Mecánica Cuántica II

Guía 1: Espín

13 de agosto de 2024

Problema 1: Repaso momentos angulares. Al discutir el problema de autovalores del momento angular orbital se analizó el caso general de un trío $\hat{\vec{J}}=(\hat{J}_1,\hat{J}_2,\hat{J}_3)$ de operadores que satisfacen las relaciones de conmutación $[\hat{J}_1,\hat{J}_2]=i \hbar \hat{J}_3$ (y permutaciones cíclicas de los índices). Se encontró que los autovalores de $\hat{J}^2$ son de la forma $\hbar^2j(j\!+\!1)$, donde $j$ es un múltiplo de $1/2$ y que este autovalor tiene multiplicidad $2j\!+\!1$. Se construyó un sistema ortonormal de esta dimensión $\{\left\vert j,m \right\rangle : \; m=-j,-j+1,\cdots,j-1,j\}$ de autovectores de $\hat{J}_3$ con $\hat{J}_3 \left\vert j,m \right\rangle = \hbar m \left\vert j,m \right\rangle$ y $\hat{J}^2 \left\vert j,m \right\rangle = \hbar^2 j(j+1) \left\vert j,m \right\rangle$. Usando los operadores $\hat{J}_{\pm} = \hat{J}_1\pm \, i \hat{J}_2\,$ y la relación

$$\hat{J}_{\pm} \left\vert j,m \right\rangle = \hbar \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)} \; \left\vert j,m\pm 1 \right\rangle \;,$$

1. verifique que $\left\langle j,m \right\vert\hat{J}_1\left\vert j,m \right\rangle = \left\langle j,m \right\vert\hat{J}_2\left\vert j,m \right\rangle =0\,$ y que
   $$\left\langle j,m \right\vert\hat{J}_1^2\left\vert j,m \right\rang... ...2\left\vert j,m \right\rangle = \frac{\hbar^2}{2}\left[j(j+1)-m^2\right]\;;$$

2. encuentre la representación matricial de los operadores $\hat{\vec{J}}^{[j]}=(\hat{J}_1^{[j]},\hat{J}_2^{[j]},\hat{J}_3^{[j]})$ de magnitud $j$ para $j=1/2, \,1,\, 3/2$ en la base ortonormal $\{\vert j,m\rangle :\, -j\leq m\leq j\}$.

Problema 2: Matrices de Pauli. Para el caso $j=1/2$, se utilizan las llamadas matrices de Pauli $\hat{\bm{\sigma}}$ definidas por la ecuación $\hat{\bm{J}}=\frac{\hbar}{2} \hat{\bm{\sigma}}$ y $\hat{\sigma}_0=\hat{I}$. Muestre las siguientes propiedades de las matrices, sus autovectores y autovalores.

1. Verifique que si el vector real $\bm{u}$, de módulo unitario, tiene coordenadas esféricas $(\theta, \varphi)$ entonces los vectores
   $$\left\vert +,\bm{u} \right\rangle = \left( \begin{array}{c} \co... ...\\ \cos( \theta /2)\, e^{i\varphi/2} \rule{0em}{1.3em} \end{array} \right)$$
   son autovectores del operador $\bm{u}\cdot \hat{\bm{\sigma}}$ a los autovalores 1 y $-1$ respectivamente.
2. Demuestre que todo operador $\hat{A}$ de $\mathbb{C}^2$ en $\mathbb{C}^2$ puede escribirse unívocamente como
   $$\hat{A} = \alpha\, \hat{I} + \bm{a} \cdot \hat{\bm{\sigma}}$$
   con $\alpha\in\mathbb{C}$ y $\bm{a}\in\mathbb{C}^3$, donde $\hat{I}$ denota el operador identidad.
3. Para $\hat{A}=\hat{A}^{\dagger}$ hermitiano, encuentre autovalores y autovectores de $\hat{A}$ en términos de los parámetros $\alpha$ y $\bm{a}$ correspondientes.
4. Demuestre que
   $$(\bm{a}\cdot\hat{\bm{\sigma}}) (\bm{b}\cdot\hat{\bm{\sigma}}) = ... ...{a}\cdot\bm{b}\,\hat{I} + i(\bm{a} \times \bm{b} )\cdot \hat{\bm{\sigma}} \;,$$
   donde $\bm{a}$ y $\bm{b}$ son vectores tridimensionales arbitrarios cuyas componentes pueden ser, por ejemplo, operadores siempre y cuando estos conmuten con cada componente de $\hat{\bm{\sigma}}$.
5. Demuestre que si la función $f$ de una variable compleja es entera (holomorfa, es decir, analítica en todo el plano complejo) entonces para todo $\alpha\in\mathbb{C}$ y todo $\bm{u }\in \mathbb{R}^3$ unitario, se tiene:
   $$f(\alpha \bm{u} \cdot \hat{\bm{\sigma}})\,=\,\frac{f(\alpha )+f(-... ...;I+ \frac{f(\alpha )-f(-\alpha )}{2} \; (\bm{u } \cdot \hat{\bm{\sigma}}) \;.$$

