Mecánica Cuántica II

Guía 5: Perturbaciones dependientes del tiempo

16 de octubre 2025

Problema 1: Considere el problema de un espín $1/2$ en un campo magnético externo dependiente del tiempo $\bm{B}\!=\!\big(B\cos(\omega t),-B\sen(\omega t),B_o\big)$. Si el estado inicial $\left\vert \psi(0) \right\rangle \!=\!\left\vert \alpha \right\rangle$ es un autovector normalizado de $S_z$ con autovalor $\hbar /2$:

1. calcule la probabilidad de transición al estado $\left\vert \beta \right\rangle$, correspondiente al autovector de $S_z$ con autovalor $-\hbar/2$;
2. encuentre esta probabilidad usando teoría de perturbaciones a primer orden en la magnitud $B$ del campo y compare con el resultado exacto.

Problema 2: Considere un problema 1D en el que una partícula se encuentra en el estado fundamental de una caja de largo $L$. Si la caja se expande simétricamente al doble de su tamaño en forma instántanea, ¿cuál es la probabilidad de encontrar la partícula en el estado fundamental de la nueva caja?

Problema 3: Un sistema se somete a una perturbación $\hat{V}(t)=\hat{V} \delta(t)$. Muestre que si en $t\!=\!0^{-}$ el sistema está en el autoestado $\vert\alpha\rangle$ del hamiltoniano no perturbado, la amplitud de probabilidad de encontrarlo en el autoestado $\vert\beta\rangle$ en $t\!=\!0^{+}$ es, a primer orden,

$$d_\alpha=-\frac{i}{\hbar} \langle\beta\vert\hat{V}\vert\alpha\rangle\hspace{2cm} (\alpha\neq\beta)$$

Note que, aun cuando la perturbación es `infinita' en $t\!=\!0$, podemos seguir usando la teoría de perturbaciones de primer orden, si el área (bajo la perturbación) es suficientemente pequeña.

Problema 4: a) Muestre que en el caso general la ecuación de Schrödinger para el operador evolución temporal puede escribirse

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}(t,t_i) = \hat{H}(t)\;\hat{U}(t,t_i),$$

Escriba la solución formal para el operador $U(t,t_i)$ en los siguientes casos:

1. $\hat{H}$ es independiente del tiempo;
2. $\hat{H}$ depende del tiempo y $\big[\hat{H}(t),\hat{H}(t^{\prime})\big]=0$, es decir los $\hat{H}$'s a distintos tiempos conmutan entre ellos;
3. $\hat{H}$ depende del tiempo y $\big[\hat{H}(t),\hat{H}(t^{\prime})\big]\neq0$.

Problema 5: Dado un sistema arbitrario perturbado de tal manera que su hamiltoniano es $\hat{H}(t) = \hat{H}_o + \hat{V}(t)\,$, el vector de estado del sistema en la representación interacción (o de Dirac), $\left\vert \psi(t) \right\rangle _I$ está definido a partir del vector de estado en la representación de Schrödinger $\left\vert \psi(t) \right\rangle$ como

$$\left\vert \psi(t) \right\rangle _I = \hat{U}_o^{\dagger}(t,t_i)\,\left\vert \psi(t) \right\rangle \;,$$

donde el operador evolución $\hat{U}_o(t,t_i)$ satisface la ecuación

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}_o(t,t_i) = \hat{H}_o\;\hat{U}_o(t,t_i).$$

1. Muestre que la evolución de $\left\vert \psi(t) \right\rangle _I$ está dada por
   $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left\vert \psi(t) \right\rangle _I = \hat{V}_I(t)\,\left\vert \psi(t) \right\rangle _I \;,$$
   donde $\hat{V}_I(t)$ es el operador transformado de $\hat{V}(t)$ según
   $$\hat{V}_I(t) = \hat{U}_o^{\dagger}(t,t_i)\,\hat{V}(t)\,\hat{U}_o(t,t_i).$$
   Explique cualitativamente por qué cuando la perturbación $\hat{V}(t)$ es mucho más chica que $\hat{H}_o$, el movimiento del vector $\left\vert \psi(t) \right\rangle _I$ es mucho más lento que el de $\left\vert \psi(t) \right\rangle$.
2. Muestre que la ecuación diferencial anterior es equivalente a la ecuación integral
   $$\left\vert \psi(t) \right\rangle _I = \left\vert \psi(t_i) \right... ...ime}\;\hat{V}_I(t^{\prime})\,\left\vert \psi(t^{\prime}) \right\rangle _I \;,$$
   donde $\left\vert \psi(t_i) \right\rangle _I=\left\vert \psi(t_i) \right\rangle$.
3. Resolviendo esta ecuación integral iterativamente, muestre que el ket $\left\vert \psi(t) \right\rangle _I$ puede ser expandido en serie de potencias en $\hat{V}$ de la forma

