Termodinámica y Mecánica Estadística II

Guía 6 - 29 de octubre de 2021

Problema 1: Describa qué propiedades deben tener las funciones de onda de bosones y fermiones. ¿Qué sistema se describe mediante la estadística de Maxwell-Boltzmann?

Problema 2: Muestre que para un gas de Maxwell-Boltzmann la longitud de onda térmica $\lambda_T\,$ es aproximadamente igual a la longitud de onda de de Broglie $h/\langle\vert\mbox{\boldmath${p}$}\vert\rangle$.

Problema 3: Demuestre que las funciones $g_{5/2}(z)\,$ y $g_{3/2}(z)\,$ pueden expandirse como una suma de potencias de $z$.

Problema 4: Para un gas ideal de Bose calcule:

1. la ecuación de estado para la presión;
2. la entropía y verifique la expresión para el calor latente de la transformación, lo que permite convalidar la ecuación de Clausius-Clapeyron;
3. la energía interna por unidad de volumen;
4. el calor específico a volumen constante.

Problema 5: Muestre que en el régimen de altas temperaturas o bajas densidades, es decir, $\lambda^3/v\ll1$, la ecuación de estado para un sistema de bosones libres tiene la siguiente expansión virial:

$$\frac{Pv}{kT} = 1 - \frac{1}{2^{5/2}}\,\frac{\lambda^3}{gv} + \cdots$$

Problema 6: Muestre que para un gas ideal de Bose la compresibilidad isotérmica diverge cuando el volumen específico se aproxima al volumen específico crítico:

$$\lim_{\ v\to v_c}{\kappa_T} \equiv -\lim_{\ v\to v_c} \frac 1v \left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_T = \infty \;.$$

Problema 7: La siguiente expresión es válida cerca de $z=1$

$$g_{5/2}(z) \;=\; 2,363\,\nu^{3/2} + 1,342 - 2,612\,\nu - 0,730\,\nu^2 \;,$$

donde $\nu=-\ln z$. De esta expresión podemos obtener las correspondientes expansiones para $g_{3/2}$, $g_{1/2}\,$ y $g_{-1/2}\,$ usando la relación de recurrencia

$$g_{n-1} = -\, \frac{\partial g_n}{\partial\nu\;}$$

Use esto para mostrar que para un gas ideal de Bose la discontinuidad en la derivada del calor específico a la temperatura crítica está dada por

$$\frac{1}{k_B} \left[ \left( \frac{\partial c_V}{\partial T... ...al T}\right)_{T\to T_c^-} \right] \;=\; -\frac{3,66}{T_c} \;.$$

Problema 8: Considere un gas ideal de Bose bidimensional:

1. calcule la función gran partición para este sistema;
2. encuentre el número medio de partículas por unidad de área en función de $T\,$ y $z$;
3. muestre que no hay condensación de Bose-Einstein en 2 dimensiones.

Problema 9: Un gas ideal de Bose está compuesto por partículas de espín 0 con grados de libertad internos de energía $\varepsilon_i$. Suponga que solo el primer nivel excitado $\varepsilon_1$ resulta accesible además del estado fundamental $\varepsilon_o=0$.

1. Para una dada temperatura $T$, encuentre el número medio de partículas en cada uno de los estados individuales accesibles.
2. ¿Qué condiciones debe cumplir el potencial químico $\mu$ en este sistema?
3. Para un dado volumen específico $v$, escriba la ecuación que determina la temperatura de condensación $T_c$.
4. Verifique que cuando $\varepsilon_1\to\infty$ se reobtiene el valor de $T_c^o$ esperado.
5. Para valores muy grandes de $\varepsilon_1$ dé una primera corrección a esta temperatura utilizando el valor de $T_c^o$ en la ecuación hallada en el inciso anterior.

Problema 10: Una caja cúbica de volumen $V\,$ se halla en contacto con un reservorio de bosones idénticos sin espín, de masa $m\,$ y a temperatura $T$.

1. Escriba una expresión para el número de bosones $\,{\rm d}n(\epsilon)\,$ con energías entre $\epsilon\,$ y $\epsilon+\,{\rm d}\epsilon\,$ en función de $\epsilon$, $m$, $T\,$ y el potencial químico.
2. Para el caso en que $\exp(\beta \mu$) $\ll 1$ (gas diluido), muestre que el potencial químico es aproximadamente igual al del gas de Boltzmann. Muestre también que en esta situación la distancia media $\ell\,$ entre partículas es mucho mayor que la longitud de onda de de Broglie.
3. Para el caso en que $\mu = 0$, calcule la densidad de energía y la capacidad calorífica del sistema.

Problema 11: Para un gas de fotones ($m=0$ y $\mu = 0$) a temperatura $T$,

1. encuentre la densidad de estados de energía y la densidad de energía;
2. encuentre la presión del gas.

Problema complementario: Bosones ideales en una trampa armónica. Los estados energéticos de los bosones están dados por

$$\epsilon_{\bm{a}} = \hbar\omega \left(a_x+a_y+a_z+\frac{3}{2}\right) \;,$$

incluyendo la energía de punto cero $\epsilon_0=3\hbar\omega/2$; los números de ocupación del estado con energía $\epsilon_{\bm{a}}$ están dados por $n_{\bm{a}}$, donde $\bm{a}=(a_x,a_y,a_z)$ con $a_i\in \{0,1,2,\ldots\}$

1. Calcule el gran potencial $\Omega\,$ considerando que $0\!<\!ze^{-\beta\epsilon_{\bm{a}}}\!<\!1$, la expansión en serie $\ln(1+x)\!=\!-\sum_{\ell=1}^{\infty}\left[(-x)^{\ell}/\ell\,\right]$, válida para $-1\!<\!x\leq 1$ y temperaturas relativamente altas, tales que se pueda aproximar $1-\exp(-\ell\beta\hbar\omega)\approx\ell\beta\hbar\omega\,$ para los valores de $\ell$ relevantes. En particular muestre que
   
   $$\Omega \propto g_4\left( z e^{-\beta\epsilon_0}\right) \;,$$
   
   
   donde $g_s(z)$ está definida como
   
   $$g_s(z)=\sum_{\ell=1}^{\infty} \frac{z^\ell}{\ell^s} \;.$$
   
   

2. Dé una expresión para la energía interna $U$ y el número medio de partículas $\langle N\rangle$. Obtenga $U$ en términos de $\langle N\rangle$.
3. Calcule el calor específico $c$ (para un número constante de partículas). Use el desplazamiento cuadrático medio del oscilador armónico $r_{\rm ef}^2\!=\!x_o^2\langle a_x\!+\!a_y\!+\!a_z\rangle$ para definir un volumen efectivo $V_{\rm ef}=(4\pi/3) r_{\rm ef}^3\,$ y calcule el coeficiente de expansión térmica $\alpha$.
4. Analice la posibilidad de que ocurra una condensación de Bose-Einstein en este sistema.