {g_{1}, g_{2}, g_{3}}, entonces W es un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{7}}, ρ) de tipo Cartan, con matriz de coeficientes dada por

Q_{1} := (\begin{matrix}−1 & −1 & 1 \\ 1 & −1 & −1 \\ −1 & 1 & −1 \end{matrix}) ,  Q_{2} := (\begin{matrix}−1 & 1 & −1 \\ −1 & −1 & 1 \\ 1 & −1 & −1 \end{matrix}) ,  (5.9)

para ρ = ϵ ⊗ ν_{3} y ρ = sgn ⊗ν_{3}, respectivamente. En ambos casos la matriz de Cartan asociada está dada por (5.5). Por Teorema 2.3.2, dim 𝔅(O_{s_{7}}, ρ) = ∞.

CASO: j = 6. El elemento s_{6} es real y M_{12}^{s_{6}} es un grupo no abeliano de orden 32, cuya tabla de caracteres está dada por la Tabla 5.5. Los representantes de las clases de conjugación de M_{12}^{s_{6}} son

y_{1} := id,  y_{2} := (2, 3, 11, 9)(5, 10, 8, 6),
y_{3} := (2, 6, 11, 10)(3, 8, 9, 5),  y_{4} := (2, 11)(3, 9)(5, 8)(6, 10),
y_{5} := (1, 4, 7, 12)(3, 8, 9, 5),  y_{6} := (1, 4, 7, 12)(2, 3, 6, 5, 11, 9, 10, 8),
y_{7} := (1, 4, 7, 12)(2, 6, 11, 10)(3, 9)(5, 8),  y_{8} := (1, 7)(3, 9)(4, 12)(5, 8),
y_{9} := (1, 7)(2, 3)(4, 12)(5, 6)(8, 10)(9, 11),  y_{10} := (1, 7)(2, 6, 11, 10)(3, 5, 9, 8)(4, 12),
y_{11} := (1, 7)(2, 10, 11, 6)(3, 8, 9, 5)(4, 12) = s_{6}, y_{12} := (1, 12, 7, 4)(3, 5, 9, 8),
y_{13} := (1, 12, 7, 4)(2, 3, 10, 8, 11, 9, 6, 5),  y_{14} := (1, 12, 7, 4)(2, 10, 11, 6)(3, 9)(5, 8).

Para todo k, 1 ≤ k ≤ 14, llamamos ρ_{k} = (ρ_{k}, V_{k}) a la representación irreducible de M_{12}^{s_{6}} cuyo carácter es μ_{k}. De la Tabla 5.5, podemos decir que si k ≠ 5, 6, 7, 8, 10, entonces q_{s_{6}s_{6}} ≠ −1 y dim 𝔅(O_{s_{6}}, ρ_{k}) = ∞, por Lema 2.3.4. Por otro lado, si k = 5, 6, 7, 8 ó 10, entonces q_{s_{6}s_{6}} = −1.

k  1 2 3 4  5 6 7  8 9 10 11 12 13 14
|y_{k}| 1 4 4 2  4 8 4  2 2 4 4  4  8  4
|G^{y_{k}}| 32 8 16 32 16 8 16 16 8 32 32 16 8 16
|O_{y_{k}}| 1 4 2 1  2 4 2  2 4 1 1  2  4  2
μ_{1} 1 1 1 1  1 1 1  1 1 1 1  1  1  1
μ_{2} 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1
μ_{3} 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1
μ_{4} 1 -1 1 1  1 -1 1  1 -1 1 1  1 -1 1
μ_{5} 1 1 1 1 -i -i -i -1 -1 -1 -1  i  i  i
μ_{6} 1 -1 1 1 -i  i  -i -1 1 -1 -1  i  -i  i
μ_{7} 1 1 1 1  i  i  i -1 -1 -1 -1 -i -i -i
μ_{8} 1 -1 1 1  i  -i  i -1 1 -1 -1 -i  i  -i
μ_{9} 2 0 -2 2  0 0 0 -2 0 2 2  0  0  0
μ_{10} 2 0 -2 2  0 0 0  2 0 -2 -2 0  0  0
μ_{11} 2 0 0 -2 1+i 0 -1-i 0 0 -2i 2i 1-i 0 -1+i
μ_{12} 2 0 0 -2 -1-i 0 1+i 0 0 -2i 2i -1+i 0 1-i
μ_{13} 2 0 0 -2 -1+i 0 1-i 0 0 2i -2i -1-i 0 1+i
μ_{14} 2 0 0 -2 1-i 0 -1+i 0 0 2i -2i 1+i 0 -1-i
Tabla 5.5: Tabla de caracteres de M_{12}^{s_{6}}.

Para estos cinco casos probaremos que dim 𝔅(O_{s_{6}}, ρ_{k}) = ∞. Primero calculamos la intersección O_{s_{6}} ∩ M_{12}^{s_{6}}:

σ_{1} := (1, 4, 7, 12)(2, 6, 11, 10)(3, 9)(5, 8) = y_{7}, σ_{2} := (1, 4, 7, 12)(2, 11)(3, 5, 9, 8)(6, 10),
σ_{3} := (1, 7)(2, 6, 11, 10)(3, 5, 9, 8)(4, 12) = y_{10}, σ_{4} := (1, 7)(2, 10, 11, 6)(3, 8, 9, 5)(4, 12) = s_{6},
σ_{5} := (1, 12, 7, 4)(2, 10, 11, 6)(3, 9)(5, 8) = y_{14}, σ_{6} := (1, 12, 7, 4)(2, 11)(3, 8, 9, 5)(6, 10).

Estos elementos conmutan entre sí, σ_{4} = s_{6} y σ_{1}^{−1} = σ_{5}. Además, se tiene que σ_{2} ∈ O_{y_{7}}^{M_{12}^{s_{6}}} y

σ_{6} ∈ O_{y_{14}}^{M_{12}^{s_{6}}} . Elegimos en M_{12} los siguientes elementos

g_{1} := (1, 8, 6, 12, 3, 2)(4, 9, 11, 7, 5, 10),  g_{2} := (1, 6, 12, 11, 7, 10, 4, 2)(5, 8)

y g_{3} := (1, 12)(4, 7)(5, 8)(6, 10). Entonces σ_{r}g_{r} = g_{r}s_{6}, 1 ≤ r ≤ 3, y

σ_{2}g_{1} = g_{1}σ_{5},  σ_{1}g_{2} = g_{2}σ_{5},  σ_{1}g_{3} = g_{3}σ_{5},
σ_{3}g_{1} = g_{1}σ_{6},  σ_{3}g_{2} = g_{2}σ_{4},  σ_{2}g_{3} = g_{3}σ_{6}.

Supongamos que k = 5, 6, 7 ó 8. Se define W := ℂ - span {g_{1}, g_{2}, g_{3}}. Luego, W es un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{6}}, ρ_{k}) de tipo Cartan. De la Tabla 5.5, podemos calcular que la matriz de coeficientes Q es

Q_{3} := (\begin{matrix}−1 & i & i \\ i & −1 & i \\ i & i & −1 \end{matrix}) ,  Q_{4} := (\begin{matrix}−1 & −i & −i \\ −i & −1 & −i \\ −i & −i & −1 \end{matrix}) ,  (5.10)

para k = 5 ó 6, y k = 7 ó 8, respectivamente. En todos estos casos la matriz de Cartan asociada es como en (5.5). Por lo tanto, dim 𝔅(O_{s_{6}}, ρ_{k}) = ∞.

Supongamos que k = 10. Como σ_{5} y σ_{6} conmutan existe una base {v_{1}, v_{2}} de V_{10}, el espacio vectorial de la representación ρ_{10}, compuesta por autovectores simultáneos de ρ_{10}(σ_{5}) y ρ_{10}(σ_{6}). Digamos que ρ_{10}(σ_{5})v_{l} = λ_{l}v_{l} y ρ_{10}(σ_{6})v_{l} = κ_{l}v_{l}, l = 1, 2. Notar que κ_{l}, λ_{l} = ±1, ±i, ya que |σ_{5}| = 4 = |σ_{6}|. De la Tabla 5.5, deducimos que λ_{1} + λ_{2} = 0 = κ_{1} + κ_{2} pues σ_{5}, σ_{6} ∈ O_{y_{14}}^{M_{12}^{s_{6}}} y μ_{10}(O_{y_{14}}^{M_{12}^{s_{6}}} ) = 0. Además, como σ_{5}σ_{6} = s_{6}^{−1} se tiene que λ_{l}κ_{l} = −1, l = 1, 2. Ahora consideramos las cuatro posibilidades: λ_{1} = ±1, ±i.

(i) Si λ_{1} = ±1, tomamos W := ℂ - span {g_{1}v_{1}, g_{2}v_{2}, g_{3}v_{1}}.

(ii) Si λ_{1} = ±i, tomamos W := ℂ - span {g_{1}v_{1}, g_{2}v_{1}, g_{3}v_{1}}.

En ambos casos, W es un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{6}}, ρ_{10}) de tipo Cartan. Se puede calcular que las matrices de coeficientes están dadas por Q_{1} (resp. Q_{2}) para el caso λ_{1} = 1 (resp. λ_{1} = −1) – ver (5.9); mientras que las matrices de coeficientes están dadas por Q_{3} (resp. Q_{4}) para el caso λ_{1} = i (resp. λ_{1} = −i) – ver (5.10). En todos los casos, la matriz de Cartan asociada está dada por (5.5). Por lo tanto, dim 𝔅(O_{s_{6}}, ρ_{10}) = ∞.

CASO: j = 15. Se computa que M_{12}^{s_{15}} ≃ M_{12}^{s_{6}}. Esto implica que este caso es análogo al caso j = 6, pues O_{s_{15}} ≃ O_{s_{6}} como racks.

CASO: j = 4. Se computa que M_{12}^{s_{4}} es un grupo no abeliano de orden 192, cuya tabla de caracteres está dada por la Tabla 5.6. Los representantes de las clases de conjugación de M_{12}^{s_{4}} son y_{1} := id,

y_{2} := (3, 4)(5, 10)(6, 11)(7, 12),  y_{3} := (3, 5, 6)(4, 11, 10)(7, 12, 8),
y_{4} := (2, 3, 5, 11, 9, 10, 4, 6)(7, 8),  y_{5} := (2, 3, 6, 9, 10, 11)(4, 5)(7, 12, 8),
y_{6} := (2, 3, 9, 10)(4, 11, 5, 6),  y_{7} := (2, 9)(3, 10)(4, 5)(6, 11) = s_{4},
y_{8} := (1, 7)(4, 5)(6, 11)(8, 12),  y_{9} := (1, 7, 8, 12)(3, 5, 10, 4),
y_{10} := (1, 7, 12, 8)(2, 3, 4, 11, 9, 10, 5, 6),  y_{11} := (1, 7)(2, 3, 9, 10)(4, 6, 5, 11)(8, 12),
y_{12} := (1, 7)(2, 4)(3, 6)(5, 9)(8, 12)(10, 11),  y_{13} := (1, 7, 12, 8)(2, 4, 9, 5)(3, 10)(6, 11).

Para todo k, 1 ≤ k ≤ 13, llamamos ρ_{k} = (ρ_{k}, V_{k}) a la representación irreducible de M_{12}^{s_{4}} cuyo carácter es μ_{k}. De la Tabla 5.6, se tiene que si k ≠ 10, 11, 13, entonces q_{s_{4}s_{4}} ≠ −1 y dim 𝔅(O_{s_{4}}, ρ_{k}) = ∞, por Lema 2.3.4.

Supongamos que k = 10, 11 ó 13; luego, q_{s_{4}s_{4}} = −1. Probaremos que dim 𝔅(O_{s_{4}}, ρ_{k}) = ∞. La intersección O_{s_{4}} ∩ M_{12}^{s_{4}} tiene 31 elementos, y contiene a σ_{1} := s_{4} y

σ_{2} := (3, 4)(5, 10)(6, 11)(7, 12) = y_{2}, σ_{3} := (2, 9)(3, 5)(4, 10)(7, 12).

Se puede ver que σ_{2} y σ_{3} conmutan, σ_{3} ∈ O_{y_{2}}^{M_{12}^{s_{4}}} y σ_{2}σ_{3} = s_{4}. Elegimos en M_{12} los siguientes elementos g_{1} := id,

g_{2} := (2, 7)(3, 5)(6, 11)(9, 12), g_{3} := (2, 9)(5, 10)(6, 7)(11, 12).

\begin{matrix}k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\ |y_{k}| & 1 & 2 & 3 & 8 & 6 & 4 & 2 & 2 & 4 & 8 & 4 & 2 & 4 \\ |G^{y_{k}}| & 192 & 8 & 6 & 8 & 6 & 32 & 192 & 32 & 16 & 8 & 32 & 16 & 16 \\ |O_{y_{k}}| & 1 & 24 & 32 & 24 & 32 & 6 & 1 & 6 & 12 & 24 & 6 & 12 & 12 \\ μ_{1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ μ_{2} & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 \\ μ_{3} & 2 & 0 & -1 & 0 & -1 & 2 & 2 & 2 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\ μ_{4} & 3 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 3 & -1 & 1 & -1 & 3 & -1 & 1 \\ μ_{5} & 3 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 3 & -1 & -1 & 1 & 3 & -1 & -1 \\ μ_{6} & 3 & -1 & 0 & -1 & 0 & 3 & 3 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ μ_{7} & 3 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 3 & 3 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 \\ μ_{8} & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 3 & 3 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ μ_{9} & 3 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 3 & 3 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 \\ μ_{10} & 4 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & -4 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & -2 \\ μ_{11} & 4 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & -4 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ μ_{12} & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 6 & -2 & 0 & 0 & -2 & 2 & 0 \\ μ_{13} & 8 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}

Tabla 5.6: Tabla de caracteres de M_{12}^{s_{4}}.

Es fácil verificar que se satisfacen las relaciones dadas en (5.1), (5.2) y (5.3). De la Tabla 5.6, se tiene que μ_{k}(O_{y_{2}}^{M_{12}^{s_{4}}} ) = 0. Ahora podemos proceder como en el caso j = 5 y k = 8 de la prueba del Teorema 5.1.1. Así, podemos obtener un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{4}}, ρ_{k}) de tipo Cartan cuya matriz de Cartan asociada no es de tipo finito. Por lo tanto, dim 𝔅(O_{s_{4}}, ρ_{k}) = ∞, para k = 10, 11, 13.

CASO: j = 9. El centralizador M_{12}^{s_{9}} es un grupo no abeliano de orden 240, cuya tabla de caracteres está dada por la Tabla 5.7. Los representantes de las clases de conjugación de M_{12}^{s_{9}} son

y_{1} := id,  y_{2} := (4, 7)(6, 9)(8, 12)(10, 11),
y_{3} := (4, 10, 7, 11)(6, 12, 9, 8),  y_{4} := (3, 6, 8, 12, 9)(4, 7, 11, 5, 10),
y_{5} := (1, 2)(3, 4)(5, 8)(6, 10)(7, 9)(11, 12)  y_{6} := (1, 2)(3, 4, 6, 11)(5, 8, 10, 9)(7, 12),
y_{7} := (1, 2)(3, 4, 9, 10, 12, 5, 8, 11, 6, 7),  y_{8} := (1, 2)(3, 5)(4, 8)(6, 10)(7, 12)(9, 11) = s_{9},
y_{9} := (1, 3)(2, 5)(4, 6)(7, 9)(8, 10)(11, 12), y_{10} := (1, 3, 4, 2, 5, 8)(6, 11, 12, 10, 9, 7),
y_{11} := (1, 3, 4, 12, 11, 6)(2, 5, 8, 7, 9, 10),  y_{12} := (1, 4, 5)(2, 8, 3)(6, 12, 9)(7, 11, 10),
y_{13} := (1, 4, 7, 10, 11, 5)(2, 8, 12, 6, 9, 3),  y_{14} := (1, 4)(2, 8)(3, 6)(5, 10)(7, 11)(9, 12).

Para todo k, 1 ≤ k ≤ 14, llamamos ρ_{k} = (ρ_{k}, V_{k}) a la representación irreducible de M_{12}^{s_{9}} cuyo carácter es μ_{k}. De la Tabla 5.7, se puede deducir que si k ≠ 2, 3, 6, 8, 10, 12, 14, entonces q_{s_{9}s_{9}} ≠ −1 y dim 𝔅(O_{s_{9}}, ρ_{k}) = ∞, por Lema 2.3.4. Por otro lado, si k = 2, 3, 6, 8, 10, 12 ó 14, entonces q_{s_{9}s_{9}} = −1. Para estos casos probaremos que dim 𝔅(O_{s_{9}}, ρ_{k}) = ∞. La intersección O_{s_{9}} ∩ M_{12}^{s_{9}} tiene 36 elementos, y contiene a σ_{1} := s_{9} y

σ_{2} := (1, 3)(2, 5)(4, 6)(7, 9)(8, 10)(11, 12) = y_{9}, σ_{3} := (1, 5)(2, 3)(4, 10)(6, 8)(7, 11)(9, 12).

\begin{matrix}k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\ |y_{k}| & 1 & 2 & 4 & 5 & 2 & 4 & 10 & 2 & 2 & 6 & 6 & 3 & 6 & 2 \\ |G^{y_{k}}| & 240 & 16 & 8 & 10 & 16 & 8 & 10 & 240 & 24 & 12 & 12 & 12 & 12 & 24 \\ |O_{y_{k}}| & 1 & 15 & 30 & 24 & 15 & 30 & 24 & 1 & 10 & 20 & 20 & 20 & 20 & 10 \\ μ_{1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ μ_{2} & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ μ_{3} & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ μ_{4} & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 \\ μ_{5} & 4 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 4 & -2 & 1 & 1 & 1 & 1 & -2 \\ μ_{6} & 4 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 2 & -1 & -1 & 1 & 1 & -2 \\ μ_{7} & 4 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 4 & 2 & 1 & -1 & 1 & -1 & 2 \\ μ_{8} & 4 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & -4 & -2 & -1 & 1 & 1 & -1 & 2 \\ μ_{9} & 5 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 5 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 \\ μ_{10} & 5 & 1 & -1 & 0 & -1 & 1 & 0 & -5 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ μ_{11} & 5 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 5 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ μ_{12} & 5 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & -5 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 \\ μ_{13} & 6 & -2 & 0 & 1 & -2 & 0 & 1 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ μ_{14} & 6 & -2 & 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & -6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}

Tabla 5.7: Tabla de caracteres de M_{12}^{s_{9}}.

