Mecánica Cuántica I

Guía 3: Espacios de Hilbert y operadores     

28 de marzo de 2025

Problema 1: Identidades de polarización. Usando $\Vert f\Vert=\sqrt{\langle f\vert f\rangle }$, verifique que

$$\langle f \vert g \rangle = \frac{1}{4} \Bigl( \Vert f+g \Vert^2 - \Vert f-g \Vert^2 + i\,\Vert f-ig\Vert^2 - i\,\Vert f+ig\Vert^2 \Bigr) \;,$$

lo que permite expresar el producto escalar complejo $\langle\cdot\vert\cdot\rangle$ en términos de la norma asociada. Verifique también que, para un operador lineal $\hat{A}$, vale

$$\langle f\vert\hat{A}g \rangle = \frac{1}{4} \Bigl\{\langle f+g\v... ...at{A}\,(f-ig) \rangle - i \langle f+ig\vert\hat{A}\,(f+ig) \rangle\Bigr\} \;,$$

(Observe que la primera identidad de polarización es consecuencia de la segunda.)

Problema 2: Desigualdad triangular. Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, $\vert\langle f \vert g \rangle \vert^2 \leq \langle f\vert f\rangle \langle g \vert g\rangle$, muestre que para la norma $\Vert\cdot\Vert$ asociada a un producto escalar sobre un espacio vectorial se tiene

$$\bigl\vert \left( \Vert f\Vert - \Vert g\Vert \right) \bigr\vert\; \leq\; \Vert f+g\Vert \leq \Vert f\Vert + \Vert g\Vert \;,$$

cualesquiera sean los vectores $f$ y $g$.

Problema 3: Dado un operador lineal $\hat A$, su adjunto se define como el operador $\hat A^\dagger$ tal que, para cualquier par de vectores en el espacio de Hilbert, vale $\langle{\phi}\vert \hat A^\dagger \vert{\psi}\rangle = (\langle{\psi}\vert \hat A \vert{\phi}\rangle )^*$. Dados dos operadores lineales $\hat{A}\,$ y $\hat{B}$, y $\alpha\,$ un número complejo, demuestre que

1. $( \alpha\,\hat{A}+\hat{B})^\dagger = \alpha^*\,\hat{A}^\dagger + \hat{B}^\dagger\,$;
2. $(\hat{A}\,\hat{B})^\dagger = \hat{B}^\dagger\,\hat{A}^\dagger\,$;
3. $\big(\hat{A}^{-1}\big)^\dagger = \big(\hat{A}^\dagger\big)^{-1}\,$;
4. $\big( \hat{A}^\dagger \big)^\dagger = \hat{A}\,$.

Problema 4: Dados dos operadores autoadjuntos $\hat{A}\,$ y $\hat{B}$, ¿qué puede decir sobre la hermiticidad de los siguientes operadores: $\hat{A}\hat{B}\,$, $\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}\,$, $[\hat{A},\hat{B}]\,$, $i[\hat{A},\hat{B}]\,$?

NOTA: en un espacio de dimensión finita todo operador hermitiano es autoadjunto

Problema 5: Muestre que para el operador exponencial se cumplen las siguientes propiedades:

1. $e^{(t+s)\hat{A}} = e^{t\hat{A}}\,\,e^{s\hat{A}}\,$;
2. si $\hat{A}$ y $\hat{B}\,$ conmutan entonces $e^{\hat{A}+\hat{B}}=e^{\hat{A}}\,e^{\hat{B}}\,$;
3. $$\frac{\,{\rm d}\,e^{t\hat{A}}}{\,{\rm d}\,t}=\hat{A}\, e^{t\hat{A}}\,$$.

Problema 6: Muestre que los autovectores de un operador $A$ también son autovectores de $B= f(A)$ y encuentre los autovalores de $B$ en términos de los de $A$.

