Facultad de Matemática, Astronomía y Física
Universidad Nacional de Córdoba

Métodos Matemáticos de la Física


Guía N$^{\circ}$1: Álgebra Lineal

Problema 1: Sean $\vec{a}$ y $\vec{b}$ dos vectores arbitrarios en un espacio vectorial con producto interno. Demuestre la desigualdad de Cauchy-Schwartz:

$$(\vec{a} \cdot \vec{a}) \; (\vec{b} \cdot \vec{b}) \geq \vert\vec{a} \cdot \vec{b}\vert^2$$

Determine cuando es válida la igualdad. Ayuda: Utilice el vector: $\vec{c} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ y exija que $\vec{c} \cdot \vec{c} \geq 0, \; \forall \lambda$. Considere una base ortonormal $\left\{ \vec{e}_i \right\}$ en un espacio vectorial de dimensión infinita. Por cuestiones de convergencia, el desarrollo de un vector arbitrario en términos de la base:

$$\vec{x} = \sum_{i=1}^{\infty} \; x^i \; \vec{e}_i$$

puede carecer de significado. No obstante, utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwartz, demuestre la desigualdad de Bessel:

$$\sum_{i=1}^{n} \; \vert x^i\vert^2 \leq \vec{x} \cdot \vec{x}$$

resultado que es válido para todo $n$, por grande que este sea.

Problema 2: Siendo ${\sf A}$, ${\sf B}$ y ${\sf C}$ matrices cuadradas, probar que:

$$\begin{array}{lrcl} {\bf a)}& ({\sf A} {\sf B})^{-1} &=& ... ... A} {\sf B}) &=& \det({\sf A}) \det({\sf B}). \end{array}$$

Problema 3: Supongamos que las matrices A y B son hermiteanas y las matrices C y D son unitarias. Demostrar que:

$$\begin{array}{lrl} {\bf a)}& {\sf C}^{-1} {\sf A C} & \mbox{... ...c)}& i({\sf A B - B A}) & \mbox{ es hermiteana}. \end{array}$$

Problema 4: Sea ${\cal T}:V \rightarrow V$ la transformación lineal dada por ${\cal T}(\vec{x})=c\vec{x}$, donde $c$ es un escalar fijo. Demostrar que ${\cal T}$ es unitaria si y sólo si $\vert c\vert=1$. Si $V$ es un espacio unidimensional, demostrar que las únicas transformaciones unitarias en $V$ son las descriptas anteriormente. En particular, si $V$ es un espacio real unidimensional, existen sólo dos transformaciones ortogonales, ${\cal T}(x)= x$ y ${\cal T}(x)= - x$.

Problema 5: Las siguientes matrices $2 \times 2$ en ${\cal C}$:

$$\sigma_x = \left( \begin{array}{cc} 0& 1\\ 1& 0 \end{array}... ..._z = \left( \begin{array}{cc} 1& 0\\ 0&-1 \end{array} \right)$$

son las matrices de Pauli. Probar que:
a) $\sum_{lm} \;\epsilon_{klm} \sigma_l \sigma_m = 2 i \sigma_k$. Es decir que puede utilizarse la notación: $\vec{\sigma} \times \vec{\sigma} = 2 i \vec{\sigma}$, con $\vec{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$.
b) $\sigma_j^2 = {\sf I}, \; \forall j$; donde I es la matriz identidad.
c) El conjunto de matrices de Pauli mas I forman una base para el espacio de matrices $2 \times 2$.

Problema 6: Dada la transformación de semejanza ${\sf A}' = {\sf S}^{-1} {\sf A} {\sf S}$, probar que:

$$\begin{array}{lc} {\bf a)}& \mathop{\rm Tr}\limits({\sf A}')... ...} unitaria entonces {\sf A}' es unitaria}\\ \end{array}$$

Dada una función analítica $f$, es usual utilizar la notación $f({\sf A})$, donde ${\sf A}$ es una matriz cuadrada, para representar al desarrollo en serie de Taylor de $f$ ``evaluado'' en ${\sf A}$:

$$f({\sf A}) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \;{\sf A}^n$$

Utilizando esta notación pruebe que:

$$\begin{array}{lrcl} {\bf i)} & f({\sf A}') &=& {\sf S}^{-1} ... ...\sf A}) &=& e^{\mathop{\rm Tr}\limits{\sf A}}. \end{array}$$

Problema 7: Si los autovectores $\vec{v}_i$, correspondientes a los autovalores $\lambda_i$, de la matriz A forman una base, probar que:

$$\begin{array}{lrcl} {\bf a)}& \det({\sf A}) &=& \prod_i \lam... ...{\rm Tr}\limits({\sf A}) &=& \sum_i \lambda_i. \end{array}$$

