Mecánica Cuántica I

Guía 7: Momento angular orbital     

16 de mayo de 2025

Problema 1: a) A partir de la definición del operador momento angular orbital cuántico, demuestre las relaciones de conmutación

$$[\hat{L}_i,\hat{L}_j]=i\hbar\,\varepsilon_{ijk}\,\hat{L}_k\;, \qq... ...ilon_{ijk}\,\hat{p}_k\;, \qquad [\hat{L^2},\hat{L_k}]=0 \qquad (k=x,y,z) \;.$$

Estas relaciones de conmutación se toman como propiedad básica de los momentos angulares, no solamente del momento angular orbital.

1. Utilizando las definiciones $\hat{\,J_{\pm}}$= $\hat{J_x}\pm i\,\hat{J_y}\,$ para cualquier momento angular, demuestre las relaciones
   $$[\hat{J}^2,\hat{\,J_\pm}] = 0 \;,\qquad [\hat{\,J_+},\hat{\,J_-}... ...,\hat{J_z} \;, \qquad [\hat{J_z},\hat{\,J_\pm}] = \pm\hbar\,\hat{\,J_\pm} \;,$$
   y también
   $$\hat{\,J_+}\hat{\,J_-} = \hat{J_x^2} + \hat{J_y^2} + \hbar\,\hat{... ...J_y^2} - \hbar\,\hat{J_z} = \hat{J}^2 - \hat{J_z^2} - \hbar\,\hat{J_z} \quad.$$

Problema 2: a) Escriba las componentes cartesianas del operador momento angular orbital $\hat{\bm{L}}=\hat{\bm{r}}\times\hat{\bm{p}}=-i \hbar \;\hat{\bm{r}}\times\nabla\,$ y las expresiones de los operadores $\hat{L}_+\,$, $\hat{L}_-\,$ y $\hat{L}^2\,$ en coordenadas esféricas.

1. Use que las autofunciones de $\hat{L}^2\,$ y $\hat{L}_z\,$ tienen la forma $Y_{\ell}^m(\theta,\varphi)=\Theta_{\ell,m}(\theta)\,e^{im\varphi}\,$ para encontrar $Y_{\ell}^{\ell}$, sabiendo que $\hat{L}_+\,Y_{\ell}^{\ell}=0$. Muestre que todas las autofunciones de $\hat{L}^2\,$ pueden ser obtenidas de esta manera usando lo encontrado en el inciso (a).
2. Suponga que $\ell\,$ puede tomar valores semienteros, calcule entonces $Y_{1/2}^{1/2}\,$ como se describe en el inciso (b), y $Y_{1/2}^{-1/2}\,$ utilizando $\hat{L}_-\,$. Luego calcule $Y_{1/2}^{-1/2}\,$ a partir de la ecuación $\hat{L}_-Y_{1/2}^{-1/2}=0\,$ y muestre que arroja resultados contradictorios. Esto puede tomarse como argumento de la ausencia de valores semienteros para el momento angular orbital.

Problema 3: Considere una partícula de masa $\mu$ restringida a moverse en una circunferencia de radio $a$. Muestre que $\hat{H}=\hat{L}_z^2/2\mu a^2$. Resuelva el problema de autovalores de $\hat{H}$ e interprete la degeneración de los mismos.

Problema 4: Analice las dispersiones de las componentes $\hat{J_x}$ y $\hat{J_y}$ para un autoestado $\vert j,m\rangle\,$ de los operadores $\hat{J}^2$ y $\hat{J_z}$. ¿Cuándo son mínimas o máximas?

Problema 5: Muestre que para un sistema en el autoestado $\vert\ell ,m\rangle\,$ de los operadores $\hat{L}^2$, $\hat{L}_z$, el valor esperado de la componente del operador momento angular orbital a lo largo de una dirección $\bm{n}\,$ de ángulo polar $\theta\,$ es igual a $m\hbar\cos\theta$.

Problema 6: Sea $\hat{\Pi}\,$ el operador paridad dado por $(\hat{\Pi}\psi)(\bm{r})=\psi(-\bm{r})$. Verifique, que en coordenadas esféricas $(r,\theta,\phi)\,$ se tiene

$$(\hat{\Pi}\psi)(r,\theta,\phi) = \psi(r,\pi-\theta,\phi+\pi)$$

Muestre que $[\hat{\Pi},\hat{\bm{L}}]\!=\!0\,$ y, utilizando este resultado, que los armónicos esféricos $Y_{\ell}^m\,$ tienen paridad definida, la cual depende solo del número cuántico $\ell$.

Problema 7: a) Conociendo que

$$\hat{L}_{+}\vert{\ell,m}\rangle _z= \hbar\sqrt{(\ell-m)(\ell+m+1)}\;\vert{\ell,m+1}\rangle _z ~~$$

$$\hat{L}_{-}\vert{\ell,m}\rangle _z = \hbar\sqrt{(\ell+m)(\ell-m+1)}\;\vert{\ell,m-1}\rangle _z \;,$$

utilice algún argumento para establecer que

$$\hat{J}_{+}\vert{\ell,m_x}\rangle _x = \hbar\sqrt{(\ell-m_x)(\ell+m_x+1)}\;\vert{\ell,m_x+1}\rangle _x ~~$$

$$\hat{J}_{-}\vert{\ell,m_x}\rangle _x = \hbar\sqrt{(\ell+m_x)(\ell-m_x+1)}\;\vert{\ell,m_x-1}\rangle _x \;,$$

donde $\hat{J}_{\pm}\equiv \hat{L}_y\pm i \hat{L}_z\,$ y $\,\hat{L}_{x}\vert{\ell,m_x}\rangle _x=\hbar m_x \vert{\ell,m_x}\rangle _x$ .

