Mecánica Cuántica II

Guía 6: Dispersión de partículas

7 de noviembre de 2024

*Problema 1: Un proyectil de masa $\mu_1\,$ impacta sobre una partícula blanco de masa $\mu_2\,$. Si desde el centro de masa el ángulo de dispersión del proyectil es $\theta\,$ y desde el laboratorio es $\theta_1\,$, muestre que, para dispersión elástica se tiene

$$\cos\theta_1 = \displaystyle\frac{\cos\theta+\displaystyle\frac{\... ...ac{\mu_1}{\mu_2}\right)^2 + 2\displaystyle\frac{\mu_1}{\mu_2}\cos\theta}} \;.$$

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Problema 2: La solución general para la función de onda $\psi(\bm{r})\,$ de un proyectil de masa $\mu\,$ que es dispersado por un potencial $V(\bm{r})\,$ obedece la ecuación

$$\big( \nabla^2+k^2 \big)\, \psi(\bm{r}) = \frac{2\mu}{\hbar^2} V(\bm{r})\,\psi(\bm{r}) \;,$$

y puede obtenerse separando la solución homogénea y la función de Green que satisface:

$$\left(\nabla^2+k^2\right) G(\bm{r}-\bm{r'}) = \delta(\bm{r}-\bm{r'}) \;.$$

Explicitando las soluciones homogéneas, muestre que este procedimiento conduce a la expresión

$$\psi^{(\pm)}(\bm{r}) = \phi_$$inc$$(\bm{r}) - \frac{\mu}{2\pi\hbar^2} \int\,$$d$$^3 r'\; \frac{e^{\pm ik\vert{\bm r}-{\bm r'}\vert}}{\vert\bm{r}-\bm{r'}\vert} V(\bm{r'})\,\psi^{(\pm)}(\bm{r'}) \;.$$

Interprete el significado de $\psi^{(+)}(\bm{r})\,$ y $\psi^{(-)}(\bm{r})\,$.

Problema 3: a) Calcule la sección eficaz diferencial y total de dispersión para el potencial de Coulomb apantallado, $V(r)=V_o\; e^{-\alpha r}/r$ en la aproximación de Born para dispersión elástica. Muestre que en el límite $\alpha\rightarrow 0$ se obtiene la sección eficaz diferencial exacta para el potencial de Coulomb

$$\frac{\text{d}\sigma}{\text{d}\Omega} = \frac{4\mu^2V_o^2}{\hbar^4 q^4} \;,$$

donde $q=\vert\bm{k}_o-\bm{k}\vert=2k\,\sen\displaystyle\frac{\theta}{2}$ es el momento transferido.

1. Muestre que para el potencial de Coulomb, la sección eficaz total obtenida de la sección eficaz diferencial diverge.

Problema 4: Aplique la aproximación de Born a la dispersión debida a un pozo esférico de radio $R\,$ y profundidad $V_o$.

1. Calcule la sección eficaz diferencial y grafique como función de $qR$, analizando los casos $kR\gg 1$ y $kR\ll 1$.
2. Escriba la expresión correspondiente a la sección total; resuelva para el caso $kR\ll 1$ y encuentre una expresión aproximada para el caso $kR\gg 1$.

Problema 5: Considere un potencial con simetría azimutal en la dirección $z$ que, expresado en coordenadas cilíndricas, tiene la forma gaussiana:

$$V(\rho,z) = V_o\, e^{-(z/a)^2-(\rho/b)^2} \;,$$

donde $V_o$, $a$ y $b$ son constantes positivas.

1. Calcule la sección diferencial de dispersión elástica en primera aproximación de Born si el eje de colisión es el eje $z$.
2. Analice el límite de un haz incidente de energía muy alta. Interprete.
3. Analice también el caso de energías incidentes que tienden a cero. Interprete la validez del resultado.

Problema 6: Una partícula es dispersada por un pozo de potencial atractivo de la forma

$$V(r) = \left\{ \begin{array}{cl} -V_o & r<R \\ 0 & r>R \rule{0em}{1.2em} \end{array} \right.$$

Si la energía de la partícula incidente es suficientemente baja ($kR\ll 1\,$), imponga las condiciones de continuidad a la solución expandida en ondas parciales y conserve solo los términos relevantes ( $\ell\!=\!0$). Muestre que el desfasaje en este caso debe satisfacer la condición

$$\delta_o = {\mathrm{arctg}}\left[ \frac{k}{q} {\mathrm{tg}}(qR) \right] - kR \;,$$

donde $q\!=\!\sqrt{2m(E\!+\!V_o)}/\hbar\,$ corresponde a la onda dentro del pozo ($r<R$).

1. Encuentre una expresión para la sección eficaz total y analice los casos de resonancia.
2. Estudie los casos $k\!\ll\!q\,$ ( $V_o\!\gg\!E$) y $\,k\simeq q\,$ ( $V_o\!\ll\!E$) y compare con los resultados del problema 4.