Facultad de Matemática, Astronomía y Física
Universidad Nacional de Córdoba

Introducción a la Física


Guía N$^{\circ}$4

Problema 1: ¿Cuales son las componentes del vector que resulta de la diferencia del vector $p_1 =(-1,0)$ y el vector $p_2 \; =\; (2,-3)$? Calcular el módulo del vector diferencia.

Problema 2: Un vector tiene módulo $M = 13$ y la primera componente del vector es $a_1 \;=\;3$. ¿Cuál es la otra componente?

Problema 3: Dados los vectores $\vec{A} = (3,2)$; $\vec{B} = (5,-1)$; $\vec{C} = (-4, 3)$ y $\vec D = (0,1)$. Hallar, gráfica y analíticamente, las componentes, módulo, dirección y sentido de los vectores:

$$\begin{array}{ll} a) \;\; \vec{A} + \vec{B} - \vec{C} - \vec... ...ec{B} + \vec{D} - \vec{C}) & f) \;\; 5\;\vec{C} \end{array}$$

Problema 4: Sea el vector de componentes $(1/3,2/3)$. Hallar las componentes del vector de módulo $5$ que tiene la misma dirección y sentido que el vector dado.

Problema 5: Sean los vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ de módulo $3$ y $4$ respectivamente. a) Calcule el módulo de la resultante de ambos vectores cuando el ángulo comprendido entre ellos es $\theta = 30^o$. b) Haga lo mismo para $\theta = 120^o$. c) Calcule en ambos casos la dirección de la resultante respecto del vector $\vec{A}$.

Problema 6: Dados $\vec{A} = 3\;\hat{\mbox{\i}} - 5\;\hat{\mbox{\j}}$; $\vec{B} = 2\;\hat{\mbox{\i}} + 3\;\hat{\mbox{\j}}$ y $\vec{C} = \hat{\mbox{\i}} + 3\;\hat{\mbox{\j}}$ calcular: a) $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}$ b) $(\vec{A} - \vec{B}) \; . \; \vec{C}$ c) La distancia que hay entre los extremos de los vectores $\vec{A}$ y $\vec{C}$ (ubicados ambos a partir del mismo origen). d) El ángulo que forman $(\vec{A} - \vec{B})$ con $\vec{C}$ y $(\vec{A} - \vec{B})$ con $\vec{A}$. e) Encontrar un vector de módulo uno que sea perpendicular a $\vec{A}$. ¿Cuántas soluciones pueden darse?

Problema 7: Graficar en el plano $(x,y)$ los puntos que satisfacen las siguientes ecuaciones:

$$\begin{array}{ll} a) \;\; 2\;x - 2\;y = 3 & d) \;\; 2\;x\;... ...;x = 0 & f) \;\; x^2 + y^2 = \sqrt{2} \; (x + y) \end{array}$$

Problema 8: Dada la curva $\gamma(t)$ en forma paramétrica por $x = f(t)$, $y = g(t)$; expresar las condiciones de máximo, mínimo, y punto de inflexión de la curva $y(x)$ en término de las funciones $f$ y $g$.

Problema 9: Un avión vuela $200\,$km hacia el NE en una dirección que forma un ángulo de $30^o$ hacia el este de la dirección norte. En ese punto cambia su dirección de vuelo hacia el NO. En esta dirección vuela $60\,$Km formando un ángulo de $45^o$ con la dirección norte.
a) Calcular la máxima distancia hacia el este del punto de partida a la que llegó el avión .
b) Calcular la máxima distancia hacia el norte del punto de partida, a la que llegó el avión.
c) Calcular la distancia a la que se encuentra el avión del punto de partida, al cabo de su recorrido.

Problema 10: Una persona sale por la puerta principal de una casa, camina $300\,$m hacia el este, $600\,$m al norte y despues toma una moneda y la deja caer desde un acantilado de $150\,$m de altura. Establecer un sistema de coordenadas y escribir una expresión para el desplazamiento de la moneda, empleando vectores. La persona regresa enseguida a la puerta de su casa, recorriendo un camino diferente al de ida. ¿Cuál es el desplazamiento resultante de la persona en su viaje de ida y vuelta?.

Problema 11: La función de movimiento de un cuerpo dada en forma paramétrica es :

$$y(t) = -b\;(t^2 - c^2) \; ; \;\;\; x(t) = c + t$$

donde $b>0$ y $c>0$.
a) Encontrar la ecuación de la trayectoria. Graficar.
b) Calcular los vectores velocidad $\vec{v}(t)$ y aceleración $\vec{a}(t)$.
c) Encontrar la dirección y sentido de $\vec{v}$ y $\vec{a}$ en $t = \displaystyle \frac{3}{2}\;c$.
d) Idem que c) pero para $t = 0$. Dibuje los vectores obtenidos en el gráfico de la trayectoria.

Problema 12: El movimiento de un cuerpo está dado paramétricamente por:

$$x(t) = p\;(a t - 1)^2 \; ; \;\;\; y(t) = -h\;(a t - 1)^2 + h$$

donde $p$, $h$ y $a$ son constantes positivas. a) Escribir la ecuación de la trayectoria del cuerpo y graficar. b) Calcular la velocidad $\vec{v}(t)$ y la aceleración $\vec{a}(t)$. c) Determinar el instante de tiempo en que el cuerpo se detiene y calcular $\vec{r}$ y $\vec{a}$ para ese instante.

