Mecánica Cuántica II - 2025: Cuestionario de autoevaluación nº 2
Estas preguntas no son exhaustivas, pero deberían resultarles medianamente fáciles al momento de presentarse al segundo parcial.
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¿Cómo es el espacio de Hilbert con el cual describimos un sistema de $N$ partículas diferentes ?
¿Qué significa que un hamiltoniano sea separable ? ¿Es algo que favorece o entorpece las cuentas?
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¿Por qué hay que esperar que el hamiltoniano de $N$ partículas idénticas conmute con los operadores de permitación entre pares de partículas?
¿Cualquier observable deberá cumplir esta condición?
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¿Por qué las funciones de onda conjuntas $\Psi(\boldsymbol{\xi}_1,\cdots,\boldsymbol{\xi}_N) \equiv \displaystyle\prod_{j=1}^N \Psi_{{\boldsymbol{\alpha}}_j}(\boldsymbol{\xi}_j)\,$ no satisfacen el postulado de simetrización?
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¿Qué significa simetrizar o antisimetrizar una función de onda?
¿En qué casos debe hacerse? ¿Cuándo debe aparecer un determinante de Slater ?
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Al analizar dos partículas idénticas de espín $1/2$ sabemos que los estados resultantes conformarán un triplete $|1,m\rangle\; (m=\pm1,0)$ y el singlete $|0,0\rangle$.
→ Si solo contemplamos las coordenadas de espín, explique cuáles estados son simétricos y cuáles antisimétricos ante permutaciones de a pares.
→ Si ahora necesitamos una función de onda espacial y de espín, explique cómo debe ser la parte espacial que complemente a la parte de espín en cada caso.
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Si en el caso anterior tenemos 3 espines $\boldsymbol{1/2}$, ¿puede realizarse un análisis similar para la función de onda total ? ¿Por qué no se puede?
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Al plantear las correcciones de segundo orden para la energía en teoría de perturbaciones
\[
E_n = E_n^{(0)} + \langle\phi_n|\hat{H}_p|\phi_n\rangle +
\sum_{m\neq n} \frac{|\langle\phi_m|\hat{H}_p|\phi_n\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}
\]
está claro que el último término diverge si para algún $m$ se cumple $E_m=E_n$. En ese caso, ¿puede utilizarse esta expresión para estimar la corrección de primer orden? ¿Por qué?
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Si el subespacio asociado a cierta autoenergía $\varepsilon$ es doblemente degenerado, es decir
\[
\hat{H}_o^{(2)} = \left( \begin{array}{cc}
\varepsilon & 0 \\ 0 & \varepsilon
\end{array}\right)
\]
y se aplica una perturbación $\hat{W}$ no diagonal, ¿por qué sabemos que existe una base que diagonalce ambos operadores dentro de ese subespacio ?
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Si luego de diagonalizar $\hat{W}$ la corrección de primer orden no se levanta, ¿qué deberíamos hacer?
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Para estimar la corrección relativista en el átomo de hidrógeno precisábamos estimar el valor de expectación de $\displaystyle\left(\hat{H}_o+\frac{e^2}{r}\right)^2$ en los autoestados $|n\ell m\rangle$ del hamiltoniano original $\hat{H}_o$. Recordando que el operador $\boldsymbol{\hat{p}}$ no conmuta con $\boldsymbol{\hat{r}}$, ¿por qué es cierto que
\[
\left\langle \Big(\hat{H}_o+\frac{~e^2}{r}\Big)^2 \right\rangle_{|n\ell m\rangle} =
\left[\left(E_n^{(0)}\right)^2 +
2E_n^{(0)}e^2 \left\langle\frac{1}{r}\right\rangle_{|n\ell m\rangle} +
e^4 \left\langle\frac{1}{r^2}\right\rangle_{|n\ell m\rangle} \right] \;\mbox{?}
\]