Termodinámica y Mecánica Estadística II

Energía libre de Helmholtz para fermiones a baja temperatura

Antes de empezar, conviene recordar que para fermiones con degeneración $g$=2$s$+1 el gran potencial está dado por

$$\Omega = -\frac{gkTV}{\lambda_T^3} f_{5/2}(z) \;,$$

de donde se obtiene el número medio de partículas

$$\bar{N} = -\left(\frac{\partial\Omega}{\partial\mu}\right)_... ...t(\mbox{o bien}\ \frac{\lambda_T^3}{gv}= f_{3/2}(z)\right)\;.$$

Cuando la densidad o la temperatura son bajas ( $\lambda_T^3/v\gg 1$) puede usarse la aproximación de Sommerfeld ($z\to\infty$)

$$f_{3/2}(z) = \frac4{3\sqrt{\pi}} \left[ (\ln z)^{3/2} + \frac{~\pi^2}8\frac1{\sqrt{\ln z}} + \cdots \right] + O(z^{-1}) \;.$$

Es posible entonces obtener para $T\to 0$

$$\mu \simeq \epsilon_F \left[ 1 - \frac{~\pi^2}{12} \left(\frac{kT}{\epsilon_F}\right)^2 + \cdots \right] \;.$$

Mediante un procedimiento similar, se puede aproximar también la energía interna en esta región

$$U \simeq \frac35 \bar{N}\epsilon_F \left[ 1 + \frac{~5\pi^2}{12} \left(\frac{kT}{\epsilon_F}\right)^2 + \cdots \right]$$

Además, como $U=\Omega+TS+\mu \bar{N}$, se puede escribir

$$TS = -T \left(\frac{\partial\Omega}{\partial T}\right)_{V\m... ...\lambda_T^3} f_{5/2}(z) - \frac{gV\mu}{\lambda_T^3}f_{3/2}(z)$$

de manera que

$$U = \frac32\frac{gkTV}{\lambda_T^3} f_{5/2}(z) \;.$$

Notando que $\Omega=-\frac23U$ se obtiene para la energía libre de Helmholtz

$$F = \Omega + \mu \bar{N} \simeq - \frac25 \bar{N}\epsilon_F... ...2} \left(\frac{kT}{\epsilon_F}\right)^2 + \cdots \right] \; ,$$

obteniendo la expresión adecuada para $F$.

Por supuesto, también es posible identificar $TS=\frac53U-\mu\bar{N}$, de manera que

$$F = U - TS = \frac35 \bar{N}\epsilon_F \left[ 1 + \frac{~5\... ...}2 \left(\frac{kT}{\epsilon_F}\right)^2 + \cdots \right] \; ,$$

de donde se obtiene el mismo resultado.