Termodinámica y Mecánica Estadística I

Guía 7 - 15 de mayo de 2018

Problema 1: Explique cualitativamente por qué $c_P \geq c_v$. A tal fin considere las transferencias de energía a un gas ideal y los correspondientes cambios de temperatura.

Problema 2: Muestre que la ecuación fundamental de un gas ideal monoatómico satisface el criterio de estabilidad intrínseca.

Problema 3: Muestre que la ecuación de estado de van der Waals no satisface el criterio de estabilidad intrínseca para todos los valores de los parámetros. Bosqueje las curvas $P$ vs. $V$ para $T$ constante (isotermas) y muestre las regiones de inestabilidad local.

Problema 4: Muestre a partir de los criterios de estabilidad que $c_P \geq c_v$.

Problema 5: A partir de la condición de estabilidad global

$$S(U+\Delta U, V+\Delta V,n) + S(U-\Delta U, V-\Delta V,n) \leq 2 S(U,V,n)$$

derive la condición

$$\frac{\partial^2 S}{\partial U^2} \frac{\partial^2 S}{\pa... ...rac{\partial^2 S}{\partial U \partial V} \right)^2 \geq 0 \;.$$

Problema 6:Funciones convexas y estabilidad termodinámica. Pruebe que para una función $f(x)$ convexa se cumple:

1. $$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \leq \frac{1}{2} \left( f(x_1)+f(x_2) \right)$$ ;

2. si $f$ es diferenciable
   
   $$f'(x_1) \leq \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \qquad\mbox{si}\quad x_1 \,<\, x_2 \;;$$
   
   

3. $f'' \geq 0$ si $f$ es dos veces diferenciable;

4. muestre que un potencial termodinámico obtenido como transformada de Legendre de la energía interna es una función cóncava en los parámetros intensivos y convexa en los extensivos. Use esto para mostrar que $c_P$, $c_v$ y $\kappa_T$ son magnitudes no negativas.

Problema 7: Pruebe que

$$\left( \frac{\partial^2 F}{\partial V^2} \right)_T = \frac{... ...t)^2 } { \displaystyle\frac{\partial^2 U}{\partial S^2} } \;.$$

Problema 8: Considere una mezcla de dos sustancias 1 y 2 mantenida a temperatura y presión constantes. Muestre que las condiciones de estabilidad termodinámica son

$$\mu_{1,2}=\mu_{2,1} \leq 0 \;,$$

donde

$$\mu_{i,j} \equiv \left(\frac{\partial\mu_i}{\partial n_j}\right)_{T,P} \;.$$