Termodinámica y Mecánica Estadística II

Guía 5 - 6 de octubre de 2021

Problema 1: Deduzca la expresión para la densidad de probabilidad que maximiza la entropía en el ensamble gran canónico para sistemas clásicos.

Problema 2: Obtenga la presión de un gas ideal clásico como función de $\langle N\rangle$, $T$ y $V$ usando el ensamble gran canónico.

Problema 3: Expresando la función gran partición $\cal Z\,$ en términos de $T$, $V\,$ y $z\!=\!e^{\beta\mu}\,$ como variables independientes, use las relaciones

$$F = \,\langle N\rangle k T \ln z - k T\, \ln {\cal Z}(z,T,V)$$   y$$\qquad \langle N\rangle = \,z\, \frac{\partial}{\partial z} \ln {\cal Z}(z,T,V)$$

para mostrar que

$$\left(\frac{\partial F}{\partial\langle N\rangle}\right)_{T,V} = k T\, \ln z \equiv\mu \;.$$

Problema 4: Muestre que en el ensamble gran canónico la fluctuación cuadrática media del número de partículas puede expresarse como

$$\langle N^2 \rangle - \langle N \rangle^2 = z\, \frac{\partial}{... ...ial z} \left( z\, \frac{\partial}{\partial z} \ln {\cal Z}(z,T,V) \right) \;.$$

Particularice para un gas ideal, en el que se cumple

$$\left( \frac{\langle N^2 \rangle - \langle N \rangle^2} {\langle N \rangle^2}\right)^{1/2} = \langle N \rangle^{-1/2} \;.$$

Problema 5: Generalice el problema anterior para el caso de un sistema abierto multicomponente, analizando primero qué vínculos deben imponerse al maximizar la entropía de información.

En particular, muestre que

$$\langle \delta N_i \; \delta N_j \rangle \;=\; \left( \frac{\partial \langle N_i \rangle}{\partial \beta \mu_j} \right)_{\beta,V,\beta\mu_i} \;,$$

donde $\delta N = N_i-\langle N_i\rangle$.

Problema 6: Encuentre la varianza para las fluctuaciones de la energía en el ensamble gran canónico; relacione esta cantidad con funciones respuesta como el calor específico y la compresibilidad.

Problema 7:El ensamble a presión constante. Suponga que se tiene un sistema clásico con un número $N\/$ constante de partículas en contacto con un reservorio a temperatura $T$ mantenido a presión constante $P$ (es decir, su volumen puede fluctuar).

1. Use el principio de máxima entropía estadística para calcular la densidad de probabilidad $\rho$ y la función partición $Y_N(T,P)$ en este ensamble. ¿Con qué función termodinámica debe relacionarse el logaritmo de la función partición?
2. Calcule la varianza del volumen y relaciónela con la compresibilidad isotérmica $\kappa_T$. Use este resultado para demostrar que $\kappa_T \ge 0$.
3. Use este ensamble para calcular la ecuación de estado del gas ideal monoatómico clásico.

Problema 8:Gas de esferas rígidas. Calcule la función partición en el ensamble de las presiones para un gas de esferas rígidas unidimensional. Obtenga la ecuación de estado y compárela con la del gas ideal.

Problema 9: Muestre que el operador aniquilación es el conjugado hermitiano del operador creación y viceversa.

Problema 10: Verifique las siguientes relaciones:

$$\left[\hat{a}_m,\hat{a}_{m'}\rule[-0em]{0em}{1em}\right] =\; 0$$

$$\left[{\hat{a}_m}^{\,\dagger},{\hat{a}_{m'}}^{\,\dagger}\right] = \; 0$$

$$\left[\hat{a}_m,{\hat{a}_{m'}}^{\,\dagger}\right] =\; \delta_{m,m'}$$