Ecuaciones

Diego Lis - Leonardo Rocha - Dionisio Alonso - Ana Belén Sainz Colaboradores: Leoncio López - Lucas Rearte - Pedro Sánchez Terraf

Índice

1. Introducción 3 1.1. Expresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Manipulación de expresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. Equivalencia de Expresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2. Propiedades de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3. Paréntesis y precedencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4. Manipulación de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5. Modelar un problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Ecuaciones Lineales 9 2.1. Resolver una ecuación lineal con una incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Resolver dos ecuaciones lineales con dos incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1. Sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.2. Igualación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.3. Eliminación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3. Resolver n ecuaciones lineales con n incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.1. Sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.2. Eliminación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Ecuaciones Cuadráticas 13 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2. Ecuaciones Cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3. Resolver una ecuación cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4. Otras ecuaciones 16

4.1. Ecuaciones con Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.1.1. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.1.2. Distancia y Valores Absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.1.3. Desigualdades con Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.1.4. Más Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.1.5. Propiedades de los Valores Absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2. Ecuaciones con Parte Entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2.1. Resolución de Ecuaciones con Parte Entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5. Trucos 21

5.1. Sumar todas las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.2. Sistemas circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.3. Cálculo hacia atrás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1. Introducción

El presente apunte requiere alguna noción previa de ecuaciones. El nivel aproximado es del primer nivel de OMA.

En esta introducción vamos a definir algunos términos para poder usarlos con precisión y sin ambiguedades. Las definiciones intentan ser rigurosas pero no demasiado formales, para no introducir complejidad innecesaria.

1.1. Expresiones

Definición 1.1 (Operadores): Los operadores son: +, -, *, /, ^, √ . Definición 1.2 (Incógnita): Las incógnitas son: a, b, c, ...z

Las incógnitas tienen un valor numérico, el cual puede ser conocido o desconocido. Así, si queremos calcular el área de un cuadrado y sabemos que el lado vale x, pero desconocemos el valor de x, entonces no podremos conocer el área. Pero si de alguna forma hallamos el valor de x, entonces sí podremos calcular el área. Definición 1.3 (Expresión): Las expresiones son:

1. Números

2. Incógnitas

3. Combinación de los anteriores Ejemplo 1.1 (Expresiones):

2 3,1415 π 1 + 1 n + 2 x ∗ 4 (n + m − 1) ∗ (n + m)/2

Definición 1.4 (Evaluación): Evaluar una expresión es hallar el valor numérico que representa.

No siempre es posible evaluar una expresión. Si ésta contiene incógnitas, en general necesitaremos conocer el valor de dichas incógnitas. Ejemplo 1.2 (Evaluaciones):

El valor de 1 + 1 es 2 El valor de 4 ∗ 5 − 5 es 15 Si sabemos que el valor de x es 5 entonces el valor de x ∗ 4 es 20 Si sabemos que el valor de x es 4 y el valor de y es 5 entonces el valor de x ∗ (x + y) es 45

Ejercicio 1.1 : Evaluar las siguientes expresiones:

3 − (2 ∗ 4) ∗ 4 + 2^{4}

n + n − 2n + 2
(a − x) ∗ (b − x) ∗ ... ∗ (z − x)

1.2. Manipulación de expresiones

1.2.1. Equivalencia de Expresiones

Definición 1.5 (Equivalencia de Expresiones): Dos expresiones son equivalentes cuando tienen el mismo valor numérico.

Ejemplo 1.3 (Expresiones Equivalentes):

1 + 5 es equivalente a 5 + 1

4 es equivalente a 2 + 2

6 ∗ (5 + 2) es equivalente a 6 ∗ 5 + 6 ∗ 2

Uno podría pensar que esto es muy sencillo: evaluamos las dos expresiones y nos fijamos si el resultado es el mismo. Pero cuando las expresiones contienen variables, esto deja de ser tan fácil. Habría que evaluar las dos expresiones para todos los valores posibles de las variables. Esto no es posible en la práctica. En esta sección, vamos a ver reglas y trucos que nos permiten ver si dos expresiones son equivalentes cuando contienen variables.

Ejemplo 1.4 (Expresiones Equivalentes Con Variables):

a + b es equivalente a b + a

c es equivalente a c/2 + c/2

a ∗ (b + c) es equivalente a a ∗ b + a ∗ c

El lector audaz puede haber notado que si dos expresiones e_{1} y e_{2} son equivalentes, entonces es correcta la ecuación e_{1} = e_{2} (si esto no es totalmente claro, revisar las definiciones dadas de “Equivalencia de Expresiones” y de “Ecuaciones”).

Por lo tanto, en adelante, en vez de decir e_{1} es equivalente a e_{2} diremos simplemente e_{1} = e_{2}.

Ejemplo 1.5 (Expresiones Equivalentes):

a + b = b + a

c = c/2 + c/2

a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c

Vimos que cuando dos expresiones contenían variables, eran equivalentes cuando su valor era el mismo para todos los valores posibles de las variables. Es decir, a+b es equivalente a b+a porque para cualquier valor posible para a y para b, a + b tiene el mismo valor que b + a. Otra manera de expresar esto que no existen valores para a y b para los cuales a + b y b + a tengan valores diferentes.

Esto es muy importante, porque cada vez que nos encontremos con la expresión a + b, podremos (si nos conviene) reemplazarla por b + a y seguir trabajando. Es más, si en vez de a y b aparecen p y q, también podremos hacer dicho reemplazo. Lo mismo si aparecen x + y + z y t ∗ u, o dos expresiones cualesquiera.

Ejemplo 1.6 (a+b=b+a): Las siguientes equivalencias son ejemplos de a + b = b + a:

a + b = b + a

p + q = q + p

(x + y + z) + (t ∗ u) = (t ∗ u) + (x + y + z)

5 + 3 = 3 + 5 1.2.2. Propiedades de los números reales

La equivalencia entre a+b y b+a es tan intuitiva como usada. De hecho, a veces la utilizamos sin darnos cuenta. Este tipo de equivalencias se denominan “propiedades”. Aquí resumimos las más importantes:

Propiedades del +:

• Conmutativa: a + b = b + a

• Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

• Neutro: a + 0 = a

• Opuesto: a + (−a) = 0

Propiedades del *:

• Conmutativa: a ∗ b = b ∗ a

• Asociativa: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

• Neutro: a ∗ 1 = a

• Inverso: a ∗ a^{−1} = 1

Propiedades de + y *:

• Distributiva: a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c

A partir de estas propiedades, podemos deducir otras.

