Mecánica Cuántica I - 2025: Glosario para autoevaluación

Este conjunto de preguntas (no exhaustivo) debería resultarles de fácil resolución al momento de presentarse al examen final: controlen que manejan bien los temas, no se lleven gratis una mala nota.

1. Conocemos los autoestados $|\phi_n\rangle$ para un sistema gobernado por cierto hamiltoniano $\hat{H}$. Sin embargo, este sistema evoluciona desde un estado inicial $|\psi(0)\rangle$ que no es autoestado de $\hat{H}$. ¿Cómo podemos describir su evolución?

   
   

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2. Un sistema se encuentra en el estado $|\psi(0)\rangle=\big(|\phi_1\rangle+|\phi_2\rangle\big)/\sqrt{2}$, donde $|\phi_1\rangle$ y $|\phi_2\rangle$ son los dos primeros estados ligados de este sistema, bajo un potencial par.
   ¿Sabemos cómo son los valores de expectación $\langle\hat{x}\rangle$ y $\langle\hat{p}\rangle$ para $|\phi_1\rangle$ y $|\phi_2\rangle$?

   Si en los estados $|\phi_n\rangle$ resultan $\langle\hat{x}\rangle_{\phi_n}=0$ y $\langle\hat{p}\rangle_{\phi_n}=0$, ¿valdrá también $\langle\hat{x}(t)\rangle_{\psi}=0$ y $\langle\hat{p}(t)\rangle_{\psi}=0$ para cualquier $t$? ¿Por qué no?

   
   

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3. Un operador en 3D está representado por la matriz \begin{equation} \label{mat+1} a \left( \begin{array}{ccc} \;1\; & \;0\; & -1\; \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \;. \tag{1} \end{equation} ¿Sabemos bien como actúa sobre cada elemento de la base (ortornormal) elegida? ¿Siempre mezcla elementos de la base?

   
   

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4. Después de hacer unas cuentas, deberíamos diagonalizar la matriz \eqref{mat+1}. ¿Podemos tener certeza de que es diagonalizable?

   
   

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5. Encontramos el error, la matriz debería ser \begin{equation} \label{mat-1} a \left( \begin{array}{ccc} \;1\; & \;0\; & -1\; \\ 0 & 2 & 0 \\ -1\; & 0 & 1 \end{array} \right) \;. \tag{2} \end{equation}¿Tiene bloques diagonales independientes?

   Si la respuesta es sí (lo es), ¿podemos predecir un autovalor y su autovector normalizado sin hacer cuentas?

   La respuesta es sí: ¿cuál es ese autovector y el correspondiente autovalor?

   
   

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6. No supimos anticipar ningún autovector de la matriz \eqref{mat-1}, así que nos ponemos a diagonalizar, y haciendo bien las cuentas notamos que un autovalor está degenerado: ¿sabemos resolver esa situación?

   $\to$ Una vez hallados los autovectores y sus autovalores, verificá que cumplen la ecuación de autovalores.

   
   

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7. En la matriz \[ \left( \begin{array}{ccc} \;1\; & \;0\; & -i\; \\ 0 & 2 & 0 \\ i & 0 & 1 \end{array} \right) \;, \] ¿podemos encontrar algún autovalor complejo? ¿Por qué no?

   
   

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8. ¿Cuáles son los autovalores de $\hat{L}_z$ para el caso $\ell=2$? ¿Qué representan (físicamente) los respectivos autovectores?

   
   

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9. Para cierto estado descripto por $\psi(r,\theta,\varphi)$ podemos afirmar que se cumple justamente que $\ell=2$.
   Si se mide la proyección $\hat{L}_z$ del momento angular, ¿cuáles son los posibles resultados?

   ¿Cómo calcularíamos la probabilidad asociada con cada medición?

   
   

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10. Sin hacer cuentas, ¿cuáles son los autovalores de $\hat{L}_y$ para el caso $\ell=2$? ¿Cuáles serían sus autovectores y qué representan físicamente?

    
    

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