Mecánica Cuántica I

Guía 8: Movimiento en un potencial central     

5 de junio de 2025

Problema 1: Encuentre las autofunciones de una partícula libre en tres dimensiones. Compare las autofunciones basadas en el conjunto de observables $\hat{H}$, $\hat{L}^2\,$ y $\hat{L}_z$, con las autofunciones de ondas planas, para las cuales el movimiento está caracterizado por los observables $\hat{H}$, $\hat{p}_x$, $\hat{p}_y\,$ y $\hat{p}_z$.

Problema 2: Determine la condición para los autovalores de un sistema tridimensional en pozo (central) de potencial

$$V(r)\,=\, \left\{ \begin{array}{rlll} -V_0 & r & < & R \\ 0 & r & > & R \end{array} \right.$$

Compare la ecuación resultante para estados $S$ ($\ell =0$) con la obtenida para el pozo unidimensional y escriba una condición de existencia para estados ligados. Determine una condición para existencia de estados ligados con $\ell > 0$.

Problema 3: Si $\hat{H}$ es la suma de un operador autoadjunto $\hat{H}_o$ y una “perturbación” definida positiva, con argumentos variacionales pruebe que la energía del estado fundamental de $\hat{H}_o$ está por debajo de la energía del estado fundamental de $\hat{H}$. Aplique este argumento para probar que en un potencial central el estado fundamental de una partícula ligada es un estado $S$ ($\ell =0$).

Problema 4: Considere un oscilador tridimensional isotrópico cuántico, es decir una partícula de masa $\mu$ sometida a un potencial radial $V(r)=\mu\omega^2 r^2/2$.

1. Resuelva la ecuación de Schrödinger en coordenadas cartesianas, mediante separación de variables. Verifique que los niveles de energía $E_n\,,\,n=0,1,2,\dots$, enumerados de modo que $E_0<E_1<E_2\dots$ tienen multiplicidad $(n+1)(n+2)/2$.

Para resolver ahora el problema en coordenadas esféricas, se propone la separación habitual $\psi(r,\theta,\varphi)\!=\!R(r)\,Y_\ell^m(\theta,\varphi)$.

1. Analizando la ecuación radial para $r\to\infty\,$ y $r\to0\,$ verifique que los comportamientos extremos sugieren la factorización
   $$R(r) = r^\ell \exp\left( -\frac{\mu\omega}{2\hbar} r^2 \right) \, f(r) \;.$$
   ¿Qué condiciones deben imponerse a $f(r)$?
2. Verifique que
   
   $$R'(r) = R \left[ \frac{\ell}{r} - \frac{\mu\omega r}{\hbar} + \frac{f'(r)}{f(r)} \right] \;,\hspace{10em}$$
   y encuentre una expresión similar para $R''(r)$. Muestre que la ecuación diferencial resultante permite identificar a $f(r)\,$ con polinomios asociados de Laguerre $L^{(\alpha)}_k(x)$, los que satisfacen la ecuación diferencial
   $$x\,\frac{\,{\rm d}^2 L^{(\alpha)}_k(x)}{\,{\rm d}x^2~~~} + (\alph... ...)\,\frac{\,{\rm d}L^{(\alpha)}_k(x)}{\,{\rm d}x~~~} + k\,L^{(\alpha)}_k(x) = 0$$   $$\mbox{(con $\alpha\,$\ real y $k\,$\ entero)}$$$$,$$

   para lo cual es conveniente utilizar la energía reducida $\epsilon\!=\!2E/\hbar\omega$ y hacer la sustitución $x\!=\!\mu\omega r^2/\hbar$, identificando luego $\alpha\!=\!\ell\!+\!1/2$. Escriba entonces los correspondientes autovalores para la energía y encuentre la correspondencia entre los números cuánticos del punto (a) y del (b) (vea la figura). Para los dos autovalores más bajos de energía relacione las autofunciones halladas mediante los dos métodos. Escriba también la autofunción con $\ell=2$, $m=0$, cuya parte radial presenta un nodo como expansión de las correspondientes autofunciones en coordenadas cartesianas.