Ejemplo 1.7 (a+a = a∗2): Lo que vamos a hacer es comenzar trabajando con la primera expresión: a + a Por neutro de *, es equivalente a: a ∗ 1 + a ∗ 1 Por distributiva, es equivalente a: a ∗ (1 + 1) Como 1+1=2, es equivalente a: a ∗ 2

Esto demuestra que a + a = a ∗ 2.

Ejemplo 1.8 ((a + b) ∗ (a + b) = a ∗ a + 2 ∗ a ∗ b + b ∗ b):

(a + b) ∗ (a + b) Por distributiva, es equivalente a: (a + b) ∗ a + (a + b) ∗ b Por distributiva nuevamente, es equivalente a: a ∗ a + b ∗ a + a ∗ b + b ∗ b Por conmutativa, es equivalente a: a ∗ a + a ∗ b + a ∗ b + b ∗ b Por la propiedad demostrada anteriormente, es equivalente a: a ∗ a + a ∗ b ∗ 2 + b ∗ b Por conmutativa, es equivalente a: a ∗ a + 2 ∗ a ∗ b + b ∗ b

Esta equivalencia recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo 1.9 (\frac{a}{b} ∗ \frac{c}{d} = \frac{a∗c}{b∗d}):

\frac{a}{b} ∗ \frac{c}{d} Por neutro de ∗, \frac{a}{b} ∗ \frac{c}{d} ∗ 1 Por inverso, \frac{a}{b} ∗ \frac{c}{d} ∗ \frac{b∗d}{b∗d} Por asociativa y conmutativa,

\frac{\frac{a}{b} ∗b∗ \frac{c}{d} ∗d}{b∗d}

Por inverso,

\frac{a∗c}{b∗d}

Ejemplo 1.10 (\frac{a}{b} = \frac{a∗c}{b∗c}):

\frac{a}{b}

Por neutro de ∗, \frac{a}{b} ∗ 1 Por inverso, \frac{a}{b} ∗ \frac{c}{c} Por la propiedad anterior,

\frac{a∗c}{b∗c}

Ejercicio 1.2 : Demostrar, como lo hicimos anteriormente, las siguientes equivalencias: a = a + b − b Diferencia de cuadrados: a^{2} − b^{2} = (a − b) ∗ (a + b) Factor común por grupo: a ∗ c + b ∗ d + a ∗ c + b ∗ d = (a + b) ∗ (c + d) a + b = (a + b)(a − b)/(a − b) = (a^{2} + b^{2})/(a − b) \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a∗d+b∗c}{b∗d}

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a∗d}{b∗c}

Diferencia de potencias del mismo grado: a^{n} − b^{n} = (a − b)(a^{n−1} + a^{n−2}b + ... + ab^{n−2} + b^{n−1})

1.2.3. Paréntesis y precedencia

Los paréntesis en las expresiones nos permiten establecer cuáles operaciones se van a realizar primero y cuáles después.

Ejemplo 1.11 (Paréntesis):

En la expresión (4+2)∗5, primero se evalúa el + y luego el ∗. Por lo tanto, el valor de esta expresión es 30. En la expresión 4+(2∗5), primero se evalúa el ∗ y luego el +. Por lo tanto, el valor de esta expresión es 14.

El ejemplo nos muestra que los paréntesis son muy importantes, y que al cambiar el lugar de los mismos puede cambiar por completo el valor de la expresión.

Pero ahora surge un nuevo problema. En la expresión 4 + 2 ∗ 5. ¿Qué se evalúa primero? ¿El + o el ∗? La respuesta es: se evalúa primero el ∗.

Esto significa que el ∗ precede al + (o dicho de otra manera, “tiene mayor precedencia”. La precedencia de las operaciones está definida por la siguiente tabla, de mayor a menor:

^, √ ∗, / +, −

Ejercicio 1.3 : Evaluar las siguientes expresiones:

5 + 6 ∗ 5 − 3 2^{3} + 4 2 + 4^{2} \sqrt{4} + 5

1.3. Ecuaciones

Definición 1.6 (Ecuación): Si e_{1} y e_{2} son expresiones, e_{1} = e_{2} es una ecuación e indica que el valor de e_{1} es igual a el valor de e_{2}.

e_{1} y e_{2} se llaman miembros de la ecuación. Ejemplo 1.12 (Ecuaciones):

1 + 1 = 2 x + 2 = 6 x ∗ 4 = 20 x ∗ (x + y) = z + w

Definición 1.7 (Resolver ecuaciones): Resolver una ecuación es hallar el valor de las incógnitas contenidas en dicha ecuación, para los cuales se cumple la igualdad. Ejemplo 1.13 (Resoluciones):

x = 7 ⇒ El valor de x es 7 x + 2 = 6 ⇒ El valor de x es 4 x ∗ 4 = 20 ⇒ El valor de x es 5 x ∗ x + y = z + w ⇒ existen infinitas soluciones x + y = x − y ⇒ El valor de y es 0 y x puede tomar cualquier valor

En adelante, en vez de decir “El valor de x es k” diremos simplemente “x = k”, pues está claro la equivalencia entre ambas.

Por lo tanto, hallar el valor de x es encontrar una ecuación correcta de la forma x = e donde e es un valor conocido.

Definición 1.8 (Sistema de Ecuaciones): Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que usan el mismo conjunto de incógnitas.

Ejemplo 1.14 (Un Sistema de dos Ecuaciones con dos incógnitas):

\{ \begin{matrix}4 ∗ x + 6 ∗ y & = & 20 \\ 2 ∗ x + 2 ∗ y & = & 2 \end{matrix}

Definición 1.9 (Resolver un Sistema): Resolver un sistema de ecuaciones es hallar los valores para todas las incógnitas tales que se verifican todas las ecuaciones.

Ejemplo 1.15 (Resolución del sistema del ejemplo 1.14):

\{ \begin{matrix}x & = & −7 \\ y & = & 8 \end{matrix}

Ejercicio 1.4 :

Ver que el ejemplo 1.15 es correcto.

1.4. Manipulación de ecuaciones

1.5. Modelar un problema

Antes de ver cómo se resuelve una ecuación, debemos saber qué ecuación resolver. Muchas veces, no se nos dará la ecuación en forma explícita, en cuyo caso nosotros debemos hallarla a partir del problema planteado.

Vamos a trabajar con este problema de ejemplo:

Ejemplo 1.16 (Problema): Cuando tenía la edad que mi hermana tiene ahora, mi hermana tenía un quinto de la edad que tengo yo ahora. Actualmente, mi hermana tiene ocho anos menos que yo. ¿Qué edad tenemos mi hermana y yo?