6. Si $\hat{U}(\bm{u},\theta) = \exp(-i\theta\,\bm{u}\cdot\hat{\bm{\sigma}}/2) = \exp(-i\theta\,\bm{u}\cdot\hat{\bm{S}}/\hbar)$ es el operador unitario que implementa la rotación activa (sobre el estado) $R_\theta$ alrededor del eje $\bm{u}$ ( $\vert\bm{u}\vert=1$) por un ángulo $\theta$, verifique que
   $$\hat{U}(\vec{u},\theta) = \cos(\theta/2) \hat{I} -i\,\bm{u}\cdot\hat{\bm{\sigma}}\,\sen(\theta/2)$$
   y
   

   $$\hat{U}^{\dagger}(\vec{u},\theta)\, \hat{\bm{\sigma}}\, \hat{U}(\vec{u},\theta) = (\bm{u}\cdot\hat{\bm{\sigma}})\,\bm{u} - \bm{u}\times(\bm{u}\times\hat{\bm{\sigma}}) \cos\theta + (\bm{u}\times\hat{\bm{\sigma}}) \sen\theta \;.$$

   $$= \cos \theta\, \hat{\bm{\sigma}} + (1-\cos \theta)\, \bm{u}(\bm{u}\cdot\hat{\bm{\sigma}}) + \sin \theta\, \bm{u}\times \hat{\bm{\sigma}}$$

   
   

   ¿Qué sucede para $\theta=2\pi$?

Problema 3: a) Escriba los autovalores de los operadores $\hat{S}_x$, $\hat{S}_y$ y $\hat{S}_{\vec{n}}=\vec{n}\cdot\hat{\vec{S}}$, con $\vec{n}$ un vector unitario.

1. Escriba el operador de espín $\hat{S}_{z}$ de un electrón utilizando los autovectores correspondientes al operador $\hat{S}_x$.
2. Encuentre la probabilidad de medir $\hbar/2$ y $-\hbar/2$ a lo largo del eje $x$ si el electrón originalmente se halla en el autoestado $\left\vert + \right\rangle _z$ de $\hat{S}_{z}$. Encuentre el valor de expectación de $\hat{S}_{x}$.
3. Después de realizar la medición anterior (proyección según el eje $x$), ¿cuáles son los posibles estados en los que queda el sistema?
4. Si luego de la medición (c) (cuyo resultado desconocemos) se determina $\hat{S}_{z}$, ¿cuáles son los posibles resultados y con qué probabilidades?
5. Repita los incisos anteriores para el caso en que el electrón se encuentra inicialmente en el estado $\alpha \left\vert - \right\rangle _z + \beta \left\vert + \right\rangle _z$ (Recuerde que los estados deben estar normalizados).

Problema 4: Resonancia magnética. Considere un espín $\hat{\bm{S}}$, de magnitud $s\!=\!1/2$, con momento magnético asociado $\hat{\bm{\mu}}= \gamma\hat{\bm{S}}$ en un campo magnético $\bm{B}$ dependiente del tiempo:

$$\bm{B}= \bigl(B\cos (\omega t), -B \sen (\omega t) , B_o\bigr) \;.$$

Se busca resolver la ecuación de Schrödinger

$$i\hbar\frac{\,{\rm d}}{\,{\rm d}t} \psi_t = -\hat{\bm{\mu}}\cdot\bm{B}\; \psi_t \;\;,\quad \hat{S}_z\, \psi_0 = \frac{\hbar}{2}\, \psi_0 \;.$$

La estructura del campo magnético sugiere que, en un sistema de referencia que rota a una frecuencia $-\omega$, el hamiltoniano debería ser independiente del tiempo.