Elegimos g_{1} := id, g_{2} := (2, 3, 4)(5, 6, 8)(7, 11, 9), g_{3} := (2, 5, 3)(4, 8, 6)(7, 12, 9); estos elementos están en M_{12} y satisfacen σ_{r}g_{r} = g_{r}s_{9}, 1 ≤ r ≤ 3, σ_{3}g_{2} = g_{2}σ_{3} y

σ_{2}g_{1} = g_{1}σ_{2}, σ_{1}g_{2} = g_{2}γ_{1,2}, σ_{1}g_{3} = g_{3}σ_{2}, σ_{3}g_{1} = g_{1}σ_{3}, σ_{3}g_{2} = g_{2}γ_{3,2}, σ_{2}g_{3} = g_{3}σ_{3},

donde

γ_{1,2} := (1, 4)(2, 8)(3, 6)(5, 10)(7, 11)(9, 12), γ_{3,2} := (1, 8)(2, 4)(3, 10)(5, 6)(7, 9)(11, 12).

Además, se tiene que σ_{2}σ_{3} = s_{9} = σ_{3}σ_{2}, y σ_{3}, γ_{1,2} ∈ O_{y_{14}}^{M_{12}^{s_{9}}} y γ_{3,2} ∈ O_{y_{9}}^{M_{12}^{s_{9}}} .

Supongamos que k = 2 ó 3. Definimos W := ℂ - span {g_{1}, g_{2}, g_{3}}. Luego, W es un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{9}}, ρ_{k}) de tipo Cartan. De la Tabla 5.7, podemos calcular que la matriz de Cartan asociada es como en (5.5). Por lo tanto, dim 𝔅(O_{s_{9}}, ρ_{k}) = ∞.

Asumamos que k = 6. Puesto que σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}, γ_{1,2} y γ_{3,2} conmutan existe una base {v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}} de V_{6}, el espacio vectorial de la representación ρ_{6}, compuesta por autovectores simultáneos de los operadores ρ_{6}(σ_{1}) = − Id, ρ_{6}(σ_{2}), ρ_{6}(σ_{3}) ρ_{6}(γ_{1,2}) y ρ_{6}(γ_{3,2}). Digamos que ρ_{6}(σ_{2})v_{l} = λ_{l}v_{l}, ρ_{6}(σ_{3})v_{l} = κ_{l}v_{l}, 1 ≤ l ≤ 4, donde λ_{l}, κ_{l} = ±1, 1 ≤ l ≤ 4, pues |σ_{2}| = |σ_{3}| = 2. De la Tabla 5.7, se tiene que λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} + λ_{4} = −2 = −κ_{1} − κ_{2} − κ_{3} − κ_{4}. Luego, λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} y λ_{4} no son todos iguales a 1 ni todos iguales a −1. Por otro lado, como σ_{2}σ_{3} = s_{9} y q_{s_{9}s_{9}} = −1, resulta que λ_{l}κ_{l} = −1, 1 ≤ l ≤ 4. Ahora bien, si W := ℂ - span {g_{1}v_{l}, g_{2}v_{l}, g_{3}v_{l} | 1 ≤ l ≤ 4}, entonces W es un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{9}}, ρ_{6}) de tipo Cartan, cuya matriz de Cartan asociada A tiene al menos dos filas con tres −1 o más. Esto implica que el Diagrama de Dynkin correspondiente tiene al menos dos vértices con tres aristas o más; luego, A no es de tipo finito. Por lo tanto, dim 𝔅(O_{s_{9}}, ρ_{6}) = ∞.

Para los casos k = 8, 9, 10, 12 ó 14, se procede de manera análoga.

Observación 5.1.4. Los grupos M_{12}^{s_{3}}, M_{12}^{s_{8}} y M_{12}^{s_{10}}, tienen 10, 12 y 10 clases de conjugación, respectivamente. Luego, existen 168 pares posibles (O, ρ) para M_{12}. Concluimos que 164 de ellos dan lugar a álgebras de Nichols de dimensión infinita, y 4 tienen M(O, ρ) de trenza negativa.

5.1.3. El grupo M_{22}

El grupo de Mathieu simple M_{22} puede ser dado como un subgrupo de 𝕊_{22} de la siguiente manera

M_{22} := ⟨(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11)(12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22),
(1, 4, 5, 9, 3)(2, 8, 10, 7, 6)(12, 15, 16, 20, 14)(13, 19, 21, 18, 17),
(1, 21)(2, 10, 8, 6)(3, 13, 4, 17)(5, 19, 9, 18)(11, 22)(12, 14, 16, 20) ⟩.

En la Tabla 5.8, se muestra la tabla de caracteres de M_{22}, con A = (−1 − i\sqrt{11})/2 y C = (−1 − i\sqrt{7})/2. Los representantes de las clases de conjugación de M_{22} son s_{1} := id,

s_{2} := (1, 10, 13, 17)(2, 3, 14, 15)(4, 20, 18, 7)(5, 21)(6, 22)(9, 11, 12, 16),
s_{3} := (1, 13)(2, 14)(3, 15)(4, 18)(7, 20)(9, 12)(10, 17)(11, 16),
s_{4} := (1, 8, 17, 5, 11, 15, 3, 7)(2, 14, 9, 16)(4, 20)(6, 21, 13, 22, 19, 18, 12, 10),
s_{5} := (1, 12, 16, 15, 19, 11, 18)(2, 7, 9, 14, 13, 10, 6)(3, 22, 4, 17, 5, 21, 8),
s_{6} := (1, 15, 18, 16, 11, 12, 19)(2, 14, 6, 9, 10, 7, 13)(3, 17, 8, 4, 21, 22, 5),
s_{7} := (1, 4, 2, 6, 3)(5, 15, 12, 22, 18)(7, 8, 11, 19, 20)(9, 17, 10, 14, 21),
s_{8} := (1, 18, 4, 12, 15, 8, 3, 17, 19, 7, 6)(2, 9, 16, 11, 13, 22, 20, 5, 10, 14, 21),
s_{9} := (1, 4, 15, 3, 19, 6, 18, 12, 8, 17, 7)(2, 16, 13, 20, 10, 21, 9, 11, 22, 5, 14),
s_{10} := (1, 6, 5, 17)(3, 8)(4, 11)(7, 13, 16, 14)(9, 12, 22, 15)(10, 20, 18, 19),
s_{11} := (1, 7, 22)(2, 13, 6, 14, 5, 3)(4, 10)(8, 16, 9, 20, 19, 17)(11, 15, 21)(12, 18),
s_{12} := (1, 22, 7)(2, 6, 5)(3, 13, 14)(8, 9, 19)(11, 21, 15)(16, 20, 17).

Resumimos nuestro estudio para el grupo M_{22} en el siguiente enunciado.

Teorema 5.1.5. Sea ρ ∈ M̂_{22}^{s_{j}}, con 1 ≤ j ≤ 12. La trenza es negativa en el caso j = 4 y ρ = χ_{(−1)}. En caso contrario, dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞.

Demostración. CASO: j = 7, 12. De la Tabla 5.8, se ve que s_{j} es real. Así, dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞,

para toda ρ ∈ M̂_{22}^{s_{j}}, por Lema 2.3.4.

CASO: j = 5, 6. Se computa que s_{j}^{2} y s_{j}^{4} están en O_{s_{j}}. Como |s_{j}| = 7 se tiene que dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) =

∞, para toda ρ ∈ M̂_{22}^{s_{j}}, por Lema 2.3.5.

CASO: j = 8, 9. Se computa que s_{j}^{3} y s_{j}^{9} están en O_{s_{j}}. Puesto que |s_{j}| = 11 se tiene que

dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞, para toda ρ ∈ M̂_{22}^{s_{j}}, por Lema 2.3.5.

CASO: j = 4. De la Tabla 5.8, se ve que s_{4} es real y que el centralizador es M_{22}^{s_{4}} = ⟨s_{4}⟩ ≃ ℤ/8. Así, si q_{s_{j}s_{j}} ≠ −1, entonces dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4. El caso restante corresponde a la representación χ_{(−1)}, dada por χ_{(−1)}(s_{4}) = ω_{8}^{4} = −1, la cual satisface q_{s_{4}s_{4}} = −1. Se computa que O_{s_{4}} ∩ M_{22}^{s_{4}} = {s_{4}, s_{4}^{3}, s_{4}^{5}, s_{4}^{7}}; luego, es fácil ver que la trenza es negativa.

j  1  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|s_{j}|  1  4 2 8 7 7 5 11 11 4 6 3
|G^{s_{j}}| 443520 32 384 8 7 7 5 11 11 16 12 36
χ_{1}  1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
χ_{2}  21  1 5 -1 0 0 1 -1 -1 1 -1 3
χ_{3}  45  1 -3 -1 C C’ 0 1 1 1 0 0
χ_{4}  45  1 -3 -1 C’ C 0 1 1 1 0 0
χ_{5}  55  3 7 1 -1 -1 0 0 0 -1 1 1
χ_{6}  99  3 3 -1 1 1 -1 0 0 -1 0 0
χ_{7}  154 -2 10 0 0 0 -1 0 0 2 1 1
χ_{8}  210 -2 2 0 0 0 0 1 1 -2 -1 3
χ_{9}  231 -1 7 -1 0 0 1 0 0 -1 1 -3
χ_{10}  280  0 -8 0 0 0 0 A’ A 0 1 1
χ_{11}  280  0 -8 0 0 0 0 A A’ 0 1 1
χ_{12}  385  1 1 1 0 0 0 0 0 1 -2 -2

Tabla 5.8: Tabla de caracteres de M_{22}.

CASO: j = 11. El centralizador es M_{22}^{s_{11}} = ⟨x, s_{11}⟩ ≃ ℤ/2 × ℤ/6, donde

x := (2, 9)(3, 16)(4, 12)(5, 8)(6, 19)(10, 18)(13, 20)(14, 17).

Definimos {ν_{0}, …, ν_{5}}, donde ν_{l}(s_{11}) := ω_{6}^{l}, 0 ≤ l ≤ 5. Luego,

{ \atop M_{22}^{s_{11}}} = \{ϵ ⊗ ν_{l}, sgn ⊗ν_{l} | 0 ≤ l ≤ 5\},

donde ϵ y sgn son la representación trivial y signo de ℤ/2, respectivamente. Ya que s_{11} es real se tiene que si ρ ∈ { \atop M_{22}^{s_{11}}}, con l ≠ 3, entonces q_{s_{11}s_{11}} ≠ −1, y dim 𝔅(O_{s_{11}}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4. Los dos casos que faltan son ρ = ϵ ⊗ ν_{3} y ρ = sgn ⊗ν_{3}. Probaremos que para dichos casos el álgebra de Nichols 𝔅(O_{s_{11}}, ρ) también es de dimensión infinita. Se computa que O_{s_{11}} ∩ M_{22}^{s_{11}} contiene a σ_{1} := s_{11},

σ_{2} := (1, 7, 22)(2, 8, 6, 9, 5, 19)(3, 17, 13, 16, 14, 20)(4, 12)(10, 18)(11, 15, 21),
σ_{3} := (1, 7, 22)(2, 20, 6, 17, 5, 16)(3, 9, 13, 19, 14, 8)(4, 18)(10, 12)(11, 15, 21).

Se puede ver que σ_{2} = xs_{11}^{4} y σ_{3} = xs_{11}. Elegimos g_{1} := id,

g_{2} := (1, 7, 22)(3, 19, 16)(4, 12, 10)(8, 20, 13)(9, 17, 14)(11, 21, 15)

y g_{3} := g_{2}^{−1}. Estos elementos están en M_{22} y satisfacen las relaciones dadas por (5.6), (5.7) y (5.8). Ahora bien, si W := ℂ - span {g_{1}, g_{2}, g_{3}}, entonces W es un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{11}}, ρ) de tipo Cartan con matriz de coeficientes dada por Q_{1} (resp. Q_{2}) para el caso ρ = ϵ ⊗ ν_{3} (resp. ρ = sgn ⊗ν_{3}) – ver (5.9). En ambos casos la matriz de Cartan asociada es como en (5.5). Por Teorema 2.3.2, dim 𝔅(O_{s_{11}}, ρ) = ∞.

CASO: j = 10. El centralizador es M_{22}^{s_{10}} = ⟨x, s_{10}⟩ ≃ ℤ/4 × ℤ/4, donde

x := (1, 9, 13, 10)(3, 11)(4, 8)(5, 22, 14, 18)(6, 12, 16, 20)(7, 19, 17, 15)

está en O_{s_{10}}. Sean {ν_{0}, …, ν_{3}}, con ν_{l}(−) := ω_{4}^{l}, 0 ≤ l ≤ 3, entonces

{ \atop M_{22}^{s_{10}}} = \{ν_{l} ⊗ ν_{t}, | 0 ≤ l, t ≤ 3\}.

Si ρ = ν_{l} ⊗ ν_{t}, con t ≠ 2 y 0 ≤ l ≤ 3, entonces q_{s_{10}s_{10}} = (ν_{l} ⊗ ν_{t})(s_{10}) = ω_{4}^{t} ≠ −1; ya que s_{10} es real se tiene que dim 𝔅(O_{s_{10}}, ρ) = ∞. Supongamos que ρ = ν_{l} ⊗ ν_{2}, 0 ≤ l ≤ 3. Definimos σ_{1} := s_{10}, σ_{2} := s_{10}^{−1}, σ_{3} := x, σ_{4} := x^{−1}, y elegimos g_{1} := id,

g_{2} := (3, 8)(4, 11)(6, 17)(7, 16)(9, 18)(10, 22)(12, 20)(15, 19),
g_{3} := (3, 8, 4)(5, 13, 14)(6, 9, 19)(7, 22, 15)(10, 12, 17)(16, 18, 20)

y g_{4} := g_{3}g_{2}. Estos elementos están en M_{22} y satisfacen que σ_{r}g_{r} = g_{r}s_{10}, σ_{r}g_{1} = g_{1}σ_{r}, 1 ≤ r ≤ 4, y

σ_{1}g_{2} = g_{2} s_{10}^{−1},  σ_{1}g_{3} = g_{3} x^{−1}s_{10}^{−1},  σ_{1}g_{4} = g_{4} xs_{10}^{−1},
σ_{3}g_{2} = g_{2} x^{−1}s_{10}^{2},  σ_{2}g_{3} = g_{3} xs_{10},  σ_{2}g_{4} = g_{4} x^{−1}s_{10},
σ_{4}g_{2} = g_{2} xs_{10}^{2},  σ_{4}g_{3} = g_{3} s_{10}^{−1},  σ_{3}g_{4} = g_{4} s_{10}^{−1}.

Si se define W := ℂ - span {g_{1}, g_{2}, g_{3}, g_{4}}, entonces W es un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{10}}, ρ) de tipo Cartan, cuya matriz de Cartan asociada está dada por

A = (\begin{matrix}2 & 0 & −1 & −1 \\ 0 & 2 & −1 & −1 \\ −1 & −1 & 2 & 0 \\ −1 & −1 & 0 & 2 \end{matrix}) .  (5.11)

Por Teorema 2.3.2, dim 𝔅(O_{s_{10}}, ρ) = ∞.

CASO: j = 2. El elemento s_{2} es real, tiene orden 4 y su centralizador M_{22}^{s_{2}} es un grupo no abeliano de orden 32.

Sea ρ = (ρ, V) ∈ M̂_{22}^{s_{2}}. Probaremos que el álgebra de Nichols 𝔅(O_{s_{2}}, ρ) es de dimensión infinita. Si q_{s_{2}s_{2}} ≠ −1, entonces el resultado sigue por Lema 2.3.4. Supongamos que q_{s_{2}s_{2}} = −1. Se computa que O_{s_{2}} ∩ M_{24}^{s_{2}} tiene 16 elementos y contiene a σ_{1} := s_{2},

σ_{2} := (1, 7, 15, 11)(2, 12, 10, 4)(3, 16, 13, 20)(5, 6)(9, 17, 18, 14)(21, 22) = y_{9},
σ_{3} := (1, 9, 3, 4)(2, 7, 17, 16)(5, 22)(6, 21)(10, 11, 14, 20)(12, 15, 18, 13).

Además, σ_{1}, σ_{2} y σ_{3} conmutan entre sí y σ_{2}σ_{3} = s_{2}^{−1}. Elegimos g_{1} := id,

g_{2} := (2, 16, 12)(3, 13, 15)(4, 17, 11)(5, 6, 21)(7, 9, 10)(14, 20, 18)

y g_{3} := g_{2}^{−1}. Estos elementos pertenecen a M_{22} y satisfacen las relaciones dadas por (5.6), (5.7) y (5.8). Se define W := ℂ - span {g_{1}v, g_{2}v, g_{3}v}, con v ∈ V − 0. Luego, es fácil ver que W es un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{2}}, ρ) de tipo Cartan cuya matriz de Cartan asociada está dada por (5.5). Por Teorema 2.3.2, dim 𝔅(O_{s_{2}}, ρ) = ∞.

