Facultad de Matemática, Astronomía y Física
Universidad Nacional de Córdoba

Mecánica

Guía N$^{\circ}$4: Potencial Central y Dispersión

Problema 1:  Considere el péndulo esférico: Una partícula de masa $m$ restringida a moverse en la superficie de una esfera de radio $R$, bajo la acción de la gravedad  $\vec g = -g\hat{z}$.
a) Escribir el Lagrangeano del sistema en coordenadas esféricas $(\rho,\theta,\phi)$ y determinar las coordenadas cíclicas y cantidades conservadas.
b) Definir una energía potencial efectiva $U_{\rm eff}(\theta)$ e integrar las ecuaciones de Euler-Lagrange. Determine (al menos cualitativamente) las regiones permitidas para el movimiento de la partícula.

Problema 2:  Determinar las posibles trayectorias de una partícula en el siguiente potencial central:

$$U(r) = \left\{ \begin{array}{rl} U_0 \;, & r < r_0 \\ 0 \;, & r > r_0 \end{array} \right.$$

Problema 3:  Para una partícula se mueve en un potencial central Kepleriano  $U(r)= -(\alpha/r)$, se define el vector de Lenz ${\cal L}$ según:

$${\cal L} = \vec{v} \times \vec{M} - k \, \frac{\vec{r}}{r}$$

a) Demuestre que ${\cal L}$ se conserva para una adecuada elección de $k$. >En qué dirección apunta ${\cal L}$?
b) Utilice la integral de movimiento ${\cal L}$ para calcular las trayectorias del problema de Kepler.

Problema 4:  Caída al centro en un potencial central:
a) Integre las ecuaciones de movimiento para una partícula en el campo central  $U(r)=-\alpha/r^2$ ($\alpha>0$). Determine en qué casos la partícula cae al centro de potencial, y cuánto tarda.
b) Considere ahora el movimiento en un campo central $U(r) = -\alpha/r^n$ ($n\geq1$, $\alpha>0$). Determine si es finito o no el número de vueltas realizadas por la partícula alrededor del centro. Determine cuanto tarda la partícula en llegar al centro de potencial. Resuelva la ecuación de movimiento en la aproximación de $r$ pequeño.

Problema 5:  Determine qué potencial central admite como solución órbitas circulares que pasan por el centro de potencial. Solución: $U(r) = \alpha/r^4$. Demostrarla!

Problema 6:  Cuando se añade al potencial central $U(r)=-\alpha/r$ ($\alpha>0$) una pequeña corrección $\delta U(r)$, la trayectoria para un movimiento finito deja de ser cerrada, y con cada revolución el perihelio de la órbita se desplaza un pequeño ángulo $\delta\phi$. Determine $\delta\phi$ para:                a) $\delta U = \beta / r^2$;                  b) $\delta U = \gamma/ r^3$.

Problema 7:  Un oscilador armónico tridimensional consiste en una partícula de masa $m$ que se mueve en el potencial $U(r) = \frac{1}{2} \,m \,\omega^2 r^2$.
a) Integre las ecuaciones de movimiento, y muestre que las órbitas son elipses centradas en el origen.
b) Obtenga la velocidad angular de precesión cuando se agrega una pequeña perturbación $\delta U = \beta/r^4$. $\beta << m \,\omega^2 \,a^6, \;m \,\omega^2 \,b^6$, donde $a$ y $b$ son los parámetros de la trayectoria no perturbada:

$$\left( \frac{r \,\cos \phi}{a} \right)^2 + \left( \frac{r \,\mbox{sen} \,\phi}{b} \right)^2 = 1$$

Problema 8:  Una partícula está atraída hacia un punto fijo por una fuerza $F(r) = -K/r^n$, $K>0$. Utilice un análisis perturbativo para demostrar que cuando $n < 3$ es posible encontrar órbitas circulares estables.

Problema 9:  Generalice el teorema del virial para sistemas que incluyan fuerzas de rozamiento proporcionales a la velocidad.

Problema 10:  Determine la sección eficaz para captura de meteoritos por la Tierra en función de $v_{\infty}$ y el parámetro de impacto $b$. Suponga como condición de captura que la distancia al centro de la Tierra en el perigeo de la órbita sea menor que el radio terrestre.

Problema 11:  Determine la sección eficaz diferencial y total de dispersión respecto del centro de masa en cada uno de los siguientes casos:
a) Pozo de potencial esférico de radio $a$ y profundidad $U_0$:

$$U(r) = \left\{ \begin{array}{rl} -U_0 \;, & r < a \\ 0 \;, & r > a \end{array} \right.$$

b) $U(r)= \alpha / r^2$ ($\alpha>0$).

Problema 12:  Considere la colisión elástica de dos partículas de masas $m_1$ y $m_2$. Determine el ángulo de desviación $\chi$ respecto del centro de masa en función del ángulo $\theta_1$ y en función del ángulo $\theta_2$, correspondientes a las desviaciones de las partículas respecto del sistema laboratorio.

Problema 13:  Calcular la sección eficaz total de captura para un potencial central de la forma  $U(r) = -\alpha/r^n$ ($n \geq 2$ y $\alpha>0$). La captura es la situación en la cual la partícula cae al centro del potencial.

Problema 14:  Calcular la sección eficaz total para un haz de partículas incidente, paralelo al eje $y$, sobre un cubo rígido de lado $a$, cuyas caras son paralelas a los planos definidos por los ejes Cartesianos.

Fa.M.A.F ©2000