Análisis Numérico

Trabajo de Laboratorio N$^\circ$ 2 -- Interpolación

Notación: Denotamos como $p_k(x)$ a un polinomio interpolante de grado $k$, es decir un polinomio que requiere $k+1$ puntos para su construcción.

Problema 1: Haga un programa para implementar la interpolación polinómica de Lagrange de grado $N$ para una función $f$ dada.

El programa debe:

1. Pedir por consola el parámetro $N$ (número entero).
2. Pedir por consola un segundo número entero $M \gg N.$
3. Tomar los $N+1$ puntos a interpolar, pares ordenados ($x_i$, $f(x_i)$) $i=1,\dots N+1,$ del archivo ``puntos''.

La salida del programa ser el archivo ``datos'' de dos columnas y $M$ filas, donde cada fila contiene los valores de $(x_j,p_N(x_j)),$ $j=1, \dots M.$ Los $M$ valores de las abscisas en la salida deben ser equiespaciados entre el menor y el mayor valor de los $x_i$ de entrada.

Problema 2: Utilize el programa desarrollado en el ejercicio anterior para interpolar la función

$$f(x) = \frac{1}{1+25 x^2}$$

en el intervalo $[-1,1]$ usando los puntos $x_0=-1,\ldots, x_i=x_0+(2i/N),\ldots,x_N=1$, para $N=5$, $10$ y $15$. Grafique simultaneamente la función $f$ y los tres polinomios interpolantes de Lagrange utilizando $200$ puntos equiespaciados entre $-1$ y $1$.

Problema 3: Realice un programa análogo al del Problema 1 pero utilizando la forma de Newton del polinomio interpolante.

Problema 4: Aproxime por interpolación de Newton la función $f(x) = \sin({x})$ entre $0$ y $\pi$ utilizando la partición $x_i=i\pi/N$ con $i=0,\ldots,N$. Grafique el error

$$E(x)=\sin{(x)} - p_N(x).$$

Ejercicio Extra

Problema 5: Realice un programa análogo al del Problema 1 pero utilizando la forma de Diferencias Divididas del polinomio interpolante y utilícelo para aproximar las funciones de los Problemas 2 y 4 de esta guía.