Transformaciones de Legendre

En las representaciones entropía y energía las variables independientes naturales son extensivas, mientras que las intensivas aparecen siempre como conceptos derivados. Sin embargo, en el laboratorio suele resultar más sencillo controlar las variables intensivas en lugar de las extensivas (el ejemplo más obvio es el de $S$ y $T$). En esos casos, que son los más habituales, conviene procurar tomar las variables intensivas como independientes.

Supongamos que tenemos una relación matemática cualquiera

$$f = f(X_0,X_1,\cdots,X_N) \; ,$$

que llamaremos también fundamental para señalar que contiene toda la información necesaria para caracterizar la relación. Nos interesa tomar las variables

$$Y_k \equiv \frac{\partial f}{\partial X_k}$$

como variables independientes sin perder nada de la información contenida en la relación fundamental. Esto no se logra por el simple artilugio de escribir las $X_k$ en términos de las $Y_k$ y reemplazarlas en la relación

 

fundamental. Para comprender mejor esto pensemos en el caso de una sola variable $X$. Si la relación fundamental está representada como se muestra en el gráfico de la izquierda y se elimina $X$ de la ecuación $Y=\partial f/\partial X$, nos queda la ambigüedad de conocer cuál de todas las curvas mostradas a la derecha corresponde a la solución de nuestro problema.

Lo que sucede en realidad es que procediendo de esta manera, $f=f(Y)$ es una ecuación diferencial de primer orden y es de esperar que aparezca una constante indeterminada en el proceso de integración.

La solución al problema planteado la proporcionan las transformadas de Legendre. Geométricamente la idea es reemplazar la relación $f(X)$ proveyendo, además de la pendiente $Y$ de la curva, la ordenada al origen $\psi$ de la recta tangente a la curva $f(X)$. Así como la relación $f(X)$ caracteriza todos los pares ordenados $(X,f)$ que satisfacen dicha relación, los pares ordenados $(Y,\psi)$ se corresponden con todas las rectas tangentes a la curva $f(X)$. De este modo, la relación $\psi(Y)$ es completamente equivalente a la información provista por $f(X)$, lo que implica que puede considerarse como una relación fundamental equivalente.

Para relacionar $f(X)$ con $\psi(Y)$, basta recordar que por definición

$$Y = \frac{f-\psi}{X-0} \qquad \Rightarrow \qquad \psi = f - YX \;.$$

La función $\psi$ se denomina transformada de Legendre de $f$. Si tenemos la relación $f(X)$, tenemos $Y=\partial f/\partial X$, de donde podemos despejar $X(Y)$ y reemplazar en la ecuación anterior, de manera que nos queda $\psi$ como función sólo de $Y$. Por otro lado, si conocemos la relación $\psi(Y)$ y queremos hallar $f(X)$, como ${\rm d}f=Y {\rm d}X$, $${\rm d}\psi = {\rm d}f - Y {\rm d}X - X {\rm d}Y = - X {\rm d}Y \;,$$ de manera que $$- X = \frac{\partial\psi}{\partial Y} \;.$$

(En realidad aquí la derivada es total; hemos equivocado la notación deliberadamente, para recalcar que todo el formalismo vale si trabajamos con más de una variable.) De esta manera disponemos de $X$ en función de $Y$ y podemos escribir $f=\psi+YX$ sólo en términos de la variable $X$.

Es interesante observar la simetría que existe al pasar de una representación a la otra; el único cuidado que debe tenerse es que en la representación de $f(X)$, $Y=\partial f/\partial X$, mientras que cuando transformamos a la representación $\psi(Y)$, aparece un cambio de signo en $X=-\partial\psi/\partial Y$.

Como dijimos anteriormente, todo el desarrollo efectuado es válido para el caso de varias variables independientes:

$$f = f(X_0,X_1,\cdots,X_N) \qquad\qquad {\rm y }\qquad\qquad Y_k \equiv \frac{\partial f}{\partial X_k} \; .$$

La transformada de Legendre tomará la forma

$$\psi = f - \sum_k Y_k X_k$$

donde la sumatoria podría incluir sólo algunos términos, que corresponden a las variables que se transforman, mientras las otras se dejan inalteradas. En el caso en que todas las variables se transformen tendremos

$${\rm d}\psi = - \sum_k X_k {\rm d}Y_k \;,$$

de manera que

$$-X_k = \frac{\partial\psi}{\partial Y_k} \;.$$

Escribiendo cada $X_k$ en términos de las $\{Y_j\}$, quedará $\psi=\psi(Y_0,\cdots,Y_N)$.

En muchas situaciones nos interesa transformar sólo un subconjunto de variables $X$; en cualquier caso nos quedarán $N+1\;$ variables independientes, y todo el desarrollo sigue siendo válido para ese subconjunto.