Mecánica Cuántica I

Guía 2: Paquetes de onda y transformadas de Fourier     

19 de marzo de 2025

Problema 1: Transformada de Fourier y operador inversión. Para funciones definidas en $\mathbb{R}^\alpha$ a valores complejos definimos la transformada de Fourier como

$$(\mathcal{F} f)(\vec{k}) = \frac{1}{(2 \pi)^{\alpha/2}} \; \int_{\mathbb{R}^\alpha} e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\, f(\vec{x}) \, \,{\rm d}^{\alpha}x$$

y su inversa (que cumple $\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{F}\mathcal{F}^{-1} = I$)

$$\left(\mathcal{F}^{-1} f\right)(\vec{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{\alph... ...hbb{R}^\alpha} e^{i\vec{k}\cdot\vec{x}}\,f(\vec{k}) \, \,{\rm d}^{\alpha}k \;.$$

Muestre que el operador inversión $\Pi$, definido de modo que $(\Pi f)(\vec{x}) = f(-\vec{x})$, tiene autovalores $\pm$1, y sus autovectores son las funciones pares e impares. Pruebe también que

$$\Pi^{2}=I \;;\quad \mathcal{F}^{-1}=\Pi\,\mathcal{F}=\mathcal{F}\,\Pi \;;\quad \mathcal{F}=\Pi\,\mathcal{F}^{-1}=\mathcal{F}^{-1}\,\Pi$$

$$\mathcal{F}^2=(\mathcal{F}^{-1})^{2}=\Pi \;;\quad \mathcal{F}^4=(\mathcal{F}^{-1})^4=I$$

Problema 2: En $\mathbb{R}$ (o sea para $\alpha=1$), denotando con $\phi$ a la transformada de Fourier de $\psi$ ( $\phi= \mathcal{F}\psi$), muestre que

$$\mathcal{F}\left(\frac{\,{\rm d}^n\psi(x)}{\,{\rm d}x^n}\right) =... ...\bigl(x^n\psi(x)\bigr) = \left(i\frac{\,{\rm d}~}{\,{\rm d}k}\right)^n \phi(k)$$

y para $\psi_i$, $\phi_j\,$ en $L^2$, demuestre la fórmula generalizada de Parseval-Plancherel

$$\int_{-\infty}^{\infty} \psi_1^{\ast}(x)\,\psi_2(x)\, \,{\rm d}x = \int_{-\infty}^{\infty} \phi_1^{\ast}(k)\,\phi_2(k)\, \,{\rm d}k \;.$$

Problema 3: Si $\psi(x)=\big(1/\sqrt{2\pi}\big)\,e^{-x^2/2}$, pruebe que $\phi(k)=Ae^{-k^2/2}$. Para ello vea que $\psi(x)$ satisface la ecuación

$$\left( \frac{\,{\rm d}~}{\,{\rm d}x} + x \right)\psi (x)=0 \;.$$

De las propiedades de la transformada de Fourier vea qué ecuación satisface $\phi(k)$. Halle $A=1/\sqrt{2\pi}$ evaluando $\psi(0)$.

Problema 4: Considere la “señal cuadrada” dada por la siguiente función de onda

$$\psi(x) = \left\{ \begin{array}{lcl} A \exp(ip_o x/\hbar) & \t... ...le a \\ 0\rule{0em}{1.2em} & \text{si} & \vert x\vert>a \end{array} \right.$$

1. Halle el valor de $A$ para que la función resulte normalizada ( $\int_{-\infty}^{\infty} \vert\psi(x)\vert^2\, \,{\rm d}x=1$).
2. Encuentre la función de onda $\varphi(p)$ en la representación momento y la correspondiente densidad de probabilidad $\left\vert\varphi(p)\right\vert^{2}$, usando que si $p=\hbar k$, en una dimensión se tiene:
   $$\varphi(p) = \frac{\phi(k)}{\sqrt{\hbar}} = (2\pi\hbar)^{-1/2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ipx/\hbar}\,\psi(x)\,\,{\rm d}x \;.$$

3. Calcule el valor esperado de la posición y la dispersión cuadrática asociada:
   $$\langle x\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x\,\vert\psi(x)\vert^2... ...ngle x \rangle^2 = \big\langle \bigl(x-\langle x\rangle\bigr)^2\big\rangle \;.$$

4. Calcule el valor esperado del momento $$\langle p\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} p \, \vert\varphi(p)\vert^2\, \,{\rm d}p \;\;$$ y muestre que la dispersión cuadrática asociada diverge. Analice los resultados.

Problema 5:Todas las integrales que necesitará en este problema son gaussianas.

1. Muestre que: $$\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left\{-\alpha t^2+\beta t\right\} \... ...{\pi}{\alpha}} \exp\left(\frac{\beta^2}{4\alpha}\right) ,\quad Re(\alpha)>0\;.$$

Considere ahora una función de onda gaussiana:

$$\psi(x) = N \exp\left[-\frac{(x-a)^2}{4\sigma^2}+\frac{i\,p_o x}{\hbar}\right] \quad ,$$    $a$ y $p_o$ reales, $\sigma >0$$$\;.$$

1. Determine $N$ para que $\psi(x)$ esté normalizada, el valor esperado de la posición y la dispersión cuadrática asociada.