CASO: j = 3. El centralizador M_{22}^{s_{3}} es un grupo no abeliano de orden 384, cuya tabla de caracteres está dada por la Tabla 5.9, con D := i\sqrt{3}. Los representantes de las clases de conjugación

5.1. USANDO TÉCNICAS BASADAS EN SUBRACKS ABELIANOS  111

\begin{matrix}k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 \\ |y_{k}| & 1 & 2 & 2 & 3 & 4 & 2 & 6 & 4 & 4 & 4 & 8 & 6 & 4 & 4 & 6 & 2 & 2 \\ |G^{y_{k}}| & 384 & 16 & 32 & 12 & 8 & 64 & 12 & 16 & 32 & 16 & 8 & 12 & 16 & 16 & 12 & 48 & 384 \\ |O_{y_{k}}| & 1 & 24 & 12 & 32 & 48 & 6 & 32 & 24 & 12 & 24 & 48 & 32 & 24 & 24 & 32 & 8 & 1 \\ μ_{1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ μ_{2} & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ μ_{3} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 \\ μ_{4} & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ μ_{5} & 2 & 0 & 2 & -1 & 0 & 2 & -1 & 0 & 2 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -2 & 2 \\ μ_{6} & 2 & 0 & 2 & -1 & 0 & 2 & -1 & 0 & 2 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 2 & 2 \\ μ_{7} & 3 & -1 & -1 & 0 & 1 & 3 & 0 & -1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -3 & 3 \\ μ_{8} & 3 & 1 & -1 & 0 & -1 & 3 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & -3 & 3 \\ μ_{9} & 3 & -1 & -1 & 0 & 1 & 3 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 3 & 3 \\ μ_{10} & 3 & 1 & -1 & 0 & -1 & 3 & 0 & 1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 3 & 3 \\ μ_{11} & 6 & 0 & -2 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 & -2 & 0 & 0 & 6 \\ μ_{12} & 6 & 0 & -2 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & -2 & 2 & 0 & 0 & 6 \\ μ_{13} & 6 & -2 & 2 & 0 & 0 & -2 & 0 & 2 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ μ_{14} & 6 & 2 & 2 & 0 & 0 & -2 & 0 & -2 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ μ_{15} & 8 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8 \\ μ_{16} & 8 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & D & 0 & 0 & -D & 0 & -8 \\ μ_{17} & 8 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -D & 0 & 0 & D & 0 & -8 \end{matrix}

Tabla 5.9: Tabla de caracteres de M_{22}^{s_{3}}.

de M_{22}^{s_{3}} son y_{1} := id,

y_{2} := (3, 10)(4, 18)(6, 19)(7, 20)(8, 22)(9, 11)(12, 16)(15, 17),
y_{3} := (3, 15)(4, 20)(6, 22)(7, 18)(8, 19)(9, 16)(10, 17)(11, 12),
y_{4} := (2, 3, 10)(4, 11, 12)(5, 8, 22)(6, 21, 19)(9, 18, 16)(14, 15, 17),
y_{5} := (2, 3, 14, 15)(4, 7, 11, 9)(5, 8, 21, 19)(6, 22)(10, 17)(12, 18, 20, 16),
y_{6} := (1, 2)(3, 17)(4, 20)(7, 18)(9, 11)(10, 15)(12, 16)(13, 14),
y_{7} := (1, 2, 3, 13, 14, 15)(4, 20, 9, 18, 7, 12)(5, 6, 19)(8, 21, 22)(10, 17)(11, 16),
y_{8} := (1, 2, 3, 17)(4, 7, 9, 16)(5, 6)(10, 13, 14, 15)(11, 18, 20, 12)(21, 22),
y_{9} := (1, 2, 13, 14)(3, 10, 15, 17)(4, 9, 18, 12)(5, 21)(7, 11, 20, 16)(8, 19),
y_{10} := (1, 4, 15, 12)(2, 7, 10, 11)(3, 9, 13, 18)(5, 21)(6, 22)(14, 20, 17, 16),
y_{11} := (1, 4, 3, 11, 13, 18, 15, 16)(2, 7, 17, 12, 14, 20, 10, 9)(5, 21)(6, 19, 22, 8),
y_{12} := (1, 4, 2, 9, 3, 11)(5, 8, 6)(7, 10)(12, 15, 16, 13, 18, 14)(17, 20)(19, 22, 21),
y_{13} := (1, 4, 10, 16)(2, 9, 15, 7)(3, 20, 14, 12)(5, 8)(11, 13, 18, 17)(19, 21),
y_{14} := (1, 4, 13, 18)(2, 11, 14, 16)(3, 9, 15, 12)(5, 6)(7, 17, 20, 10)(21, 22),
y_{15} := (1, 4, 17, 9, 3, 20)(2, 11)(5, 6, 8)(7, 13, 18, 10, 12, 15)(14, 16)(19, 21, 22),
y_{16} := (1, 4)(2, 20)(3, 9)(7, 14)(10, 16)(11, 17)(12, 15)(13, 18),
y_{17} := (1, 13)(2, 14)(3, 15)(4, 18)(7, 20)(9, 12)(10, 17)(11, 16) = s_{3}.

Para todo k, 1 ≤ k ≤ 17, llamamos ρ_{k} = (ρ_{k}, V_{k}) a la representación irreducible de M_{22}^{s_{3}} cuyo carácter es μ_{k}. De la Tabla 5.9 y por ser s_{3} real, se tiene que si k ≠ 15, 16, 17, entonces q_{s_{3}s_{3}} ≠ −1 y dim 𝔅(O_{s_{3}}, ρ_{k}) = ∞, por Lema 2.3.4. Por otro lado, si k = 15, 16 ó 17, entonces q_{s_{3}s_{3}} = −1. Para estos casos se probará que dim 𝔅(O_{s_{3}}, ρ_{k}) = ∞. Primero se computa que O_{s_{3}} ∩ M_{22}^{s_{3}} tiene 51 elementos y que contiene a σ_{1} = s_{3},

σ_{2} := (3, 15)(4, 20)(6, 22)(7, 18)(8, 19)(9, 16)(10, 17)(11, 12) = y_{3},
σ_{3} := (1, 13)(2, 14)(4, 7)(6, 22)(8, 19)(9, 11)(12, 16)(18, 20).

Es fácil ver que σ_{1}, σ_{2} y σ_{3} conmutan entre sí y que σ_{2}σ_{3} = s_{3}. Elegimos g_{1} := id,

g_{2} := (1, 6)(2, 8)(4, 11)(7, 9)(12, 18)(13, 22)(14, 19)(16, 20),
g_{3} := (3, 6)(4, 16)(7, 11)(8, 17)(9, 20)(10, 19)(12, 18)(15, 22).

Estos elementos están en M_{22} y satisfacen las relaciones dadas por (5.1), (5.2) y (5.3).

Supongamos que k = 15, 16 ó 17. Ya que σ_{1}, σ_{2} y σ_{3} conmutan existe una base {v_{l} | 1 ≤ l ≤ 8} de V_{k}, el espacio vectorial de la representación ρ_{k}, compuesta por autovectores simultáneos de ρ_{k}(σ_{1}) = − Id, ρ_{k}(σ_{2}) y ρ_{k}(σ_{3}). Digamos que ρ_{k}(σ_{2})v_{l} = λ_{l}v_{l} y ρ_{k}(σ_{3})v_{l} = κ_{l}v_{l}, 1 ≤ l ≤ 8. Notar que λ_{l}, κ_{l} = ±1, 1 ≤ l ≤ 8, ya que |σ_{2}| = 2 = |σ_{3}|. Por otro lado, como σ_{2}σ_{3} = s_{2} se tiene que λ_{l}κ_{l} = −1, 1 ≤ l ≤ 8. De la Tabla 5.9, podemos deducir que ∑_{l=1}^{8} λ_{l} = 0 pues σ_{2} = y_{3} y

μ_{k}(O_{y_{3}}^{M_{22}^{s_{3}}} ) = 0. Reordenando la base podemos suponer que λ_{1} = 1 y λ_{2} = −1; así, κ_{1} = −1 y κ_{2} = 1. Definimos W := ℂ - span {g_{1}v_{1}, g_{2}v_{2}, g_{3}v_{2}}. Luego, W es un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{3}}, ρ_{k}) de tipo Cartan cuya matriz de Cartan está dada por (5.5), y dim 𝔅(O_{s_{3}}, ρ_{k}) = ∞.

Observación 5.1.6. Se computa que los grupos M_{22}^{s_{2}} y M_{22}^{s_{12}} tienen 14 y 12 clases de conjugación, respectivamente. Luego, existen 132 pares posibles (O, ρ) para M_{22}. Concluimos que 131 de ellos dan lugar a álgebras de Nichols de dimensión infinita, y 1 tiene M(O, ρ) de trenza negativa.

5.1.4. El grupo M_{23}

El grupo de Mathieu simple M_{23} puede ser dado como un subgrupo de 𝕊_{23} de la siguiente manera

M_{23} := ⟨ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23),
(3, 17, 10, 7, 9)(4, 13, 14, 19, 5)(8, 18, 11, 12, 23)(15, 20, 22, 21, 16)⟩.

El orden de M_{23} es 10200960. En la Tabla 5.10, se muestra la tabla de caracteres de M_{23}, donde A = (−1+i\sqrt{7}))/2, B = (−1+i\sqrt{11})/2, C = (−1+i\sqrt{15})/2 y D = (−1+i\sqrt{23})/2. Los representantes

5.1. USANDO TÉCNICAS BASADAS EN SUBRACKS ABELIANOS  113
j  1  2  3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
|s_{j}|  1  2  3 4 5 6 7 7 8 11 11 14 14 15 15 23 23
|G^{s_{j}}| |M_{23}| 2688 180 32 15 12 14 14 8 11 11 14 14 15 15 23 23
χ_{1}  1  1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
χ_{2}  22  6  4 2 2 0 1 1 0 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1
χ_{3}  45  -3  0 1 0 0 A A’ -1 1 1 -A -A’ 0 0 -1 -1
χ_{4}  45  -3  0 1 0 0 A’ A -1 1 1 -A’ -A 0 0 -1 -1
χ_{5}  230  22  5 2 0 1 -1 -1 0 -1 -1 1 1 0 0 0 0
χ_{6}  231  7  6 -1 1 -2 0 0 -1 0 0 0 0 1 1 1 1
χ_{7}  231  7  -3 -1 1 1 0 0 -1 0 0 0 0 C C’ 1 1
χ_{8}  231  7  -3 -1 1 1 0 0 -1 0 0 0 0 C’ C 1 1
χ_{9}  253  13  1 1 -2 1 1 1 -1 0 0 -1 -1 1 1 0 0
χ_{10} 770 -14 5 -2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D D’
χ_{11} 770 -14 5 -2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D’ D
χ_{12} 896  0  -4 0 1 0 0 0 0 B B’ 0 0 1 1 -1 -1
χ_{13} 896  0  -4 0 1 0 0 0 0 B’ B 0 0 1 1 -1 -1
χ_{14} 990 -18 0 2 0 0 A A’ 0 0 0 A A’ 0 0 1 1
χ_{15} 990 -18 0 2 0 0 A’ A 0 0 0 A’ A 0 0 1 1
χ_{16} 1035 27  0 -1 0 0 -1 -1 1 1 1 -1 -1 0 0 0 0
χ_{17} 2024 8 -1 0 -1 -1 1 1 0 0 0 1 1 -1 -1 0 0

Tabla 5.10: Tabla de caracteres de M_{23}.

de las clases de conjugación de M_{23} son s_{1} := id,

s_{2} := (1, 10)(3, 14)(4, 17)(5, 13)(6, 11)(12, 21)(16, 22)(20, 23),
s_{3} := (1, 18, 7)(2, 10, 13)(3, 23, 9)(4, 12, 22)(8, 14, 17)(11, 20, 21),
s_{4} := (1, 17, 10, 4)(2, 8)(3, 6, 14, 11)(5, 12, 13, 21)(7, 15)(16, 20, 22, 23),
s_{5} := (1, 9, 21, 15, 7)(4, 17, 11, 22, 12)(6, 10, 16, 14, 18)(8, 19, 23, 20, 13),
s_{6} := (1, 19, 20)(2, 9, 18, 17, 14, 5)(3, 21)(4, 13, 23, 10, 11, 22)(6, 8, 15)(7, 16),
s_{7} := (1, 12, 14, 11, 18, 7, 10)(2, 21, 6, 19, 4, 5, 8)(3, 13, 9, 22, 17, 20, 23),
s_{8} := 1, 11, 10, 14, 7, 12, 18)(2, 19, 8, 6, 5, 21, 4)(3, 22, 23, 9, 20, 13, 17),
s_{9} := (1, 20, 17, 22, 10, 23, 4, 16)(2, 7, 8, 15)(3, 13, 6, 21, 14, 5, 11, 12)(9, 18),
s_{10} := (1, 22, 5, 2, 9, 21, 20, 4, 6, 18, 8)(7, 10, 13, 11, 23, 14, 16, 17, 15, 12, 19),
s_{11} := (1, 5, 9, 20, 6, 8, 22, 2, 21, 4, 18)(7, 13, 23, 16, 15, 19, 10, 11, 14, 17, 12),
s_{12} := (1, 22, 3, 15, 12, 21, 23)(2, 7, 17, 6, 11, 16, 20, 18, 14, 9, 4, 8, 5, 13)(10, 19),
s_{13} := (1, 15, 23, 3, 21, 22, 12)(2, 6, 20, 9, 5, 7, 11, 18, 4, 13, 17, 16, 14, 8)(10, 19),
s_{14} := (1, 23, 5, 21, 19)(2, 10, 13, 17, 3, 7, 12, 11, 4, 8, 6, 16, 9, 22, 18)(14, 20, 15),
s_{15} := (1, 5, 19, 23, 21)(2, 11, 18, 12, 22, 7, 9, 3, 16, 17, 6, 13, 8, 10, 4)(14, 20, 15)
s_{16} := (1, 7, 17, 13, 23, 19, 10, 14, 12, 3, 5, 15, 4, 6, 18, 9, 20, 8, 11, 22, 2, 21, 16),
s_{17} := (1, 19, 5, 9, 2, 17, 14, 4, 8, 16, 23, 3, 18, 22, 7, 10, 15, 20, 21, 13, 12, 6, 11), .

Resumimos nuestro estudio para el grupo M_{23} en el siguiente enunciado.

Teorema 5.1.7. Sea ρ ∈ M̂_{23}^{s_{j}}, con 1 ≤ j ≤ 17. La trenza es negativa en los casos j = 9, 12 y 13, con ρ = χ_{(−1)}. En caso contrario, dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞.

Demostración. CASO: j = 3, 5. De la Tabla 5.10, se ve que s_{j} es real. Así, dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞,

para toda ρ ∈ M̂_{23}^{s_{j}}, por Lema 2.3.4.

CASO: j = 7, 8, 14, 15, 16, 17 . Se computa que s_{j}^{2} y s_{j}^{4} están en O_{s_{j}}. Ya que |s_{j}| es impar se

tiene que dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞, para toda ρ ∈ M̂_{23}^{s_{j}}, por Lema 2.3.5.

CASO: j = 10, 11. Se computa que s_{j}^{3} y s_{j}^{9} están en O_{s_{j}}. Como |s_{j}| = 11 resulta que

dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞, para toda ρ ∈ M̂_{23}^{s_{j}}, por Lema 2.3.5.

CASO: j = 12, 13. El centralizador es M_{23}^{s_{j}} = ⟨s_{j}⟩ ≃ ℤ/14, y s_{j}^{9} y s_{j}^{11} están en O_{s_{j}}. Así, si q_{s_{j}s_{j}} ≠ −1, entonces dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.5. El caso restante corresponde a ρ(s_{j}) = ω_{14}^{7} = −1, el cual satisface q_{s_{j}s_{j}} = −1. Se computa que O_{s_{j}} ∩ M_{23}^{s_{j}} = {s_{j}, s_{j}^{9}, s_{j}^{11}}; ahora, es fácil ver que la trenza es negativa.

CASO: j = 9. El elemento s_{9} es real y su centralizador es M_{23}^{s_{9}} = ⟨s_{9}⟩ ≃ ℤ/8. Así, si q_{s_{9}s_{9}} ≠ −1, entonces dim 𝔅(O_{s_{9}}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4. El caso que falta corresponde a ρ(s_{9}) = ω_{8}^{4} = −1, el cual satisface q_{s_{9}s_{9}} = −1. Se computa que O_{s_{9}} ∩ M_{23}^{s_{9}} = {s_{9}, s_{9}^{3}, s_{9}^{5}, s_{9}^{7}}; como antes, la trenza resulta negativa.

CASO: j = 6. El centralizador es M_{23}^{s_{6}} = ⟨x, s_{6}⟩ ≃ ℤ/2 × ℤ/6, con

x := (2, 22)(3, 7)(4, 9)(5, 11)(10, 14)(13, 18)(16, 21)(17, 23).

