Mecánica Cuántica I   2025   -   Autofunciones de $\hat{L}_z\,$ y de $\hat{L}_x\,$

En los problemas 7 y 8 de la guía 7 necesitamos escribir el autoestado $\vert 1,1\rangle_z\,$ de $\hat{L}_z\,$ en términos de los autoestados $\vert 1,m_x\rangle_x\,$ de $\hat{L}_x\,$. Una alternativa es proponer la expansión

$$\vert 1,1\rangle_z = \sum_{m=-1}^1 c_m\,\vert 1,m\rangle_x \;,$$ (1)

y determinar los coeficientes $c_m\,$ mediante algún ardid. Por ejemplo, conocemos la acción de $\hat{L}_z\,$ sobre $\vert 1,1\rangle_z\,$ y como también conocemos la acción de $\hat{J}_{\pm}=\hat{L}_y\pm i \hat{L}_z\,$ sobre los $\vert 1,m\rangle_x\,$, escribimos $\hat{L}_z\,$ en términos de estos operadores

$$\hat{L}_z = \frac{1}{2i} \left( \hat{J}_{+}-\hat{J}_{-} \right)$$

para aplicarlo al miembro de la derecha de la expresión anterior. Entonces,

$$\hat{L}_z \vert 1,1\rangle_z = \hbar\,\vert 1,1\rangle_z = \frac... ...gle_x + (c_{-1}-c_1)\,\vert 1,0\rangle_x - c_0\,\vert 1,-1\rangle_x \Bigr] \;,$$

y teniendo presente (1) podemos despejar los valores de $\{c_m\}$, que con la condición de normalización $\left(\sum_m \vert c_m\vert^2=1\right)$ resultan

$$c_1=-\frac{i}{2} \;,\qquad c_0=\frac{1}{\sqrt{2}} \;,\qquad c_{-1}=\frac{i}{2} \;.$$ (2)

Escribimos este resultado como un vector columna de tres componentes, explicitando que están representados en la base de autovectores de $\hat{L}_x\,$

$$\Bigl( \vert 1,1\rangle_x \Bigr)_x = \left( \begin{array}{c} 1 \\... ...ngle_x \Bigr)_x = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)_x \;.$$ (3)

Acomodando la fase global que más nos plazca

$$\color[rgb]{0,.4,0} \Bigl( \vert 1,1\rangle_z \Bigr)_x = \left(... ...x = \left( \begin{array}{c} 1/2\\ -i/\sqrt{2}\\ -1/2 \end{array} \right)_x \;.$$

Estos no son autovectores de $\hat{L}_x\,$ sino de $\hat{L}_z\,$, como puede verificarse fácilmente, teniendo presente que la representación de $\hat{L}_z\,$ en la base (3) de autovectores de $\hat{L}_x\,$ es (¿por qué?)

$$\color[rgb]{0,.4,0} \hat{L}_z = \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \left( \... ...n{array}{ccc} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{array} \right)_x \;,$$

del mismo modo que en la base de autovectores de $\hat{L}_z\,$ podemos expresar

$$\hat{L}_x = \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)_z \;,$$

cuyos autovectores no se corresponden con los coeficientes (2).