Problema 13: El movimiento en el plano de una partícula está determinado por:

$$x(t) = a\;t^2 \; ; \;\;\; y(t) = b\;t^3$$

donde $a = 3 \displaystyle \frac{m}{s^2}$ y $b = 2 \displaystyle \frac{m}{s^3}$.
a) Calcular la trayectoria de la partícula. Graficar.
b) Calcular la aceleración en $t = \displaystyle \frac{1}{2}\,$s.
c) ¿Cuál es el ángulo que forman los vectores velocidad y aceleración en ese instante?
d) Determinar el instante $t_1$ en que la aceleración es paralela a la recta $y = x$, y el instante $t_2$ en que la velocidad es paralela a esa recta.
e) Determinar la velocidad media en el intervalo $(t_1,t_2)$.

Problema 14: Exprese las siguientes ecuaciones en coordenadas cartesianas y grafique:
a) $\theta = \displaystyle \frac{\pi}{6}, \;\;$ b) $r\; \cos(\theta) = 5, \;\;$ c) $r = 6\;cos(\theta), \;\;$ d) $r = \displaystyle \frac{a}{\mbox{sen}(\theta) \pm b\; \cos(\theta)} \;\;$ y e) $r^2 = \displaystyle \frac{a^2}{\cos(2 \theta)}$.

Problema 15: Expresar la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas:

$$r= \frac{p}{1 - e\; \cos(\theta)}$$

y grafique considerando los siguientes casos:
a) $e = 0$
b) $e = \pm 1$
c) $0 < e <1$ (graficar usando la exprexión dada en polares).
d) $e > 1$ (intentar graficar la expresión en cartesianas).
e) ¿Qué pasa si se cambia $\cos(\theta)$ por $\mbox{sen}(\theta)?$

Problema 16: Graficar las siguientes funciones definidas en coordenadas polares:
a) $\rho = \mbox{sen}(\theta)$ y b) $\rho = exp(a\;\theta)$.

Problema 17: Dos embarcaderos A y B, situados sobre un río, distan uno del otro $1\,$Km. Dos hombres han de realizar recorridos desde A hacia B y volver. Uno de los hombres va remando en una barca a la velocidad de $4\, \displaystyle \frac{km}{h}$ tespecto al río. El otro realiza el trayecto por tierra a una velocidad de $4\, \displaystyle \frac{km}{h}$. La velocidad del río respecto de tierra es de $2\, \displaystyle \frac{km}{h}$ en la dirección de A a B. ¿Cuánto tardará cada hombre en efectuar el recorrido?.

Problema 18: Un piloto de avión desea volar hacia el norte. El viento sopla hacia el oeste a $60 \displaystyle \frac{km}{h}$. Si la velocidad de vuelo del avión es de $180 \displaystyle \frac{km}{h}$ (velocidad con aire en calma). ¿En qué dirección debe poner rumbo el piloto?. ¿Cuál es la velocidad del avión respecto de tierra?. Haga un diagrama vectorial.

Problema 19: Un piloto de avión pone su brújula hacia el oeste y mantiene su velocidad respecto del aire en $120 \displaystyle \frac{km}{h}$. Después de volar media hora se encuentra sobre una ciudad situada $75\,$km hacia el oeste y $20\,$km al sur de su punto de partida.
a) Calcular la velocidad del viento en magnitud y dirección.
b) Si la velocidad del viento varía, siendo ahora en dirección sur de $60 \displaystyle \frac{km}{h}$, ¿En que dirección debería el piloto poner su rumbo a fin de dirigirse hacia el oeste? (Tómese la velocidad del avión de $120 \displaystyle \frac{km}{h}$ respecto del aire.)

Problema 20: Una gota de lluvia que cae verticalmente pega contra la ventana de un tren que se mueve a razón de $72 \displaystyle \frac{km}{h}$. La gota marca una raya sobre el cristal que forma un ángulo de $10^o$ con la horizontal. ¿Cuál es la velocidad de caída de la gota?

Problema 21: Un río muy ancho tiene una corriente de $1 \displaystyle \frac{m}{s}$ en la dirección positiva del eje $x$. Una lancha cuya velocidad respecto al agua es de $4 \displaystyle \frac{m}{s}$ viaja oblicuamente formando un ángulo de $60^o$ con la dirección $\hat{\mbox{\i}}$. En un momento dado, se deja caer desde la lancha una botella que flota, y luego de $20\,$minutos se decide volver a buscarla. Para lo cual la lancha se detiene y regresa manteniendo su velocidad de $4 \displaystyle \frac{m}{s}$ respecto al agua. a) ¿Hacia dónde debe apuntar la lancha con respecto a la dirección de la corriente para encontrar la botella? b) ¿Cuánto tardará en regresar a la botella? c) Describa el problema desde un sistema fijo en tierra.

Problema 22: Un buque atraviesa el canal de Panamá de Este a Oeste a una velocidad de $28.8 \displaystyle \frac{km}{h}$ medida desde tierra. Un marinero, cuyo paso normal es de $1 \displaystyle \frac{m}{s}$, se dirige hacia la popa llevando una bandeja con dos postres; uno de ellos para el capitán (odiado por la tripulación) y el otro para su esposa (única mujer en el barco). El marinero observa divertido como una mosca oscila indecisa entre ambos postres describiendo un movimiento de la forma: $A\; \mbox{sen}(\omega t)$, siendo $2 A$ la separación entre los postres. Calcular: $\vec{r}(t)$, $\vec{v}(t)$, $\vec{a}(t)$ y la trayectoria de la mosca respecto de tierra.

Fa.M.A.F ©1996