Por más engorroso que parezca un problema, debemos mantener nuestra calma. Lo primero que vamos a hacer es identificar los conceptos importantes del problema:

a: “edad de mi hermana ahora”

b: “mi edad ahora”

c: “edad que tenía mi hermana cuando yo tenía la edad que tiene ahora”

Hemos identificado cada concepto con una incógnita, pues sus valores son aún desconocidos. Observe que los conceptos que utilizamos tienen todos un valor numérico. No incluimos conceptos tales como: “mi hermana” o “ahora”.

El problema se podría haber modelado de otras maneras. Por ejemplo, se puede incluir el concepto: “la diferencia entre mi edad y la edad de mi hermana”. Lo importante es elegir un modelo y no olvidar que significa cada incógnita que usamos.

El siguiente paso es encontrar las ecuaciones que nos permitirán resolver el problema.

El problema dice:

“Cuando tenía la edad que mi hermana tiene ahora, mi hermana tenía un quinto de la edad que tengo yo ahora”. Esto se traduce en la ecuación:

c = \frac{1}{5} ∗ b

El problema dice:

“Actualmente, mi hermana tiene ocho anos menos que yo”. Esto se traduce en la ecuación:

a = b − 8

Hemos traducido todo lo que dice el problema. Sin embargo, aún podemos hallar una ecuación más (necesaria), que surge de la siguiente afirmación:

“Cuando yo tenía la edad que mi hermana tiene ahora, la diferencia entre nuestras edades era la misma que ahora”. Lo cual se traduce en:

a − c = b − a

En resumen, el modelo matemático de nuestro problema es el conjunto de ecuaciones:

\{ \begin{matrix}c & = & \frac{1}{5} ∗ b \\ a & = & b − 8 \\ a − c & = & b − a \end{matrix}

En la próxima sección veremos cómo resolverlo.

1.6. Problemas

Modelar (no resolver) los siguientes problemas:

Problema 1.1 []: Cuando mi hermana tenía la mitad de edad que tiene ahora, yo tenía seis años menos que ahora. ¿Cuál es la edad de mi hermana?

Problema 1.2 []: ¿Cuál es el área de un cuadrado, si el círculo circunscripto al mismo tiene área 4?

Problema 1.3 []: Un tren viaja a 100 km/h de A a B. Otro tren viaja a 200 km/h de B a A. Si salen simultáneamente, y se encuentran luego de 10 minutos , ¿cuál es la distancia entre A y B?

Problema 1.4 [Intercolegial 1996 Nivel 3 N^{∘} 3]: En una circunferencia de centro O, AB es un diámetro y P un punto de AB que dista 9 cm. de O. Se trazan dos cuerdas perpendiculares a AB que miden 18 cm y 14 cm respectivamente, dejan a O entre ambas y distan 8 cm entre si.

Calcular la medida de la cuerda paralela a las otras que pasa por P.

2. Ecuaciones Lineales

Definición 2.1 (Ecuación Lineal): Una ecuación lineal es una ecuación de la forma: c_{1} ∗ v_{1} + ... + c_{n} ∗ v_{n} = b donde c_{i} y b son valores conocidos y v_{i} son incógnitas.

La idea básica es que cada incógnita está multiplicada por un valor conocido, no otra incógnita.

Ejemplo 2.1 (Ecuaciones Lineales):

x = 7

x = 6

x ∗ 4 = 20

2 ∗ x + 5 ∗ y = 2

Algunas ecuaciones no tienen esta forma, pero son equivalentes a otra que sí tiene esa forma. A éstas también la vamos a considerar lineales.

Ejemplo 2.2 (Ecuaciones Equivalentes a una Lineal):

x − 7 = 0
x + 1 = 6
(x − 3) ∗ 4 = 20

2 ∗ x + 5 ∗ y = 2 + (5 − x) ∗ 4

Ejercicio 2.1 : Ver que las ecuaciones del ejemplo 3.1 son equivalentes a una lineal y, por lo tanto, son lineales.

Ejemplo 2.3 (Ecuaciones No Lineales):

x ∗ w + y = 2 x^{2} + y = z + w

2.1. Resolver una ecuación lineal con una incógnita

Una ecuación lineal con una incógnita es de la forma a∗x = b, con a y b conocidos. La estrategia para resolverla es sencilla. Despejamos x, obteniendo la ecuación x = b/a. Con esto resolvimos la ecuación.

Ejemplo 2.4 (Resolución de una ecuación lineal con una incógnita):

x ∗ 3 = 2 ⇒ x = 2/3

y ∗ 52 = 125 ⇒ y = 125/52

Ejercicio 2.2 : Resolver las ecuaciones del ejemplo 3.1.

2.2. Resolver dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Cuando tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, ya no podemos usar la estrategia anterior. Nuestro sistema es:

\{ \begin{matrix}c_{1} ∗ x + c_{2} ∗ y & = & b_{1} \\ c_{3} ∗ x + c_{4} ∗ y & = & b_{2} \end{matrix}

Lo que haremos es reducir nuestro sistema a una sola ecuación con una incógnita. Hay varias estrategias para hacer esto: Sustitución, Igualación y Eliminación. En cualquier caso, obtenemos una ecuación con una incógnita, la cual ya sabemos resolver. Así hallamos el valor de una de las incógnitas. Luego, reemplazamos el valor de esa incógnita en cualquiera de las dos ecuaciones, y despejamos el valor de la otra incógnita.

2.2.1. Sustitución Vamos a resolver este sistema:

\{ \begin{matrix}4 ∗ x + 8 ∗ y & = & 10 \\ 2 ∗ x + 6 ∗ y & = & 40 \end{matrix}

Tomamos la primera ecuación y despejamos x:

4 ∗ x + 8 ∗ y = 10 Restamos 8 ∗ y 4 ∗ x = 10 − 8 ∗ y Dividimos por 4 x = (10 − 8 ∗ y)/4

Ahora tomamos la otra ecuación, y sustituimos x por este valor y despejamos y:

2 ∗ (10 − 8 ∗ y)/4 + 6 ∗ y = 40 Distributiva 2 ∗ 10/4 − 8 ∗ y/4 + 6 ∗ y = 40 Simplificación 5 + 2 ∗ y = 40 Restamos 5 2 ∗ y = 35 Dividimos por 4 y = \frac{35}{2}

Ya hemos hallado el valor de y. Ahora, para hallar el valor de x, tomamos cualquiera de las dos ecuaciones y sustituimos y por su valor:

4 ∗ x + 8 ∗ y = 10 Reemplazamos y por \frac{35}{2} 4 ∗ x + 8 ∗ \frac{35}{2} = 10 Simplificación 4 ∗ x + 140 = 10 Restamos 140 4 ∗ x = −130 Dividimos por 4 y simplificamos x = −\frac{75}{2}

