Facultad de Matemática, Astronomía y Física
Universidad Nacional de Córdoba

Introducción a la Física


Guía N$^{\circ}$4

Problema 1: ¿Cuales son las componentes del vector que resulta de la diferencia del vector $\vec{p}_1 =-1 \;\hat{\mbox{\i}}$ y el vector $\vec{p}_2 =2\;\hat{\mbox{\i}} + 3\;\hat{\mbox{\j}}$? Calcular el módulo del vector diferencia.

Problema 2: El vector $\vec{M}$ tiene módulo $M = 13$ y su primera componente es $M_x =3$. ¿Cuál es el valor de la otra componente?

Problema 3: Dados los vectores $\vec{A} = (3,2)$; $\vec{B} = (5,-1)$; $\vec{C} = (-4, 3)$ y $\vec D = (0,1)$, determinar gráfica y analíticamente, las componentes, módulo, dirección y sentido de los vectores:

$$\begin{array}{ll} a) \;\; \vec{A} + \vec{B} - \vec{C} - \vec... ...vec{B} + \vec{D} - \vec{C}) & f) \;\; 5\;\vec{C} \end{array}$$

Problema 4: Sea el vector de componentes $(1/3,2/3)$. Hallar las componentes del vector de módulo $5$ que tiene la misma dirección y sentido que el vector dado.

Problema 5: Sean los vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ de módulo $3$ y $4$ respectivamente.
a) Calcule el módulo de la resultante de ambos vectores cuando el ángulo comprendido entre ellos es $\theta = 30^o$.
b) Haga lo mismo para $\theta = 120^o$.
c) Calcule en ambos casos la dirección de la resultante respecto del vector $\vec{A}$.

Problema 6: Dados $\vec{A} = 3\;\hat{\mbox{\i}} - 5\;\hat{\mbox{\j}}$; $\vec{B} = 2\;\hat{\mbox{\i}} + 3\;\hat{\mbox{\j}}$ y $\vec{C} = \hat{\mbox{\i}} + 3\;\hat{\mbox{\j}}$ calcular:
a) $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}$
b) $(\vec{A} - \vec{B}) \; . \; \vec{C}$
c) La distancia que hay entre los extremos de los vectores $\vec{A}$ y $\vec{C}$ (ubicados ambos a partir del mismo origen).
d) El ángulo que forman $(\vec{A} - \vec{B})$ con $\vec{C}$ y $(\vec{A} - \vec{B})$ con $\vec{A}$.
e) Encontrar un vector de módulo uno que sea perpendicular a $\vec{A}$. ¿Cuántas soluciones pueden darse?

Problema 7: Un avión vuela $200\,$km hacia el NE en una dirección que forma un ángulo de $30^o$ hacia el este de la dirección norte. En ese punto cambia su dirección de vuelo hacia el NO. En esta dirección vuela $60\,$Km formando un ángulo de $45^o$ con la dirección norte.
a) Calcular la máxima distancia hacia el este del punto de partida a la que llegó el avión .
b) Calcular la máxima distancia hacia el norte del punto de partida, a la que llegó el avión.
c) Calcular la distancia a la que se encuentra el avión del punto de partida, al cabo de su recorrido.

Problema 8: El movimiento de un cuerpo está dado paramétricamente por:

$$x(t) = p\;(a t - 1)^2 \; ; \;\;\; y(t) = -h\;(a t - 1)^2 + h$$

donde $p$, $h$ y $a$ son constantes positivas.
a) Escribir la ecuación de la trayectoria del cuerpo y graficar.
b) Calcular la velocidad $\vec{v}(t)$ y la aceleración $\vec{a}(t)$.
c) Determinar el instante de tiempo en que el cuerpo se detiene y calcular $\vec{r}$ y $\vec{a}$ para ese instante.

Problema 9: El movimiento en el plano de una partícula está determinado por:

$$x(t) = a\;t^2 \; ; \;\;\; y(t) = b\;t^3$$

donde $a = 3 \displaystyle \frac{m}{s^2}$ y $b = 2 \displaystyle \frac{m}{s^3}$.
a) Calcular la trayectoria de la partícula. Graficar.
b) Calcular la aceleración en $t = \displaystyle \frac{1}{2}\,$s.
c) ¿Cuál es el ángulo que forman los vectores velocidad y aceleración en ese instante?
d) Determinar el instante $t_1$ en que la aceleración es paralela a la recta $y = x$, y el instante $t_2$ en que la velocidad es paralela a esa recta.
e) Determinar la velocidad media en el intervalo $(t_1,t_2)$.