Sean {ν_{0}, …, ν_{5}}, con ν_{l}(s_{6}) := ω_{6}^{l}, 0 ≤ l ≤ 5. Luego,

M̂_{23}^{s_{6}} = {ϵ ⊗ ν_{l}, sgn ⊗ν_{l} | 0 ≤ l ≤ 5},

donde ϵ y sgn son la representación trivial y signo de ℤ/2, respectivamente. Notar que s_{6} es real. Si ρ ∈ M̂_{23}^{s_{6}}, con l ≠ 3, entonces q_{s_{6}s_{6}} ≠ −1, y dim 𝔅(O_{s_{6}}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4. En los dos casos restantes, ρ = ϵ ⊗ ν_{3} y ρ = sgn ⊗ν_{3}, se probará que también el álgebra de Nichols 𝔅(O_{s_{6}}, ρ) es de dimensión infinita. Primero se computa que O_{s_{6}} ∩M_{23}^{s_{6}} tiene 6 elementos, y que contiene a σ_{1} := s_{13},

σ_{2} := (1, 19, 20)(2, 4, 18, 23, 14, 11)(3, 16)(5, 22, 9, 13, 17, 10)(6, 8, 15)(7, 21),
σ_{3} := (1, 19, 20)(2, 10, 18, 22, 14, 13)(3, 7)(4, 5, 23, 9, 11, 17)(6, 8, 15)(16, 21).

Se puede ver que σ_{2} = xs_{6} y σ_{3} = xs_{6}^{4}. Elegimos g_{1} := id,

g_{2} := (1, 20, 19)(3, 21, 7)(4, 10, 9)(5, 11, 13)(6, 8, 15)(17, 23, 22),

y g_{3} := g_{2}^{−1}. Estos elementos están en M_{23} y satisfacen las relaciones (5.6), (5.7) y (5.8). Si W := ℂ - span {g_{1}, g_{2}, g_{3}}, entonces W es un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{6}}, ρ) de tipo Cartan cuya matriz de Cartan está dada por (5.5). Por lo tanto, dim 𝔅(O_{s_{6}}, ρ) = ∞.

CASO: j = 4. El elemento s_{4} es real, tiene orden 4 y su centralizador M_{23}^{s_{4}} es un grupo no abeliano de orden 32.

Sea ρ = (ρ, V) ∈ M̂_{23}^{s_{4}}. Se probará que el álgebra de Nichols 𝔅(O_{s_{4}}, ρ) es de dimensión infinita. Si q_{s_{4}s_{4}} ≠ −1, entonces el resultado sigue por Lema 2.3.4. Supongamos que q_{s_{4}s_{4}} = −1. Se computa que O_{s_{4}} ∩ M_{23}^{s_{4}} tiene 16 elementos y que contiene a σ_{1} := s_{4},

σ_{2} := (1, 12, 6, 20)(2, 7)(3, 16, 4, 5)(8, 15)(10, 21, 11, 23)(13, 14, 22, 17),
σ_{3} := (1, 16, 11, 13)(2, 15)(3, 21, 17, 20)(4, 23, 14, 12)(5, 10, 22, 6)(7, 8).

Estos elementos conmutan entre sí y σ_{2}σ_{3} = s_{4}^{−1}. Se eligen g_{1} := id,

g_{2} := (2, 15, 7)(3, 21, 5)(4, 20, 13)(6, 11, 10)(12, 16, 17)(14, 23, 22)

y g_{3} := g_{2}^{−1}. Estos elementos pertenecen a M_{23} y satisfacen las relaciones (5.6), (5.7) y (5.8). Se define W := ℂ - span {g_{1}v, g_{2}v, g_{3}v}, donde v ∈ V − 0. Luego, es fácil mostrar que W es un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{4}}, ρ) de tipo Cartan cuya matriz de Cartan asociada está dada por (5.5). Por Teorema 2.3.2, dim 𝔅(O_{s_{4}}, ρ) = ∞.

CASO: j = 2. El centralizador M_{23}^{s_{2}} es un grupo no abeliano de orden 2688, cuya tabla de caracteres está dada por la Tabla 5.11, donde A = (−1 + i\sqrt{7})/2 y B = i\sqrt{3}. Los representantes de las clases de conjugación de M_{23}^{s_{2}} son y_{1} := id,

y_{2} := (2, 7, 9, 18, 8, 19, 15)(3, 20, 5, 12, 11, 16, 4)(6, 22, 17, 14, 23, 13, 21),
y_{3} := (2, 18, 15, 9, 19, 7, 8)(3, 12, 4, 5, 16, 20, 11)(6, 14, 21, 17, 13, 22, 23),
y_{4} := (1, 10)(2, 8, 7, 19, 9, 15, 18)(3, 6, 20, 22, 5, 17, 12, 14, 11, 23, 16, 13, 4, 21),
y_{5} := (1, 10)(2, 19, 18, 7, 15, 8, 9)(3, 22, 12, 23, 4, 6, 5, 14, 16, 21, 20, 17, 11, 13),
y_{6} := (1, 23, 4)(3, 6, 21)(7, 8, 15)(9, 18, 19)(10, 20, 17)(11, 12, 14),
y_{7} := (1, 17, 23, 10, 4, 20)(3, 12, 6, 14, 21, 11)(5, 13)(7, 15, 8)(9, 19, 18)(16, 22),
y_{8} := (1, 3, 23, 6, 4, 21)(5, 16)(7, 15, 8)(9, 19, 18)(10, 14, 20, 11, 17, 12)(13, 22),
y_{9} := (1, 21, 4, 6, 23, 3)(5, 16)(7, 8, 15)(9, 18, 19)(10, 12, 17, 11, 20, 14)(13, 22),
y_{10} := (1, 10)(3, 14)(4, 17)(5, 13)(6, 11)(12, 21)(16, 22)(20, 23) = s_{2},
y_{11} := (1, 12, 10, 21)(2, 15)(3, 22, 14, 16)(4, 13, 17, 5)(6, 20, 11, 23)(7, 8),
y_{12} := (1, 5, 12, 4, 10, 13, 21, 17)(2, 7, 15, 8)(3, 6, 22, 20, 14, 11, 16, 23)(18, 19),
y_{13} := (1, 6)(3, 4)(5, 16)(10, 11)(12, 20)(13, 22)(14, 17)(21, 23),
y_{14} := (1, 4, 6, 3)(2, 15)(5, 12, 16, 20)(7, 8)(10, 17, 11, 14)(13, 21, 22, 23),
y_{15} := (2, 15)(3, 4)(5, 22)(7, 8)(12, 21)(13, 16)(14, 17)(20, 23),
y_{16} := (1, 6, 10, 11)(2, 7, 15, 8)(3, 5, 17, 16)(4, 22, 14, 13)(12, 21)(18, 19).

Para todo k, 1 ≤ k ≤ 16, llamamos ρ_{k} = (ρ_{k}, V_{k}) a la representación irreducible de M_{23}^{s_{2}} cuyo carácter es μ_{k}. De la Tabla 5.11, se tiene que si k ≠ 9, 10, 11, 15, 16, entonces q_{s_{2}s_{2}} ≠ −1 y dim 𝔅(O_{s_{2}}, ρ_{k}) = ∞, por Lema 2.3.4. Por otro lado, si k = 9, 10, 11, 15 ó 16, entonces q_{s_{2}s_{2}} = −1. En estos casos, se probará que el álgebra de Nichols también es de dimensión infinita. Primero se computa que O_{s_{2}} ∩ M_{23}^{s_{2}} tiene 99 elementos y contiene a σ_{1} := s_{2},

σ_{2} := (3, 6)(5, 20)(7, 9)(11, 14)(12, 21)(13, 23)(15, 18)(16, 22).

Además, se computa que σ_{2} ∈ O_{y_{15}}^{M_{23}^{s_{2}}} . Ahora bien, se eligen g_{1} := id y

g_{2} := (1, 7)(3, 20)(4, 18)(5, 14)(6, 23)(9, 10)(11, 13)(15, 17).

k  1  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
|y_{k}|  1  7 7 14 14 3 6 6 6  2  4 8 2 4 2 4
|G^{y_{k}}| 2688 14 14 14 14 12 12 12 12 2688 32 8 192 16 32 8
μ_{1}  1  1 1 1 1 1 1 1 1  1  1 1 1 1 1 1
μ_{2}  3 A A’ A A’ 0 0 0 0  3 -1 1 3 -1 -1 1
μ_{3}  3 A’ A A’ A 0 0 0 0  3 -1 1 3 -1 -1 1
μ_{4}  6 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0  6  2 0 6 2 2 0
μ_{5}  7  0 0 0 0 1 1 -1 -1 7  3 1 -1 -1 -1 -1
μ_{6}  7  0 0 0 0 1 1 1 1  7 -1 -1 7 -1 -1 -1
μ_{7}  7  0 0 0 0 1 1 -1 -1 7 -1 -1 -1 -1 3 1
μ_{8}  8  1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 8  0 0 8 0 0 0
μ_{9}  8  1 1 -1 -1 2 -2 0 0 -8 0 0 0 0 0 0
μ_{10}  8  1 1 -1 -1 -1 1 B -B -8 0 0 0 0 0 0
μ_{11}  8  1 1 -1 -1 -1 1 -B B -8 0 0 0 0 0 0
μ_{12}  14 0 0 0 0 -1 -1 1 1 14 2 0 -2 -2 2 0
μ_{13}  21 0 0 0 0 0 0 0 0 21 1 -1 -3 1 -3 1
μ_{14}  21 0 0 0 0 0 0 0 0 21 -3 1 -3 1 1 -1
μ_{15}  24 A’ A -A’ -A 0 0 0 0 -24 0 0 0 0 0 0
μ_{16}  24 A A’ -A -A’ 0 0 0 0 -24 0 0 0 0 0 0
Tabla 5.11: Tabla de caracteres de M_{23}^{s_{2}}.

Estos elementos están en M_{23}, y cumplen σ_{r}g_{r} = g_{r}σ_{1}, r = 1, 2, σ_{2}g_{1} = g_{1}σ_{2} y σ_{1}g_{2} = g_{2}σ_{2}.

Asumamos que k = 9, 10, 11, 15 ó 16. De la Tabla 5.11, se tiene que el grado de ρ_{k} es 8 ó 24. Dado que σ_{1} y σ_{2} conmutan se tiene que existe una base {v_{l} | 1 ≤ l ≤ deg(ρ_{k})} de V_{k}, el espacio vectorial de la representación ρ_{k}, compuesta por autovectores simultáneos de ρ_{k}(σ_{1}) = − Id y ρ_{k}(σ_{2}). Digamos que ρ_{k}(σ_{2})v_{l} = λ_{l}v_{l}, 1 ≤ l ≤ deg(ρ_{k}), donde λ_{l} = ±1, pues |σ_{2}| = 2. De la Tabla 5.11, tenemos que ∑_{l=1}^{deg(ρ_{k})} λ_{l} = 0. Reordenando la base podemos suponer que λ_{1} = ⋯ = λ_{deg(ρ_{k})/2} = 1 = −λ_{1+deg(ρ_{k})/2} = ⋯ = −λ_{deg(ρ_{k})}. Se puede verificar fácilmente que si W := ℂ - span {g_{1}v_{l}, g_{2}v_{l} | 1 ≤ l ≤ deg(ρ_{k})}, entonces W es un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{2}}, ρ) de tipo Cartan cuya matriz de Cartan asociada A tiene al menos dos filas con tres −1 o más. Esto implica que el Diagrama de Dynkin correspondiente tiene al menos dos vértices con tres aristas o más; luego, A no es de tipo finito. Por lo tanto, dim 𝔅(O_{s_{2}}, ρ_{k}) = ∞.

Observación 5.1.8. Se computa que los grupos M_{23}^{s_{3}}, M_{23}^{s_{4}}, M_{23}^{s_{5}}, M_{23}^{s_{7}} y M_{23}^{s_{8}} tienen 15, 14, 15, 14 y 14 clases de conjugación, respectivamente. Luego, existen 251 pares posibles (O, ρ) para M_{23}; 248 de ellos dan lugar a álgebras de Nichols de dimensión infinita, y 3 tienen M(O, ρ) de trenza negativa.

5.1. USANDO TÉCNICAS BASADAS EN SUBRACKS ABELIANOS  117
j  1  2  3  4  5  6  7 8 9 10 11 12 13
|s_{j}|  1  2  2  3  3  4  4 4 5 6 6 7  7
|G^{s_{j}}| |M_{24}| 21504 7680 1080 504 384 128 96 60 24 24 42 42
χ_{1}  1  1  1  1  1  1  1 1 1 1 1 1  1
χ_{2}  23  7  -1  5  -1 -1 3 -1 3 1 -1 2  2
χ_{3}  45  -3  5  0  3 -3 1 1 0 0 -1 A A’
χ_{4}  45  -3  5  0  3 -3 1 1 0 0 -1 A’ A
χ_{5}  231  7  -9  -3  0 -1 -1 3 1 1 0 0  0
χ_{6}  231  7  -9  -3  0 -1 -1 3 1 1 0 0  0
χ_{7}  252  28  12  9  0  4  4 0 2 1 0 0  0
χ_{8}  253  13  -11 10  1 -3 1 1 3 -2 1 1  1
χ_{9}  483  35  3  6  0  3  3 3 -2 2 0 0  0
χ_{10} 770  -14  10  5  -7 2 -2 -2 0 1 1 0  0
χ_{11} 770  -14  10  5  -7 2 -2 -2 0 1 1 0  0
χ_{12} 990  -18  -10  0  3  6  2 -2 0 0 -1 A A’
χ_{13} 990  -18  -10  0  3  6  2 -2 0 0 -1 A’ A
χ_{14} 1035  27  35  0  6  3 -1 3 0 0 2 -1 -1
χ_{15} 1035 -21  -5  0  -3 3  3 -1 0 0 1 2 A 2 A’
χ_{16} 1035 -21  -5  0  -3 3  3 -1 0 0 1 2A’ 2A
χ_{17} 1265  49  -15  5  8 -7 1 -3 0 1 0 -2 -2
χ_{18} 1771 -21  11  16  7  3 -5 -1 1 0 -1 0  0
χ_{19} 2024  8  24  -1  8  8  0 0 -1 -1 0 1  1
χ_{20} 2277  21  -19  0  6 -3 1 -3 -3 0 2 2  2
χ_{21} 3312  48  16  0  -6 0  0 0 -3 0 -2 1  1
χ_{22} 3520  64  0  10 -8 0  0 0 0 -2 0 -1 -1
χ_{23} 5313  49  9  -15 0  1 -3 -3 3 1 0 0  0
χ_{24} 5544 -56  24  9  0 -8 0 0 -1 1 0 0  0
χ_{25} 5796 -28  36  -9  0 -4 4 0 1 -1 0 0  0
χ_{26} 10395 -21  -45  0  0  3 -1 3 0 0 0 0  0

Tabla 5.12: Tabla de caracteres de M_{24} (i).

5.1.5. El grupo M_{24}

El grupo de Mathieu simple M_{24} puede ser dado como un subgrupo de 𝕊_{24} de la siguiente manera

M_{24} := ⟨ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23),
(3, 17, 10, 7, 9)(4, 13, 14, 19, 5)(8, 18, 11, 12, 23)(15, 20, 22, 21, 16),
(1, 24)(2, 23)(3, 12)(4, 16)(5, 18)(6, 10)(7, 20)(8, 14)(9, 21)(11, 17)(13, 22)(15, 19) ⟩.

El orden de M_{24} es 244823040. En las Tablas 5.12 y 5.13, se muestra la tabla de caracteres de M_{24}, donde A = (−1 + i\sqrt{7})/2, C = (−1 + i\sqrt{15})/2 y D = (−1 + i\sqrt{23})/2.

Resumimos nuestro estudio para el grupo M_{24} en el siguiente enunciado. Teorema 5.1.9. Sea ρ ∈ M̂_{24}^{s_{j}}. La trenza es negativa en los casos j = 6, con ρ = ρ_{2,6} ó ρ_{3,6}, j = 8,

j 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
|s_{j}| 8 10 11 12 12 14 14 15 15 21 21 23 23
|G^{s_{j}}| 16 20 11 12 12 14 14 15 15 21 21 23 23
χ_{1} 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
χ_{2} 1 -1 1 -1 -1 0 0 0 0 -1 -1 0 0
χ_{3} -1 0 1 0 1 -A -A’ 0 0 A A’ -1 -1
χ_{4} -1 0 1 0 1 -A’ -A 0 0 A’ A -1 -1
χ_{5} -1 1 0 -1 0 0 0 C C’ 0 0 1 1
χ_{6} -1 1 0 -1 0 0 0 C’ C 0 0 1 1
χ_{7} 0 2 -1 1 0 0 0 -1 -1 0 0 -1 -1
χ_{8} -1 -1 0 0 1 -1 -1 0 0 1 1 0 0
χ_{9} -1 -2 -1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
χ_{10} 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 D D’
χ_{11} 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 D’ D
χ_{12} 0 0 0 0 1 A A’ 0 0 A A’ 1 1
χ_{13} 0 0 0 0 1 A’ A 0 0 A’ A 1 1
χ_{14} 1 0 1 0 0 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0
χ_{15} -1 0 1 0 -1 0 0 0 0 -A -A’ 0 0
χ_{16} -1 0 1 0 -1 0 0 0 0 -A’ -A 0 0
χ_{17} 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 1 0 0
χ_{18} -1 1 0 0 -1 0 0 1 1 0 0 0 0
χ_{19} 0 -1 0 -1 0 1 1 -1 -1 1 1 0 0
χ_{20} -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0
χ_{21} 0 1 1 0 0 -1 -1 0 0 1 1 0 0
χ_{22} 0 0 0 0 0 1 1 0 0 -1 -1 1 1
χ_{23} -1 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
χ_{24} 0 -1 0 1 0 0 0 -1 -1 0 0 1 1
χ_{25} 0 1 -1 -1 0 0 0 1 1 0 0 0 0
χ_{26} 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1

Tabla 5.13: Tabla de caracteres de M_{24} (ii).

con ρ = ρ_{2,8} ó ρ_{3,8}, j = 14, con ρ = ϵ ⊗ χ_{(−1)} ó sgn ⊗χ_{(−1)}, j = 17, 18, 19 y 20, con ρ = χ_{(−1)}. En caso contrario, dim 𝔅(O_{s}, ρ) = ∞.