   
   

   $$\hspace{14em} \left\vert \psi(t) \right\rangle _I = \left[ \hat{I... ...V}_I(t^{\prime\prime})+\dots\right] \left\vert \psi(t_i) \right\rangle _I \;.$$

*Problema 6: Considere un átomo de hidrógeno en un campo eléctrico

$$\bm{\mathcal E}=(0,0,\mathcal E(t)),$$   con$$\qquad \mathcal E(t)= \frac{A\tau}{\pi e} \: \frac{1}{t^2+\tau^2},$$

donde $A$ y $\tau$ son constantes positivas ($\tau$ es el semiancho a la mitad del valor máximo). Suponga que para $t\to-\infty\,$ el átomo está en el estado fundamental y calcule, al orden más bajo no nulo, la probabilidad de transición a un estado $2p\,$ para $t\to\infty$.

Problema 7: Un átomo de hidrógeno se encuentra en su estado fundamental en $t\!=\!-\infty$ y se aplica un campo eléctrico $\bm{\mathcal E}\!=\!({\mathcal E}\hat{k})\exp\left(-t^2/\tau^2\right)$ hasta $t\!=\!\infty$. Muestre que la probabilidad de que el átomo de hidrógeno termine en alguno de los estados $n\!=\!2$ es, hasta primer orden,

$$P(n=2) = {\left(\frac{e{\cal E}}\hbar\right)\!}^2 \; \frac{2^{15}a_o^2}{3^{10}} \, \pi\tau^2\, \exp\left(-\frac{\omega^2\tau^2}{2}\right) \;,$$

donde $\hbar\omega\!=\!(E_{2\ell m}\!-\!E_{100})$. ¿Cambia la respuesta si se incorpora el espín a la descripción?

Problema 8: Un oscilador está en el estado fundamental de $\hat{H}=\hat{H}^0+\hat{H}^1$, donde la perturbación independiente del tiempo $\hat{H}^1$ corresponde al potencial lineal $-fx$. Si en $t\!=\!0$, $\hat{H}^1$ se apaga abruptamente, se quiere demostrar que la probabilidad de que el sistema esté en el autoestado $n$-ésimo de $\hat{H}^0$ estará dada por la distribución de Poisson

$$P(n) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^n}{n!} \;,\qquad {\rm donde} \quad \lambda=\frac{f^2}{2m\omega ^3\hbar} \;.$$

Problema 9: Considere un hamiltoniano $\hat{H}_o$ cuyos autoestados $n$-ésimo y $m$-ésimo, $\left\vert \phi_n \right\rangle$ y $\left\vert \phi_m \right\rangle$, tienen energías $E_n^{(0)}$ y $E_m^{(0)}$ respectivamente. A este hamiltoniano se suma una perturbación periódica de la forma $\hat V(t) = V_o \big(\hat Fe^{-i\omega t}\!+\!\hat F^\dagger e^{i\omega t}\big)$, cuya frecuencia es tal que $E_m^{(0)}-E_n^{(0)}= \hbar(\omega+\epsilon)$, donde $\vert\epsilon\vert\ll\omega$, y el operador $\hat F$ es independiente del tiempo.

1. Estime la probabilidad de transición de $\left\vert \phi_n \right\rangle$ a $\left\vert \phi_m \right\rangle$ al cabo de un tiempo $t$ y a orden $V_o^2$.
2. Muestre que si se considera el estado inicial $\left\vert \phi_m \right\rangle$ y el final $\left\vert \phi_n \right\rangle$, la probabilidad de transición es la misma.
3. Analice cuándo es esperable que el resultado perturbativo sea correcto, y cuándo no puede serlo. En particular, considere los casos de tiempos cortos y largos, y los casos $\epsilon = 0$ y $\vert\epsilon\vert \gg \vert V_o/\hbar\vert$.
4. Muestre que si $\omega\gg \vert\epsilon\vert$, entonces uno de los dos términos dentro de la integral para la probabilidad de transición es despreciable frente al otro.
5. Considere un ejemplo típico en un problema de un láser actuando sobre una transición entre dos niveles atómicos: asuma que la diferencia de energía entre los dos niveles corresponde a una longitud de onda de 700 nm, que $\epsilon=2\pi\times 100$ GHz, y $V_o/\hbar=2\pi\times 10$ GHz.
   1. Verifique que vale $\omega \gg \vert V_o/\hbar\vert$, lo cual es necesario para poder aplicar teoría de perturbaciones.
   2. Compare el orden de magnitud de los dos términos de la integral mencionados en el ítem d).
   3. Estime la máxima probabilidad de transición de un nivel al otro.

