Termodinámica y Mecánica Estadística II

Acerca de la longitud de onda térmica (caso Maxwell-Boltzmann)

En el problema 2 de la guía número 8 se presenta la comparación entre la longitud de onda térmica $\lambda_T$ y la longitud de onda de de Broglie $h/\langle\vert\bm{p}\vert\rangle$ para un gas de Maxwell-Boltzmann. El primer intento que podemos hacer es reconocer que el valor medio del hamiltoniano $\hat{H}=\sum \bm{\hat{p}}_i^2/(2m)$ resulta de la suma de los valores medios de $\bm{\hat{p}}_i^2$ que para todas las partículas es el mismo $\langle p^2\rangle$. Si $\langle N \rangle$ es el valor medio de partículas, entonces

$$\langle\hat{H}\rangle = \langle N \rangle \frac{\langle p^2\rangle}{2m}$$

y como ya mostramos que en un gas de Maxwell-Boltzmann $\langle\hat{H}\rangle\equiv U = 3\langle N \rangle kT/2$, obtenemos $\langle p^2\rangle = (3/2\pi)(h/\lambda_T)^2$. Admitiendo la aproximación $\langle p^2\rangle \simeq \langle\vert\bm{p}\vert\rangle ^2$ podemos hacer una estimación que permite afirmar que las longitudes de onda en cuestión son similares.

Un desarrollo más preciso se logra a partir de la expresión para la gran partición

$$Z_\mu(T,V) = \prod_{\ell=0}^\infty \exp(e^{-\beta(\epsilon_\ell-\mu)})$$

de donde se obtuvo el gran potencial

$$\Omega(T,V,\mu) = -kT \sum_{\ell=0}^\infty e^{-\beta(\epsilon_\ell-\mu)}$$

En el límite termodinámico ($V\to\infty$) se puede pasar la suma sobre $\ell$ a una integral sobre la variable continua $p$

$$\sum_{\ell} \rightarrow \frac V{h^3} \int {\rm d}^3\bm{p}$$

de manera que se obtiene

$$\Omega(T,V,\mu) = -\frac{kTV}{h^3}\int{\rm d}^3\bm{p}\; e^{... ...2\pi\hbar^2} \right)^{3/2}}_{\displaystyle 1/\lambda_T^3} \;.$$

Si se analiza el valor medio de partículas

$$\langle N \rangle = -\left(\frac{\partial\Omega}{\partial\m... ...}{h^3} \int_0^\infty p^2 e^{-\beta[p^2/(2m)-\mu]} \, {\rm d}p$$

se puede identificar las contribuciones diferenciales como las poblaciones de los estados con impulso con módulo entre $p$ y $p+{\rm d}p$, de modo que la probabilidad de que una partícula tenga un impulso en ese intervalo será

$$\frac{{\rm d}N_p}{\langle N \rangle} = \frac{4\pi\lambda_T^3}{h^3}\, p^2 e^{-\beta p^2/(2m)} \,{\rm d}p \;.$$

Entonces es posible calcular el valor medio de $p\equiv\vert\bm{p}\vert$:

$$\langle\vert\bm{p}\vert\rangle = \int \frac{{\rm d}N_p}{\langle N \rangle} p = \frac2\pi \frac h\lambda_T$$

Puede verse que los resultados obtenidos mediante ambos procedimientos son similares.