Mecánica

Guía 5: Pequeñas oscilaciones - 10 de octubre de 2023

Problema 1: Calcule la frecuencia de pequeñas oscilaciones para una partícula de masa $m$ ubicada cerca de los mínimos de los siguientes potenciales:

a) $U(x) = V\cos(ax) - Fx\,$, b) $U(x) = V \left( a^2 x^2 - \operatorname{sen}^2(bx) \right)\,$.

Problema 2: Una partícula de masa $m$ desliza sin fricción a lo largo de un alambre como se muestra en las figuras (a) y (b), y está unida a un punto fijo $A\,$ por un resorte ideal de constante elástica $k$ y longitud natural $\ell_o<\ell$. Para cada caso escriba la energía potencial de la partícula, y determine la frecuencia de pequeñas oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio estable.

Problema 3: Determine las frecuencias y modos normales para las pequeñas oscilaciones de un péndulo de masa $m_2$ y longitud $\ell$ cuyo punto de soporte es la masa $m_1$, la cual puede moverse libremente sobre un eje horizontal como se muestra en la figura.

Problema 4: Considere pequeñas oscilaciones en el péndulo doble coplanar de longitudes $\ell_1$ y $\ell_2$ y masas $m_1$ y $m_2$, mostrado en la figura.

1. Determine las configuraciones de equilibrio estable del sistema.
2. Escriba la lagrangiana de pequeñas oscilaciones y las correspondientes ecuaciones de movimiento.
3. Calcule las frecuencias características del sistema.
4. Determine los modos normales e interprételos físicamente.
5. Interprete físicamente el límite $m_1 \rightarrow \infty$.
6. Para el caso $m_1\!=\!m_2\!=\!m\,$ y $\ell_1\!=\!\ell_2\!=\!\ell$, determine las coordenadas normales y reescriba la lagrangiana de pequeñas oscilaciones en términos de ellas.

Problema 5: Dos péndulos idénticos de masa $m$ y longitud $\ell$ están conectados mediante un resorte de constante $k$ y longitud natural $d_o$, igual a la separación de los puntos de suspensión de los péndulos.
El sistema evoluciona en un plano, mostrado en la figura.

1. Determine las configuraciones de equilibrio estable del sistema.
2. Escriba la lagrangiana de pequeñas oscilaciones y las correspondientes ecuaciones de movimiento.
3. Calcule las frecuencias características del sistema.
4. Determine los modos normales e interprételos físicamente.

Problema 6: Determine las frecuencias y modos normales de vibraciones longitudinales del sistema de la figura, e interprételos físicamente.

Problema 7: Determine las frecuencias y modos normales de vibraciones de la molécula lineal triatómica simétrica de la figura, suponiendo que la energía potencial es función de las distancias $A$-$B$ y $B$-$A$ y del ángulo $\widehat{ABA}$, que todo movimiento está restringido al plano de la figura, y que la molécula no rota.

Problema 8: Calcule el cociente entre las frecuencias de oscilación $\omega$ y $\omega'$ de dos moléculas diatómicas formadas por diferentes isótopos de los mismos elementos. Las masas de los átomos en dichas moléculas son $m_1$, $m_2$ y $m_1'$, $m_2'$, respectivamente. Asuma que los diferentes isótopos de un mismo elemento interactúan de igual manera.

Problema 9: Determine la corrección a la frecuencia de pequeñas oscilaciones de una molécula diatómica, debida a la presencia de un pequeño momento angular.

*Problema 10: Determine la amplitud final de las oscilaciones de un sistema cuya frecuencia característica es $\omega$, bajo la acción de la fuerza0

$$f(t) = \begin{cases} ~~~0 & ~~~t < 0 \\ F_o\,t/T & 0 < t < T \\ ~~~F_o & ~~~t > T \end{cases}$$

considerando que hasta el instante $t=0$ el sistema se encontraba en reposo en su posición de equilibrio.

*Problema 11: Considere un paraboloide de sección elíptica dado por

$$2z=\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b} \;,$$

con $a>b>0$. El mismo gira alrededor del eje  $z$ con velocidad angular constante  $\omega$. Dicho eje está ubicado paralelo a un campo gravitarorio constante  $g$ en la dirección negativa. Sobre su superficie se mueve, libre de rozamiento, una partícula puntual de masa  $m$.

1. ¿Cuántos grados de libertad tiene el sistema?
2. Escriba la lagrangiana en un referencial solidario al paraboloide.
3. ¿Qué cantidades se conservan?
4. Plantee las ecuaciones de movimiento e interprete físicamente los distintos términos obtenidos.
5. En el mismo referencial, describa las posibles configuraciones de equilibrio.
6. Describa el movimiento de la partícula para pequeños apartamientos de la configuración de equilibrio.
7. ¿Para qué valores de $\omega$ la configuración de equilibrio se vuelve inestable?

*Problema 12: Considere una cadena infinita de masas puntuales idénticas  $m$, unidas entre sí por resortes también idénticos de constante  $k$ y longitud natural  $\ell_o\,$, como se muestra en la figura. Suponga que las masas solo pueden moverse a lo largo del eje  $X$, y que en el reposo cada masa  $m_n$ ( $-\infty<n<\infty$) se halla en $X_{n0}=n\ell_o$ de modo que todos los resortes tienen su longitud natural.

1. Muestre que si $x_n\equiv X_n-X_{n0}$ es el apartamiento de cada masa de su posición de equilibrio, la lagrangiana del sistema puede escribirse como
   $$L = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left[ \frac12 m \dot{x}_n^2 + \frac12 k x_n (x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}) \right] \;.$$

2. Escriba las ecuaciones de Euler-Lagrange.
3. Proponga soluciones de la forma
   $$x_n(t) = e^{i(n\kappa\,\ell_o-\omega t)}$$
   y muestre que debe cumplirse la relación de dispersión
   $$\omega = 2\sqrt{\frac{k}{m}}\operatorname{sen}\frac{\kappa\,\ell_o}{2},\quad -\frac{\pi}{\ell_o}\leq\kappa\leq\frac{\pi}{\ell_o}$$
   entre la frecuencia $\omega$ y el número de onda $\kappa$.