Termodinámica y Mecánica Estadística II

La energía cinética de un rotador de momento de inercia $I$ es

$$T = \frac1{2I} \ \left(p_{\theta}^2 + \frac{p_{\phi}^2}{{\rm sen}^2 \theta}\right) \; ,$$

tal como se enuncia en el problema de los dipolos eléctricos de la guía del ensamble canónico y puede repasarse del libro de mecánica de Landau. Vale la pena recordar que aquí $p_{\theta}$ y $p_{\phi}$ no son componentes del momento lineal en alguna dirección, sino los momentos conjugados correspondientes a las coordenadas generalizadas polar $\theta$ y azimutal $\phi$ (en realidad $p_{\theta}$ y $p_{\phi}$ son proyecciones del momento angular).

En el problema mencionado ya tenemos el hamiltoniano del sistema escrito en términos de un conjunto de coordenadas generalizadas: la coordenada ${r}$ del centro de masa (en realidad no figura en el hamiltoniano) y el correspondiente impulso ${p}$, y las orientaciones $\theta$ y $\phi$ con sus impulsos generalizados $p_{\theta}$ y $p_{\phi}$. Para calcular la función partición sólo debemos aplicar la receta de integrar en el espacio de las fases en todos los valores posibles de $(p,q)$.

En cuanto al problema del paramagnetismo de Langevin, el hamiltoniano no presenta los momentos generalizados correspondientes a las distintas orientaciones posibles para los espines. Aquí podemos pensar el problema de dos maneras diferentes:

1. El sistema está descripto por las coordenadas $(p,q)$ canónicamente conjugadas, regidas por las ecuaciones de Hamilton, y además por la coordenada $\alpha$ que no tiene nada que ver con lo que conocemos de mecánica clásica. Entonces para calcular la función partición debemos abarcar todos los estados posibles, que se consiguen integrando como antes en todos los valores de las $(p,q)$ canónicas, y además barriendo todas las orientaciones posibles; en este caso, cada orientación entre $\alpha$ y $\alpha+$d$\alpha$ tendrá una degeneración sen$\alpha$. Notemos que aquí no existe siquiera el impulso generalizado asociado con este parámetro, porque no lo incluimos en la parte clásica de nuestra descripción.
2. Aceptamos al sistema como clásico, de modo que su hamiltoniano debería ser
   
   $${\cal H} = {\cal H}({\bf p},{\bf q}) + \sum \left\{\frac1{2... ...{\rm sen}^2\alpha_i}\right) - h \sum_i \cos \alpha_i \right\}$$
   
   
   (reemplazamos $\theta$ por $\alpha$ para que coincida con la notación del problema). Para que los resultados representen el hecho de que la energía cinética de rotación sólo puede valer cero, debemos imponer esta condición al realizar la integración en el espacio de las fases a través de la inclusión de un factor $\delta(p_{\alpha i}) \delta(p_{\phi i}/{\rm sen}\alpha_i)$.

Los resultados obtenidos coinciden (menos mal...).