Gas ideal

Un gas ideal simple está descripto por las ecuaciones

$$\left\{ \begin{array}{ccl} P V &=& n R T\\ U &=& c n R T \end{array} \right.$$

donde $c$ es una constante característica del tipo de gas y se involucra a la constante universal de los gases $R\equiv N_A k_B=8,3144$ J/(mol K), siendo $k_B$ la constante de Boltzmann. Los gases monoatómicos cuyos átomos se pueden decribir como masas puntuales que no interactúan entre sí se comportan siguiendo estas relaciones para temperaturas altas ($\sim 10^4$ K) y presiones relativamente bajas, valiendo en estos casos $c=3/2$. Hay otros gases reales que bajo ciertas condiciones también satisfacen las ecuaciones anteriores con otros valores para $c$ (5/2, 7/2, etc.).

A partir de las ecuaciones anteriores puede arribarse a la ecuación fundamental. Como en esas ecuaciones de estado aparece $U$ explícitamente, resulta natural elegir la representación entropía. Reescribimos las ecuaciones anteriores en la forma

$$\left\{ \begin{array}{ccl} \displaystyle\frac 1T &=&\disp... ... &=&\displaystyle R \frac n V = \frac Rv \end{array} \right.$$

Utilizando la relación de Gibbs-Duhem puede obtenerse $\mu(u,v)$ a partir de estas ecuaciones de estado

$${\rm d}\!\left(\frac{\mu}T\right) = u {\rm d}\!\left(\frac1T\right) + v {\rm d}\!\left(\frac PT\right) \;.$$

Reemplazando $$\frac1T$$ y $$\frac PT$$ en términos de $u$ y $v$, reescribimos

$${\rm d}\!\left(\frac{\mu}T\right) = u\left(-c\frac R{u^2}... ...) {\rm d}v = -cR\frac{ {\rm d}u}u - R \frac{ {\rm d}v}v\;.$$

Mediante integración directa se obtiene

$$\frac{\mu}T - \left(\frac{\mu}T\right)_o = -cR \ln \frac{u }{u_o} -R \ln \frac{v }{v_o} \;,$$

donde el subíndice $o$ señala un estado de referencia. De este modo, estamos en condiciones de escribir la ecuación fundamental usando la relación de Euler

$$S = \frac1T U + \frac PT V - \frac{\mu}T n \;,$$

es decir

$$S(U,V,n) = cnR + nR - \left(\frac{\mu}T\right)_o n + cnR ... ...}n\right) + nR \ln \left(\frac V{V_o} \frac{n_o}n\right) \;,$$

o bien

$$\fbox{ $S(U,V,n) = n s_o + nR \ln \left[ \displaystyl... ..._o}n\right)^{c+1} \right]\;, \rule[-1.75em]{0em}{4em} $ }$$

donde se ha definido $$s_o=(c+1)R-\left(\frac{\mu}T\right)_o$$.

Por supuesto, para llegar a la ecuación fundamental hay varias vías alternativas a la que se eligió aquí. En particular, se puede partir de la forma diferencial para la entropía molar

$${\rm d}s = \frac1T {\rm d}u + \frac PT {\rm d}v = cR \frac{ {\rm d}u}u + R \frac{ {\rm d}v}v \;,$$

que también se integra directamente para obtener

$$s = s_o + R \ln \left[ \left( \frac u{u_o}\right)^c \left( \frac v{v_o}\right) \right] \;,$$

equivalente a la expresión anterior.

En realidad no siempre es posible arribar a ecuaciones diferenciales en las que puedan separarse tan fácilmente las variables. En general, esta limitación es importante y usualmente debe acudirse a otras herramientas.