Ejercicio 2.3 : Resolver por el método de sustitución los siguientes sistemas:

\{ \begin{matrix}x − y & = & 10 \\ x + y & = & 40 \end{matrix}
\{ \begin{matrix}6 ∗ x + 2 ∗ y & = & 46 \\ 7 ∗ x + 8 ∗ y & = & 99 \end{matrix}

2.2.2. Igualación

Recordemos que nuestro sistema es: \{ \begin{matrix}4 ∗ x + 8 ∗ y & = & 10 \\ 2 ∗ x + 6 ∗ y & = & 40 \end{matrix} Tomamos la primera ecuación y despejamos x:

4 ∗ x + 8 ∗ y = 10 Restamos 8 ∗ y 4 ∗ x = 10 − 8 ∗ y Dividimos por 4 x = (10 − 8 ∗ y)/4

Ahora tomamos la otra ecuación y también despejamos x:

2 ∗ x + 6 ∗ y = 40 Restamos 6 ∗ y 2 ∗ x = 40 − 6 ∗ y Dividimos por 2 x = (40 − 6 ∗ y)/2

Igualamos estos valores:

(40 − 6 ∗ y)/2 = (10 − 8 ∗ y)/4 Multiplicamos por 4 (40 − 6 ∗ y) ∗ 2 = 10 − 8 ∗ y Distributiva 80 − 12 ∗ y = 10 − 8 ∗ y Restamos 10 70 − 12 ∗ y = −8 ∗ y Sumamos 12*y 70 = 4 ∗ y Dividimos por 4 y simplificamos \frac{35}{2} = y

Ahora para hallar el valor de x, sustituimos el valor de y en:

(10 − 8 ∗ y)/4 Reemplazamos y por \frac{35}{2} (10 − 8 ∗ \frac{35}{2})/4 Simplificación (10 − 4 ∗ 35)/4 Simplificación −\frac{75}{2}

Ejercicio 2.4 : Resolver por el método de igualación los siguientes sistemas:

\{ \begin{matrix}x − y & = & 10 \\ x + y & = & 40 \end{matrix}
\{ \begin{matrix}6 ∗ x + 2 ∗ y & = & 46 \\ 7 ∗ x + 8 ∗ y & = & 99 \end{matrix}

2.2.3. Eliminación

Recordemos que nuestro sistema es: \{ \begin{matrix}4 ∗ x + 8 ∗ y & = & 10 \\ 2 ∗ x + 6 ∗ y & = & 40 \end{matrix} Tomamos la primera ecuación, la multiplicamos por \frac{2}{4} y obtenemos: 2 ∗ x + 4 ∗ y = 5 Ahora restamos

esta ecuación con la segunda ecuación del sistema:

2 ∗ x + 4 ∗ y = 5 −

2 ∗ x + 6 ∗ y = 40 =

−2 ∗ y = −35 De aquí obtenemos que y = \frac{35}{2} Para obtener el valor de x, procedemos igual que en el método de

sustitución. Sin embargo, en vez de esto, se puede aplicar nuevamente el método de eliminación, pero en vez de eliminar x, eliminamos y.

Ejercicio 2.5 : Resolver por el método de eliminación los siguientes sistemas:

\{ \begin{matrix}x − y & = & 10 \\ x + y & = & 40 \end{matrix}
\{ \begin{matrix}6 ∗ x + 2 ∗ y & = & 46 \\ 7 ∗ x + 8 ∗ y & = & 99 \end{matrix}

2.3. Resolver n ecuaciones lineales con n incógnitas

Puede aplicarse los métodos de sustitución y eliminación de manera análoga a cuando teníamos dos ecuaciones con dos incógnitas.

2.3.1. Sustitución

Al igual que hicimos con dos incógnitas, tomamos la primera ecuación y despejamos el valor de una incógnita. Una vez hecho esto, sustituimos este valor en todas las otras ecuaciones. La primera ecuación la descartamos.

Obtenemos así un sistema de n − 1 ecuaciones (la primera fue descartada) con n − 1 incógnitas (la primera fue despejada y reemplazada). Si continuamos este procedimiento, obtendremos un sistema de 1 ecuación con 1 incógnita. Resolvemos este sistema, hallando el valor de esa incógnita.

Luego, reemplazamos el valor de esta incógnita en el sistema de 2 ecuaciones, hallando así el valor de otra incógnita. Luego, reemplazamos los valores de estas dos incógnitas en el sistema de 3 ecuaciones, y así continuamos hacia atrás hasta hallar el valor de todas las incógnitas.

2.3.2. Eliminación

Ver apunte de matrices.

Ejercicio 2.6 : Resolver los problemas modelados en la sección 1.6

2.4. Problemas

Problema 2.1 [Intercolegial 1996 Nivel 1 N^{∘} 3]: En un hotel de Bahía hay 120 personas distribuidas entre la recepción, el bar, el comedor y el salón de reuniones. La cantidad de personas que hay en el bar es un quinto de la que hay en el comedor; en la recepción hay un octavo de las que hay en el salón.

Al pasar diez personas del comedor al salón y seis del bar a la recepción, en la recepción hay un sexto de las que quedan en el comedor. ¿Cuántas personas había inicialmente en cada uno de los lugares mencionados del hotel?

Problema 2.2 [Intercolegial 1997 Nivel 1 N^{∘} 3]: Iván cobra en un banco un cheque por $2700 y le pide al cajero que le entregue cierta cantidad de billetes de $10, 20 veces esa cantidad de billetes de $20 y el resto en billetes de $50.

¿Cuántos billetes de cada clase le entrega el cajero?

Problema 2.3 [Zonal 1996 Nivel 2 N^{∘} 3]: El druida Panoramix desea preparar 24 cucharones de una pócima mágica que contenga las sustancias A, B, C por partes iguales. Dispone de un recipiente donde hay A y C mezclados por partes iguales; otro en el que hay A y B mezclados en la proporción 2:3 y un tercero en el que hay B y C mezclados en la proporción 1:2. ¿Cuántos cucharones de cada recipiente debe mezclar para obtener la pócima deseada?

NOTA: las cantidades X e Y están en proporción 2:3 si \frac{X}{Y} = \frac{2}{3}.

3. Ecuaciones Cuadráticas

3.1. Introducción

Como ya sabemos (a + b)^{2} = a^{2} + 2 ∗ a ∗ b + b^{2}

Cuando tenemos la expresión:

a^{2} + 2 ∗ a ∗ b

La idea está en sumar y restar lo que “falta” para obtener el trinomio

a^{2} + 2 ∗ a ∗ b + b^{2} − b^{2}

Luego podemos obtener

(a + b)^{2} − b^{2}

Este procedimiento se llama “completar cuadrados”.