Problema 7: a) Muestre que cualquier operador lineal puede ser escrito como combinación lineal de dos operadores autoadjuntos.

b) Muestre que si $\hat{A}$ es un operador autoadjunto el operador $\hat{U}=e^{i\hat{A}}\,$ es unitario.

Problema 8: Dados los operadores $\hat{A}$, $\hat{B}\,$ y $\hat{C}\,$ demuestre que

1. $[\hat{A},\hat{A}]=0\,$.
2. $[\hat{A},\hat{B}]+[\hat{B},\hat{A}]=0\,$.
3. $[\hat{A},\hat{B}+\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]+[\hat{A},\hat{C}]\,$.
4. $[\hat{A},\hat{B}\,\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]\hat{C}+\hat{B}[\hat{A},\hat{C}]\,$.
5. $[\hat{A},[\hat{B},\hat{C}]]+[\hat{C},[\hat{A},\hat{B}]]+[\hat{B},[\hat{C},\hat{A}]]=0\,$ (identidad de Jacobi).
6. $$e^{\hat{A}}\hat{B}\,e^{-\hat{A}}=\hat{B}+[\hat{A},\hat{B}]+\frac{... ...A},[\hat{A},\hat{B}]]+\frac{1}{3!}[\hat{A},[\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]]]+\cdots$$

   
   (una de las fórmulas de Baker-Campbell-Hausdorff).
   Sugerencia: Escriba el desarrollo en Serie de Taylor de la función $$e^{t\hat{A}}\hat{B}\,e^{-t\hat{A}}$$ alrededor de $t$.

7. Si $\hat{A}$ y $\hat{B}$ conmutan con sus conmutadores, entonces:
   1. $[\hat{A},\hat{B}^N] = N\hat{B}^{N-1}[\hat{A},\hat{B}]$ ; $[\hat{A}^N,\hat{B}] = N\hat{A}^{N-1}[\hat{A},\hat{B}]\,$;
   2. $e^{\hat{A}}\,e^{\hat{B}} = e^{\hat{A}+\hat{B}+[\hat{A},\hat{B}]/2} = e^{\hat{B}}\,e^{\hat{A}}\,e^{[\hat{A},\hat{B}]}\,$.
      Sugerencia: Considere la función $f(s) = e^{s \hat A} e^{s \hat B}$, calcule su derivada con respecto a $s$, y reescríbala usando el resultado del ítem f).

Problema 9: Calcule los autovalores y autovectores de cada una de las matrices de Pauli

$$\sigma_x = \left(\begin{array}{rr} 0 & 1\\ 1 &0 \end{array}\right... ...ace{4em} \sigma_z = \left(\begin{array}{rr} 1 &0\\ 0 &\!-1 \end{array}\right)$$

Problema 10: a) Cuál es la acción del operador cuya matriz en una base $\{\vert{1}\rangle , \vert{2}\rangle , \vert{3}\rangle \}$ ortogonal de $\mathbb{R}^3$ es

$$R= \left(\begin{array}{ccc}0 &0 &1\\ 1 &0 &0\\ 0 & 1 &0 \end{array} \right)$$

1. Compruebe que $R$ es unitaria.

Problema 11: Construya un ejemplo de una función sobre $\mathbbR$ de módulo cuadrado integrable pero que no tienda a cero cuando $\vert x\vert\to \infty$ ( $x \in \mathbbR$).
Sugerencia: un peine con infinitos dientes rectangulares o triangulares.

Problema 12: a) Muestre que los operadores posición $\hat{\mbox{\boldmath ${r}$}}\,$ y momento lineal $\hat{\mbox{\boldmath ${p}$}}=-i\hbar\nabla\,$ no pueden estar definidos sobre todo $L^2(\mathbb{R}^n)\,$, encontrando ejemplos $\psi_x$ y $\psi_p\in L^2(\mathbb{R})$ tales que $\,(\hat{x}\,\psi_x)\notin L^2(\mathbb{R})\,$ y $\,(\hat{p}\,\psi_p)\notin L^2(\mathbb{R})\,$.

