Facultad de Matemática, Astronomía y Física
Universidad Nacional de Córdoba

Introducción a la Física


Guía N$^{\circ}$2

Problema 1: a) Expresar en radianes los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales:

$\alpha = 35^{\circ}$          $\beta = 245^{\circ} 36^{\prime} 3^{\prime \prime}$

b) Expresar en grados, minutos y segundos sexagesimales:

$\alpha =$ $2\;$ $radianes\qquad$ $\beta =\frac 65\pi \;radianes$

Problema 2: Utilizando la circunferencia trigonométrica graficar las siguientes funciones: tangente, cotangente, secante y cosecante en el intervalo $\left[0,2\pi \right]$.

Problema 3: Conociendo que $\mbox{sen}\,\alpha \,= b$ y que $\alpha$ se encuentra en el segundo cuadrante, calcule el valor de las restantes funciones trigonométricas de $\alpha$ en términos de b.

Problema 4: Demostrar que:

a) $\mbox{sen}\,\alpha + \mbox{sen}\,\beta = \displaystyle 2 \,\mbox{sen} \left( \frac{\alpha + \beta }{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta }{2} \right)$
b) $\cos\,\alpha + \cos\,\beta = \displaystyle 2 \cos \left( \frac{\alpha + \beta }{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta }{2} \right)$

Problema 5: Demostrar que:

a) $\cos\, \alpha = \displaystyle \frac {1}{\pm \sqrt{1 + \mbox{tg}^2\, \alpha}}$          b) $\mbox{tg} \left( \displaystyle \frac{\alpha}{2} \right) = \displaystyle \pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}$          c) $\mbox{tg}\, \alpha = \displaystyle \frac{2 \, \mbox{tg} \left( \displaystyle \... ...a}{2} \right)} {1 - \mbox{tg}^2 \left( \displaystyle \frac{\alpha}{2} \right)}$

Discrimine según el cuadrantre al cual pertenece $\alpha$, cuál signo de la raiz cuadrada se aplica en a) y b).

Problema 6: Resolver gráficamente la ecuación: $\mbox{sen}\,x = \cos\,x$. Encuentre una expresión general para los valores de $x$ que son soluciones de la ecuación anterior.

Problema 7: Encuentre los valores de $x$ para los cuales: $\mbox{sen}\, x = \displaystyle \frac{x}{4 \pi} - 1$.

Problema 8: Resolver la siguiente ecuación trascendente: $\mbox{tg}\, x - sec\, x = 1$.

Problema 9: Una torre proyecta una sombra de $50\,$m cuando el sol está a $45^{\circ}$ sobre el horizonte. Calcular la altura de la torre.

Problema 10: A $35\,$m del eje del obelisco de la ciudad de Buenos Aires se sitúa un operador con un teodolito, quien encuentra que el ángulo sustendido por el obelisco es de $61^{\circ} 11^{\prime}$. Calcule la altura del obelisco teniendo en cuenta que el instrumento está a $1,4\,$m del suelo.

Problema 11: Desde el espejo de un faro marino situado a $250\,$m sobre el nivel del mar se observa un bote bajo un ángulo de depresión de $30^{\circ}$. Calcule la distancia horizontal entre el bote y el faro.

Problema 12: Dos observadores en tierra, separados por una distancia de $1000\,$m, observan un globo aerostático que se encuentra elevado entre ellos. Ambos observadores y el globo se hallan en un mismo plano vertical. Uno de los observadores mide un ángulo de elevación de $65^{\circ}$ y el otro mide $35^{\circ}$. Calcule la altura a la que se encuentra el globo.

Problema 13: Considere los polígonos regulares de n lados inscriptos en un circunferencia de radio R.
a) Verifique que el perímetro de dichos polígonos puede expresarse como:

$$P(n) = \displaystyle 2\, n\, R\, \mbox{sen} \left( \frac{\pi}{n} \right)$$

b) Verifique que el área encerrada por dichos polígonos puede expresarse como:

$$A(n) = \displaystyle n\, R^2\, \mbox{sen} \left( \frac{\pi}{n} \right) \cos \left( \frac{\pi}{n} \right)$$

c) Grafique las funciones $P(n)$ y $A(n)$ para n = 3, 4, 5, 6 y 12 (considere $R = 1\,$cm).

d) Teniendo en cuenta el límite notable $\lim_{x \rightarrow 0} \displaystyle \frac{\mbox{sen}\, x}{x} = 1$, encuentre los límites de las sucesiones $P(n)$ y $A(n)$. Interprete geométricamente estos resultados.

e) Encuentre el límite de la sucesión $a_n = \displaystyle \frac{A(n)}{P(n)}$ y compare con el correspondiente cociente entre el área y el perímetro del círculo.

Problema 14: Derivar aplicando la definición las siguientes funciones:

a) $f(x) = 2\, x - 1$          b) $f(x) = x^3 + b$          c) $f(x) = \displaystyle \frac{x^2+a}{x}$

Problema 15: Derive las siguientes funciones:

$$\renewedcommand{arraystretch}{1.5} \begin{array}{crclccrcl... ...\frac{x^2 + a}{\mbox{tg} \left( x^2 + a \right)} \end{array}$$

Problema 16: Encontrar los puntos críticos de las siguientes funciones y determinar si son máximos, mínimos o puntos de inflexión. Graficar.

$$\renewedcommand{arraystretch}{1.8} \begin{array}{crclccrcl... ...splaystyle \frac{4\, (4\, x + 1) - x^2}{13 x^3} \end{array}$$

Problema 17: Determinar la función cuadrática $f(x) = a \,x^2 + b \,x + c$, tal que se anula para $x=3$ y $x=7$ y tiene un mínimo en $x_0$ tal que $f(x_0) = -8$.