Problema 10: Exprese las siguientes ecuaciones en coordenadas cartesianas y grafique:
a) $\theta = \displaystyle \frac{\pi}{6}, \;\;$ b) $r\; \cos(\theta) = 5, \;\;$ c) $r = 6\;cos(\theta), \;\;$ d) $r = \displaystyle \frac{a}{\mbox{sen}(\theta) \pm b\; \cos(\theta)} \;\;$ y e) $r^2 = \displaystyle \frac{a^2}{\cos(2 \theta)}$.

Problema 11: Expresar la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas:

$$r= \frac{p}{1 - e\; \cos(\theta)}$$

y grafique considerando los siguientes casos:
a) $e = 0$
b) $e = \pm 1$
c) $0 < e <1$ (graficar usando la exprexión dada en polares).
d) $e > 1$ (intentar graficar la expresión en cartesianas).
e) ¿Qué pasa si se cambia $\cos(\theta)$ por $\mbox{sen}(\theta)?$

Problema 12: Dos embarcaderos A y B, situados sobre un río, distan uno del otro $1\,$Km. Dos hombres han de realizar recorridos desde A hacia B y volver. Uno de los hombres va remando en una barca a la velocidad de $4\, \displaystyle \frac{km}{h}$ tespecto al río. El otro realiza el trayecto por tierra a una velocidad de $4\, \displaystyle \frac{km}{h}$. La velocidad del río respecto de tierra es de $2\, \displaystyle \frac{km}{h}$ en la dirección de A a B. ¿Cuánto tardará cada hombre en efectuar el recorrido?.

Problema 13: Un piloto de avión desea volar hacia el norte. El viento sopla hacia el oeste a $60 \displaystyle \frac{km}{h}$. Si la velocidad de vuelo del avión es de $180 \displaystyle \frac{km}{h}$ (velocidad con aire en calma). ¿En qué dirección debe poner rumbo el piloto?. ¿Cuál es la velocidad del avión respecto de tierra?. Haga un diagrama vectorial.

Problema 14: Un piloto de avión pone su brújula hacia el oeste y mantiene su velocidad respecto del aire en $120 \displaystyle \frac{km}{h}$. Después de volar media hora se encuentra sobre una ciudad situada $75\,$km hacia el oeste y $20\,$km al sur de su punto de partida.
a) Calcular la velocidad del viento en magnitud y dirección.
b) Si la velocidad del viento varía, siendo ahora en dirección sur de $60 \displaystyle \frac{km}{h}$, ¿En que dirección debería el piloto poner su rumbo a fin de dirigirse hacia el oeste? (Tómese la velocidad del avión de $120 \displaystyle \frac{km}{h}$ respecto del aire.)

Problema 15: Una gota de lluvia que cae verticalmente pega contra la ventana de un tren que se mueve a razón de $72 \displaystyle \frac{km}{h}$. La gota marca una raya sobre el cristal que forma un ángulo de $10^o$ con la horizontal. ¿Cuál es la velocidad de caída de la gota?

Problema 16: Un río muy ancho tiene una corriente de $1 \displaystyle \frac{m}{s}$ en la dirección positiva del eje $x$. Una lancha cuya velocidad respecto al agua es de $4 \displaystyle \frac{m}{s}$ viaja oblicuamente formando un ángulo de $60^o$ con la dirección $\hat{\mbox{\i}}$. En un momento dado, se deja caer desde la lancha una botella que flota, y luego de $20\,$minutos se decide volver a buscarla. Para lo cual la lancha se detiene y regresa manteniendo su velocidad de $4 \displaystyle \frac{m}{s}$ respecto al agua.
a) ¿Hacia dónde debe apuntar la lancha con respecto a la dirección de la corriente para encontrar la botella?
b) ¿Cuánto tardará en regresar a la botella?
c) Describa el problema desde un sistema fijo en tierra.

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