1. El espacio de Schwartz ${\cal{S}}(\mathbb{R}^n)\,$ es el subespacio de $L^2(\mathbb{R}^n)\,$ de funciones infinitamente diferenciables y que tienden a 0 para ${r}$$\to\infty\,$ más rápido que cualquier polinomio. Muestre que los operadores posición, momento lineal y momento angular $\hat{\mbox{\boldmath ${L}$}}=\hat{\mbox{\boldmath ${r}$}}\times\hat{\mbox{\boldmath ${p}$}}\,$ definidos sobre ${\cal S}(\mathbb{R}^3)\,$ son autoadjuntos.
2. Calcule los conmutadores $\left[ {\hat{p}_j{}}^2,f(\hat{\mbox{\boldmath ${r}$}}) \right]\,$ y $\left[ \hat{L}_j,\hat{L}_k \right] \;,\quad j,k=x,y,z\,$.
3. Para $n=1$, calcule $[{\hat{x}\,}^2,{\hat{p}\,}^2]$.

Problema 13: Considere la función de onda $\psi(x) = A (\sigma+x) \exp{(-x^2/4\sigma^2)}$, con $A\,$ y $\sigma\,$ constantes positivas.

1. Halle $A$ tal que $\psi$ esté normalizada.
2. Suponga que se realiza una medición de la paridad, correspondiente al operador (hermítico) de inversión $\Pi$. Indique cuáles son los valores que pueden medirse y con qué probabilidad.
3. En cada caso, indique cuál es la función de onda para el instante posterior a la medición.
4. En cada caso, indique cuál es el resultado si se vuelve a realizar, inmediatamente, una nueva medición de la paridad.

Problema 14: Demuestre el llamado “Teorema de Ehrenfest”: Si $\hat H = \hat{\mbox{\boldmath ${p}$}}^2/2m + V(\hat{\mbox{\boldmath ${r}$}})$, los valores esperados de las variables dinámicas cuánticas $\hat{\mbox{\boldmath ${r}$}},\,\hat{\mbox{\boldmath ${p}$}}$ satisfacen ecuaciones de movimiento análogas a las clásicas.

Problema 15: Considere las ecuaciones de evolución de Heisenberg especificadas por el hamiltoniano (autoadjunto) $\hat{H}$: $\hat{A}(t) = \hat{U}_t^\dagger \hat{A}\,\hat{U}_t\,$, donde $\hat{U}_t = \exp(-it\hat{H}/\hbar)$. Muestre que: $[\hat{A}(t)]^\dagger=\hat{A}^\dagger(t)\,$, $(z\hat{A}+\hat{B})(t)=z\hat{A}(t)+\hat{B}(t)\,$ para $z\in\mathbb{C}$, y $(\hat{A}\hat{B})(t)=\hat{A}(t)\,\hat{B}(t)\,$.

Problema 16: Considere un oscilador armónico unidimensional de masa $m$ y constante de Hooke $k$, de modo que la frecuencia angular es $\omega=\sqrt{k/m}$.

1. Recordando las soluciones clásicas, resuelva las ecuaciones de movimiento (de Heisenberg) para los operadores posición $\hat{x}$ y momento $\hat{p}$.
2. Introduzca el operador (las constantes se eligen solamente para obtener un operador adimensional)
   $$\hat{a} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\; \hat{x}\, + i \sqrt{\frac{1}{2\hbar m\omega}}\; \hat{p}$$
   y su adjunto $\hat{a}^\dagger$. Resuelva ahora las ecuaciones de movimiento para $\hat{a}\,$ y $\hat{a}^\dagger\,$.
3. Verifique que el operador $\hat{a}\,$ no es normal calculando el conmutador con su adjunto.
4. ¿Qué puede deducir del hecho que $\hat{a}^\dagger(t)\,\hat{a}(t)\,$ es independiente del tiempo? Exprese el hamiltoniano del oscilador armónico en términos del operador $\hat{a}$ y su adjunto.