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Primer semestre de 2017
Facultad de Matemática, Astronomía,
Física y Computación
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PROGRAMA Unidad 1: Algoritmos numéricos y su implementación en la computadora
El concepto de algoritmo numérico, su
definición y ejemplos. Su implementación en
una computadora. Sistemas operativos, editores de texto y
graficadores. Lenguajes con
intérprete y compilados. El
lenguaje FORTRAN 90. Representación de
números en la computadora, numeración
binaria,
representación de punto fijo, representación
de punto flotante, matemáticai entera y
matemática de punto flotante, aritmética de
no-detención, el concepto de precisión
en computación. El cuerpo de los reales: propiedades
que se preservan o no en los números de punto
flotante.El lenguaje FORTRAN 90: sintaxis general,
instrucciones no ejecutables, tipos de
variables. Operaciones matemáticas, significado del
signo =. Operaciones y relaciones básicas.
Operaciones lógicas. Funciones
intrínsecas. Instrucciones de control. La sentencia
IF-ELSEIF-ENDIF. La sentencia DO con límites
explícitos ysin límites. Lectura y escritura
de datos: pantalla/teclado. Lectura/escritura en disco:
las instrucciones OPEN y CLOSE. La
instrucción WRITE
no formateada. Formatos y la sentencia FORMAT. Arreglos, la
sentencia DIMENSION. Asignación dinámica de
memoria: las sentencias Unidad 2: Solución de ecuaciones no lineales El Método de la bisección, el algoritmo y el análisis de errores. El método de Newton, el algoritmo y el análisis de errores. Generalización a dos dimensiones. Aplicación a la búsqueda de los ceros de polinomios: el algoritmo de Horner. El método de la secante, el algoritmo y el análisis de errores. El método de Newton modificado. El método de punto fijo. Unidad 3: Interpolación Generalidades sobre el problema de interpolación. La interpolación polinomial: definición,existencia y unicidad. Formas de Newton y Lagrange. Comparación con polinomio de Taylor (nointerpolante). Análisis de errores, caso general y puntos equiespaciados. Splines lineales. Splines cúbicos Unidad 4: Diferenciación e integración Generalidades sobre el problema de la diferenciación numérica. Algoritmos hacia adelante, hacia atrás y centradons. Algoritmo de 5 puntos. Algoritmo de 3 puntos no equiespaciados. Algoritmo de 3 puntos para la derivada segunda. Derivación vs. interpolación polinómica. Evaluación de errores e incremento óptimo para algoritmos de 2 y 3 puntos. Generalidades sobre el problema de la integración numérica. Cuadraturas, reglas del cuadrilátero y del trapecio, y estimación de errores. Regla de Euler Maclaurin (no cuadratura) y su comparacióncon regla del trapecio. Regla de Simpson y estimación del error. Ideas básicas de métodos adaptativos. Integración por polinomio interpolante en su forma de Lagrange. Reglas gaussianas, generalidades y algoritmo de 2 puntos. La función de peso: cuadraturas de Gauss-Legendre, de Gauss-Hermite y Gauss-Laguerre, sus relaciones con polinomios ortogonales. Integrales en dos dimensiones. Estimación de la dimensión máxima para integrar por cuadraturas. Unidad 5: Ecuaciones diferenciales ordinarias Algunas definiciones y generalidades. Reducción de una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de orden n a n EDO de primer orden. El problema de condiciones iniciales. El método de Euler. El método de Runge-Kutta y la deducción del algoritmo a orden n. El método de Runge-Kutta de segundo orden (RK2). El método de Euler mejorado. El método de Runge-Kutta estándar de cuarto orden (RK4). Aplicaciones a la física: utilización de cantidades conservadas. Unidad 6: Álgebra lineal Solución de sistemas de ecuaciones lineales. Generalidades. Métodos iterativos para resolver sistemas lineales. Los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. La forma matricial. La estimación de errores de algoritmos lineales iterativos. Unidad 7: Números aleatorios y métodos Monte Carlo Definición de secuencia de números aleatorios. Distribución uniforme. Algoritmo de congruencia lineal para generación de números pseudoaleatorios. El algoritmo de Schrage. Generalidades sobre el método de Monte Carlo. Integración numérica de funciones de una variable. Generalización a dimensión D. Análisis comparativo de errores al integrar por Monte Carlo y por cuadraturas. Simulaciones numéricas y el ejemplo de la caminata aleatoria en una y dos dimensiones. Aplicación: estimación del error de redondeo visto como caminata aleatoria. |