Ejercicio 3.1 :

Completar cuadrados en las siguientes expresiones

1. x^{2} + 4 ∗ x

2. y^{2} − 2 ∗ y

3. z ∗ (z + 2)

4. a ∗ (a − 1)

5. x^{2} + p ∗ x

3.2. Ecuaciones Cuadráticas

Definición 3.1 (Ecuación Cuadrática): Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma: a ∗ x^{2} + b ∗ x + c = 0, donde a, b y c son valores conocidos y x es una incógnita.

Algunas ecuaciones no tienen esta forma, pero son equivalentes a otra que sí tiene esa forma. A éstas también la vamos a considerar cuadráticas.

Ejemplo 3.1 (Ecuaciones Equivalentes a una Cuadrática):

x^{2} = 7

(x + 1)^{2} = 6

(x − 3) ∗ (4 + x) = 20

3.3. Resolver una ecuación cuadrática

Antes de abordar el caso general, nos ocuparemos de un caso particular más sencillo. Tomemos una ecuación cuadrática con b = 0, es decir: a ∗ x^{2} + c = 0 Veamos cómo despejamos x:

a ∗ x^{2} + c = 0

Restamos c

a ∗ x^{2} = −c

Dividimos por a

x^{2} = −\frac{c}{a}

Aquí nos detenemos porque es necesario exigir que −\frac{c}{a} sea un número positivo o cero para que la ecuación tenga solución.

−\frac{c}{a} < 0 ⇒ no hay solución
−\frac{c}{a} = 0 ⇒ tenemos una sola solución: x = 0
−\frac{c}{a} > 0 ⇒ tenemos dos posibles soluciones: x = +\sqrt{−\frac{c}{a}} y x = −\sqrt{−\frac{c}{a}}

En realidad, el segundo es un caso particular del tercero, en el que las dos soluciones son iguales, pero aquí lo separamos para evitar confusiones.

Ahora analizaremos un caso un poquito más complicado:

a ∗ (x + k)^{2} + c = 0

Este caso es similar al anterior. Si hacemos los mismos pasos, obtenemos:

−\frac{c}{a} < 0 ⇒ no hay solución

−\frac{c}{a} = 0 ⇒ tenemos una sola solución: x = k

−\frac{c}{a} > 0 ⇒ tenemos dos posibles soluciones: x = −k + \sqrt{−\frac{c}{a}} y x = −k − \sqrt{−\frac{c}{a}}

Por último, abordaremos el caso más general.

a ∗ x^{2} + b ∗ x + c = 0 Como a ≠ 0, podemos dividir ambos miembros por a y nos queda x^{2} + \frac{b}{a} ∗ x + \frac{c}{a} = 0 Llamemos ahora p := \frac{b}{a}, q := \frac{c}{a}, y obtenemos x^{2} + p ∗ x + q = 0 Pasando q para el otro lado, x^{2} + p ∗ x = −q Completando cuadrados en el miembro izquierdo, (x + \frac{p}{2})^{2} − (\frac{p}{2})^{2} = −q y llevo al lado derecho el término en el que no aparece x (x + \frac{p}{2})^{2} = (\frac{p}{2})^{2} − q Sacando la raiz cuadrada x + \frac{p}{2} = \sqrt{(\frac{p}{2})^{2} − q} y despejamos finalmente x x = −\frac{p}{2} + \sqrt{(\frac{p}{2})^{2} − q} Notemos que de la raíz cuadrada podemos tomarla con signo positivo o negativo.

Ejercicio 3.2 :

Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas (Ayuda: a las raíces cuadradas no las expresen como decimales, a menos que de una fracción racional)

1. 2x^{2} + x − 5 = 0

2. x ∗ (x − 2) = 0

3. d + 1 = 1 − 1/d

4. x^{2} = 10x + 20

5. Expresar la solución de más arriba en términos de a, b y c

6. La ecuación cuadrática x^{2} + 1 = 0, ¿tiene solución? ¿Por qué?

7. Usando la fórmula, encontrar un criterio para decidir cuádo una cuadrática tiene o no soluciones.

8. Darse cuenta que con ese criterio uno puede saber exactamente cuántas raíces (soluciones) tiene una ecuacion cuadrática.

9. La suma de dos números es 28, y su producto es 171. ¿Cuáles son los dos números?

10. Igual que arriba con 20 y 98.

3.4. Problemas

Problema 3.1 []:

4. Otras ecuaciones

Este capítulo es opcional, y requiere para su lectura algún conocimiento previo de teoría de números y desigualdades.

4.1. Ecuaciones con Valor Absoluto

4.1.1. Valor Absoluto

Definición 4.1 (Valor Absoluto): Se denota |x| al valor absoluto de un número real, y se define como

|x| = x si x ⩾ 0

|x| = −x si x < 0

De una manera gráfica, se puede interpretar a |x| como la distancia que hay entre el punto x y el punto 0 en la recta real.

La distancia entre 2 puntos nunca puede ser negativa, ya que no tendría sentido, por el mismo concepto de “distancia”. Es por ello que cuando x ⩾ 0, su valor absoluto es el número en sí, mientras que cuando x < 0, el valor absoluto es −x, que es un número positivo.

De esta manera |x| = | − x|, es decir, que el punto x se encuentra a la misma distancia del 0 que el −x.

Ejemplo 4.1 (Módulo):

|87, 54| = 87, 54
| − 15| = −(−15) = 15
|6| = | − 6| = 6

Ejercicio 4.1 :

¿Cuál es el valor absoluto de \sqrt{2}? ¿Y el de (−5)^{16}

Resolver las siguientes ecuaciones:

• |x| = 15

• |a| = 328

• |a| = \sqrt{7}

• |z| = 4, 78

• |f| = \frac{6}{17};

• |y| = \frac{\sqrt{3}}{11}

4.1.2. Distancia y Valores Absolutos

Sabemos que |x| es la distancia que hay entre x y 0. Pero, ¿que pasa si en vez de un número pretendo calcular el valor absoluto de una suma o resta?

Se define a |a − b| como la distancia que hay entre a y b. En particular, |c| = |c − 0| que es la distancia entre c y 0.

Si entonces tenemos que |a − b| = c pueden darse dos cosas:

que a ⩾ b entonces a − b ⩾ 0 y |a − b| = a − b = c.

que a < b entonces a − b < 0 y |a − b| = −(a − b) = b − a = c.

Es por esto que cuando tengamos una ecuación del tipo |x − b| = c, con b y c datos, vamos a tener dos soluciones: una que hace refencia al punto x a la derecha de b y otro que se refiere al punto x a la izquierda de b. Luego de encontrar ambas, vamos a quedarnos con las 2, o descartar alguna o ambas de ellas según los requerimientos y las condiciones de cada enunciado en particular.