Problema 18: Estudie la función:

$$y(x) = \displaystyle \frac{T\,x - 1}{x^2} + \frac{1}{3\,x^3}$$

para $x>0$. Considerando distintas posibilidades para el valor del parámetro $T$. En particular:

a) $0 < T <\frac{3}{4}$          b) $\frac{3}{4} \leq T < 1$          c) $T > 1$.

Grafique la función en cada uno de estos casos.

Problema 19: ¿Cuál es el área máxima que puede encerrar un rectángulo de perímetro $P$?

Problema 20: Determinar el rectángulo inscripto en la elipse de semiejes $a$ y $b$ de lados paralelos a los ejes y de área máxima.

Problema 21: Se quiere construir una caja sin tapa con una hoja de cartón de $10\,$cm x $80\,$cm. ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja para que tenga capacidad máxima?.

Problema 22: Sea la función $y(x) =3\,x^2 + 2\,x - 8$. Calcular la diferencia entre $\Delta y$ y $dy$ en $x=x_o.$

Problema 23: ¿Cuál debe ser la longitud de un hilo que rodee la Tierra por una circunferencia máxima?. Si repetimos la operación de manera tal que exista 1 cm entre el hilo y la Tierra, cuánto debemos aumentar la longitud del hilo?. Utilice diferenciales para el cálculo y compare con el valor exacto de variación de la longitud.

Problema 24: Suponga que se quiere rodear la Tierra con una esfera metálica de forma tal que exista entre ambas una capa de aire de 1 cm de espesor. ¿Cuánto más grande debe ser la superficie de la esfera respecto de la superficie de la Tierra?. ¿Y su volumen?. Utilice diferenciales para el cálculo y compare con los valores exactos de la variación de la superficie y el volumen. (Radio de la Tierra: $6400\,$Km).

Problema 25: La medida del diámetro de un círculo es $d = 13.8\,$cm, con un error por defecto menor que $0.1\,$cm. Calcular mediante la diferencial el error cometido en la determinación de la superficie.

$$S = \displaystyle \frac{\pi}{4} d^2$$

Comparar con el valor exacto de $\Delta S$.

Problema 26: Demostrar que el error relativo cometido en la determinación del área $S$ de un círculo es igual al doble del error relativo del radio $r$ (se define como error relativo de una magnitud $M$ al cociente $dM/M$). Compare $dS$ con el valor exacto de $\Delta S$ para $$\frac{dr}{r} = 0.01$$ y $r = 10$.

Problema 27: La figura muestra un sistema compuesto por las masas $m_1$ y $m_2$ las cuales se hallan suspendidas de forma tal que mientras $m_1$ está atada a un extremo de la cuerda, $m_2$ está colgada del eje de la polea la cual puede deslizar libremente sobre la cuerda. La longitud total de la cuerda es $L = 15\,$m, $a = 60\,$cm y $d = 70\,$cm. Los radios de ambas poleas son despreciables frente a las dimensiones de $a$ y $d$.

a) Si la masa $m_1$ se desplaza $1\,$cm hacia abajo, hallar el desplazamiento de la masa $m_2$ utilizando la diferencial. No utilice calculadora. Compare con el desplazamiento exacto ocurrido.
b) Suponiendo que $m_1$ se desplaza con velocidad $v$, calcule la velocidad de la masa $m_2$.

Problema 28: Considere la siguiente función de movimiento de un cuerpo:

$$x(t) = t^2 - 3\, t \;,$$

donde $[ x ] =\,$m y $[ t ] =\,$s.
a) Graficar la función $x(t)$.
b) Determinar analíticamente en todos los casos y gráficamente en los siete primeros, los valores de $\bar{v}$ (velocidad media del móvil) en los siguientes intervalos de tiempo expresados en segundos: $[ -1,5 ]$, $[ -1,4 ]$, $[ -1,2 ]$, $[ -1,1 ]$, $[ -1,-0.5 ]$, $[ -1,-0.8 ]$, $[ -1,-0.9 ]$, $[ -1,-0.99 ]$, $[ -1,-0.999 ]$ y $[ -1,-0.9999 ]$.
c) Sea $\Delta t_n = t_n - t_0$, con $t_0 = -1\,$s y $t_1 = 5\,$s, $t_2 = 4\,$s, $\cdots$, $t_{10} = -0.9999\,$s. A medida que $\Delta t_n$ se hace más pequeño, a qué valor se aproxima la velocidad media del móvil en el intervalo $[ -1,-1 + \Delta t_n ]\,$s?. ¿Cómo se interpreta geométricamente este resultado?.
d) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la función $x(t)$ en $t=-1\,$s.

Problema 29: Las coordenadas de dos móviles están dadas en función del tiempo por:

$$x_1 = - t^2 + 3\, t \qquad \qquad x_2 = \displaystyle \frac{8}{3}t + 4$$

Hallar la mínima distancia que separa a los móviles y el instante en el que están en esa situación. Graficar:         $x_1(t) - x_2(t)$         y          $d(t) = \vert x_1(t) - x_2(t)\vert$

Problema 30: Sabiendo que las funciones de movimiento de los móviles $A$ y $B$ son respectivamente:

$$x_A(t) = \displaystyle \frac{1}{2} t^2 + 2 \qquad \qquad x_B(t) = \displaystyle \frac{3}{2} t -2$$

a) Calcule la distancia mínima que los separa y el instante de tiempo $t_m$ en que esto se produce.
b) Calcule $\bar{v}_A$ y $\bar{v}_B$ entre $0$ y $t_m$.
c) Calcule $v_A(t_m)$ y $v_B(t_m)$.

Fa.M.A.F ©2003