Demostración. CASO: j = 4, 5, 9, 16. De las Tablas 5.12 y 5.13, se ve que s_{j} es real. Por Lema 2.3.4, dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞, para toda ρ ∈ M̂_{24}^{s_{j}}.

CASO: j = 12, 13, 21, 22, 23, 24, 25, 26. Se computa que s_{j}^{2} y s_{j}^{4} están en O_{s_{j}}. Ya que |s_{j}| es

impar se tiene que dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞, para toda ρ ∈ M̂_{24}^{s_{j}}, por Lema 2.3.5.

CASO: j = 19, 20. El elemento s_{j} tiene orden 14 y su centralizador es M_{24}^{s_{j}} ≃ ℤ/14. Se computa que s_{j}^{9}, s_{j}^{11} ∈ O_{s_{j}}. Así, si q_{s_{j}s_{j}} ≠ −1, entonces dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.5. El caso que falta corresponde a ρ(s_{j}) = ω_{14}^{7} = −1, y satisface q_{s_{j}s_{j}} = −1. Se computa que O_{s_{j}} ∩ M_{24}^{s_{j}} = {s_{j}, s_{j}^{9}, s_{j}^{11}}; luego, es fácil probar que la trenza es negativa.

CASO: j = 17, 18. El elemento s_{j} es real, tiene orden 12 y su centralizador es M_{24}^{s_{j}} ≃ ℤ/12. Luego, si q_{s_{j}s_{j}} ≠ −1, entonces dim 𝔅(O_{s_{j}}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4. El caso restante corresponde a ρ(s_{j}) = ω_{12}^{6} = −1, y satisface q_{s_{j}s_{j}} = −1. Se computa que O_{s_{j}} ∩ M_{24}^{s_{j}} = {s_{j}, s_{j}^{5}, s_{j}^{7}, s_{j}^{11}}; como antes, la trenza resulta negativa.

CASO: j = 15. El elemento s_{15} es real, tiene orden 10 y su centralizador es M_{24}^{s_{15}} = ⟨x, s_{15}⟩ ≃ ℤ/2 × ℤ/10, donde

x := (1, 12)(2, 18)(3, 6)(4, 10)(5, 7)(8, 23)(9, 22)(11, 24)(13, 15)(14, 21)(16, 20)(17, 19).

Sean {ν_{0}, …, ν_{9}}, donde ν_{l}(s_{15}) := ω_{10}^{l}, 0 ≤ l ≤ 9. Luego,

{ \atop M_{24}^{s_{15}}} = \{ϵ ⊗ ν_{l}, sgn ⊗ν_{l} | 0 ≤ l ≤ 9\},

donde ϵ y sgn son la representación trivial y signo de ℤ/2, respectivamente. Si ρ ∈ { \atop M_{24}^{s_{15}}}, con l ≠ 5, entonces q_{s_{15}s_{15}} ≠ −1, y dim 𝔅(O_{s_{15}}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4. Los dos casos restantes son ρ = ϵ⊗ν_{5} y ρ = sgn ⊗ν_{5}; se probará que también dan lugar álgebras de Nichols de dimensión infinita. Primero se computa que O_{s_{15}} ∩ M_{24}^{s_{15}} tiene 12 elementos y contiene a σ_{1} := s_{15},

σ_{2} := (1, 12)(2, 5, 14, 10, 9, 18, 7, 21, 4, 22)(3, 19, 13, 20, 23, 6, 17, 15, 16, 8)(11, 24),
σ_{3} := (1, 24)(2, 6, 14, 15, 9, 8, 7, 19, 4, 20)(3, 21, 13, 22, 23, 5, 17, 10, 16, 18)(11, 12).

Además, se puede ver que σ_{2}σ_{3} = σ_{1}^{7}. Elegimos g_{1} = id,

g_{2} := (1, 11, 24)(3, 5, 6)(8, 23, 18)(10, 15, 13)(16, 22, 20)(17, 21, 19)

y g_{3} := g_{2}^{−1}. Estos elementos están en M_{24} y satisfacen las relaciones (5.6), (5.7) y (5.8).

Supongamos que ρ = ϵ⊗ν_{5} ó sgn ⊗ν_{5}. Si W := ℂ - span {g_{1}, g_{2}, g_{3}}, entonces W es un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{15}}, ρ) de tipo Cartan cuya matriz de Cartan está dada por (5.5). Por lo tanto, dim 𝔅(O_{s_{15}}, ρ) = ∞.

CASO: j = 14. El elemento s_{14} es real, tiene orden 8 y su centralizador es M_{24}^{s_{14}} = ⟨x, s_{14}⟩ ≃ ℤ/2 × ℤ/8, donde

x := (1, 3)(2, 13)(4, 5)(6, 18)(7, 23)(8, 11)(9, 15)(10, 19)(12, 22)(14, 21)(16, 20)(17, 24).

Sean {ν_{0}, …, ν_{7}}, donde ν_{l}(s_{14}) := ω_{8}^{l}, 0 ≤ l ≤ 7. Luego,

{ \atop M_{24}^{s_{14}}} = \{ϵ ⊗ ν_{l}, sgn ⊗ν_{l} | 0 ≤ l ≤ 7\},

donde ϵ y sgn son la representación trivial y signo de ℤ/2, respectivamente. Si ρ ∈ { \atop M_{24}^{s_{14}}}, con l ≠ 4, entonces q_{s_{14}s_{14}} ≠ −1, y dim 𝔅(O_{s_{14}}, ρ) = ∞, por Lema 2.3.4. Los dos casos restantes ρ = ϵ ⊗ ν_{4} y ρ = sgn ⊗ν_{4} tienen trenza negativa. En efecto, se tiene que

O_{s_{14}} ∩ M_{24}^{s_{14}} = {s_{14}^{−1}, xs_{14}^{−3}, xs_{14}, s_{14}^{3}, s_{14}^{−3}, xs_{14}^{3}, s_{14}, xs_{14}^{−1}}.

Por simplicidad escribimos

σ_{1} := s_{14}^{−1},  σ_{2} := xs_{14}^{−3},  σ_{3} := xs_{14},  σ_{4} := s_{14}^{3},
σ_{5} := s_{14}^{−3},  σ_{6} := xs_{14}^{3},  σ_{7} := s_{14},  σ_{8} := xs_{14}^{−1}.

Se eligen en M_{24} los siguientes elementos

g_{1} := (3, 8)(4, 5)(7, 22)(9, 15)(10, 23)(12, 21)(14, 19)(16, 18),
g_{2} := (2, 4)(5, 13)(7, 21)(9, 17)(10, 22)(12, 19)(14, 23)(15, 24),
g_{3} := (2, 5)(4, 13)(7, 23)(9, 24)(10, 19)(12, 22)(14, 21)(15, 17),
g_{4} := (2, 13)(3, 8)(7, 19)(10, 21)(12, 23)(14, 22)(16, 18)(17, 24),
g_{5} := (2, 13)(4, 5)(7, 14)(9, 15)(10, 12)(17, 24)(19, 22)(21, 23),
g_{6} := (2, 4, 13, 5)(3, 8)(7, 10, 14, 12)(9, 24, 15, 17)(16, 18)(19, 23, 22, 21),

g_{7} := id y g_{8} := g_{6}^{−1}. Se puede ver que estos elementos satisfacen σ_{k}g_{7} = g_{7}σ_{k}, 1 ≤ k ≤ 8, σ_{7}g_{k} = g_{k}σ_{k}, 1 ≤ k ≤ 5, σ_{7}g_{6} = g_{6}σ_{8} y σ_{7}g_{8} = g_{8}σ_{6}. Es claro que si ρ = ϵ ⊗ ν_{4} ó ρ = sgn ⊗ν_{4}, entonces ρ(γ_{k,7}γ_{7,k}) = 1, para todo 1 ≤ k ≤ 8. Por Lema 2.2.3, la trenza es negativa.

CASO: j = 10. El representante es

s_{10} := (1, 20)(3, 4, 16)(5, 14, 21, 19, 23, 15)(7, 11, 12, 24, 18, 13)(8, 22, 10)(9, 17),

tiene orden 6 y es real. Su centralizador M_{24}^{s_{10}} es un grupo no abeliano de orden 24.

Sea ρ = (ρ, V) ∈ { \atop M_{24}^{s_{10}}}. Se probará que el álgebra de Nichols 𝔅(O_{s_{10}}, ρ) es de dimensión infinita. Si q_{s_{10}s_{10}} ≠ −1, entonces el resultado sigue por Lema 2.3.4. Supongamos que q_{s_{10}s_{10}} = −1. Se computa que O_{s_{10}} ∩ M_{24}^{s_{10}} tiene 10 elementos y contiene a σ_{1} := s_{10}, σ_{2} := s_{10}^{−1},

σ_{3} := (1, 20)(2, 6)(3, 8, 16, 10, 4, 22)(5, 14, 21, 19, 23, 15)(7, 18, 12)(11, 13, 24)

y σ_{4} := σ_{3}^{−1}. Dichos elementos conmutan entre sí. Elegimos g_{1} := id,

g_{2} := (2, 6)(3, 10)(4, 22)(8, 16)(11, 13)(12, 18)(14, 15)(21, 23),
g_{3} := (1, 6, 17)(2, 9, 20)(3, 7, 5)(4, 18, 23)(8, 11, 14)(10, 24, 19)(12, 21, 16)(13, 15, 22)

y g_{4} := g_{3}g_{2}. Estos elementos están en M_{24} y satisfacen σ_{r}g_{r} = g_{r}σ_{1}, σ_{r}g_{1} = g_{1}σ_{r}, 1 ≤ r ≤ 4, y

σ_{1}g_{2} = g_{2}σ_{2},  σ_{1}g_{3} = g_{3}γ,  σ_{1}g_{4} = g_{4}γ^{−1},
σ_{3}g_{2} = g_{2}σ_{4},  σ_{2}g_{3} = g_{3}γ^{−1},  σ_{2}g_{4} = g_{4}γ,
σ_{4}g_{2} = g_{2}σ_{3},  σ_{4}g_{3} = g_{3}σ_{2},  σ_{3}g_{4} = g_{4}σ_{2},

donde γ := (2, 6)(3, 8, 16, 10, 4, 22)(5, 23, 21)(7, 11, 12, 24, 18, 13)(9, 17)(14, 15, 19). Se puede ver que σ_{3}γ = s_{10}^{−1}. Definimos W := ℂ - span {g_{1}v, g_{2}v, g_{3}v, g_{4}v}, donde v ∈ V −0. Luego, es fácil ver que W es un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{10}}, ρ) de tipo Cartan cuya matriz de Cartan asociada está dada por (5.11). Por Teorema 2.3.2, dim 𝔅(O_{s_{10}}, ρ) = ∞.

CASO: j = 11. Se computa que M_{24}^{s_{11}} ≃ M_{24}^{s_{10}}. Esto implica que este caso es análogo al caso anterior, pues O_{s_{11}} ≃ O_{s_{10}} como racks.

CASO: j = 8. El representante es

s_{8} := (1, 22, 11, 16)(2, 8, 14, 17)(3, 23, 24, 6)(4, 21, 12, 13)(5, 15, 19, 9)(7, 18, 20, 10),

tiene orden 4 y es real. Su centralizador M_{24}^{s_{8}} es un grupo no abeliano de orden 96 cuya tabla de caracteres está dada por la Tabla 5.14.

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
|y_{k}| 1 2 2 4 4 12 4 4 12 4 3 4 6 4 2 2 2 4 4 4
μ_{1} 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
μ_{2} 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1
μ_{3} 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1
μ_{4} 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 1
μ_{5} 1 -1 1 -i i i -i -i -i i 1 -1 -1 1 1 -1 -1 i -i i
μ_{6} 1 1 1 -i -i i i i -i -i 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 i -i i
μ_{7} 1 -1 1 i -i -i i i i -i 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -i i -i
μ_{8} 1 1 1 i i -i -i -i i i 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -i i -i
μ_{9} 2 0 2 2 0 -1 0 0 -1 0 -1 0 -1 0 0 2 2 2 2 2
μ_{10} 2 0 2 -2 0 1 0 0 1 0 -1 0 -1 0 0 2 2 -2 -2 -2
μ_{11} 2 0 2 -2i 0 -i 0 0 i 0 -1 0 1 0 0 -2 -2 2i -2i 2i
μ_{12} 2 0 2 2i 0 i 0 0 -i 0 -1 0 1 0 0 -2 -2 -2i 2i -2i
μ_{13} 3 -1 -1 1 -1 0 1 -1 0 1 0 1 0 1 -1 -1 3 1 -3 -3
μ_{14} 3 1 -1 1 1 0 -1 1 0 -1 0 -1 0 -1 1 -1 3 1 -3 -3
μ_{15} 3 -1 -1 -1 1 0 -1 1 0 -1 0 1 0 1 -1 -1 3 -1 3 3
μ_{16} 3 1 -1 -1 -1 0 1 -1 0 1 0 -1 0 -1 1 -1 3 -1 3 3
μ_{17} 3 -1 -1 i -i 0 -i i 0 i 0 1 0 -1 1 1 -3 -i -3i 3i
μ_{18} 3 1 -1 i i 0 i -i 0 -i 0 -1 0 1 -1 1 -3 -i -3i 3i
μ_{19} 3 -1 -1 -i i 0 i -i 0 -i 0 1 0 -1 1 1 -3 i 3i -3i
μ_{20} 3 1 -1 -i -i 0 -i i 0 i 0 -1 0 1 -1 1 -3 i 3i -3i
Tabla 5.14: Tabla de caracteres de M_{24}^{s_{8}}.

Para todo k, 1 ≤ k ≤ 20, llamamos ρ_{k} = (ρ_{k}, V_{k}) a la representación irreducible de M_{24}^{s_{8}} cuyo

carácter es μ_{k}. Se computa que s_{8} ∈ O_{y_{20}}^{M_{24}^{s_{8}}} .

De la Tabla 5.14, tenemos que si k ≠ 2, 3, 10, 13, 14, entonces q_{s_{8}s_{8}} ≠ −1 y dim 𝔅(O_{s_{8}}, ρ_{k}) = ∞, por Lema 2.3.4. Por otro lado, se computa que O_{s_{8}} ∩ M_{24}^{s_{8}} tiene 32 elementos y contiene a

σ_{1} := (1, 2, 11, 14)(3, 18, 9, 13)(4, 23, 20, 5)(6, 7, 19, 12)(8, 16, 17, 22)(10, 15, 21, 24),
σ_{2} := (1, 2, 11, 14)(3, 21, 9, 10)(4, 19, 20, 6)(5, 7, 23, 12)(8, 16, 17, 22)(13, 15, 18, 24),
σ_{5} := (1, 16, 11, 22)(2, 17, 14, 8)(3, 5, 24, 19)(4, 10, 12, 18)(6, 9, 23, 15)(7, 13, 20, 21),

σ_{3} := σ_{2}^{−1}, σ_{4} := σ_{1}^{−1}, σ_{7} := σ_{5}^{−1}, σ_{6} := s_{8}^{−1} y σ_{8} := s_{8}. We choose in M_{24}

g_{1} := (2, 16, 14, 22)(3, 9, 15, 24)(4, 7)(5, 21, 19, 10)(6, 18, 23, 13)(8, 17),
g_{2} := (2, 16, 14, 22)(4, 12, 7, 20)(5, 13, 23, 21)(6, 10, 19, 18)(8, 17)(9, 24),
g_{3} := (2, 22, 14, 16)(3, 9, 15, 24)(5, 13, 19, 18)(6, 10, 23, 21)(8, 17)(12, 20),
g_{6} := (2, 14)(3, 4, 15, 7)(5, 18, 6, 21)(9, 20, 24, 12)(10, 23, 13, 19)(16, 22),
g_{7} := (3, 4)(5, 13)(6, 10)(7, 15)(9, 20)(12, 24)(18, 23)(19, 21),

g_{4} := g_{2}^{−1}, g_{5} := g_{2}^{2} y g_{8} := id. Se puede ver que estos elementos satisfacen σ_{k}g_{l} = g_{l}γ_{k,l}, donde γ_{k,k} = s_{8}, γ_{k,8} = σ_{k}, 1 ≤ k ≤ 8, γ_{8,1} = σ_{3}, γ_{8,2} = σ_{4}, γ_{8,3} = σ_{1}, γ_{8,4} = σ_{2}, γ_{8,5} = σ_{5}, γ_{8,6} = σ_{6}, γ_{8,7} = σ_{7}, y

γ_{1,2} = σ_{7},  γ_{1,3} = σ_{5},  γ_{1,4} = σ_{6},  γ_{1,5} = σ_{3},  γ_{1,6} = σ_{3},  γ_{1,7} = σ_{1},
γ_{2,1} = σ_{7},  γ_{2,3} = σ_{6},  γ_{2,4} = σ_{5},  γ_{2,5} = σ_{4},  γ_{2,6} = σ_{4},  γ_{2,7} = σ_{2},
γ_{3,1} = σ_{5},  γ_{3,2} = σ_{6},  γ_{3,4} = σ_{7},  γ_{3,5} = σ_{1},  γ_{3,6} = σ_{1},  γ_{3,7} = σ_{3},
γ_{4,1} = σ_{6},  γ_{4,2} = σ_{5},  γ_{4,3} = σ_{7},  γ_{4,5} = σ_{2},  γ_{4,6} = σ_{2},  γ_{4,7} = σ_{4},
γ_{5,1} = σ_{1},  γ_{5,2} = σ_{2},  γ_{5,3} = σ_{3},  γ_{5,4} = σ_{4},  γ_{5,6} = σ_{7},  γ_{5,7} = σ_{6},
γ_{6,1} = σ_{2},  γ_{6,2} = σ_{1},  γ_{6,3} = σ_{4},  γ_{6,4} = σ_{3},  γ_{6,5} = σ_{7},  γ_{6,7} = σ_{5},
γ_{7,1} = σ_{4},  γ_{7,2} = σ_{3},  γ_{7,3} = σ_{2},  γ_{7,4} = σ_{1},  γ_{7,5} = σ_{6},  γ_{7,6} = σ_{5}.