Ejemplo 4.2 (Valor Absoluto de una Diferencia): Resolver las siguientes ecuaciones:

|x − 6| = 13;

Si x − 6 ⩾ 0 entonces |x − 6| = x − 6 = 13 por lo que x = 13 + 6; x = 19

Si x − 6 < 0 entonces |x − 6| = −(x − 6) = 13, por lo que 6 − x = 13; 6 − 13 = x; x = −7.

|7 − y| = 3

Si 7 − y ⩾ 0; |7 − y| = 7 − y = 3, por lo que y = 7 − 3; y = 4.

Si 7 − y < 0; |7 − y| = −(7 − y) = 3; por lo que −7 + y = 3; y = 7 + 3; y = 10.

|d + 9| = 4

d + 9 = d − (−9); por lo que tenemos que la distancia entre d y −9 es 4.

Si d − (−9) ⩾ 0; |d + 9| = d + 9 = 4; d = 4 − 9; d = −5

Si d − (−9) < 0; |d + 9| = −(d + 9) = 4; −d − 9 = 4; −4 − 9 = d; −13 = d.

|x − 3| = 4, y x es positivo.

De la misma manera que en los ejercicios anteriores, tenemos dos soluciones que son x = 7 y x = −1. Pero como sólo nos piden las soluciones posivas, hay que descartar esta última, por lo que la respuesta al problema sería x = 7.

Ejercicio 4.2 :

Resolver las siguintes ecuaciones:

• |x − 8| = 7

• |9 − g| = 33

• |k − \frac{8}{5}| = 4

• |5 − z| = \sqrt{2}

Encontrar los valores de x tal que |4 ∗ x − 5| = 9.

Ayuda: sea y = 4 ∗ x. Resolver |y − 5| = 9 y despues encontrar x.

Resolver las siguientes ecuaciones:

• |7 ∗ x + 5| = 49

• |\frac{8}{9} ∗ x − 3| = 1

• |5 − 2 ∗ s| = 7

• |6 ∗ p + 4| = \sqrt{2}

• |(\sqrt{7}) ∗ r + 4| = 21

4.1.3. Desigualdades con Valor Absoluto

Esta sección requiere para su lectura alguna noción previa de desigualdades. Una desigualdad con valor absoluto es una de la forma |x − a| < b ó |x − a| > b. Los signos mayor y

menor también pueden ser mayor e igual o menor e igual.

En estos casos no vamos a tener una o dos soluciones como en las igualdades, sino que vamos a tener un conjunto de números, que puede ser tener una cantidad finita o infinita de elementos según el caso (ya vamos a ver algunos ejemplos).

La desigualdad |x − a| < b nos dice que la distancia entre x y a es menor a b. ¿Cuál es el conjunto de valores para x que cumplen esta condición?

Para encontrarlo hay que tener en cuenta que |x − a| < b implica que a − b < x < a + b. Esto se debe a que x′ = a + b y x′′ = a − b son los dos valores para los cuales |x − a| = b; pero nosotros buscamos todos aquellos que se encuentran a menor distancia que ellos, entonces queremos que nuestro x sea más grande que x′ (para que este más cerca de a mirando por la izquierda) y a su vez más chico que x′′ (para que esté más cerca de a mirando por la derecha).

De esta manera, el intervalo que contiene los números que satisfacen la inecuación es (a − b, a + b). Cabe destacar que si |x − a| ⩽ b entonces a − b ⩽ x ⩽ a + b y el intervalo es cerrado [a − b, a + b]. En estos casos, si el enunciado pide los x ∈ ℤ que satisfacen la inecuación, entonces vamos a tener

una cantidad finita de x, mientras que si nos piden los x ∈ ℚ o x ∈ ℝ , tendremos una cantidad infinita de números.

Ejemplo 4.3 (Desigualdades):

|x − 5| < 2;

Sabemos que 5 − 2 < x < 5 + 2; por lo que se define el intervalo (3, 7), en donde los x ∈ (3, 7) satisfacen la inecuación.

|4 − y| ⩽ 9; y ∈ ℤ

|4 − y| = |y − 4|, de modo que 4 − 9 ⩽ y ⩽ 4 + 9, por lo que los x que satifacen la inecuación pertenecen a [−5, 13]. Ahora bien, el enunciado nos pide las soluciones enteras, por lo que no vamos a tomar todos los elementos del intervalo, sino sólo los enteros que pertenecen a él. Esto es entonces

{−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}.

|x − 3| ⩽ 5; x ∈ ℕ

Sabemos que 3 − 5 ⩽ x ⩽ 3 + 5, por lo que el intervalo de x que satisfacen la inecuación es [−2, 8]. Pero se pide además que x ∈ ℕ, por lo que el conjunto de soluciones es {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Ejercicio 4.3 : Resolver las siguientes desigualdades:

|x − 8| < 7

|9 − g| ⩽ 33

|k − 8/5| < 4

|5 − z| ⩽ \sqrt{2}

|5 + s| < 8; s ∈ ℕ.

|x + 33| ⩽ 5; x ∈ ℕ.

|h − 54| < 12, x múltiplo de 3.

|t − 7| ⩽ 15, x múltiplo de 5.

|3 ∗ x − 5| < 25, x múltiplo de 4.

|5 − 7 ∗ h| ⩽ 11, h < 0.

4.1.4. Más Desigualdades

En el caso que |x − a| > b, el conjunto de soluciones va a ser el complemento del intervalo [a − b, a + b]. Quiere decir que los puntos que se encuentran de a a una distancia mayor a b, son todos aquellos que no se encuentran a distancia menor o igual a b, los cuales pertenecen al intervalo [a − b, a + b].

El complemento de [a−b, a+b], se encuentra definido por la unión de 2 conjuntos que son (−∞, a−b) y (a + b, ∞). De este modo si x satisface |x − a| > b, entonces x ∈ (−∞, a − b) ∪ (a + b, ∞)

Cabe destacar que si |x − a| ⩾ b entonces x ∈ (−∞, a − b] ∪ [a + b, ∞). (el signo mayor o igual hace que el intervalo sea cerrado en a − b, y en a + b).

Ejemplo 4.4 (Desigualdades):

|x − 4| > 3

|x − 4| > 3 implica 4 − 3 > x ó x > 4 + 3. De este modo, x ∈ (−∞, 1) ∪ (7, ∞).

|7 − y| ⩾ 4; con y ∈ ℕ e y < 6.

