Termodinámica y Mecánica Estadística II

Acerca de ensambles de espines

En el problema 5 de la guía 2 se desea analizar un ensamble de espines 1/2, para lo cual es necesario tener claras algunas ideas relacionadas con el operador de momento angular intrínseco o espín $\bm{\hat{S}}$.

En primer lugar vale la pena recordar que si elegimos una dirección $\hat{\bm{n}}\,$ caracterizada por los ángulos polar $\theta\,$ y acimutal $\phi$, el operador espín proyectado sobre esta dirección

$$\hat{\bm{n}}\cdot\bm{\hat{S}} \equiv \hat{\bm{n}}\cdot \left( \frac{\hbar}2\,\bm{\hat{\sigma}} \right)$$

tiene autovalores $+1\,$ y $-1$, con autovectores respectivos

$$\vert n+\rangle = \left( \begin{array}{c} e^{\textstyle ... ...2}\, \cos{\displaystyle\frac\theta2} \end{array}\right) \;.$$

Como cualquier momento angular, $\hat{\bm{S}}\,$ puede servir para procurar cambios de base alrededor de una dirección $\hat{\bm{\alpha}}\,$ rotando un ángulo $\alpha$, ya que permite escribir el generador de rotaciones, que en nuestro caso toma una forma sencilla:

$$e^{-i\,{\textstyle\frac\alpha2}\,\hat{\bm{\alpha}}\cdot\bm... ...sen}\frac\alpha2\,\hat{\bm{\alpha}}\cdot\bm{\hat{\sigma}} \;.$$

En el caso concreto del estudio de un ensamble, sabemos que cualquier operador hermitiano 2$\times$2 puede escribirse en términos de $\hat{\sigma}_x$, $\hat{\sigma}_y$, $\hat{\sigma}_z\,$ y la identidad $I$, y a nosotros nos interesa una expresión para el operador densidad $\hat{\rho}$, para el cual ${\rm Tr}\,(\hat{\rho})=1$. Como ${\rm Tr}\,(\hat{\sigma}_i)=0\,$ y ${\rm Tr}\,(I)=2$, una expresión general puede escribirse como

$$\hat{\rho} = \frac12\left(I + \bm{P}\cdot\bm{\hat{\sigma}}\right) \;,$$

donde $P_x/2$, $P_y/2\,$ y $P_z/2\,$ serán los coeficientes que acompañen a las respectivas matrices de Pauli en esta expansión.

En el caso de un ensamble puro debe cumplirse $\hat\rho\,^2=\hat\rho$, lo que solamente se satisface cuando $\bm{P}\cdot\bm{P}=1$ --para demostrarlo, es útil recordar que $(\bm{\hat{\sigma}}\cdot\bm{A})(\bm{\hat{\sigma}}\cdot\bm{B}) = \bm{A}\cdot\bm{B}\;I + i\,\bm{\hat{\sigma}}\cdot(\bm{A}\times\bm{B})$.

La relación entre el valor medio de $\bm{\hat{\sigma}}\,$ y $\bm{P}\,$ se obtiene recordando que

$$\langle\bm{\hat{\sigma}}\rangle = {\rm Tr}\,\left(\hat\r... ...(\bm{P}\cdot\bm{\hat{\sigma}})\,\bm{\hat{\sigma}} \right] \;.$$