Supongamos que k = 10, 13 ó 14; luego, q_{s_{8}s_{8}} = −1. Considerando caso por caso verificamos que siempre se puede construir un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{8}}, ρ_{k}) de tipo diagonal cuyo diagrama de Dynkin generalizado contiene un r-ciclo con r > 3. Por Lema 2.3.7, dim 𝔅(O_{s_{8}}, ρ_{k}) = ∞.

Finalmente, asumamos que k = 2 ó 3. Luego, q_{s_{8}s_{8}} = −1 y se computa que ρ(γ_{1,t}γ_{t,1}) = 1, para todo 1 ≤ t ≤ 32. Por Lema 2.2.3, la trenza es negativa.

CASO: j = 7. El representante es

s_{7} := (1, 18, 11, 16)(3, 6, 8, 20)(7, 22, 14, 19)(9, 15)(10, 23, 12, 21)(17, 24),

tiene orden 4 y es real. Su centralizador M_{24}^{s_{7}} es un grupo no abeliano de orden 128.

Sea ρ = (ρ, V) ∈ M̂_{24}^{s_{7}}. Se probará que el álgebra de Nichols 𝔅(O_{s_{7}}, ρ) es de dimensión infinita. Si q_{s_{7}s_{7}} ≠ −1, entonces el resultado sigue por Lema 2.3.4. Supongamos que q_{s_{7}s_{7}} = −1. Se computa que O_{s_{7}} ∩ M_{24}^{s_{7}} tiene 40 elementos y contiene a

σ_{1} := (2, 4, 13, 5)(3, 8)(6, 20)(7, 19, 14, 22)(9, 17, 15, 24)(10, 23, 12, 21),
σ_{3} := (1, 16, 11, 18)(2, 5, 13, 4)(3, 6, 8, 20)(9, 17, 15, 24)(10, 12)(21, 23),

σ_{2} := σ_{1}^{−1} y σ_{4} := σ_{3}^{−1}. Dichos elementos conmutan entre sí y σ_{1}σ_{3} = s_{7}^{−1}. Elegimos

g_{1} := (1, 2, 18, 4, 11, 13, 16, 5)(3, 9, 20, 24, 8, 15, 6, 17)(10, 21, 12, 23)(19, 22),
g_{2} := (1, 2, 11, 13)(3, 9, 8, 15)(4, 18, 5, 16)(6, 24, 20, 17)(10, 23)(12, 21),
g_{3} := (2, 19, 4, 14, 13, 22, 5, 7)(3, 6, 8, 20)(9, 23, 17, 12, 15, 21, 24, 10)(16, 18),
g_{4} := (2, 14, 13, 7)(3, 6)(4, 19, 5, 22)(8, 20)(9, 10, 15, 12)(17, 21, 24, 23).

Estos elementos están en M_{24} y satisfacen

σ_{1}g_{1} = g_{1}s_{7},  σ_{1}g_{2} = g_{2}s_{7}^{−1},  σ_{1}g_{3} = g_{3}σ_{1},  σ_{1}g_{4} = g_{4}σ_{2},
σ_{2}g_{1} = g_{1}s_{7}^{−1},  σ_{2}g_{2} = g_{2}s_{7},  σ_{2}g_{3} = g_{3}σ_{2},  σ_{2}g_{4} = g_{4}σ_{1},
σ_{3}g_{1} = g_{1}σ_{3},  σ_{3}g_{2} = g_{2}σ_{4},  σ_{3}g_{3} = g_{3}s_{7},  σ_{3}g_{4} = g_{4}s_{7}^{−1},
σ_{4}g_{1} = g_{1}σ_{4},  σ_{4}g_{2} = g_{2}σ_{3},  σ_{4}g_{3} = g_{3}s_{7}^{−1},  σ_{4}g_{4} = g_{4}s_{7}.

Si definimos W := ℂ - span {g_{1}v, g_{2}v, g_{3}v, g_{4}v}, con v ∈ V − 0, entonces W resulta un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{7}}, ρ) de tipo Cartan cuya matriz de Cartan asociada está dada por (5.11). Por Teorema 2.3.2, dim 𝔅(O_{s_{7}}, ρ) = ∞.

\begin{matrix}k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\ |y_{k}| & 1 & 3 & 2 & 2 & 4 & 2 & 2 & 6 & 4 & 4 & 4 & 2 & 4 \\ μ_{1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ μ_{2} & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 \\ μ_{3} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ μ_{4} & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ μ_{5} & 2 & -1 & 2 & 0 & 0 & 2 & 2 & -1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ μ_{6} & 2 & -1 & 2 & 0 & 0 & 2 & 2 & -1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ μ_{7} & 3 & 0 & -1 & -1 & 1 & 3 & -1 & 0 & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 \\ μ_{8} & 3 & 0 & -1 & 1 & -1 & 3 & -1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 \\ μ_{9} & 3 & 0 & -1 & -1 & 1 & 3 & -1 & 0 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ μ_{10} & 3 & 0 & -1 & 1 & -1 & 3 & -1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ μ_{11} & 3 & 0 & 3 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ μ_{12} & 3 & 0 & -1 & 1 & -1 & -1 & 3 & 0 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ μ_{13} & 3 & 0 & -1 & -1 & 1 & -1 & 3 & 0 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ μ_{14} & 3 & 0 & -1 & 1 & -1 & -1 & 3 & 0 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 \\ μ_{15} & 3 & 0 & 3 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ μ_{16} & 3 & 0 & 3 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\ μ_{17} & 3 & 0 & -1 & -1 & 1 & -1 & 3 & 0 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 \\ μ_{18} & 3 & 0 & 3 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ μ_{19} & 4 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -2 & 2i \\ μ_{20} & 4 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 & -2i \\ μ_{21} & 4 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2i \\ μ_{22} & 4 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -2 & -2i \\ μ_{23} & 6 & 0 & -2 & 0 & 0 & -2 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ μ_{24} & 6 & 0 & -2 & 0 & 0 & -2 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ μ_{25} & 8 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ μ_{26} & 8 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}

Tabla 5.15: Tabla de caracteres de M_{24}^{s_{6}} (i).

CASO: j = 6. El representante es

s_{6} := (1, 9, 20, 17)(2, 6)(3, 10)(4, 8)(5, 24, 19, 7)(11, 14, 18, 23)(12, 21, 13, 15)(16, 22),

tiene orden 4 y es real. Su centralizador M_{24}^{s_{6}} es un grupo no abeliano de orden 384 cuya tabla de caracteres está dada por las Tablas 5.15 y 5.16.

Para todo k, 1 ≤ k ≤ 26, llamamos ρ_{k} = (ρ_{k}, V_{k}) a la representación irreducible de M_{24}^{s_{6}} cuyo

carácter es μ_{k}. Se computa que s_{6} ∈ O_{y_{23}}^{M_{24}^{s_{6}}} . De las Tablas 5.15 y 5.16, tenemos que si k ≠ 2, 3, 5, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 24, entonces q_{s_{6}s_{6}} ≠ −1 y dim 𝔅(O_{s_{6}}, ρ_{k}) = ∞, por Lema 2.3.4.

Por otro lado, se computa que O_{s_{6}} ∩ M_{24}^{s_{6}} tiene 80 elementos y contiene a

σ_{1} : = (1, 7)(2, 4, 3, 16)(5, 9)(6, 8, 10, 22)(11, 14, 18, 23)(12, 15, 13, 21)(17, 19)(20, 24),
σ_{4} : = (1, 9, 20, 17)(2, 10)(3, 6)(4, 22)(5, 24, 19, 7)(8, 16)(11, 23, 18, 14)(12, 15, 13, 21),
σ_{7} : = (1, 24)(2, 4, 3, 16)(5, 17)(6, 8, 10, 22)(7, 20)(9, 19)(11, 23, 18, 14)(12, 21, 13, 15),

124  CAPÍTULO 5. CORRADICAL: GRUPOS DE MATHIEU SIMPLES
k 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
|y_{k}| 4 4 4 4 12 4 12 2 4 4 4 4 2
μ_{1} 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
μ_{2} 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1
μ_{3} -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1
μ_{4} -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
μ_{5} 0 0 0 0 1 -2 1 -2 -2 -2 -2 -2 2
μ_{6} 0 0 0 0 -1 2 -1 2 2 2 2 2 2
μ_{7} -1 -1 1 1 0 3 0 -1 -1 3 -1 3 3
μ_{8} 1 1 -1 -1 0 3 0 -1 -1 3 -1 3 3
μ_{9} 1 1 -1 -1 0 -3 0 1 1 -3 1 -3 3
μ_{10} -1 -1 1 1 0 -3 0 1 1 -3 1 -3 3
μ_{11} -1 1 -1 1 0 -1 0 -1 -1 3 3 3 3
μ_{12} -1 1 1 -1 0 -1 0 -1 3 3 -1 3 3
μ_{13} -1 1 1 -1 0 1 0 1 -3 -3 1 -3 3
μ_{14} 1 -1 -1 1 0 1 0 1 -3 -3 1 -3 3
μ_{15} -1 1 -1 1 0 1 0 1 1 -3 -3 -3 3
μ_{16} 1 -1 1 -1 0 1 0 1 1 -3 -3 -3 3
μ_{17} 1 -1 -1 1 0 -1 0 -1 3 3 -1 3 3
μ_{18} 1 -1 1 -1 0 -1 0 -1 -1 3 3 3 3
μ_{19} 0 -2i 0 0 i 0 -i 0 0 -4i 0 4i -4
μ_{20} 0 2i 0 0 i 0 -i 0 0 -4i 0 4i -4
μ_{21} 0 -2i 0 0 -i 0 i 0 0 4i 0 -4i -4
μ_{22} 0 2i 0 0 -i 0 i 0 0 4i 0 -4i -4
μ_{23} 0 0 0 0 0 -2 0 2 -2 6 -2 6 6
μ_{24} 0 0 0 0 0 2 0 -2 2 -6 2 -6 6
μ_{25} 0 0 0 0 -i 0 i 0 0 -8i 0 8i -8
μ_{26} 0 0 0 0 i 0 -i 0 0 8i 0 -8i -8
Tabla 5.16: Tabla de caracteres de M_{24}^{s_{6}} (ii).

σ_{2} := σ_{1}^{−1}, σ_{3} := s_{6}, σ_{5} := s_{6}^{−1} σ_{6} := σ_{4}^{−1} y σ_{8} := σ_{7}^{−1}. Además, se computa que σ_{1}, σ_{2}, σ_{7}, σ_{8} ∈ O_{y_{17}}^{M_{24}^{s_{6}}} , σ_{4}, σ_{6} ∈ O_{y_{24}}^{M_{24}^{s_{6}}} y s_{6}^{−1} ∈ O_{y_{25}}^{M_{24}^{s_{6}}} . Elegimos en M_{24}

g_{1} := (1, 2, 17, 16)(3, 9, 4, 20)(5, 8, 24, 10)(6, 19, 22, 7)(11, 12, 23, 21)(13, 14, 15, 18),
g_{4} := (2, 4)(3, 16)(6, 22)(8, 10)(11, 14)(12, 21)(13, 15)(18, 23),
g_{5} := (2, 10)(3, 6)(4, 22)(7, 24)(8, 16)(9, 17)(14, 23)(15, 21),
g_{7} := (1, 2, 24, 10, 20, 3, 7, 6)(4, 5, 8, 17, 16, 19, 22, 9)(12, 15, 13, 21)(14, 23),

g_{3} := id, g_{2} := g_{1}g_{5}, g_{6} := g_{4}g_{5} y g_{8} := g_{7}g_{5}. Se puede ver que estos elementos satisfacen σ_{k}g_{l} = g_{l}γ_{k,l}, donde γ_{k,k} = s_{6}, γ_{k,3} = σ_{k}, 1 ≤ k ≤ 8, γ_{3,1} = σ_{2}, γ_{3,2} = σ_{8}, γ_{3,4} = σ_{4}, γ_{3,5} = σ_{5}, γ_{3,6} = σ_{6},

k  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|y_{k}| 1 2 3 4 7 7 6 2 2 4 4 2 4 4 6
μ_{1} 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
μ_{2} 3 -1 0 1 A A’ 0 -1 3 1 -1 3 -1 -1 0
μ_{3} 3 -1 0 1 A’ A 0 -1 3 1 -1 3 -1 -1 0
μ_{4} 6 2 0 0 -1 -1 0 2 6 0 2 6 2 2 0
μ_{5} 7 -1 1 -1 0 0 -1 3 -1 1 -1 7 -1 -1 1
μ_{6} 7 3 1 1 0 0 1 3 7 1 3 -1 -1 -1 1
μ_{7} 7 -1 1 -1 0 0 1 -1 7 -1 -1 7 -1 -1 1
μ_{8} 7 3 1 1 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 7 3 3 1
μ_{9} 7 -1 1 -1 0 0 1 -1 7 -1 -1 -1 -1 3 1
μ_{10} 8 0 -1 0 1 1 -1 0 8 0 0 8 0 0 -1
μ_{11} 8 0 2 0 1 1 0 4 0 2 0 0 0 0 -2
μ_{12} 14 2 -1 0 0 0 1 2 -2 0 -2 14 2 2 -1
μ_{13} 14 2 -1 0 0 0 -1 2 14 0 2 -2 -2 2 -1
μ_{14} 21 1 0 -1 0 0 0 5 -3 1 -3 -3 1 -3 0
μ_{15} 21 -3 0 1 0 0 0 1 -3 -1 1 21 -3 -3 0
μ_{16} 21 1 0 -1 0 0 0 1 21 -1 1 -3 1 -3 0
μ_{17} 21 1 0 -1 0 0 0 -3 -3 1 1 -3 -3 5 0
μ_{18} 21 -3 0 1 0 0 0 1 -3 -1 1 -3 1 1 0
μ_{19} 21 5 0 1 0 0 0 1 -3 -1 -3 -3 -3 1 0
μ_{20} 21 1 0 -1 0 0 0 -3 -3 1 1 21 1 1 0
μ_{21} 21 -3 0 1 0 0 0 -3 21 1 -3 -3 1 1 0
μ_{22} 24 0 0 0 A’ A 0 -4 0 2 0 0 0 0 0
μ_{23} 24 0 0 0 A A’ 0 -4 0 2 0 0 0 0 0
μ_{24} 28 -4 1 0 0 0 -1 4 -4 0 0 -4 0 4 1
μ_{25} 28 4 1 0 0 0 -1 -4 -4 0 0 -4 0 -4 1
μ_{26} 42 -2 0 0 0 0 0 -2 -6 0 2 -6 2 -2 0
μ_{27} 48 0 0 0 -1 -1 0 8 0 0 0 0 0 0 0
μ_{28} 56 0 -1 0 0 0 1 0 -8 0 0 -8 0 0 -1
μ_{29} 56 0 2 0 0 0 0 -4 0 -2 0 0 0 0 -2
μ_{30} 64 0 -2 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2
Tabla 5.17: Tabla de caracteres de M_{24}^{s_{2}} (i).

γ_{3,7} = σ_{2}, γ_{3,8} = σ_{8}, y

γ_{1,2} = σ_{5},  γ_{1,4} = σ_{2},  γ_{1,5} = σ_{7},  γ_{1,6} = σ_{8},  γ_{1,7} = σ_{4},  γ_{1,8} = σ_{6},
γ_{2,1} = σ_{5},  γ_{2,4} = σ_{1},  γ_{2,5} = σ_{8},  γ_{2,6} = σ_{7},  γ_{2,7} = σ_{6},  γ_{2,8} = σ_{4},
γ_{4,1} = σ_{8},  γ_{4,2} = σ_{2},  γ_{4,5} = σ_{6},  γ_{4,6} = σ_{5},  γ_{4,7} = σ_{8},  γ_{4,8} = σ_{2},
γ_{5,1} = σ_{1},  γ_{5,2} = σ_{7},  γ_{5,4} = σ_{6},  γ_{5,6} = σ_{4},  γ_{5,7} = σ_{1},  γ_{5,8} = σ_{7},
γ_{6,1} = σ_{7},  γ_{6,2} = σ_{1},  γ_{6,4} = σ_{5},  γ_{6,5} = σ_{4},  γ_{6,7} = σ_{7},  γ_{6,8} = σ_{1},
γ_{7,1} = σ_{4},  γ_{7,2} = σ_{6},  γ_{7,4} = σ_{8},  γ_{7,5} = σ_{1},  γ_{7,6} = σ_{2},  γ_{7,5} = σ_{5},
γ_{8,1} = σ_{6},  γ_{8,2} = σ_{4},  γ_{8,4} = σ_{7},  γ_{8,5} = σ_{2},  γ_{8,6} = σ_{1},  γ_{8,7} = σ_{5}.

