Mecánica Cuántica I: Glosario para autoevaluación 2
Este conjunto de preguntas (no exhaustivo) debería resultarles medianamente fácil antes del 2º parcial.
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La ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico puede reescribirse al definir $x_o\!=\!\sqrt{\hbar/(m\omega)}$ como
\begin{equation} \label{mat+1}
\psi''(x) = \left( - \frac{2mE}{\hbar^2} + \frac{x^2}{x_o^4} \right) \psi(x) \;.
\tag{1}
\end{equation}
Analizando el caso $x\to\pm\infty$, ¿qué factorización es razonable?
A partir de este método analítico, ¿qué ecuación diferenciañ resulta?
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Utilizando la relación de conmutación entre $\hat{x}$ y $\hat{p}$, muestre que los operadores escalera
\[
\hat{a} = \frac{m\omega\hat{x}+i\hat{p}}{\sqrt{2m\hbar\omega}} \qquad\mbox{y}\qquad
\hat{a}^\dagger = \frac{m\omega\hat{x}-i\hat{p}}{\sqrt{2m\hbar\omega}}
\]
cumplen la relación de conmutación $\big[ \hat{a},\hat{a}^\dagger \big] = \hat{I}$.
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Sabiendo que sobre los autoestados $|\nu_n\rangle$ del oscilador armónico la acción del bajador puede expresarse como $\hat{a}\,|\nu_n\rangle = c_n\, |\nu_n-1\rangle$, y que $\nu_n\ge0$, ¿cómo concluimos que $\nu_n\in\mathbb{Z}_{\ge0}$?
Y sabiendo ahora que $\hat{a}^\dagger\,|n\rangle = d_n\, |n+1\rangle$, ¿cómo encontramos $d_n$?
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Según la expresión $E_n=\hbar\omega(n+1/2)$ que encontramos para las autoenergías del oscilador armónico, no se cumple que en el estado fundamental $E_o=0$: ¿tiene sentido esto? ¿Por qué sí tiene sentido?
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Dijimos que en la base coordenada, para el estado fundamental $\psi_o(x)=\langle x|0\rangle$ se debe cumplir $\hat{a}\,\psi_o(x)=0$. ¿Cómo nos lleva esto a que $\psi_o(x)\propto e^{-x^2/(2x_o^2)}\,$?
¿Cómo obtendríamos otro estado $\psi_n(x)$ para $n$ arbitrario?
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Para cualquier autoestado $|n\rangle$ del oscilador armónico, ¿podemos mostrar sin hacer cuentas que los valores de expectación $\langle\hat{x}\rangle$ y $\langle\hat{p}\rangle$ se anulan?
¿Por qué no es tan directo calcular $\langle\hat{x}^2\rangle$ y $\langle\hat{p}^2\rangle$?
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Si para cada autoestado $|n\rangle$ del oscilador armónico tenemos caracterizados $\langle\hat{x}\rangle_{n}$, $\langle\hat{p}\rangle_{n}$, $\langle\hat{x}^2\rangle_{n}$ y $\langle\hat{p}^2\rangle_{n}$, y ahora analizamos un estado general $|\psi\rangle=\sum_{n=0}^\infty a_n|n\rangle$, ¿podemos afirmar algo a priori sobre $\langle\hat{x}\rangle_{\psi}$, $\langle\hat{p}\rangle_{\psi}$, $\langle\hat{x}^2\rangle_{\psi}$ y $\langle\hat{p}^2\rangle_{\psi}$?
¿Qué cálculos son realmente necesarios?
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Un oscilador armónico se encuentra en estado descripto por una gaussiana arbitraria. ¿Puede ser un estado de incertidumbre mínima?
Si la respuesta fue sí (eso esperamos), ¿el sistema evolucionará manteniendo siempre esa condición de incertidumbre mínima? ¿Por qué?
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Para usar el método variacional elegimos una función de prueba normalizada que depende de dos parámetros, $\alpha$ y $\beta$
\[
\langle\psi|\hat{H}|\psi\rangle = E_{\psi}(\alpha,\beta) \;.
\]
¿Qué condiciones deben imponerse a $E_{\psi}$ para dar la mejor estimación de la energía del estado fundamental?
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¿Cómo podría usarse el método variacional para estimar una (buena) cota superior para la energía del segundo estado excitado $E_2$?
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En el método de Rayleigh-Ritz podemos utilizar una base ortonormal, de modo que para la estimación de los primeros $n$ niveles debemos resolver la ecuación secular
\[
\text{det} \big(\hat{H}-E_\psi\hat{I}\big) = 0 \;.
\]
En el caso de contar con una base no ortonormal, debemos tener en cuenta la matriz de solapamiento $S_{ij} = \langle i|j\rangle$. ¿Podemos explicar dónde interviene esta matriz $\hat{S}$ y cómo llegamos a la correspondiente ecuación secular $\big[\,\text{det} \big(\hat{H}-E_\psi\hat{S}\big)\,\big]$?