Problema 10: Oscilaciones entre dos niveles discretos (aproximación secular). La acción de un campo eléctrico oscilante $\bm{\mathcal{E}}_o$ en un átomo puede modelarse mediante un perturbación armónica $V(t)=\hat{v}\,\cos(\omega t)$ sobre un sistema de dos niveles con autoenergías $E_1$ y $E_2\!>\!E_1$, donde $\,\hat{v}=-\bm{d\cdot \mathcal{E}_o}\,$ y $\,\bm{d}=\bm{r}\,e\,$ es el momento dipolar eléctrico. Expresando la solución general en términos de los estados del átomo $\hat{H}_o$ ( $\hat{H}_o\left\vert n \right\rangle \!=\!E_n\left\vert n \right\rangle$) como

$$\left\vert \psi(t) \right\rangle = \sum_n c_n(t) e^{-\frac{\mbox... ...ptsize $iE_n t$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}} \left\vert n \right\rangle \;,$$

podemos analizar el comportamiento quitando la evolución natural del sistema debida a $\hat{H}_o$.

1. Escriba el sistema de ecuaciones diferenciales completo para $c_1$ y $c_2$.
2. El sistema de ecuaciones diferenciales acopladas para la evolución temporal se simplifica notablemente si $\omega$ es próxima a la frecuencia de resonancia $\omega_{21}\equiv(E_2-E_1)/\hbar$. Muestre que despreciando las oscilaciones más rápidas y considerando que $\left\langle g \left\vert \bm{d} \right\vert g \right\rangle =\left\langle e \left\vert \bm{d} \right\vert e \right\rangle =0$ (los átomos no tienen momento dipolar intrínseco, solo de transición $\left\langle e \left\vert \bm{d} \right\vert g \right\rangle$), estas ecuaciones equivalen a un sistema de ecuaciones desacopladas de segundo orden.
3. Usando las condiciones iniciales $c_1(0)\!=\!1$ y $c_2(0)\!=\!0$, muestre que las probabilidades de transición resultan
   $$P_{1\to 2}(t) = \frac{1}{1+\Bigl(\hbar\delta/\vert v_{12}\vert\Bi... ...omega_R t) + \left(\frac{\delta}{2\omega_R}\right)^2 \sen^2(\omega_R t) \;,$$
   donde $\delta\!=\!\omega\!-\!\omega_{21}\,$ y $\,\omega_R=\frac{1}{2}\sqrt{\delta^2+\big(\vert v_{12}\vert/\hbar\big)^2}$.
4. Analice estas probabilidades graficándolas para diferentes relaciones entre $\delta$ y $\vert v_{12}\vert/\hbar$.
5. Aplique teoría de perturbaciones a primer orden para obtener la probabilidad de transición $P_{1\to 2}(t)$ y compare con el resultado exacto.

Problema 11: Un modo de campo eléctrico cuantizado. Consideremos ahora que el mismo campo eléctrico es cuantizado y que el átomo interactúa con un solo modo del campo, de frecuencia $\omega$. Este campo puede expresarse con el operador

$$\bm{\mathcal{E}}=\sqrt{\frac{\hbar\omega}{2\epsilon_o V}}\left(\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}\right)\bm{n} \;,$$

El momento dipolar del átomo reducido al sistema de interés lo podemos esribir como $\bm{d}=\bm{r}e=\bm{d}_{ab}\left(\left\vert a \right\rangle \left\langle b \right\vert + \left\vert b \right\rangle \left\langle a \right\vert\right)$, y la interacción átomo-campo en la aproximación dipolar es

$$\hat{V} = -\bm{d\cdot \mathcal{E}} = \hbar g\left(\hat{a}+\hat{a}... ...ight\vert + \left\vert b \right\rangle \left\langle a \right\vert\right) \;,$$

con $g=\bm{d}_{ab}\cdot \bm{n} \sqrt{\omega/(2 \epsilon_o V \hbar)}$. El hamiltoniano del sistema átomo-campo es $\hat{H} = \hat{H}_{at} + \hat{H}_{f} + \hat{V}\,$, donde

$$\hat{H}_{at} = E_a\left\vert a \right\rangle \left\langle a \righ... ...\right\vert + \left\vert b \right\rangle \left\langle a \right\vert\right)\;.$$

Consideraremos los estados del sistema (átomo fotón) inicial $\left\vert i \right\rangle =\left\vert a \right\rangle \left\vert n \right\rangle$ y los posibles finales $\left\vert f_1 \right\rangle =\left\vert b \right\rangle \left\vert n-1 \right\rangle$ y $\left\vert f_2 \right\rangle =\left\vert b \right\rangle \left\vert n+1 \right\rangle$.