1. Usando la acción de $L_\pm$ y $J_\pm$, calcule los productos de la forma ${}_z\langle 1,1\vert 1, m_x\rangle_x$.

Problema 8: Una partícula interactúa con un campo externo de manera tal que el Hamiltoniano está dado por

$$\hat{H}= \alpha\, \hat{L}_{x} \;;\qquad \alpha> 0,$$

En $t=0$ su estado está dado por

$$\vert{\psi}\rangle = \frac1{\sqrt2} \Bigl( \,\vert,0\rangle_{z}+ \vert 1,1\rangle_{z}\Bigr)$$

donde el miembro de la derecha está expresado en términos de las autofunciones $\vert\ell,m\rangle_{z}\,$ comunes del par $\hat{L}^2\,$ y $\hat{L}_{z}\,$. Utilizando la información obtenida en el problema anterior,

1. encuentre el espectro de energías para este hamiltoniano;
2. exprese $\psi$ en la base $\vert\ell,m_{x} \rangle_{x}$ y calcule $\psi(t)$ para todo $t$;
3. calcule para todo tiempo las probabilidades de medir: energía cero, energía distinta de cero, $L_x\!=\!\hbar$ y $L_z\!=\!\hbar$.

Problema 9: Muestre que si $\psi(x,y,z)\!=\!f(r^2)\,g(x,y,z)$, entonces vale que $\hat L_j \psi = f \hat L_j g$ ( $j\!=\!x,y,z$), y por lo tanto también $\hat{L}_j^2\,\psi = f\,\hat{L}_j^2\,g\,$, y $\hat{L}^2\psi = f\,\hat{L}^2g$.

Problema 10: Para un estado representado por la función de onda

$$\psi(x,y,z) = N e^{-\alpha r^{2}}(x+y)z\;,\quad\alpha >0\;,$$

donde $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$,

1. determine la constante de normalización $N\,$ en términos del parámetro $\alpha\,$;
2. calcule los valores esperados y dispersiones de $\hat{\bm{L}}\,$ y de $\hat{L}^2$.

   Sugerencia: use los resultados del problema anterior, y note que $\psi$ es autoestado de $\hat{L}^2$.

Problema 11: a) Pruebe que los operadores $\hat{\bm{r}},\,\hat{\bm{p}},\,\hat{\bm{L}}$ actuando en $L^2(\mathbb{R}^3)\,$ son vectoriales y que $\hat{\bm{r}}^2\,$ y $\hat{\bm{p}}^2\,$ son operadores escalares.

1. Pruebe que si $\bm{\hat{A}}\,$ y $\bm{\hat{B}}\,$ son operadores vectoriales, entonces $\bm{\hat{A}}\cdot\bm{\hat{B}}\,$ es un operador escalar.
2. Pruebe que para que un operador $\hat{A}$ conmute con todas las componentes de $\hat{\bm{L}}$, es suficiente que conmute con dos de ellas.

Problema 12: Representación matricial del momento angular. Considere el caso en que $\ell =1.$

1. Encuentre las matrices que representan a $\hat{L}^2,\hat{L}_z,\hat{L}_{\pm},\hat{L}_x,\hat{L}_y\,$.
2. Use las matrices para escribir las relaciones de conmutación $[\hat{L}_i,\hat{L}_j]\,$, con $i,j=x,y,z$.
3. Verifique que $\hat{L}_{z}^{3}=\hbar^{2}\hat{L}_{z}\,$.

*Problema 13: El oscilador armónico bidimensional. Considere una partícula de masa $\mu$ que solo puede moverse en el plano $x$- $y$, bajo la acción de un potencial $V(x,y)=(\mu\omega^2/2) (x^2+\alpha y^2)\quad(\alpha > 0)$.

1. Encuentre las autofunciones y los autovalores para el hamiltoniano trabajando en coordenadas cartesianas.
2. Para $\alpha=1$, muestre que $[H,L_{z}]=0$ y reduzca el problema de autovalores de $H$ al de la ecuación diferencial para la función de onda radial $R(r)$.
3. Examine la ecuación para $r\to0$ y muestre que
   $$R(r) _{\overrightarrow{r\to0}}\; r^{\vert m\vert}$$
   con $m$ entero. Analizando el límite $r\to\infty$, verifique que puede escribirse
   $$R(r)=r^{\vert m\vert}\exp(-\mu\omega r^{2}/2\hbar) u_{m}(r) \; .$$

4. Realizando las sustituciones $\epsilon=E/\hbar\omega$, $y=(\mu\omega /\hbar)^{1/2}r$, muestre que debe satisfacerse la siguiente ecuación diferencial:
   $$u_{m}^{\prime\prime}+\left[ \left( \frac{2\left\vert m\right\vert... ...ight) -2y \right] u_{m}^{\prime} +( 2\epsilon-2\vert m\vert -2) u_{m} = 0 \; .$$

5. Escribiendo $u_{m}(y)=\sum_{\ell=0}^{\infty}C_{\ell}y^{\ell}$, halle la relación de recurrencia entre $C_{\ell+2}$ y $C_{\ell}$. Demuestre que $\ell$ debe ser necesariamente par. Infiera entonces que los valores permitidos para la energía son $E_{n}=(n+1)\hbar\omega$, con $n=0,1,2,\dots$
6. Para un dado $n$, >cuáles son los valores permitidos de $\vert m\vert$? A partir de esta información muestre que la degeneración del nivel $n$ es $n+1$.
7. Escriba las autofunciones normalizadas completas para $n=0,1$.