Análisis Numérico

Trabajo de Laboratorio N$ ^\circ$ 4

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias





Problema 1: Realizá un programa en C que te permita resolver numéricamente el problema de valores iniciales de la forma,

$\displaystyle x'$ $\displaystyle = f(x,t)$    
$\displaystyle x(a)$ $\displaystyle = x_0$    

utilizando el método de Euler en el intervalo $ a\le t\le b$ con un paso de integración de $ h$. La salida debe ser un archivo de dos columnas: $ t$ y $ x(t)$.




Problema 2: Utilizando el programa del ejercicio anterior, resolvé mediane el método de Euler el siguiente problema de valores iniciales:

$\displaystyle x'$ $\displaystyle = -x+\sin(2\pi t)$    
$\displaystyle x(0)$ $\displaystyle = 1.0$    

en el intervalo $ 0 \le t \le 1$ con un paso de integración $ h=0.1$. Sabiendo que la solución exacta es

$\displaystyle x_e(t)=\Bigl(1+\frac{2\pi}{1+4\pi^2}\Bigr)e^{-t}+\frac{\sin(2\pi t)-2\pi
\cos(2\pi t)}{1+4\pi^2}
$

modificá el programa del ejercicio anterior de forma tal que grafique también el error global $ \epsilon(t) = \vert x(t)-x_e(t)\vert$. Calculá y graficá $ \epsilon(t)$ usando $ h=0.01$ y $ h=0.005$ y verificá que en el segundo caso el mismo disminuye a la mitad.




Problema 3: Realizá un programa en C que te permita resolver numéricamente el problema de valores iniciales de la forma

$\displaystyle x'$ $\displaystyle = f(x,t)$    
$\displaystyle x(a)$ $\displaystyle = x_0$    

utilizando el método de Runge-Kutta de 4$ ^{\circ}$ orden en el intervalo $ a\le t\le b$ con un paso de integración de $ h$. La salida debe ser un archivo de dos columnas: $ t$ y $ x(t)$.




Problema 4: Repetí el problema 3, pero esta vez usando el método de Runge-Kutta de 4$ ^\circ$ orden en lugar del método de Euler.


Problemas complementarios



Problema 5: Considerá el problema de valores iniciales para la ecuación de la dinámica de un péndulo simple longitud $ l$

$\displaystyle \frac{d^2\theta}{d t^2} = - \frac{g}{l} \sin{(\theta)}, \quad
\theta(0)=\theta_0, \quad \frac{d\theta}{d t}(0)=\theta'_0,
$

donde $ g$ es la acelaración de la gravedad. Definiendo $ u= \theta'$ esta ecuación de segundo orden se puede escribir como un sistema de dos ecuaciones de primer orden

$\displaystyle \frac{d\theta}{d t}$ $\displaystyle = u$ (1)
$\displaystyle \frac{d u}{d t}$ $\displaystyle = - \frac{g}{l} \sin{(\theta)}$ (2)

mientras que las condiciones iniciales transformadas quedan $ (u(0),\theta(0))=(\theta'_0,\theta_0).$

Modificá el programa del ejercicio 3 de forma tal que resuelva ahora este sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas usando $ g=10 m/s^2$ y $ l=1 m.$ La salida debe ser un archivo de tres columnas $ t$, $ \theta(t)$ y $ u(t)$.

  1. Graficá $ \theta$ vs. $ t,$ para $ 0\le t\le 10,$ con las siguientes condiciones iniciales: a) $ u(0)=0$ y $ \theta(0)=0.5$ y b) $ u(0)=0$ y $ \theta(0)=0.5$
  2. Para las condiciones iniciales $ \theta(0)=\theta_0,$ y $ u(0)=0,$ y sólo cuando $ \theta_0\ll 1,$ la solución exacta de este problema satisface $ \theta(t)\simeq\theta_0 \cos(\sqrt{10}t).$ Para verificar esto modificá el programa realizado para calcular y graficar la diferencia $ \theta(t)-\theta_0
\cos(\sqrt{10}t),$ para $ 0\le t\le 10,$ en los casos $ \theta_0=1$ y $ \theta_0=10^{-2}.$




Problema 6: La llamada ecuación logística

$\displaystyle \frac{dN}{dt}= r\,N \left(1-\frac{N}{K}\right)
$

describe el crecimiento autolimitado de una población dada (suponiendo que no interactúa con otras especies y que tiene fuentes limitadas de alimentos). Fue propuesta por Verhulst en 1838 y permite describir al menos cualitativamente varios fenómenos poblacionales observados en la naturaleza. En esta ecuación $ N(t)$ es el número de individuos de la colonia al tiempo $ t$ y $ K$ es una constante positiva.

Una solución $ N^*$ se dice estacionaria si se satisface que $ dN^*/dt=0$, y por ende no cambia en el tiempo. Para esta ecuación es fácil verificar que sólo existen dos soluciones estacionarias: $ N_1^*=0$ y $ N_2^*=K$.

Determiná cual de las dos soluciones estacionarias es estable y cual inestable resolviendo numéricamente la ecuación diferencial con el método Runge-Kutta de cuarto orden para $ r=2$, $ K=100$, en el intervalo $ 0\le t \le 50$ con $ h=0.1$ y considerando cinco condiciones iniciales diferentes: a) $ N(0)= 0$, b) $ N(0)=2$, c) $ N(0)=50$, d) $ N(0)= 120$ y d) $ N(0)=200$. Graficá simultaneamente las cinco soluciones $ t$ vs. $ N(t)$ en el intevalo $ 0\le t \le 50$.



Omar Ortiz 2008-05-05