Mecánica Cuántica I
Guía 6: Método variacional
10 de mayo de 2017
Problema 1: Una partícula de masa
está restringida a moverse en una dimensión entre
=
y
=
, donde el potencial es nulo. Obtenga una cota para la energía del estado fundamental utilizando la función de prueba
. Compare con la solución exacta.
Problema 2: Considere una partícula de masa
en un potencial de la forma
para
. Suponga
.
- Calcule la energía del estado fundamental en forma aproximada, usando para ello la solución del nivel fundamental del oscilador armónico eligiendo el
que más le convenga.
- Analice la validez de esta aproximación estudiando bajo qué condición esta frecuencia minimiza razonablemente
.
Problema 3: Teorema de Hellmann-Feynman:
- Pruebe que si un hamiltoniano depende de un parámetro
y
es una autofunción normalizada, es decir
(asumiendo condiciones apropiadas de diferenciabilidad de
y
),
entonces
- Muestre que si
, donde el potencial es negativo y
, las energías de los estados ligados son funciones decrecientes del parámetro
.
Problema 4: Muestre que si para el hamiltoniano unidimensional
se cumple:
- [i)]
es acotado por debajo; o sea:
para todo
de norma 1 en el dominio de
, donde
es una constante real;
- [ii)]
;
- [iii)]
;
- [iv)]
existe;
entonces
soporta al menos un estado ligado.
Ayuda: Use el resultado variacional general con una función de prueba gaussiana
para obtener una cota variacional de la energía y estudie el límite de
pequeño.
Problema 5: Considere el potencial unidimensional
- Usando el resultado del problema anterior determine una condición suficiente de existencia de estado ligado.
- Calcule el valor medio de la energía en un estado dado por la función de prueba
.
- Verifique que tomando
sobre el resultado del ítem anterior recupera la condición suficiente obtenida en el punto a).
- Observe que distintas elecciones de
pueden dar lugar a distintas condiciones suficientes para la existencia de un estado ligado. En particular, considere el valor medio de la energía de la función de prueba para el caso
y deduzca de ella una condición suficiente de existencia de estado ligado. Compare con la hallada en el ítem a) y discuta cuál de las dos condiciones es mejor en función del valor de
.
Problema 6: Considere un oscilador armónico de masa
sometido a una perturbación lineal, de modo que su energía potencial es:
- Utilice la función de prueba
donde las
corresponden al oscilador armónico simple (centrado en
) y calcule mediante el método de Ritz una cota para la energía del estado fundamental.
- Compare con la solución exacta del problema.
Problema 7: Considere el hamiltoniano
del oscilador armónico de masa
y frecuencia angular
y su estado fundamental
Aplique el método variacional de Ritz a las funciones
- Verifique que
son linealmente independientes si y sólo si
.
- Determine los valores estacionarios de
y grafíquelos como función de
. Determine los coeficientes respectivos.
- Demuestre que
donde
es la energía del primer estado excitado del oscilador. Determine el valor de
que minimiza esta cota.
- Comente en qué medida los valores estacionarios son aproximaciones a los dos primeros
estados ligados. Obtenga en qué caso la suma de los módulos de las diferencias entre las energías y sus aproximaciones es mínima.
- Considere los estados coherentes
y
con
. Usando la expansión de los estados coherentes en la base de autoestados del oscilador armónico, calcule los coeficientes de la expansión de los estados no normalizados
. Analice el límite
.
Cormick - Trincavelli - Castellano 10/05/2017