Facultad de Matemática, Astronomía y Física
Universidad Nacional de Córdoba

Mecánica

Guía N$^{\circ}$7: El Hamiltoniano y las Ecuaciones Canónicas

Problema 1: Escribir el Hamiltoniano y las correspondientes ecuaciones de Hamilton para una partícula libre en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

Problema 2: Escribir el Hamiltoniano y las correspondientes ecuaciones de Hamilton para una partícula en un potencial central. Analice el problema de Kepler en esta descripción.

Problema 3: Determinar la función de Hamilton correspondiente al oscilador anarmónico cuya función de Lagrange es:

$$L(x,\dot{x}) = \frac{1}{2} \,\dot{x}^2 - \frac{1}{2} \,\omega^2 \,x^2 - \alpha \,x^3 + \beta \,x \,\dot{x}^2$$

Problema 4: Una partícula puede moverse sobre la superficie interna de un cilindro infinito de radio $R$, cuyo eje está ubicado horizontalmente, en presencia de un campo gravitatorio vertical homogéneo con aceleración $g$.
a) Escribir el Hamiltoniano del sistema.
b) Resolver el problema de pequeñas oscilaciones correspondiente.

Problema 5: Determinar la función de Hamilton correspondiente a una partícula en un campo conservativo, en términos de las coordenadas cartesianas de un sistema que rota uniformemente alrededor del eje $z$ con velocidad angular $\Omega$. ¿Cuál es el significado físico del Hamiltoniano en este caso?

Problema 6: Para una partícula, calcular los paréntesis de Poisson formados por:
a) las componentes cartesianas del momento lineal $\vec{p}$ y del momento angular $\vec{M}=\vec{r}\times\vec{p}$;
b) las componentes cartesianas del momento angular.

Problema 7: Probar que $[\vec{f}, \,\vec{n} \cdot \vec{M}] = -\vec{n} \times \vec{f}$, donde $\vec{f} = f_1 \;\vec{r} + f_2 \;\vec{p} + f_3 \,(\vec{r} \times \vec{p})$ con $f_1$, $f_2$ y $f_3$ arbitrarios y $\vec{n}$ es un versor en la dirección de $\vec{M}$.

Problema 8: Mostrar que si el Hamiltoniano y una cantidad $F$ son constantes de movimiento para un determinado sistema mecánico, entonces $\partial F/ \partial t$ tambien es una constante de movimiento. Como ilustración considerar el movimiento de una partícula libre de masa $m$. El Hamiltoniano se conserva y considerar como constante de movimiento adicional: $F = x - p \,t / m$. Mostrar por cálculo directo que la constante de movimiento $\partial F/ \partial t$ coincide con $[H,F]$.

Problema 9: Demostrar por cálculo directo que $[f,g]_{p,q} = [f,g]_{P,Q}$, si $(p,q)$ y $(P,Q)$ están ligados por una transformación canónica.

Problema 10: Probar que una rotación en el espacio de fases de un sistema con un grado de libertad, es una transformación canónica.

Problema 11: Mostrar que la transformación:

$$Q = \ln\left(\frac{\mbox{sen} \,p}{q}\right), \qquad P = q \;\mbox{cotan} \,p$$

es canónica.

Problema 12: Considerar la transformación de coordenadas:

$$Q = \ln (1 + \sqrt{q} \,\cos p), \qquad P = 2 \,(1 + \sqrt{q} \,\cos p ) \sqrt{q} \,\mbox{sen} \,p \;.$$

a) Demostrar que $(Q,P)$ son variables canónicas si $(q,p)$ lo son.
b) Mostrar que la función que genera esta transformación es:

$$F(Q,p) = -\left( e^Q - 1 \right)^2 \,\tan \,p \;.$$

Problema 13: Resolver el problema del oscilador armónico lineal utilizando las variables canónicas $(P,Q)$, obtenidas a partir de la función generatriz:

$$F = \frac{m}{2} \,\omega \,q^2 \,\mbox{cotan} \,Q$$

Problema 14: ¿Qué condición debe satisfacer la función $\Phi(q,P)$ para que sea posible utilizarla como función generatriz de una transformación canónica? Considerar en particular el ejemplo: $\Phi(q,P) = q^2 + P^2$.

Problema 15: ¿Qué significado tiene la transformación canónica originada por la función generatriz: $\Phi(q,P) = \alpha \,q \,P$?

Problema 16: Resolver el movimiento de un proyectil puntual en el espacio bajo la influencia de una fuerza gravitatoria uniforme, usando el método de Hamilton-Jacobi. Encontrar la ecuación de la trayectoria y la dependencia de las coordenadas con el tiempo.

Problema 17: Utilizando la ecuación de Hamilton-Jacobi, calcular las ecuaciones de movimiento y la trayectoria de una partícula en el campo: $U(\vec{r})=\frac{1}{2} m \omega^2 \left( x^2 + y^2 \right)$.

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