1. Introduzca la rotación mencionada:
   $$\phi_t =e^{-i\omega t \hat{S}_z/\hbar}\, \psi_t \;,$$
   obtenga la ecuación de movimiento para $\phi_t$ y resuélvala.
2. Invirtiendo la rotación verifique que
   $$\psi_t = \left( \begin{array}{c} \left[ \cos(\omega_r t/2) + \d... ...r}\sen(\omega_r t/2) e^{-i\omega t/2}\rule{0em}{2em} \end{array} \right)$$
   en la base de autovectores de $\hat{S}_z$, donde $\omega_r$ y $\omega_o$ son ciertas frecuencias angulares.
3. Muestre que
   $$\left\langle \psi_t \right\vert \hat{\mu}_z \left\vert \psi_t \ri... ...amma^2 B^2 \cos(\omega_r t)}{(\omega_o\!-\!\omega)^2 + \gamma^2 B^2} \right]$$

4. Compare y analice el comportamiento dinámico de espín de este estado con los descriptos en el problema 2 (a) en el caso $\omega_o=\omega$.

5. Como en el laboratorio de RMN, considere el caso en resonancia, con $B_o\,$= 7 T (¿es este valor de campo grande respecto de los encontrados en la naturaleza?), $\gamma\,$= 42,567 MHz/T para un protón de un átomo de hidrógeno. Si $B\,$= 3,7 $\times 10^{-2}$ T calcule el valor del intervalo de tiempo $\Delta t_{\rm pulso}$ mínimo que debe estar el campo encendido para que el momento dipolar magnético se encuentre en el plano $x$-$y$.

Problema 5: Polarización de un sistema de dos niveles. Llamamos a un sistema de dos niveles si el espacio de estados tiene dimensión 2, como es el caso de un espín 1/2. Como vimos en el problema 2, todo operador sobre $\mathbb{C}^2$ es combinación lineal de $\hat{\sigma}_1$, $\hat{\sigma}_2$, $\hat{\sigma}_3$ y $\hat{\sigma}_0\equiv\hat{I}$, en particular el operador densidad

$$\hat{\rho} = \frac{1}{2} \left( \hat{\sigma}_0+\vec{P}\cdot\vec{\hat{\sigma}} \right) \;.$$

1. Muestre que $\vec{P}\,$ es la polarización media $\langle\vec{\hat{\sigma}}\rangle$.
2. Muestre que en el caso de un ensamble puro $\vert\vec{P}\vert\!=\!1$.
3. Calcule el vector polarización $\vec{P}\,$ y $P_z\,$ para los siguientes ensambles:

   $\circ$ $N\,$ partículas polarizadas en la dirección $+x$.

   $\circ$ $N/2$ partículas polarizadas en la dirección $+z$ y $N/2$ partículas polarizadas en la dirección $-z$.

   Compare ambos resultados. Discuta.

Problema 6: Considere un haz monoenergético de neutrones que incide perpendicularmente sobre un bloque de material ferromagnético. El haz se propaga en la dirección $x$ positiva e incide perpendicularmente en la superficie del mencionado material (plano $yz$), el cual ocupa todo el semiespacio $x>0$. Suponga que cada neutrón incidente tiene una energía $E$ y una masa $m$. El neutrón tiene espín $s=1/2$ y momento magnético $\bm{\mu}=-\gamma \bm{S}$, con $\gamma>0$.

A la energía potencial de los neutrones contribuyen dos términos:

-	Un primer término correspondiente a la interacción del neutrón con los nucleones de la substancia, que representamos fenomenológicamente por un potencial $V(x)$, definido por $V(x)=0$ para $x\leqslant 0$, $V(x)=V_0>0$ para $x>0$.
-	Un segundo término correspondiente a la interacción del momento magnético de cada neutrón con el campo magnético $\bm{B}$ del material ($\bm{B}=0$ para $x\leqslant 0$ y $\bm{B}=B_0 \bm{e}_z$ para $x>0$).

Considere que los valores de $V_0$ y $B_0$ son tales que $0<\hbar \gamma B_0/2<V_0$

1. Determine los estados estacionarios que corresponden a una partícula incidente con espín paralelo o antiparalelo al eje $z$. Explicite los casos siguientes:
   1. $E>V_0 + \hbar\gamma B_0/2$ y
   2. $V_0 - \hbar\gamma B_0/2 < E < V_0 + \hbar\gamma B_0/2$.

2. Considere ahora que el espín de los neutrones incidentes apunta en la dirección $x$, es decir el estado de espín es $\left\vert \chi \right\rangle = (\left\vert \uparrow \right\rangle + \left\vert \downarrow \right\rangle )/\sqrt{2}$. ¿Cuál es la dirección del espín de las partículas que atraviesan el material en el caso (a$_2$)? ¿En qué proporción atraviesan el material, respecto al haz incidente? Ejemplifique para el caso $E=V_0$ y $\hbar\gamma B_0/2 = V_0$.