Termodinámica y Mecánica Estadística II

Cómo contar dados correctamente

En el problema 3 de la guía 1, es importante aclarar que no estamos tratando con dados ``indistinguibles'', aun cuando no nos interesa en cuál de los tres dados aparece el resultado que nosotros esperamos.

Si pensamos que en el primer dado el número $i$ que puede salir es a lo sumo 4, debemos combinar esa alternativa con los números $j$ posibles para el segundo dado. Como la suma no puede superar los 6 puntos, y en el tercer dado al menos saldrá un 1, los valores posibles para $j$ van entre 1 y $5-i$. Para cada uno de estos pares $(i,j)$, el resultado para el último dado puede valer entre 1 y $6-i-j$, garantizándose de esta manera que la suma es siempre menor que 6 puntos.

Así, el número de resultados favorables será

$$n = \sum_{i=1}^4 \sum_{j=1}^{5-i} (6-i-j) \;.$$

Recordando que $\sum_{j=1}^m j=m(m+1)/2$, obtenemos

$$n = \frac 12 \sum_{i=1}^4 (30-11i+i^2) \;,$$

y teniendo presente que $\sum_{j=1}^m j^2=m(m+1)(2m+1)/6$, llegamos a que el número de posibilidades de sumar 6 puntos o menos resulta $n=20$.