Termodinámica y Mecánica Estadística II

Guía 9 - 9 de noviembre de 2005

Problema 1: Encuentre la población de niveles $\langle n_{\mbox{\footnotesize\boldmath$p$}}\rangle\,$ y la ecuación de estado para un gas ideal de Bose y para un gas ideal de Fermi a altas temperaturas. Incluya la primera corrección debida a efectos cuánticos (compare con el problema de gas imperfecto).

Problema 2: Calcule la temperatura de Fermi para los electrones de valencia en Aluminio, Cobre y Platino, utilizando para ello un modelo simplificado correspondiente a un gas de electrones libres.

Problema 3: Siguiendo el método de Sommerfeld, muestre que a bajas temperaturas la energía interna de un gas de fermiones libres con energía de Fermi $\epsilon_F\,$ puede aproximarse como

$$U = \frac35\, \langle N \rangle\, \epsilon_F \left[ 1 + \f... ...\pi^2\left(\frac{kT}{\epsilon_F}\right)^2 + \cdots \right] \;.$$

Problema 4: Verifique que para un gas de fermiones libres con impulso de Fermi $p_F\,$ se cumple

$$\sum_{\vert\mbox{\footnotesize\boldmath $p$}\vert<p_F} \frac{p^2}{2m} = \frac35\,\langle N \rangle\,\epsilon_F\;.$$

Problema 5: Muestre que para un gas ideal de Fermi la energía libre de Helmholtz por partícula a bajas temperaturas está dada por

$$f \;=\; \lim_{N\to\infty} \frac{F}{N} \;=\; \frac{3}{5}\, \... ...left( \frac{k_B T}{\epsilon_F} \right)^2 + \cdots \right] \;.$$

Problema 6: Un cilindro está separado en dos compartimentos por un pistón móvil. En uno de los compartimentos se coloca un gas ideal de Fermi de partículas de espín 1/2, mientras que en el otro, un gas ideal de Fermi de partículas de espín 3/2. Todas las partículas tienen igual masa. Encuentre la densidad relativa de equilibrio a $T=0\,$ y $T\to\infty$.

Problema 7: Muestre que en el régimen de altas temperaturas o bajas densidades, es decir, $\lambda^3/v\ll1$, la ecuación de estado para un sistema de fermiones libres tiene la siguiente expansión virial:

$$\frac{Pv}{kT} = 1 + \frac{1}{2^{5/2}}\,\frac{\lambda^3}{gv} + \cdots$$

Problema 8:Diamagnetismo de Landau. Una partícula sin espín y carga $-e\,$ es puesta en presencia de un campo magnético $H\,$ constante en la dirección $z$. Elija el gauge en que el Hamiltoniano toma la forma

$${\cal H}\;=\; \frac{1}{2m} \left[ \left( p_x - \frac{eHy}{c} \right)^2 + p_y^2 + p_z^2 \right]$$

y calcule los niveles de energía (niveles de Landau).

Suponga que la temperatura es suficientemente alta como para tratar el gas de electrones usando la estadística de Boltzmann y calcule la susceptibilidad magnética.

Problema 9:Efecto de Haas - Van Alphen. Para el sistema descripto en el problema anterior, en el límite de bajas temperaturas y campo fuerte ( $kT \ll \hbar eB/mc$) aparecen términos oscilatorios en la susceptibilidad magnética. Calcule esos términos.

Problema 10: Considere un gas de electrones bidimensional en presencia de un campo magnético suficientemente fuerte como para que todas las partículas estén en el nivel de Landau más bajo. Calcule la magnetización a $T=0\,$ teniendo en cuenta el spin del electrón.