Análisis Numérico

Trabajo de Laboratorio N$^\circ$ 4

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Problema 1: Realizá un programa en C que te permita resolver numéricamente el problema de valores iniciales de la forma,

$$x' = f(x,t)$$

$$x(a) = x_0$$

utilizando el método de Euler en el intervalo $a\le t\le b$ con un paso de integración de $h$. La salida debe ser un archivo de dos columnas: $t$ y $x(t)$.

Problema 2: Utilizando el programa del ejercicio anterior, resolvé mediane el método de Euler el siguiente problema de valores iniciales:

$$x' = -x+\sin(2\pi t)$$

$$x(0) = 1.0$$

en el intervalo $0 \le t \le 1$ con un paso de integración $h=0.1$. Sabiendo que la solución exacta es

$$x_e(t)=\Bigl(1+\frac{2\pi}{1+4\pi^2}\Bigr)e^{-t}+\frac{\sin(2\pi t)-2\pi \cos(2\pi t)}{1+4\pi^2}$$

modificá el programa del ejercicio anterior de forma tal que grafique también el error global $\epsilon(t) = \vert x(t)-x_e(t)\vert$. Calculá y graficá $\epsilon(t)$ usando $h=0.01$ y $h=0.005$ y verificá que en el segundo caso el mismo disminuye a la mitad.

Problema 3: Realizá un programa en C que te permita resolver numéricamente el problema de valores iniciales de la forma

$$x' = f(x,t)$$

$$x(a) = x_0$$

utilizando el método de Runge-Kutta de 4$^{\circ}$ orden en el intervalo $a\le t\le b$ con un paso de integración de $h$. La salida debe ser un archivo de dos columnas: $t$ y $x(t)$.

Problema 4: Repetí el problema 3, pero esta vez usando el método de Runge-Kutta de 4$^\circ$ orden en lugar del método de Euler.

Problemas complementarios

Problema 5: Considerá el problema de valores iniciales para la ecuación de la dinámica de un péndulo simple longitud $l$

$$\frac{d^2\theta}{d t^2} = - \frac{g}{l} \sin{(\theta)}, \quad \theta(0)=\theta_0, \quad \frac{d\theta}{d t}(0)=\theta'_0,$$

donde $g$ es la acelaración de la gravedad. Definiendo $u= \theta'$ esta ecuación de segundo orden se puede escribir como un sistema de dos ecuaciones de primer orden

$$\frac{d\theta}{d t} = u$$ (1)

$$\frac{d u}{d t} = - \frac{g}{l} \sin{(\theta)}$$ (2)

mientras que las condiciones iniciales transformadas quedan $(u(0),\theta(0))=(\theta'_0,\theta_0).$

Modificá el programa del ejercicio 3 de forma tal que resuelva ahora este sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas usando $g=10 m/s^2$ y $l=1 m.$ La salida debe ser un archivo de tres columnas $t$, $\theta(t)$ y $u(t)$.

1. Graficá $\theta$ vs. $t,$ para $0\le t\le 10,$ con las siguientes condiciones iniciales: a) $u(0)=0$ y $\theta(0)=0.5$ y b) $u(0)=0$ y $\theta(0)=0.5$
2. Para las condiciones iniciales $\theta(0)=\theta_0,$ y $u(0)=0,$ y sólo cuando $\theta_0\ll 1,$ la solución exacta de este problema satisface $\theta(t)\simeq\theta_0 \cos(\sqrt{10}t).$ Para verificar esto modificá el programa realizado para calcular y graficar la diferencia $\theta(t)-\theta_0 \cos(\sqrt{10}t),$ para $0\le t\le 10,$ en los casos $\theta_0=1$ y $\theta_0=10^{-2}.$

Problema 6: La llamada ecuación logística

$$\frac{dN}{dt}= r\,N \left(1-\frac{N}{K}\right)$$

describe el crecimiento autolimitado de una población dada (suponiendo que no interactúa con otras especies y que tiene fuentes limitadas de alimentos). Fue propuesta por Verhulst en 1838 y permite describir al menos cualitativamente varios fenómenos poblacionales observados en la naturaleza. En esta ecuación $N(t)$ es el número de individuos de la colonia al tiempo $t$ y $K$ es una constante positiva.

Una solución $N^*$ se dice estacionaria si se satisface que $dN^*/dt=0$, y por ende no cambia en el tiempo. Para esta ecuación es fácil verificar que sólo existen dos soluciones estacionarias: $N_1^*=0$ y $N_2^*=K$.

Determiná cual de las dos soluciones estacionarias es estable y cual inestable resolviendo numéricamente la ecuación diferencial con el método Runge-Kutta de cuarto orden para $r=2$, $K=100$, en el intervalo $0\le t \le 50$ con $h=0.1$ y considerando cinco condiciones iniciales diferentes: a) $N(0)= 0$, b) $N(0)=2$, c) $N(0)=50$, d) $N(0)= 120$ y d) $N(0)=200$. Graficá simultaneamente las cinco soluciones $t$ vs. $N(t)$ en el intevalo $0\le t \le 50$.