Sabemos que |7 − y| = |y − 7|, y además que |y − 7| ⩾ 4 implica que y ⩽ 7 − 4 ó y ⩾ 7 + 4. De esta manera, los números que satisfacen la inecuación pertenecen al intervalo (−∞, 3] ∪ [11, ∞). Pero tenemos la condición que y es natural y menor que 6. Los único naturaes menores a 6 que perteneces a ese intervale son 1, 2 y 3, por lo que los valores de y pueden ser 1, 2 ó 3.

Ejercicio 4.4 : Resolver las siguientes desigualdades:

|d − 5| > 2

|8 − f| ⩾ 7

|s − 5| > 87

|p + 6| ⩾ 62

|9 + z| > 54.

|d − 6| > 8; d < 0

|3 ∗ p + 4| ⩾ 33

|6 − 5 ∗ g| ⩾ 6, g < 0

4.1.5. Propiedades de los Valores Absolutos

Hay ciertas propiedades que hay que tener en cuenta al trabajar con valores absolutos, y que pueden ser muy útiles:

“El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos”. En símbolos, |a ∗ b| = |a| ∗ |b|.

“El valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores absolutos”. En símbolos, |\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}.

“El valor absoluto de la suma es menor o igual la suma de los valores absolutos”. En símbolos, |a + b| ⩽ |a| + |b|.

Esta última propiedad puede parecer un poco inentendible e inusable en este momento, pero más adelante va a ser muy empleada.

4.2. Ecuaciones con Parte Entera

Definición 4.2 (Parte entera): Sea x un número real. Entonces ⌊x⌋ es el mayor entero que no es más grande que x.

⌊x⌋ se lee: “parte entera de x”

Ejemplo 4.5 (Parte entera):

⌊2⌋ = 2

⌊2,8⌋ = 2

⌊π⌋ = 3

⌊−3⌋ = −3

⌊−3,2⌋ = −4

Definición 4.3 (Mantisa): Sea x un número real. Entonces {x} = x − ⌊x⌋ {x} se lee: “mantisa de x”

Ejemplo 4.6 (Mantisa):

{2} = 0

{2,8} = 0,8

{π} = π − 3

{−3} = 0

{−3,2} = 0,8

Por definición, x > ⌊x⌋, por lo tanto, {x} ≥ 0. Por otra parte, la diferencia entre x y ⌊x⌋ va a ser siempre menor a 1. Por lo tanto, 0 ≤ {x} < 1.

Vamos a calcular la parte entera de una fracción. Sean n y m dos números enteros. Queremos hallar ⌊\frac{n}{m}⌋. Supongamos que el cociente de dividir n por m es c y el resto es r. Por lo tanto, n = c ∗ m + r. Por lo tanto,

⌊\frac{n}{m}⌋ = ⌊\frac{c∗m+r}{m} ⌋ Por distributiva: ⌊c + \frac{r}{m}⌋ Como 0 ≤ r < m entonces 0 ≤ \frac{r}{m} < 1. Por lo tanto: ⌊\frac{n}{m}⌋ = c y \{\frac{n}{m}\} = \frac{r}{m}

4.2.1. Resolución de Ecuaciones con Parte Entera

Para resolver una ecuación con parte entera, vamos a tener en cuenta los siguientes aspectos:

Puesto que ⌊x⌋ es siempre un número entero, usaremos todo lo que sabemos sobre divisibilidad.

Usaremos la ecuación {x} = x − ⌊x⌋ de tres formas diferentes:

• {x} = x − ⌊x⌋

• x = ⌊x⌋ + {x}

• ⌊x⌋ = x − {x}

Usaremos que 0 ≤ {x} < 1

Parte entera de una fracción (como vimos anteriormente)

Ejemplo 4.7 (): Hallar x dado que:

x + ⌊x⌋ = 10,5

Solución:

Reemplazamos x por ⌊x⌋ + {x}

2 ∗ ⌊x⌋ + {x} = 10,5

Como 2 ∗ ⌊x⌋ debe ser entero, y 0 ≤ {x} < 1, entonces {x} = 0,5. Despejamos ⌊x⌋ y obtenemos ⌊x⌋ = 5. Por lo tanto: x = 5,5

Ejemplo 4.8 (): Hallar ⌊x⌋ dado que:

⌊x + y⌋ + ⌊x − y⌋ = 50

Solución:

⌊x + y⌋ + ⌊x − y⌋ = 50

Reemplazamos ⌊x + y⌋ por x + y − {x + y}. Análogamente con ⌊x − y⌋

x + y − {x + y} + x − y − {x − y} = 50

Simplificamos

2 ∗ x − {x + y} − {x − y} = 50

Sumamos {x + y} + {x − y}

2 ∗ x = 50 + {x + y} + {x − y}

Como 0 ≤ {x + y} < 1 y 0 ≤ {x − y} < 1 entonces 0 ≤ {x + y} + {x − y} < 2

50 ≤ 2 ∗ x < 52

Dividimos por 2

25 ≤ x < 26

Por definición

⌊x⌋ = 25

4.3. Problemas

Problema 4.1 [Nacional 1997 Nivel 2 N^{∘} 1]: Hallar todos los números reales x que verifican ⌊19x + 97⌋ = 19 + 97x.

5. Trucos

Hasta aquí hemos visto cómo resolver mecánicamente un sistema de ecuaciones, mediante diversos métodos. En esta sección, aprenderemos algunos trucos que podremos usar cuando los métodos anteriores no sean suficientes.

5.1. Sumar todas las ecuaciones

Veamos el siguiente problema:

Problema 5.1 []: Hallar el valor de a − d, dado que:

a − b = 4

b − c = 2

c − d = 1

El sistema contiene sólo ecuaciones lineales, pero son tres, y hay cuatro incógnitas. Es decir, tenemos menos ecuaciones que incógnitas. No podremos, por lo tanto, hallar el valor de cada incógnita. Pero esto no presenta un problema. Lo que haremos es sumar todas las ecuaciones:

a − b = 4 +

b − c = 2 +

c − d = 1 =

a − b + b − c + c − d = 4 + 2 + 1 Simplificamos y obtenemos, a − d = 7.

5.2. Sistemas circulares

Veamos el siguiente sistema:

x = y^{2} − 10

y = z + 2

z = x + 4

Este sistema es distinto a todos los que venimos viendo. Pero tiene una interesante propiedad: x está en función de y, y en función de z y z en función de x. A este tipo de sistemas lo llamaremos sistemas circulares.