Supongamos que k = 5, 9, 10, 13, 14, 15, 16 ó 24; luego, q_{s_{6}s_{6}} = −1. Considerando caso por caso verificamos que siempre es posible construir un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{6}}, ρ_{k}) de tipo diagonal cuyo diagrama de Dynkin generalizado contiene un r-ciclo con r > 3. Por Lema 2.3.7, dim 𝔅(O_{s_{6}}, ρ_{k}) = ∞.

Finalmente, asumamos que k = 2 ó 3. Luego, q_{s_{6}s_{6}} = −1 y se computa que ρ(γ_{1,t}γ_{t,1}) = 1, para

k 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
|y_{k}| 8 14 6 14 4 2 2 4 12 4 4 4 2 4 2
μ_{1} 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
μ_{2} 1 A 0 A’ -1 3 -1 1 0 1 -1 -1 -1 3 3
μ_{3} 1 A’ 0 A -1 3 -1 1 0 1 -1 -1 -1 3 3
μ_{4} 0 -1 0 -1 2 6 2 0 0 0 2 2 2 6 6
μ_{5} -1 0 1 0 3 -1 3 1 -1 1 -1 -1 3 -1 7
μ_{6} -1 0 -1 0 -1 -1 3 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 7
μ_{7} -1 0 1 0 -1 7 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 7 7
μ_{8} 1 0 1 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 7
μ_{9} 1 0 -1 0 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 3 3 -1 7
μ_{10} 0 1 -1 1 0 8 0 0 -1 0 0 0 0 8 8
μ_{11} 0 -1 0 -1 0 0 -4 0 0 -2 0 0 0 0 -8
μ_{12} 0 0 -1 0 2 -2 2 0 1 0 -2 -2 2 -2 14
μ_{13} 0 0 1 0 -2 -2 2 0 1 0 -2 2 2 -2 14
μ_{14} 1 0 0 0 -3 5 5 -1 0 1 1 1 1 -3 21
μ_{15} 1 0 0 0 1 -3 1 -1 0 -1 1 1 1 -3 21
μ_{16} 1 0 0 0 1 -3 1 1 0 -1 1 -3 -3 -3 21
μ_{17} 1 0 0 0 1 5 -3 -1 0 1 1 -3 1 -3 21
μ_{18} -1 0 0 0 -3 5 1 1 0 -1 1 -3 5 -3 21
μ_{19} -1 0 0 0 1 5 1 1 0 -1 1 1 -3 -3 21
μ_{20} -1 0 0 0 -3 -3 -3 1 0 1 1 1 -3 -3 21
μ_{21} -1 0 0 0 1 -3 -3 -1 0 1 1 1 1 -3 21
μ_{22} 0 -A’ 0 -A 0 0 4 0 0 -2 0 0 0 0 -24
μ_{23} 0 -A 0 -A’ 0 0 4 0 0 -2 0 0 0 0 -24
μ_{24} 0 0 -1 0 0 -4 4 0 1 0 0 0 -4 4 28
μ_{25} 0 0 -1 0 0 -4 -4 0 1 0 0 0 4 4 28
μ_{26} 0 0 0 0 2 10 -2 0 0 0 -2 2 -2 -6 42
μ_{27} 0 1 0 1 0 0 -8 0 0 0 0 0 0 0 -48
μ_{28} 0 0 1 0 0 -8 0 0 -1 0 0 0 0 8 56
μ_{29} 0 0 0 0 0 0 4 0 0 2 0 0 0 0 -56
μ_{30} 0 -1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -64
Tabla 5.18: Tabla de caracteres de M_{24}^{s_{2}} (ii).

todo 1 ≤ t ≤ 80. Por Lema 2.2.3, la trenza es negativa.

CASO: j = 2. El representante es

s_{2} := (1, 20)(5, 19)(7, 24)(9, 17)(11, 18)(12, 13)(14, 23)(15, 21)

y su centralizador M_{24}^{s_{2}} es un grupo no abeliano de orden 21504 cuya tabla de caracteres está dada por las Tablas 5.17 y 5.18, donde A = (−1 + i\sqrt{7})/2.

Para todo k, 1 ≤ k ≤ 30, llamamos ρ_{k} = (ρ_{k}, V_{k}) a la representación irreducible de M_{24}^{s_{2}} cuyo carácter es μ_{k}. Se probará que el álgebra de Nichols 𝔅(O_{s_{2}}, ρ_{k}) es de dimensión infinita, para todo k, 1 ≤ k ≤ 30. Se computa que s_{2} ∈ O_{y_{30}}^{M_{24}^{s_{2}}} . Ahora bien, si k ≠ 11, 22, 23, 27, 29, 30, entonces el resultado sigue por Lema 2.3.4, pues q_{s_{2}s_{2}} ≠ −1. Supongamos que k = 11, 22, 23, 27, 29 ó 30; luego, q_{s_{2}s_{2}} = −1. Se computa que O_{s_{2}} ∩ M_{24}^{s_{2}} tiene 281 elementos y contiene a σ_{1} := s_{2} y

σ_{2} := (2, 16)(3, 4)(5, 19)(6, 22)(7, 24)(8, 10)(11, 18)(14, 23),

k  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|y_{k}| 1 5 10 10 10 3 6 12 6 6 2 4 8 8 4
μ_{1} 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
μ_{2} 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1
μ_{3} 4 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 4 0 0 0 0
μ_{4} 4 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 4 0 0 0 0
μ_{5} 5 0 0 0 0 -1 -1 1 1 -1 5 1 -1 -1 1
μ_{6} 5 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 5 1 1 1 1
μ_{7} 6 1 1 1 1 0 0 0 0 0 6 -2 0 0 -2
μ_{8} 6 1 1 -1 -1 0 0 0 0 0 -2 2 0 0 -2
μ_{9} 6 1 1 -1 -1 0 0 0 0 0 -2 2 0 0 -2
μ_{10} 6 1 1 -1 -1 0 0 0 0 0 -2 -2 2i -2i 2
μ_{11} 6 1 1 -1 -1 0 0 0 0 0 -2 -2 -2i 2i 2
μ_{12} 10 0 0 0 0 1 1 -1 1 -1 2 2 0 0 -2
μ_{13} 10 0 0 0 0 1 1 1 -1 -1 2 2 0 0 -2
μ_{14} 10 0 0 0 0 1 1 -1 1 -1 2 -2 0 0 2
μ_{15} 10 0 0 0 0 1 1 1 -1 -1 2 -2 0 0 2
μ_{16} 12 2 -2 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0
μ_{17} 12 2 -2 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0
μ_{18} 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 -1
μ_{19} 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 3 1 1 3
μ_{20} 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 3 -1 -1 3
μ_{21} 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 1 -1
μ_{22} 20 0 0 0 0 -1 -1 -1 1 1 4 0 0 0 0
μ_{23} 20 0 0 0 0 -1 -1 1 -1 1 4 0 0 0 0
μ_{24} 20 0 0 0 0 2 -2 0 0 0 -4 0 0 0 0
μ_{25} 20 0 0 0 0 2 -2 0 0 0 -4 0 0 0 0
μ_{26} 24 -1 -1 1 1 0 0 0 0 0 -8 0 0 0 0
μ_{27} 24 -1 1 A -A 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0
μ_{28} 24 -1 1 -A A 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0
μ_{29} 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 -2 0 0 -2
μ_{30} 40 0 0 0 0 -2 2 0 0 0 -8 0 0 0 0
Tabla 5.19: Tabla de caracteres de M_{24}^{s_{3}} (i).

con σ_{2} ∈ O_{y_{9}}^{M_{24}^{s_{2}}} . Elegimos g_{1} := id y

g_{2} := (1, 2)(3, 13, 22, 17, 10, 15)(4, 12, 6, 9, 8, 21)(5, 11, 7)(16, 20)(18, 24, 19).

Estos elementos están en M_{24} y satisfacen σ_{1}g_{1} = g_{1}σ_{1}, σ_{2}g_{1} = g_{1}σ_{2}, σ_{1}g_{2} = g_{2}σ_{2} y σ_{2}g_{2} = g_{2}σ_{1}.

De las Tablas 5.17 y 5.18, se puede ver que deg(ρ_{k}) es par y mayor o igual a 8. Ya que σ_{1} y σ_{2} conmutan existe una base {v_{l} | 1 ≤ l ≤ deg(ρ_{k})} de V_{k}, el espacio vectorial de la representación ρ_{k}, compuesta por autovectores simultáneos de ρ_{k}(σ_{1}) = − Id y ρ_{k}(σ_{2}). Digamos que ρ_{k}(σ_{2})v_{l} = λ_{l}v_{l}, 1 ≤ l ≤ deg(ρ_{k}), donde λ_{l} = ±1, debido a que |σ_{2}| = 2. De la Tabla 5.17, se tiene que ∑_{l=1}^{deg(ρ_{k})} λ_{l} = 0. Reordenando la base podemos suponer que λ_{1} = ⋯ = λ_{deg(ρ_{k})/2} = 1 = −λ_{1+deg(ρ_{k})/2} = ⋯ = −λ_{deg(ρ_{k})}. Si W := ℂ - span {g_{1}v_{l}, g_{2}v_{l} | 1 ≤ l ≤ deg(ρ_{k})}, entonces es fácil mostrar que W es un subespacio vectorial trenzado de M(O_{s_{2}}, ρ) de tipo Cartan cuya matriz de Cartan asociada A tiene al menos dos filas con tres −1 o más. Esto implica que el Diagrama de Dynkin correspondiente tiene al menos dos vértices con tres aristas o más; luego, A no es de tipo finito. Por lo tanto, dim 𝔅(O_{s_{2}}, ρ_{k}) = ∞.

\begin{matrix}k & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & 29 & 30 \\ |y_{k}| & 4 & 2 & 4 & 2 & 4 & 2 & 4 & 4 & 2 & 2 & 4 & 2 & 4 & 2 & 2 \\ μ_{1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ μ_{2} & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ μ_{3} & -2 & 4 & -2 & 4 & -2 & 4 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \\ μ_{4} & 2 & 4 & 2 & 4 & 2 & 4 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ μ_{5} & 1 & 5 & 1 & 5 & 1 & 5 & 1 & 1 & 5 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 \\ μ_{6} & -1 & 5 & -1 & 5 & -1 & 5 & 1 & 1 & 5 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ μ_{7} & 0 & 6 & 0 & 6 & 0 & 6 & -2 & -2 & 6 & -2 & 0 & -2 & 0 & -2 & 0 \\ μ_{8} & 0 & 6 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 & -6 & 2 & 2 & 2 & -2 & -2 & 0 \\ μ_{9} & 0 & 6 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 & -6 & 2 & -2 & 2 & 2 & -2 & 0 \\ μ_{10} & 0 & 6 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 & -6 & -2 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0 \\ μ_{11} & 0 & 6 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 & -6 & -2 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0 \\ μ_{12} & 2 & 10 & 2 & 2 & -2 & -2 & 0 & 0 & -10 & -2 & 0 & -2 & 0 & 2 & -2 \\ μ_{13} & -2 & 10 & -2 & 2 & 2 & -2 & 0 & 0 & -10 & -2 & 0 & -2 & 0 & 2 & 2 \\ μ_{14} & 0 & 10 & -4 & 2 & 0 & -2 & 0 & 0 & -10 & 2 & 0 & 2 & 0 & -2 & 4 \\ μ_{15} & 0 & 10 & 4 & 2 & 0 & -2 & 0 & 0 & -10 & 2 & 0 & 2 & 0 & -2 & -4 \\ μ_{16} & 0 & -12 & 0 & -4 & 0 & 0 & 2 & -2 & 0 & 4 & 0 & -4 & 0 & 0 & 0 \\ μ_{17} & 0 & -12 & 0 & -4 & 0 & 0 & -2 & 2 & 0 & -4 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ μ_{18} & -1 & 15 & 3 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 15 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 3 \\ μ_{19} & -1 & 15 & 3 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 15 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 3 \\ μ_{20} & 1 & 15 & -3 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 15 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -3 \\ μ_{21} & 1 & 15 & -3 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 15 & 3 & -1 & 3 & -1 & 3 & -3 \\ μ_{22} & -2 & 20 & 2 & 4 & 2 & -4 & 0 & 0 & -20 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \\ μ_{23} & 2 & 20 & -2 & 4 & -2 & -4 & 0 & 0 & -20 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ μ_{24} & 0 & -20 & 0 & 4 & 0 & 0 & -2 & 2 & 0 & 4 & 0 & -4 & 0 & 0 & 0 \\ μ_{25} & 0 & -20 & 0 & 4 & 0 & 0 & 2 & -2 & 0 & -4 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ μ_{26} & 0 & 24 & 0 & -8 & 0 & 8 & 0 & 0 & -24 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ μ_{27} & 0 & -24 & 0 & -8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ μ_{28} & 0 & -24 & 0 & -8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ μ_{29} & 0 & 30 & 0 & -2 & 0 & -2 & 2 & 2 & 30 & -2 & 0 & -2 & 0 & -2 & 0 \\ μ_{30} & 0 & -40 & 0 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}

Tabla 5.20: Tabla de caracteres de M_{24}^{s_{3}} (ii).

CASO: j = 3. El representante es

s_{3} := (1, 11)(2, 23)(3, 7)(4, 13)(5, 6)(8, 18)(9, 16)(10, 15)(12, 24)(14, 17)(19, 21)(20, 22).

El centralizador M_{24}^{s_{3}} es un grupo no abeliano de orden 7680 cuya tabla de caracteres está dada por las Tablas 5.19 y 5.20, donde A = −i\sqrt{5}.

Para todo k, 1 ≤ k ≤ 30, llamamos ρ_{k} = (ρ_{k}, V_{k}) a la representación irreducible de M_{24}^{s_{3}} cuyo carácter es μ_{k}. Se probará que el álgebra de Nichols 𝔅(O_{s_{3}}, ρ_{k}) es de dimensión infinita, para todo k, 1 ≤ k ≤ 30. Se computa que s_{3} ∈ O_{y_{17}}^{M_{24}^{s_{3}}} . En primer lugar, si k ≠ 16, 17, 24, 25, 27, 28, 30, entonces el resultado sigue por Lema 2.3.4, pues q_{s_{3}s_{3}} ≠ −1. Asumamos que k = 16, 17, 24, 25, 27, 28 ó 30; luego, q_{s_{3}s_{3}} = −1. Se computa que O_{s_{3}} ∩ M_{24}^{s_{3}} tiene 278 elementos y contiene a σ_{1} := s_{3} y

σ_{2} := (1, 5)(2, 10)(3, 12)(4, 8)(6, 11)(7, 24)(9, 19)(13, 18)(14, 22)(15, 23)(16, 21)(17, 20),

con σ_{2} ∈ O_{y_{30}}^{M_{24}^{s_{3}}} . Se eligen g_{1} := id y

g_{2} := (5, 11)(7, 12)(8, 13)(9, 20)(10, 23)(14, 21)(16, 17)(19, 22).

Estos elementos están en M_{24} y satisfacen σ_{1}g_{1} = g_{1}σ_{1}, σ_{2}g_{1} = g_{1}σ_{2}, σ_{1}g_{2} = g_{2}σ_{2} y σ_{2}g_{2} = g_{2}σ_{1}. Dado que deg(ρ_{k}) es par y mayor o igual a 12, y μ_{k}(O_{y_{30}}^{M_{24}^{s_{3}}} ) = 0, para k = 16, 17, 24, 25, 27, 28 ó 30, podemos proceder como en el caso anterior. Por lo tanto, dim 𝔅(O_{s_{3}}, ρ_{k}) = ∞, para todo k.

Observación 5.1.10. Se computa que los grupos M_{24}^{s_{4}}, M_{24}^{s_{5}}, M_{24}^{s_{7}}, M_{24}^{s_{9}}, M_{24}^{s_{10}}, M_{24}^{s_{11}}, M_{24}^{s_{12}} y M_{24}^{s_{13}} tienen 17, 18, 26, 20, 15, 15, 21 y 21 clases de conjugación, respectivamente. Luego, existen 502 pares posibles (O, ρ) para M_{24}; 492 de ellos dan lugar a álgebras de Nichols de dimensión infinita, y 10 tienen M(O, ρ) de trenza negativa.

Observación 5.1.11. Considerando las Observaciones 5.1.2, 5.1.4, 5.1.6, 5.1.8 y 5.1.10, podemos decir que para los cinco grupos de Mathieu simples se ha podido determinar, mediante criterios de subracks abelianos, que 1114 pares (O, ρ) de un total de 1137, dan lugar a álgebras de Nichols 𝔅(O, ρ) de dimensión infinita. Los 23 pares restantes tienen M(O, ρ) de trenza negativa.

5.2. Usando técnicas basadas en subracks no abelianos

En la sección previa, se han descartado pares (O, ρ) con dim 𝔅(O, ρ) = ∞ por medio de técnicas de subracks abelianos de O. Como resultado se ha mostrado que sobreviven 23 pares, los cuales dan lugar a espacios vectoriales trenzados M(O, ρ) con trenza negativa. En esta sección, se considerarán estos 23 pares (O, ρ) y se mostrará que 16 de ellos dan lugar a álgebras de Nichols de dimensión infinita usando técnicas de subracks no abelianos de O.

El grupo M_{11}. En la sección anterior, se ha determinado que cinco pares (O, ρ) son tales que M(O, ρ) es de trenza negativa. Veremos que uno de esos pares satisface dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

CASO: j = 10. Elegimos en O_{s_{10}} los siguientes elementos: σ_{0} := s_{10},

σ_{1} := (1, 6, 8)(2, 5, 3, 4, 10, 9)(7, 11)

y σ_{2} := σ_{0}▷σ_{1}. Es fácil ver que la familia (σ_{i})_{i∈ℤ/3} es de tipo D_{3} en O_{s_{10}}. Luego, dim 𝔅(O_{s_{10}}, χ_{(−1)}) = ∞, por Corolario 2.4.10, con p = 3.