    
   

Problema 5: A partir de la definición de las componentes del momento angular orbital $\hat{L}_j=\varepsilon_{jk\ell}\,\hat{x}_k\hat{p}_\ell\,$ (sumando índices repetidos), demuestre que

$$\hat{L}^2 = r^2\hat{p}^2 - (\bm{r}\cdot\hat{\bm{p}})^2 + i\hbar\,(\bm{r}\cdot\hat{\bm{p}}) \;.$$

Problema 6: Muestre que definiendo $$\hat{p}_r\equiv -i\hbar\,\left(\frac{\partial~}{\partial r} + \frac{1}{r}\right)\,$$ se cumple $[\hat{r},\hat{p}_r]\!=\!i\hbar\hat{I}$, de manera que puede arribarse a una relación similar a la clásica

$$\hat{\bm{p}}^2 = \hat{p}_r^2 + \frac{1}{r^2}\, \hat{L}^2 \;.$$

Problema 7:Tratamiento analítico del problema del átomo hidrogenoide. Suponga una partícula de carga $e\,$ sometida a la energía potencial de atracción de Coulomb debida a una carga fija $+Ze$, es decir, $V(r)=-Ze^2/r$. Estudiamos los estados ligados, correspondientes a $E<0$.

1. Verifique que la ecuación radial reducida para este problema es de la forma
   $$-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{\,{\rm d}u^2(r)}{\,{\rm d}r^2} + \left( \frac{\hbar^2\,\ell(\ell+1)}{2\mu r^2} - \frac{Ze^2}{r} \right) u(r) = E\,u(r)$$

2. Estudie los límites $r\to0$ y $r\to\infty$. Analice entonces para la solución general
   $$u(\rho)=\rho^{\ell+1}\,e^{-\rho}\,w(\rho)\;,$$   donde$$\quad \rho=\sqrt{\frac{-2\mu E}{\hbar^2}}r\;,$$
   qué condiciones deben imponerse a $w(\rho)$.
3. Verifique que la ecuación resultante para $w(\rho)$ es
   $$\rho\frac{\,{\rm d}^2w}{\,{\rm d}\rho^2}+2(\ell+1-\rho)\frac{\,{\rm d}w}{\,{\rm d}\rho}+(\rho_o-2\ell-2)w=0,$$
   con $\rho_o=\sqrt{2\mu}Ze^2/(\sqrt{\vert E\vert}\hbar)$
4. Una alternativa para resolver la ecuación del inciso anterior es proponer
   $$w(\rho)=\sum_{k=0}^\infty a_k\, \rho^k,$$
   y buscar la relación entre sus coeficientes. Encuentre que esa relación de recurrencia es
   $$a_{k+1}=a_k\frac{2(k+\ell+1)-\rho_o}{(k+1)(k+2\ell+2)} \;.$$

5. Analice nuevamente los límites asintóticos para ver que se tiene que cumplir la condición
   $$\rho_o=2(N+\ell+1) \;,$$   con$$\quad N=0,1,2,\dots$$

6. Muestre que la energía resultante es
   $$E_n=-\frac{Z^2\mu e^4}{2\hbar^2 n^2} \;.$$
   ¿Qué dependencia tiene $n\,$ con $\rho_o$, $N\,$ y $\ell\,$?
7. Obtenga explícitamente las funciones de onda radiales del átomo de hidrógeno para $n=1,2\,$ y 3. Grafíquelas.

Problema 8: Muestre que la suma de un pequeño término de la forma $1/r^2\,$ al potencial de Coulomb remueve la degeneración de los estados con diferente $\ell$. Los niveles de energía aún están dados por una fórmula del tipo de Balmer, pero $n\,$ difiere de un entero en una cantidad dependiente de $\ell$.

Problema 9: Considere una partícula moviéndose en un potencial central de Yukawa o Coulomb apantallado:

$$V(r)=-V_o \frac{e^{-r/a}}{r/a} \;,$$

con $V_o$, $a>0$. Aplique el método variacional usando como función de prueba $R(r) = e^{-\beta r/a_o},$ con el parámetro $\beta\,$ variable y $a_o$ el radio de Bohr. Obtenga la mejor función de prueba de esta forma y deduzca una relación entre $\beta\,$ y $2\mu V_o a^2/\hbar^2\,$ que permita garantizar un estado ligado. Evalúe $\beta\,$ y calcule una cota superior a la energía fundamental para el valor de $2\mu V_o a^2/\hbar^2=2,7$.

¿Existe algún estado excitado ligado?

Muestre que en el límite del potencial de Coulomb ( $V_o \to 0, a \to \infty, V_o\, a\,$ finito) se obtienen la energía y la función de onda correctas para el átomo de hidrógeno.