Para resolverlo, vamos a usar una estrategia similar al método de sustitución que hemos visto para ecuaciones lineales:

Reemplazamos el valor de z en la segunda ecuación. El sistema nos queda:

• x = y^{2} − 10

• y = x + 6

Ahora reemplazamos el valor de y en la primera ecuación. Nos queda la ecuación cuadrática:

x = (x + 6)^{2} − 10

que ya sabemos resolver. La idea fue expresar x en función de sí misma, y despejar su valor.

5.3. Cálculo hacia atrás

Veamos el siguiente problema:

Problema 5.2 []: Inicialmente, cuatro personas (A, B, C y D) tenían algunas monedas. Cierto día, A entregó la mitad de sus monedas a B. Al día siguiente, B entregó un tercio de sus monedas a C. Al día siguiente, C entregó un cuarto de sus monedas a D. Por último, al otro día, D entregó un quinto de sus monedas a A.

Todos se quedaron con 60 monedas. ¿Cuántas monedas tenían inicialmente cada uno?

Este problema podría modelarse de la siguiente manera:

a: monedas que A tenía inicialmente

b: monedas que B tenía inicialmente

c: monedas que C tenía inicialmente

d: monedas que D tenía inicialmente

Luego del primer día, A tenía a/2 monedas, B tenía b + a/2 monedas, C tenía c monedas y D tenía d monedas.

Luego del segundo día, A tenía a/2 monedas, B tenía 2 ∗ (b + a/2)/3 monedas, C tenía c + (b + a/2)/2 monedas y D tenía d monedas.

Así podríamos seguir, pero vemos cómo se van complicando las expresiones. El procedimiento sirve, pero es lento, engorroso y propenso a errores. Probemos este otro:

Si al finalizar el cuarto día todos tenían 60 monedas, veamos cuántas tenía cada uno al comenzar dicho día. D entregó un quinto de sus monedas a A, por lo tanto, al comenzar el día, D tenía 75 monedas y A tenía 45 monedas.

En el tercer día, C entregó un cuarto de sus monedas a D, por lo tanto, al comenzar el día, C tenía 80 monedas y D tenía 55 monedas.

En el segundo día, B entregó un tercio de sus monedas a C, por lo tanto, al comenzar el día, B tenía 90 monedas y C tenía 50 monedas.

En el primer día, A entregó la mitad de sus monedas a B, por lo tanto, al comenzar el día, A tenía 90 monedas y B tenía 45 monedas.

Inicialmente, A tenía 90 monedas, B tenía 45 monedas, C tenía 50 monedas y D tenía 55 monedas. Esto nos demuestra que no siempre es lo mejor modelar un problema con un sistema de ecuaciones.

5.4. Problemas

Problema 5.3 [Intercolegial 1998 Nivel 2 N^{∘} 3]: Pablo colecciona monedas de España, Francia y Grecia. Tienemonedas de 5 centavos, de 10 centavos y de 50 centavos, y tiene en total menos de 100 monedas. El lunes vendió tres monedas de Francia y compró tres de España, pero con los mismos valores que tenían las que vendió. El martes vendió seis monedas de 10 centavos y compró seis monedas de 5 centavos pero exactamente de los mismos países que las que vendió. En su nueva colección:

La cantidad de monedas de España es igual a la cantidad de monedas de Francia e igual al triple de la cantidad de monedas de Grecia.

La cantidad de monedas de 5 centavos es igual a la cantidad de monedas de 10 centavos e igual a seis veces la cantidad de monedas de 50 centavos.

¿Cuántas monedas de cada país tenía la colección inicialde Pablo y cuántas monedas de cada valor tenía la coleccióninicial de Pablo?

Problema 5.4 [Regional 2001 Nivel 3 N^{∘} 1]: Tres personas A, B y C tenían inicialmente igual cantidad de dinero. Se sortearon tres números enteros del 3 al 30, a, b y c, (no necesariamente distintos). En el primer tumo A le dio a B una cantidad de dinero igual a \frac{1}{a} del dinero que B tenía en ese momento, y A le dio a C una cantidad de dinero igual a \frac{1}{a} del dinero que C tenía en ese momento. En el segundo tumo B le dio a A una cantidad de dinero igual a \frac{1}{b} del dinero que A tenía en ese momento, y B le dio a C una cantidad de dinero igual a \frac{1}{b} del dinero que C tenía en ese momento. En el tercer turno C le dio a A una cantidad de dinero igual a \frac{1}{c} del dinero que A tenía en ese momento, y C le dio a B una cantidad de dinero igual a \frac{1}{c} del dinero que B tenía en ese momento.

Se sabe que el número c es igual a 15 y que las tres personas finalizaron con igual cantidad de dinero. Hallar los números a y b.

Problema 5.5 [Zonal 1997 Nivel 1 N^{∘} 2]: Ana, Beatriz, Carlos, Dora y Eduardo compiten en una Maratón Matemática. Por cada problema se obtiene un punto si está bien resuelto y cero punto en cualquier otro caso. Entre los cinco sumaron 73 puntos. Hay 9 puntos de diferencia entre Ana y Beatriz, pero no se sabe cuál de las dos tiene mejor puntaje; hay 7 puntos de diferencia entre Beatriz y Carlos, pero no se sabe cuál de los dos tiene mejor puntaje; hay 6 puntos de diferencia entre Carlos y Dora, pero no se sabe cuál de los dos tiene mejor puntaje; hay 13 puntos de diferencia entre Dora y Eduardo, pero no se sabe cuál de los dos tiene mejor puntaje; hay 23 puntos de diferencia entre Eduardo y Ana, pero no se sabe cuál de los dos tiene mejor puntaje. ¿Cuántos puntos obtuvo cada participante?

Problema 5.6 [Zonal 2001 Nivel 1 N^{∘} 3]: Los números fraccionarios y positivos a, b, c, d y e satisfacen las siguientes relaciones:

a ∗ b = 1
b ∗ c = 4
c ∗ d = 9
d ∗ e = 16
e ∗ a = 25

Hallar a, b, c, d y e.

Problema 5.7 [Zonal 1998 Nivel 2 N^{∘} 1]: Ariel, Beto, Carlos y Dany juegan cuatro partidas de cartas. En cada partida hay un solo perdedor que debe darle a cada uno de sus tres contrincantes una suma de dinero igual a la que el contrincante tiene en ese momento. En la primera partida perdió Ariel, en la segunda Beto, en la tercera Carlos y en la cuarta perdió Dany. Al finalizar las cuatro partidas los cuatro tienen $64 cada uno. ¿Cuánto dinero tenía cada uno al comenzar la primera partida?

Problema 5.8 [Zonal 2000 Nivel 3 N^{∘} 1]: Hallar todas las ternas x, y, z de números reales que satisfacen el sistema

x(x + y + z) = 26
y(x + y + z) = 27
z(x + y + z) = 28