Termodinámica y Mecánica Estadística II

Fluctuaciones de energía en el ensamble gran canónico

En el problema 6 de la guía 5 se desea estudiar las fluctuaciones de la energía del sistema $\Delta E~^2\equiv\langle{\widehat H}^2\rangle -\langle{\widehat H}\rangle^2$ ( $\langle{\widehat H}\rangle\equiv U$). Partiendo de la gran partición

$$Z_\mu = {\rm Tr}\, e^{-\beta \left( \widehat H-\mu\widehat N\right)}$$

y el gran potencial asociado con ésta

$$\Omega(T,V,\mu) = -kT\ln Z_\mu$$

puede calcularse el número medio de partículas

$$\bar{N} = -\left(\frac{\partial\Omega}{\partial\mu}\right)_{TV}$$

Teniendo en cuenta que el procedimiento de derivar $\ln Z_\mu$ siempre implica tomar valores medios, puede mostrarse que

$$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\partial\ln Z_\mu}{\partial T}\right)_{V\mu} &=& ... ...rangle}{k^2T^3}- \frac{\mu\langle{\widehat N}^2\rangle}{k^2T^3} \end{eqnarray*}$$

Comparando con las derivadas de $-\Omega(T,V,\mu)/kT$

$$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\partial\ln Z_\mu}{\partial T}\right)_{V\mu} &=& ... ...kT^2}+\frac1{kT}\left(\frac{\partial S}{\partial\mu}\right)_{TV} \end{eqnarray*}$$

y utilizando aquella relación que tantas satisfacciones nos proporcionó

$$\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z = \left(\frac... ... w}\right)_y \left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)_z \;,$$

se puede obtener la siguiente expresión

$$\Delta E~^2 = k\,T^2\,N\, c_V + \frac{k\,T\,N}v\,\kappa_T \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{TV}^2\;.$$