Termodinámica y Mecánica Estadística II

Guía 1 - 18 de agosto de 2021

Problema 1: Muestre que el número de permutaciones, $N_p$, de un conjunto de $N$ objetos que contiene $n_1$ elementos idénticos de tipo 1, $n_2$ elementos idénticos de tipo 2, ..., $n_k$ de tipo $k$, es

$$N_p\; = \; \frac{N!}{n_1!\; n_2!\; \dots \; n_k!} \;,$$

donde $n_1\!+\!n_2\!+\!\cdots\!+\!n_k\!=\!N\,$.

Problema 2: Sean los eventos $A\,$ y $B\,$ tales que $P({\bar A})= 4/9$, $P(B)=1/4\,$ y $P(A \cap B )=5/36\,$ (${\bar A}\,$ es el complemento de $A$).

1. Calcular $P(A \cup B )$.
2. ¿Son $A\,$ y $B$ eventos disjuntos o excluyentes?
3. ¿Son $A\,$ y $B$ eventos independientes?

Problema 3: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de seis puntos o menos arrojando tres dados?

Problema 4: Se escoge al azar un número entre 0 y 1 (mayor o igual que 0, estrictamente menor que 1). ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de las primeras 10 cifras decimales sean dígitos menores que 5? ¿Y menores que 4?

Problema 5: Dado un grupo de $n$ elementos, compuesto por $n_1$ elementos de tipo $A$ y $n_2=n-n_1$ elementos de tipo $B$, se elige aleatoriamente un grupo de $r$ elementos. La probabilidad $P_r(k)$ de que el grupo elegido contenga exactamente $k$ elementos de tipo $A$ se conoce como distribución hipergeométrica ($k$ es cualquier entero entre 0 y $n_1$ o $r$, según cuál sea el más pequeño).

1. Encuentre $P_r(k)$.
2. Un grupo de $2N$ niños y $2N$ niñas se divide en 2 grupos iguales. Usando la aproximación de Stirling, calcule la probabilidad $p$ de que haya igual cantidad de niños y niñas en cada uno de esos grupos.

Problema 6: Demuestre el teorema de Bayes:

$$P(B\vert A_i)\; =\; \frac{P(A_i)\; P(A_i\vert B)}{\sum P(A_j)\; P(A_j\vert B)} \;,$$

donde $\{A_j\}$ es una partición arbitraria del espacio muestral y $P(A\vert B)\,$ es la probabilidad condicional de que ocurra el evento $B$ dado que ocurrió el evento $A$.

Problema 7: Por una autopista donde hay una estación de servicio pasan tres camiones por cada dos autos. La probabilidad de que cargue combustible un camión es 0,1 y para un auto esta probabilidad es 0,3. Al surtidor llega un vehículo a abastecerse: ¿cuál es la probabilidad que sea un camión?

Problema 8: De las personas que llegan a un banco de sangre, una de tres tiene tipo sanguíneo $0^+$, y una de quince, tipo $0^-$. Considérense tres donantes, seleccionados aleatoriamente del banco de sangre. Sea $X$ el número de donantes con sangre tipo $0^+$ e $Y$ el número con tipo $0^-$. Obtenga las distribuciones de probabilidad para $X$ e $Y$. Determine también la distribución de probabilidad para $X+Y$, es decir el número de donantes con sangre tipo 0.

Problema 9: En una reunión social hay $N$ personas.

1. Calcule la probabilidad de que al menos 2 de ellas cumplan años el mismo día. Dé los valores de $P(N)$ para $N=10, 20, 30$ y grafique $P(N)$ vs. $N$.
2. Calcule la probabilidad de que exactamente $n$ personas cumplan años el mismo día, mientras todas las restantes cumplen años en días diferentes entre sí.

Problema 10: Calcule los momentos de la distribución de Rayleigh:

$$f(x)\; =\; \frac{x}{\alpha^2} \; e^{-x^2/(2\alpha^2)}\; U(x) \;,$$

donde

$$U(x) \; = \; \left\{ \begin{array}{ll}0 & x<0 \\ 1 & x\geq 0 \end{array} \right.$$

Problema 11: Si $x_1,x_2,\dots,x_n$ son variables estocásticas independientes con valores medios finitos, demuestre que

$${\rm var}\left(\sum_{i=1}^n x_i\right) \; = \; \sum_{i=1}^n {\rm var}\left(x_i\right)$$

Problema 12:Teorema de transformación de variables estocásticas. Sean $x_1,x_2,\dots,x_n$ variables estocásticas con densidad de probabilidad conjunta $f_X(x_1,x_2,\dots,x_n)$, y sean $y_1,\dots,y_m$ variables estocásticas definidas por $y_i=\phi_i(x_1,\dots,x_n)\;\; (i=1,\dots,m)$, donde cada $\phi_i$ es una función real de $n$ variables.

1. Demuestre que la densidad de probabilidad conjunta de las variables $y_i$ es:
   
   $$f_Y(y_1,\dots, y_m)\;=\;\int_{-\infty}^\infty \,{\rm d}x_1 ... ...n) \prod_{j=1}^m \delta\left(y_j-\phi_j(x_1,\dots,x_n)\right)$$
   
   
   Ayuda: el valor medio de una función arbitraria $g$ de $m$ variables $g(y_1, \dots, y_m)$ por definición es
   $$\begin{eqnarray*} \langle g\rangle&=&\int_{-\infty}^\infty \,{\rm d}y_1 \cdots ... ...;g\left(\phi_1(x_1,\dots,x_n),\dots,\phi_m(x_1,\dots,x_n)\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   

2. Muestre que para el caso particular de una única variable aleatoria $y=\phi(x)$ esta transformación se escribe
   
   $$f_Y(y) = f_X(x) \left\vert \frac{dx}{dy}\right\vert \;,$$
   
   
   donde $x= \phi^{-1}(y)$. Interprete.

Problema 13: Dada una variable aleatoria $x\,$ con probabilidad cumulativa $F_X(x)=\int_{-\infty}^{\;x} \,{\rm d}x\; f_X(x')$, determine la expresión para la distribución de probabilidad $f_Y(y)\,$ de las variables aleatorias $y=g(x)$ :

1. $y= ax+b$
2. $y= x^2$ . Dibuje esquemáticamente $g$, y $F_Y\,$ para $F_X\,$ correspondientes a una distribución uniforme en el intervalo [-1,1].

Problema 14: Una fuente lineal infinita homogénea emite fotones con igual probabilidad en cualquier dirección radial. Un detector plano, que puede considerarse de área infinita, es colocado frente a la fuente a una distancia $d$. Encuentre la densidad de probabilidad de que un fotón llegue a un punto dado del detector.

Problema 15: Un hombre borracho tratando de caminar a lo largo de un camino recto tiene igual probabilidad de dar un paso hacia adelante o hacia atrás. Después de $n$ pasos, determine el desplazamiento medio $\langle x \rangle$ y la varianza $\langle x^2 \rangle$- $\langle x \rangle^2$ en los casos

1. los pasos tienen largo $a$ ;
2. los pasos son de largo $\ell \leq a$ igualmente probables.

Problema 16: Suponga una caminata aleatoria donde la probabilidad de un salto de longitud entre $x$ y $x+\,{\rm d}x$ está dada por una Lorentziana:

$$f(x)\,\,{\rm d}x \; = \; \frac{a}{\pi \; (x^2 + a^2)}\; \,{\rm d}x$$

Encuentre la distribución de probabilidad para el desplazamiento total luego de $n$ pasos. ¿Satisface esta distribución el teorema del límite central?