2. Determine la función de onda $\varphi(p)$ en la representación momento.

3. Calcule el valor esperado del momento y la dispersión asociada.

4. Encuentre el producto de las dispersiones calculadas $\Delta x\,\Delta p$, y muestre que satisfacen el principio de incertidumbre.

Problema 6: Considere una partícula cuya función de onda a tiempo $t=0$ es la del problema anterior. Suponga que la partícula es libre y tiene masa $m$.

1. Determine la evolución temporal de la función de onda. Para ello, use que la evolución temporal es fácil de escribir en la representación de momento, es decir, calcule primero $\varphi(p,t)$ y luego antitransforme para obtener $\psi(x,t)$ usando:
   $$\psi(x,t) = (2\pi\hbar)^{-1/2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ipx/\hbar}\,\varphi(p,t)\,\,{\rm d}p \;.$$

2. Calcule los valores de expectación del momento y de la posición, y sus correspondientes dispersiones cuadráticas como función del tiempo, y discuta su comportamiento.
   Ayuda: puede ahorrarse algunas cuentas usando que $\vert\varphi(p,t)\vert^2 = \vert\varphi(p,0)\vert^2$. Para el cálculo del valor medio de la posición y su dispersión, conviene escribir $\vert\psi(x,t)\vert^2$ en una forma gaussiana comparable a la del problema anterior, de modo de no repetir la misma cuenta.
3. Calcule la densidad de corriente de probabilidad $j(x,t)$ para este paquete gaussiano, usando que en una dimensión
   $$j = -\frac{i\hbar}{2m} \left(\psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x} -\psi \frac{\partial \psi^*}{\partial x} \right)$$
   Verifique que el resultado obtenido es razonable analizando el signo de $j$ para los casos $p_o = 0$, $t=0$, y $a=0$.
4. Si este paquete de onda gaussiano corresponde a un electrón libre de 25 eV, con ancho espacial inicial $\sigma = 10^{-6}$ m, muestre que $(\Delta p)^2\!\ll\!\langle p^2 \rangle$, calcule $\langle p \rangle$, y halle la incertidumbre en la posición luego de que el electrón viaje 100 m.

Problema 7: Considere una partícula libre que se mueve a lo largo del eje $x$. Muestre que

1.      $$\frac{\,{\rm d}\langle x^2 \rangle}{\,{\rm d}t} = A(t) \;,\qquad A(t) = 2 \int x \, j(x,t) \, \,{\rm d}x \;.$$
2.      $$\frac{\,{\rm d}A}{\,{\rm d}t} = \frac{2\hbar^2}{m^2} \int \frac{... ...{\partial x} \, \,{\rm d}x = \frac{2}{m^2}\Vert\widehat{p}\,\psi\Vert^2 = cte.$$
3.      $$\langle x^2\rangle =\langle x^2\rangle_o + A(0)\,t + \frac{B}{2}\,t^2 \;.$$

Problema 8: Dada una función de onda $\psi(x)$ el valor de expectación de una función analítica de la posición $f(x)$ está dado por

$$\langle f\rangle = \int \,{\rm d}x\; f(x)\left\vert\psi(x)\right\vert^2 \;.\qquad$$

Demuestre que esta expresión puede ser reescrita como

$$\hspace{14em}\langle f\rangle = \int \,{\rm d}p\; \varphi^{\ast}(p)\, f\left(i\hbar\frac{\,{\rm d}}{\,{\rm d}p}\right)\varphi(p) \;,$$

donde $\varphi(p)$ es la transformada de Fourier de $\psi(x,t)$ (representación momento).

Ayuda: Use el desarrollo en serie de Taylor $f(x)=\sum_{n=0}^\infty f_n x^n$, la relación para una dimensión $\phi(k) = \sqrt{\hbar}\,\varphi(p)$ y los resultados del problema 2 de esta guía.

Problema 9: La ecuación de Schrödinger en la representación momento.

1. Muestre que la ecuación de Schrödinger para una partícula de masa $m$ en una dimensión y bajo la acción de un potencial (analítico) $V(x)$, en la representación momento puede escribirse como
   $$i\hbar \frac{\partial\varphi(p,t)}{\partial t~~~} = \left[ \frac{... ... + \,V \left( i\hbar\frac{\partial}{\partial p}\right) \right] \,\varphi(p,t)$$

2. Escriba la ecuación de Schrödinger en la representación momento para el caso particular de un oscilador armónico unidimensional de frecuencia $\omega_o$ y masa $m\,$ tal que $V(x)=\frac{1}{2}m\omega_o^2 x^2$. Compárela con la correspondiente representación posición y relacione las soluciones en ambas representaciones sin utilizar la transformada de Fourier.