Mecánica Cuántica I: Glosario para autoevaluación 1

Este conjunto de preguntas (no exhaustivo) debería resultarles de fácil resolución al momento de presentarse a un examen.

1. Un operador en 3D está representado por la matriz \begin{equation} \label{mat+1} a \left( \begin{array}{ccc} \;1\; & \;0\; & -1\; \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \;. \tag{1} \end{equation} ¿Sabemos bien como actúa sobre cada elemento de la base (ortornormal) elegida? ¿Siempre mezcla elementos de la base?

   
   

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2. Después de hacer unas cuentas, deberíamos diagonalizar la matriz \eqref{mat+1}. ¿Podemos tener certeza de que es diagonalizable?

   
   

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3. Encontramos el error, la matriz debería ser \begin{equation} \label{mat-1} a \left( \begin{array}{ccc} \;1\; & \;0\; & -1\; \\ 0 & 2 & 0 \\ -1\; & 0 & 1 \end{array} \right) \;. \tag{2} \end{equation}¿Tiene bloques diagonales independientes?

   Si la respuesta es sí (lo es), ¿podemos predecir un autovalor y su autovector normalizado sin hacer cuentas?

   La respuesta es sí: ¿cuál es ese autovector y el correspondiente autovalor?

   
   

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4. No supimos anticipar ningún autovector de la matriz \eqref{mat-1}, así que nos ponemos a diagonalizar, y haciendo bien las cuentas notamos que un autovalor está degenerado: ¿sabemos resolver esa situación?

   $\to$ Una vez hallados los autovectores y sus autovalores, verificá que cumplen la ecuación de autovalores.

   
   

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5. En la matriz \[ \left( \begin{array}{ccc} \;1\; & \;0\; & -i\; \\ 0 & 2 & 0 \\ i & 0 & 1 \end{array} \right) \;, \] ¿podemos encontrar algún autovalor complejo? ¿Por qué no?

   
   

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6. Para la partícula libre siempre habíamos elegido representar las soluciones como ondas planas; sin embargo, para la caja de potencial ($V=\infty$ más allá de las paredes) utilizamos otras soluciones. ¿Por qué?

   
   

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7. Conocemos los autoestados $|\phi_n\rangle$ para un sistema gobernado por cierto hamiltoniano $\hat{H}$. Sin embargo, este sistema evoluciona desde un estado inicial $|\psi(0)\rangle$ que no es autoestado de $\hat{H}$. ¿Cómo podemos describir su evolución?

   
   

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8. Un sistema se encuentra en el estado $|\psi(0)\rangle=\big(|\phi_1\rangle+|\phi_2\rangle\big)/\sqrt{2}$, donde $|\phi_1\rangle$ y $|\phi_2\rangle$ son los dos primeros estados ligados de este sistema, bajo un potencial par.
   ¿Sabemos cómo son los valores de expectación $\langle\hat{x}\rangle$ y $\langle\hat{p}\rangle$ para $|\phi_1\rangle$ y $|\phi_2\rangle$?

   Si en los estados $|\phi_n\rangle$ resultan $\langle\hat{x}\rangle_{\phi_n}=0$ y $\langle\hat{p}\rangle_{\phi_n}=0$, ¿valdrá también $\langle\hat{x}(t)\rangle_{\psi}=0$ y $\langle\hat{p}(t)\rangle_{\psi}=0$ para cualquier $t$? ¿Por qué no?

   
   

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9. Analizando la ecuación de Schrödinger en una dimensión, \[ \psi''(x) = -\frac{2m}{\hbar^2} \left[E-V(x)\right]\,\psi(x) \;, \] Explique qué condiciones deben imponerse a la solución (continuidad, existencia de derivadas, singularidades). ¿Cuándo varían estas restricciones?´

   
   

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10. Para analizar la transmisión / reflexión debida a una estructura simple (barrera o pozo de potencial) partimos de ondas planas incidentes. Sin embargo, en nuestra descripción el potencial es par, lo que significa que las soluciones deberían tener paridad definida. ¿Por qué vale nuestro desarrollo?

    
    

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