El grupo M_{12}. En la sección anterior, se ha determinado que cuatro pares (O, ρ) son tales que M(O, ρ) es de trenza negativa. Veremos que tres de esos pares satisfacen dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

CASO: j = 14. Definimos σ_{1} := s_{14}, σ_{2} := (1, 3, 5, 11, 4, 8, 10, 12)(7, 9), σ_{3} := σ_{2}▷σ_{1}, σ_{4} := σ_{3}▷σ_{1}, σ_{5} := σ_{4} ▷ σ_{1}, σ_{6} := s_{14}^{3} y τ_{l} := σ_{l}^{5}, 1 ≤ l ≤ 6. Se puede verificar con GAP que estos elementos pertenecen a O_{s_{14}}. Además, se puede ver por cálculos directos que la familia (σ_{l})_{l=1}^{6} ∪ (τ_{l})_{l=1}^{6} es de tipo 𝔒^{(2)}. Luego, dim 𝔅(O_{s_{14}}, χ_{(−1)}) = ∞, por Corolario 2.4.32.

CASO: j = 5. Elegimos en O_{s_{5}} los siguientes elementos: σ_{1} := s_{5},

σ_{2} := (1, 4, 12, 7)(2, 6, 3, 8, 11, 10, 9, 5),

σ_{3} := σ_{2} ▷ σ_{1}, σ_{4} := σ_{3} ▷ σ_{1}, σ_{5} := σ_{4} ▷ σ_{1}, σ_{6} := s_{5}^{3} y τ_{l} := σ_{l}^{5}, 1 ≤ l ≤ 6. Se puede verificar que la familia (σ_{l})_{l=1}^{6} ∪ (τ_{l})_{l=1}^{6} es de tipo 𝔒^{(2)}. Luego, dim 𝔅(O_{s_{5}}, χ_{(−1)}) = ∞, por Corolario 2.4.32.

CASO: j = 2. Elegimos en O_{s_{2}} los siguientes elementos: σ_{0} := s_{2},

σ_{1} := (1, 2, 12, 11, 8, 10)(3, 6, 9)(4, 5)

y σ_{2} := σ_{0} ▷σ_{1}. Es fácil ver que la familia (σ_{i})_{i∈ℤ/3} es de tipo D_{3} en O_{s_{2}}. Luego, dim 𝔅(O_{s_{2}}, χ_{(−1)}) = ∞, por Corolario 2.4.10, con p = 3.

El grupo M_{22}. En la sección anterior, se ha determinado que dim 𝔅(O, ρ) = ∞, para todo par (O, ρ) salvo el par (O_{s_{4}}, χ_{(−1)}). Veremos que este par también da lugar a un álgebra de Nichols de dimensión infinita. Elegimos en O_{s_{4}} los siguientes elementos: σ_{1} := s_{4},

σ_{2} := (1, 5, 13, 10, 11, 7, 12, 22)(2, 9)(3, 21, 19, 15, 17, 18, 6, 8)(4, 14, 20, 16),

σ_{3} := σ_{2} ▷ σ_{1}, σ_{4} := σ_{3} ▷ σ_{1}, σ_{5} := σ_{4} ▷ σ_{1}, σ_{6} := s_{4}^{−1} y τ_{l} := σ_{l}^{5}, 1 ≤ l ≤ 6. Por cálculos directos podemos verificar que la familia (σ_{l})_{l=1}^{6} ∪ (τ_{l})_{l=1}^{6} es de tipo 𝔒^{(2)}. Por Corolario 2.4.32, dim 𝔅(O_{s_{4}}, χ_{(−1)}) = ∞.

Teniendo en cuenta el párrafo precedente y el Teorema 5.1.5 podemos enunciar el siguiente resultado.

Teorema 5.2.1. Si H es un álgebra de Hopf compleja de dimensión finita con G(H) ≃ M_{22}, entonces H es el álgebra de grupo ℂM_{22}.

El grupo M_{23}. En la sección anterior, se ha determinado que tres pares (O, ρ) son tales que M(O, ρ) es de trenza negativa. Veremos que uno de estos pares satisface dim 𝔅(O, ρ) = ∞.

CASO: j = 9. Elegimos en O_{s_{9}} los siguientes elementos: σ_{1} := s_{9},

σ_{2} := (1, 3, 5, 20, 10, 14, 13, 23)(2, 15, 7, 8)(4, 22, 12, 6, 17, 16, 21, 11)(9, 19),

σ_{3} := σ_{2} ▷ σ_{1}, σ_{4} := σ_{3} ▷ σ_{1}, σ_{5} := σ_{4} ▷ σ_{1}, σ_{6} := s_{9}^{−1} y τ_{l} := σ_{l}^{5}, 1 ≤ l ≤ 6. Se puede ver que la familia (σ_{l})_{l=1}^{6} ∪ (τ_{l})_{l=1}^{6} es de tipo 𝔒^{(2)}. Por lo tanto, dim 𝔅(O_{s_{9}}, χ_{(−1)}) = ∞, por Corolario 2.4.32.

El grupo M_{24}. En la sección anterior, se ha determinado que diez pares (O, ρ) son tales que M(O, ρ) es de trenza negativa. Veremos que todos ellos dan lugar a álgebras de Nichols de dimensión infinita.

CASO: j = 6. El representante de la clase de conjugación es

s_{6} = (1, 9, 20, 17)(2, 6)(3, 10)(4, 8)(5, 24, 19, 7)(11, 14, 18, 23)(12, 21, 13, 15)(16,22).

Elegimos en O_{s_{6}} los siguientes elementos: σ_{1} := s_{6},

σ_{2} := (1, 9, 20, 17)(2, 11)(3, 14)(4, 18)(5, 19, 7, 24)(6, 10, 8, 22)(12, 21, 15, 13)(16,23),

σ_{3} := σ_{2} ▷ σ_{1}, σ_{4} := σ_{3} ▷ σ_{1}, σ_{5} := σ_{4} ▷ σ_{1}, σ_{6} := σ_{2} ▷ σ_{3}, τ_{1} := σ_{6}^{−1}, τ_{2} := σ_{4}^{−1}, τ_{3} := σ_{5}^{−1}, τ_{4} := σ_{2}^{−1}, τ_{5} := σ_{3}^{−1} y τ_{6} := σ_{1}^{−1}. Por cálculos directos se puede verificar que la familia (σ_{l})_{l=1}^{6} ∪ (τ_{l})_{l=1}^{6}

es de tipo 𝔒^{(2)}. Ahora, asumamos que ρ = ρ_{2,6} ó ρ_{3,6}; entonces, q_{σ_{1}σ_{1}} = −1 pues s_{6} ∈ O_{23}^{M_{24}^{s_{6}}} . Definimos g := (3, 16)(5, 12)(6, 8)(7, 15)(9, 17)(13, 19)(14, 23)(21, 24); se puede ver que g ∈ M_{24} y que g ▷ σ_{1} = τ_{1}. Además, se computa con GAP que τ_{1}, σ_{6} ∈ O_{24}^{M_{24}^{s_{6}}} . Luego, de la Tabla 5.16, se tiene que ρ(σ_{6}) = ρ(τ_{1}) = ρ(gσ_{6}g) = −1. Por lo tanto, dim 𝔅(O_{s_{6}}, ρ) = ∞, por Teorema 2.4.31.

CASO: j = 8. El representante es

s_{8} = (1, 4, 24, 14)(2, 21, 15, 6)(3, 16, 8, 12)(5, 11, 23, 20)(7, 18, 17, 13)(9, 10, 22, 19).

Elegimos en O_{s_{8}} los siguientes elementos: σ_{0} := s_{8},

σ_{1} = (1, 2, 24, 15)(3, 5, 8, 23)(4, 19, 14, 10)(6, 22, 21, 9)(7, 16, 17, 12)(11, 13, 20, 18)

y σ_{2} := σ_{0} ▷ σ_{1}. Se puede ver que (σ_{i})_{i∈ℤ/3} es una familia de tipo D_{3} en O_{s_{8}}. Ahora, si ρ = ρ_{2,8} ó ρ_{2,8}, entonces q_{σ_{0}σ_{0}} = −1, y dim 𝔅(O_{s_{8}}, ρ) = ∞, por Corolario 2.4.10, con p = 3.

CASO: j = 14. El representante es

s_{14} = (2, 10, 4, 16, 20, 15, 6, 18)(3, 17, 11, 5, 7, 12, 21, 13)(9, 19)(14, 24, 23, 22).

Se eligen en O_{s_{14}} los siguientes elementos: σ_{1} := s_{14},

σ_{2} := (2, 4, 18, 15, 20, 6, 16, 10)(3, 12, 13, 21, 7, 17, 5, 11)(8, 9)(14, 22, 24, 23),

σ_{3} := σ_{2} ▷ σ_{1}, σ_{4} := σ_{3} ▷ σ_{1}, σ_{5} := σ_{4} ▷ σ_{1}, σ_{6} := s_{14}^{3} y τ_{l} := σ_{l}^{5}, 1 ≤ l ≤ 6. Se puede ver que la familia (σ_{l})_{l=1}^{6} ∪ (τ_{l})_{l=1}^{6} es de tipo 𝔒^{(2)}. Ahora, si ρ = ϵ ⊗ χ_{(−1)} ó sgn ⊗χ_{(−1)}, entonces dim 𝔅(O_{s_{14}}, ρ) = ∞, por Corolario 2.4.32.

CASO: j = 17. El representante es

s_{17} = (1, 9, 12, 10, 17, 14, 3, 23, 5, 21, 19, 13)(2, 18)(4, 8, 15, 20)(6, 16, 7, 24, 22, 11).

Definimos σ_{1} := s_{17},

σ_{2} = (1, 9, 13, 3, 17, 14, 10, 19, 5, 21, 23, 12)(2, 18)(4, 8, 20, 15)(6, 11, 7, 16, 22, 24),

σ_{3} := σ_{2} ▷ σ_{1}, σ_{4} := σ_{3} ▷ σ_{1}, σ_{5} := σ_{4} ▷ σ_{1}, σ_{6} := s_{17}^{7} y τ_{l} := σ_{l}^{5}, 1 ≤ l ≤ 6. Estos elementos están en O_{s_{17}}, y la familia (σ_{l})_{l=1}^{6} ∪ (τ_{l})_{l=1}^{6} es de tipo 𝔒^{(2)}. Luego, dim 𝔅(O_{s_{17}}, χ_{(−1)}) = ∞, por Corolario 2.4.32.

CASO: j = 18. El representante es

s_{18} = (1, 18, 20, 4, 17, 5, 24, 13, 11, 14, 7, 23)(2, 10, 16, 21, 22, 8, 15, 19, 12, 6, 9, 3).

Elegimos en O_{s_{18}} los siguientes elementos: σ_{1} := s_{18},

σ_{2} = (1, 2, 10, 14, 17, 22, 8, 18, 11, 12, 6, 5)(3, 15, 20, 4, 21, 9, 24, 13, 19, 16, 7, 23),

σ_{3} := σ_{2} ▷ σ_{1}, σ_{4} := σ_{3} ▷ σ_{1}, σ_{5} := σ_{4} ▷ σ_{1}, σ_{6} := s_{18}^{7} y τ_{l} := σ_{l}^{5}, 1 ≤ l ≤ 6. Se puede ver que la familia (σ_{l})_{l=1}^{6} ∪ (τ_{l})_{l=1}^{6} es de tipo 𝔒^{(2)}. Entonces, dim 𝔅(O_{s_{18}}, χ_{(−1)}) = ∞, por Corolario 2.4.32.

CASO: j = 19. El representante es

s_{19} = (1, 5, 20, 23, 19, 2, 18, 7, 17, 9, 21, 24, 6, 12)(3, 14, 8, 15, 13, 11, 16)(4, 22).

Elegimos en O_{s_{19}} los siguientes elementos: σ_{0} := s_{19},

σ_{1} := (1, 14, 20, 15, 19, 11, 18, 3, 17, 8, 21, 13, 6, 16)(2, 12, 7, 5, 9, 23, 24)(4, 10)

y σ_{2} := σ_{0} ▷ σ_{1}. Se puede ver que (σ_{i})_{i∈ℤ/3} es una familia de tipo D_{3} en O_{s_{19}}. Por lo tanto, dim 𝔅(O_{s_{19}}, χ_{(−1)}) = ∞, por Corolario 2.4.10, con p = 3 y k = 9.

CASO: j = 20. El representante es s_{20} = s_{19}^{−1}. Ahora, la familia (σ_{i}^{−1})_{i∈ℤ/3}, con σ_{i} como en el caso j = 19 anterior, es de tipo D_{3}. Luego dim 𝔅(O_{s_{20}}, χ_{(−1)}) = ∞, por Corolario 2.4.10, con p = 3 y k = 9.

Teniendo en cuenta lo obtenido en estos casos y el Teorema 5.1.9 podemos enunciar el siguiente resultado.

Teorema 5.2.2. Si H es un álgebra de Hopf compleja de dimensión finita con G(H) ≃ M_{24}, entonces H es el álgebra de grupo ℂM_{24}.

Observación 5.2.3. En los 7 casos restantes, que aparecen en la Tabla 5.1, hemos verificado utilizando el programa GAP que no existen familias de tipo 𝔒^{(2)} ni D_{p}, para cualquier primo impar p, dentro de las respectivas clases de conjugación. Por lo tanto, en estos casos no podemos decidir si la dimensión de 𝔅(O, ρ) es infinita o no con las técnicas hoy disponibles.

Álgebras de Nichols sobre álgebras de Hopf semisimples

Cerramos esta tesis con algunas consideraciones acerca de álgebras de Nichols sobre álgebras de Hopf semisimples.

Sea A un álgebra de Hopf. Sea J ∈ A ⊗ A un torcimiento y A^{J} la correspondiente álgebra de Hopf torcida – ver [Ni]. Si A es una subálgebra de Hopf de un álgebra de Hopf H, entonces J es un torcimiento para H y A^{J} es una subálgebra de Hopf de H^{J}. Ahora bien, si A es semisimple, entonces esto induce una biyección

{isoclases de álgebras de Hopf con corradical ≃ A}

⟶^{∼} {isoclases de álgebras de Hopf con corradical ≃ A^{J}}, (6.1)

que preserva invariantes estándares como dimensión, dimensión de Gelfand-Kirillov, etc. Esto nos permite enunciar el siguiente resultado.

Teorema 6.0.4. Sea G ≃ 𝔸_{5}, 𝔸_{7}, M_{22} ó M_{24}, y H un álgebra de Hopf de dimensión finita con corradical isomorfo a (ℂG)^{J}, con J ∈ ℂG ⊗ ℂG el torcimiento no trivial definido en [Ni]. Entonces H ≃ (ℂG)^{J}.

Demostración. Por (6.1) y Teoremas 4.2.6, 4.2.11, 5.2.1 y 5.2.2.

Éste es uno de los primeros resultados de clasificación para álgebras de Hopf de dimensión finita con corradical isomorfo a un álgebra de Hopf semisimple no trivial fija. Recientemente, un álgebra de Hopf semisimple B ≃ (ℂ 𝔻_{3} × 𝔻_{3})^{J′} ha sido descubierta en [GNa]. Esta álgebra de Hopf B es simple, o sea B no tiene una subálgebra de Hopf normal no trivial. Puesto que existen álgebras de Hopf punteadas no semisimples de dimensión finita con grupo 𝔻_{3}, entonces existen álgebras de Hopf no semisimples de dimensión finita con corradical isomorfo a B.

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Índice alfabético

(i, j)-shuffles, 14

álgebra, 1 álgebra de Hopf, 4

trenzada graduada, 10 álgebra de Nichols, 11, 12 antípoda, 4

bi-ideal, 3 biálgebra, 3 biproducto, 11 bosonización, 11

categoría tensorial, 8 simétrica, 9 trenzada, 9 rígida, 9

coálgebra, 2 corradicalmente graduada, 5 cosemisimple, 3 estrictamente graduada, 5 punteada, 3 simple, 3

coconmutatividad, 2 coideal, 2 coinvariantes, 4

subálgebra de, 5 comódulo, 2 comultiplicación, 2 conjunto cruzado, 18 coproducto, 2 corradical, 3 counidad, 2

diagrama de Dynkin generalizado, 8

elemento casi-primitivo, 3 de tipo grupo, 3 primitivo, 4 espacio vectorial trenzado, 6 débilmente finito, 18 de tipo Cartan, 8 de tipo diagonal, 8 de tipo grupo, 7 abeliano, 7 finito, 7 negativo, 18

filtración corradical, 5 de coálgebras, 5

flip, 1

grupo de trenzas, 14

ideal de aumento, 4 ideal de Hopf, 4

método del levante, 15

módulo de Yetter-Drinfeld, 6 morfismo

de álgebras de Hopf, 4

de biálgebras, 3 de coálgebras, 2 de comódulos, 3 de racks, 18

producto de convolución, 4 pura

clase de conjugación, 45 permutación, 45

quandle, 17

rack, 17 2-cociclo de, 18 del octaedro, 34

real elemento, 22 elemento absolutamente, 81 representación

conjugada, 92 inducida, 44

sección de Matsumoto, 14 simetrizador cuántico, 14 subrack, 18

abeliano, 18 de tipo D_{p}, 25 de tipo D_{p}^{(2)}, 25 de tipo 𝔒, 34 de tipo 𝔒^{(2)}, 35

Sweedler notación sigma de, 2

tipo de una permutación, 43