Termodinámica y Mecánica Estadística II

Precauciones sobre el cálculo de calores específicos para bosones

El gran potencial para un gas de bosones sin espín puede expresarse como

$$\Omega(T,V,\mu) = -pV =\left\{ \begin{array}{lcr} -\displa... ...T^3}g_{5/2}(1)&& v<v_c\;\mbox{\'o}\;T<T_c \end{array} \right.$$

De aquí puede obtenerse la entropía para el sistema

$$S=\left(\frac{\partial\Omega}{\partial T}\right)_{V\mu} = \... ...} g_{5/2}(1) && v<v_c\;\mbox{\'o}\;T<T_c \end{array} \right.$$

(Si quisiéramos conservar sólo las variables $TVz$ ($TV\mu$), podemos reemplazar en la primera línea $\bar{N}=V\,g_{3/2}(z)/\lambda_T^3$.)

Para calcular el calor específico a volumen constante debemos tener en cuenta que el sistema debe permanecer cerrado en el sentido de que no debe cambiar la cantidad de materia o el número de partículas. Esto significa computar la capacidad calorífica por partícula

$$C_V = \frac1{\bar N}\,T \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V\bar{N}}$$

o equivalentemente, a partir de la entropía por partícula $s$

$$c_v = T \left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{v\bar N}$$

ya que dejar fijos $V$ y $\bar N$ es equivalente a dejar fijos $v=V/\bar N$ y $\bar N$. Teniendo esto en cuenta se obtienen las expresiones que aparecen en los libros de texto, usando que por encima del punto crítico

$$g_{3/2}(z) = \frac{\lambda_T^3 \bar N}V$$

de modo que

$$\frac1z\,\left(\frac{\partial z}{\partial T}\right)_{V\bar N} = -\frac{3\lambda_T^3 \bar N}{2TVg_{1/2}(z)}$$

Con estas consideraciones en mente puede calcularse el salto para el calor específico al atravesar la temperatura crítica.

Vale la pena agregar que si se toman estas precauciones es muy simple evaluar la compresibilidad isotérmica $\kappa_T$ por encima de la temperatura crítica.