Sección eficaz

 

En un experimento de dispersión de partículas se observan colisiones entre un haz de partículas incidentes (proyectiles) y el material irradiado (blanco). El número total de colisiones ocurridas es proporcional al número de partículas incidentes, y también será proporcional al número de blancos dispersores. El producto de estos experimentos es lo que observamos, es decir el número de estas colisiones que resultan en deflexiones en una determinada dirección. En general, una parte importante del haz incidente no sufre ninguna interacción y por lo tanto atraviesa el blanco sin modificar su estado.

 

La motivación aquí es contar con una magnitud representativa del número de partículas d $N(\theta,\varphi)\,$ dispersadas por cada blanco (y por unidad de tiempo) en un entorno d$\Omega\,$ de la dirección ( $\theta,\varphi$), normalizadas con respecto al haz incidente. Si el número de partículas incidentes por unidad de área y por unidad de tiempo es $J_i\,$, se define entonces la sección eficaz diferencial $\,{\rm d}\sigma\,$ a través de la relación

$$\frac{\,{\rm d}\sigma}{\,{\rm d}\Omega} = \frac{1}{J_i}\,\frac{\,{\rm d}N(\theta,\varphi)}{\,{\rm d}\Omega~~} \;.$$ (47)

La sección eficaz es proporcional a la probabilidad de que ocurra una dispersión, y tiene unidades de área, por la manera elegida para su normalización: por eso se denomina sección, y a menudo también sección transversal (cross-section).

La sección eficaz total se obtiene integrando en todas las direcciones

$$\sigma = \int \,{\rm d}\Omega\; \frac{\,{\rm d}\sigma}{\,{\rm d}\Omega} \;,$$

y es proporcional a la probabilidad de que ocurra una dispersión hacia cualquier ángulo. También puede interpretarse a $\sigma\,$ como el área frontal que encuentra el proyectil al pasar por el entorno de la partícula blanco que se irradia.

Los experimentos de dispersión siempre refieren sus coordenadas con respecto al laboratorio, aunque la teoría en general se desarrolla utilizando como referencial el centro de masa de las partículas que interactúan. La conexión entre ambos referenciales se realiza directamente, a través de consideraciones geométricas, para lo cual es útil repasar el planteo clásico; si bien en cuántica las partículas se representan como paquetes de onda, estas relaciones se trasladan directamente ya que representan de alguna manera las posibles transferencias de impulso o energía. Para ello recordamos que en el caso de un choque elástico, como los vectores posición de la partícula $j$=1,2 en el referencial laboratorio ( $\bm{r}_{jL}\,$) y el centro de masa ( $\bm{r}_{jC}\,$) están conectados a través del vector posición del centro de masa $\bm{R}\,$

$$\bm{r}_{jL} = \bm{r}_{jC} + \bm{R} \;,$$

podemos relacionar las velocidades de ambas partículas en ambos referenciales, por ejemplo (ejercicio)

$$\bm{v}_{1C} = \frac{\mu_2}{\mu_1+\mu_2}\bm{v}_{1L} \;.$$

Planteando la conservación del impulso total y de la energía obtenemos (ejercicio)

$$\cos\theta_1 = \frac{\cos\theta+\displaystyle\frac{\mu_1}{\mu_2}}... ...displaystyle\left(\frac{\mu_1}{\mu_2}\right)^2+2\frac{\mu_1}{\mu_2}\cos\theta}}$$   y$$\qquad \theta_2 = \frac{\pi-\theta}{2} \;.$$

Estas relaciones permiten desarrollar todo el formalismo en el sistema centro de masa, sabiendo que podemos recurrir a ellas para contrastar cualquier experimento realizado en el referencial del laboratorio.

Queda claro entonces que la sección eficaz diferencial depende del sistema de referencia desde el que se realiza la descripción, lo que es evidente al relacionar las partículas colectadas en el detector según ambos referenciales

$$\left(\frac{\,{\rm d}\sigma}{\,{\rm d}\Omega_1}\right)_L \,{\rm d... ...a\;\;\,{\rm d}\varphi}{\sen \theta_1\,{\rm d}\theta_1\,\,{\rm d}\varphi_1} \;.$$

Por simetría $\varphi_1\!=\!\varphi$, y como

$$\frac{\,{\rm d}(\cos\theta_1)}{\,{\rm d}(\cos\theta)} = \frac{1+\... ...(\frac{\mu_1}{\mu_2}\right)^2+2\frac{\mu_1}{\mu_2}\cos\theta\right]^{3/2}} \;,$$

la conexión entre ambas secciones eficaces queda

$$\left(\frac{\,{\rm d}\sigma}{\,{\rm d}\Omega_1}\right)_L = \frac{... ...le{0em}{1.4em}} \left(\frac{\,{\rm d}\sigma}{\,{\rm d}\Omega}\right)_{CM} \;.$$