Análisis Numérico

Trabajo de Laboratorio N$^\circ$ 5

Ejercicios Obligatorios

Problema 1: Desarrollá un programa para encontrar la raíz de una función $f$ utilizando el método de la bisección, dando como datos de entrada el intervalo inicial $[a,b]$ y la tolerancia $\varepsilon$. $f$ debe definirse como una función dentro del programa y éste debe finalizar cuando se cumpla que:

$$\vert f(x_N)\vert< \varepsilon$$

donde el subíndice $N$ indica el número de iteración. La salida debe ser

• la sucesión de aproximaciones $\{x_n\}$ a la raíz buscada
• la aproximación final $x_N$
• el valor de $f(x_N)$.

Problema 2: Utilizá el programa del ejercicio anterior para

a) encontrar la menor solución positiva de la ecuación $2x = \tan{(x)}$ con un error menor a $10^{-5}$. >Cuántos pasos son necesarios cuando comenzamos con el intervalo $[0.8,1.4]$?

b) encontrar una aproximación a $\sqrt{3}$ con un error menor a $10^{-5}$. Para esto considerá la función $f(x)=x^2 -3$.

Problema 3: Desarrollá un programa para encontrar la raíz de una función $f$ utilizando el método de Newton-Raphson, dando como datos de entrada una estimación inicial $x_0$, la tolerancia $\varepsilon$ y un número máximo de iteraciones MAX_ITE. El programa debe finalizar cuando se satisfaga una de las siguientes condiciones:

$$\frac{\vert x_N - x_{N-1}\vert}{\vert x_N\vert} < \varepsilo... ... \qquad \mbox{Número de iteraciones} = \verb\vert MAX_ITE\vert$$

El programa debe retornar el número de iteraciones realizadas, el valor final de la aproximación $x_N$, el error relativo, y el valor de $\vert f(x_N)\vert$. $f$ y $f^{\prime}$ deben ser funciones del programa.

Problema 4: Adaptá el programa del ejercicio anterior de forma tal que calcule una aproximación a la raíz cúbica de un número $R$ positivo. La entrada debe ser el cual se debe el número $R$, la aproximación inicial $x_0$ y el error máxmo permitido $\varepsilon$.

Ejercicios Complementarios

Problema 5: Desarrollá un programa para encontrar la raíz de una función $f$ utilizando el método de Iteración de Punto Fijo, dando como datos de entrada una estimación inicial $x_0$, la tolerancia $\varepsilon$ y un número máximo de iteraciones MAX_ITE. La salida debe ser el valor final de la aproximación $x_N$ a la raíz, el error, el número de iteraciones realizadas y el valor de $f(x_N)$. $f$ debe ser una función del programa.