1. Calcule los elementos de matriz de absorción de fotones $\left\langle f_1 \right\vert\hat{V}\left\vert i \right\rangle$ y el de emisión de fotones $\left\langle f_2 \right\vert\hat{V}\left\vert i \right\rangle$.
2. Usando teoría de perturbaciones a primer orden, calcule las probabilidades de transición $P_{i\to f_1}(t)$ y $P_{i\to f_2}(t)$. ¿Cuál es la probabilidad total de transición atómica $P_{a\to b}(t)$?
3. Analice los resultados obtenidos en el ítem anterior. ¿Qué sucede con las probabilidades de transición cuando el número de fotones $n$ es grande? ¿Cómo se relacionan con el caso clásico visto en el problema anterior?
4. Para $n=0$ (estado de vacío del campo), ¿qué sucede con las probabilidades de transición? ¿Qué implicancias tiene este resultado en la física atómica?

Recuerde que

$$\hspace{-.8em}\hat{x}=\sqrt{\frac{\hbar}{2 m\omega}}(\hat{a}^{\da... ...{a}^{\dagger} \hat{a}\left\vert n \right\rangle =n\left\vert n \right\rangle$$

*Problema 12: Modelo de Jaynes-Cummings. Considere el hamiltoniano del problema átomo-campo del problema anterior, pero ahora en la aproximación de onda rotante (RWA, por sus siglas en inglés), donde se descartan los términos de creación/aniquilación simultánea de excitaciones en el átomo y el campo, $\hat{a}\left\vert b \right\rangle \left\langle a \right\vert$ y $\hat{a}^{\dagger}\left\vert a \right\rangle \left\langle b \right\vert$. La interacción átomo-campo es entonces

$$\hat{V}_{RWA} = \hbar g\left(\hat{a}\left\vert a \right\rangle \l... ...{a}^{\dagger}\left\vert b \right\rangle \left\langle a \right\vert\right) \;.$$

1. Muestre que el hamiltoniano puede expresarse como
   $$\hat{H}=\frac{1}{2}\hbar\omega_o\hat{\sigma}_3 + \hbar\omega \hat... ...a} + \hbar g(\hat{\sigma}_{+}\hat{a} + \hat{\sigma}_{-}\hat{a}^{\dagger}) \;,$$
   en donde los operadores de Pauli actúan sobre el espacio atómico de 2 niveles.
2. Demuestre que el operador número de excitaciones $\hat{N}_e=\hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \left\vert b \right\rangle \left\langle b \right\vert$ conmuta con el hamiltoniano $\hat{H}$.
3. Utilizando el resultado anterior muestre que el hamiltoniano resulta $\,\hat{H} = \hat{H}_I+\hat{H}_{II}\,$, donde
   $$\hat{H}_{I} = \hbar\omega \hat{N}_e + \hbar\left(\frac{\omega_0}{... ... \hat{\sigma}_{-}\hat{a}^{\dagger}) \;, \qquad \Delta=\omega_o - \omega \;.$$

4. Como $[\hat{H}_{I},\hat{H}_{II}=0]$ y $[\hat{N}_e,\hat{H}]=0$, podemos trabajar la dinámica solo con $\hat{H}_{II}$. Considere $\Delta=0$ y el estado inicial $\left\vert i \right\rangle =\left\vert \psi(0) \right\rangle =\left\vert b \right\rangle \left\vert n \right\rangle$ y el estado final $\left\vert f \right\rangle =\left\vert a \right\rangle \left\vert n+1 \right\rangle$. Calcule el estado $\left\vert \psi(t) \right\rangle$ al tiempo $t$. ¿Por qué podemos considerar solo estos dos estados en la dinámica?
5. Calcule las probabilidades de encontrar el sistema en los estados $\left\vert b \right\rangle \left\vert n \right\rangle$ y $\left\vert a \right\rangle \left\vert n+1 \right\rangle$ al tiempo $t$.
6. Para $n=0$ vemos que hay oscilaciones de Rabi, estas son las llamadas oscilaciones de Rabi en vacío. Defina la frecuencia de Rabi electrodinámica de estas oscilaciones.

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