Problema 8: Sea ${\sf U}$ una matriz unitaria y $\vec{x}_1$, $\vec{x}_2$ dos vectores propios de ${\sf U}$ pertenecientes a los autovalores $\lambda_1$, $\lambda_2$, respectivamente. Demostrar que:

$$\begin{array}{lr} {\bf i)} & \vert\lambda_1\vert = \vert\lam... ...1 \neq \lambda_2,\;\; x_1^{\dagger} x_2 = 0 \end{array}$$

Problema 9: Encontrar los autovalores y autovectores normalizados de la matriz:

$$\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{array} \right)$$

Problema 10: En una dada base $\left\{ \vec{e}_i \right\}$ de un espacio vectorial abstracto, una transformación lineal y un dado vector de dicho espacio, quedan respectivamente determinados por:

$$\left( \begin{array}{ccc} 2&1&0\\ 1&2&0\\ 0&0&5 \en... ...qquad \left( \begin{array}{l} 1\\ 2\\ 3 \end{array} \right)$$

Encontrar las representaciones matriciales de la transformación y del vector en una nueva base tal que la antigua queda representada por:

$$\vec{e}_1 = \left( \begin{array}{r} 1\\ 1\\ 0 \end{array} \... ...e}_3 = \left( \begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1 \end{array} \right)$$

Problema 11: Escribir la matriz A y el vector $\vec{x}$ en la base en la cual A es diagonal.

$${\sf A} = \left( \begin{array}{rrrrr} 0&-i& 0& 0& 0\\ ... ...\begin{array}{r} 1\\ a\\ i\\ b\\ -1 \end{array} \right)$$

Problema 12: Demostrar cada una de las siguientes proposiciones relativas a una matriz ${\sf A}$, $n \times n$, real y ortogonal:
a) Si $\lambda$ es un autovalor real de $A$, entonces $\lambda=1$ o $\lambda=-1$.
b) Si $\lambda$ es un autovalor complejo de ${\sf A}$, el complejo conjugado ${\lambda}^*$ también es autovalor de ${\sf A}$. Es decir, los autovalores de ${\sf A}$ no reales son conjugados a pares.
c) Si $n$ es impar, ${\sf A}$ tiene por lo menos un autovalor real.

Problema 13: Sea $V$ un espacio euclídeo real de dimensión $n$. Una transformación ortogonal ${\cal T}:V \rightarrow V$ con determinante igual a $1$ se llama rotación. Si $n$ es impar demostrar que 1 es autovalor para ${\cal T}$. Esto prueba que toda rotación de un espacio de dimensión impar tiene un eje fijo.

Problema 14: Las cónicas con centro en el origen de un sistema coordenado obedecen la ecuación:

$$a x^2 + 2 h x y + b y^2 = k$$

a) Escribir la ecuación en forma matricial: $\tilde{\vec{x}} \; {\sf M} \; \vec{x} = k$.
b) Encuentre la transformación que diagonaliza M e interprete geométricamente.
c) Ejemplifique con $5 x^2 - 4 x y + 2 y^2 = 30$.

Problema 15: El tensor de inercia de un cuerpo rígido en un particular sistema de coordenadas está expresado por la matriz:

$$\left( \begin{array}{ccc} \frac{5}{2} &\sqrt{\frac{3}{ 2}... ...{4}}&\sqrt{\frac{1}{18}} &\frac{13}{6} \end{array} \right)$$

Encuentre los momentos principales de inercia y las direcciones de los ejes principales. Recuerde que en un sistema coordenado orientado en la dirección de los ejes principales la matriz asociada al tensor es diagonal.

Problema 16: Demostrar que las oscilaciones unidimensionales del sistema mecánico de la figura están regidas por la ecuación vectorial: $m\,\ddot{\vec{x}} = {\sf A} \vec{x}$; donde:

$${\sf A} = \left( \begin{array}{ccc} -(k_1+k_2)& k_2& 0\\ ... ...k_2+k_3)& k_3\\ 0 & k_3& -(k_3+k_4) \end{array} \right)$$

a) Resolver la ecuación mediante la substitución $\vec{x}(t) = e^{i \omega t} \; \vec{y}$, demostrando que esto conduce a un problema de autovalores.
b) Suponiendo que $k_1=k_2=k_3=k_4=k$ encontrar las frecuencias de los modos normales de oscilación.
c) Escribir la solución de la ecuación bajo las condiciones iniciales: $x^1(0)=x^2(0)=x^3(0)=x_0$ y $\dot{x}^1(0)=\dot{x}^2(0)=\dot{x}^3(0)=0$.

Problema 17: Si ${\cal T}$ es un operador lineal sobre un espacio vectorial de dimensión finita, diagonalizable, probar el teorema de Cayley-Hamilton: Si $f$ es el polinomio característico de ${\cal T}$ entonces $f({\cal T}) = 0$. Ayuda: Probar que dado un autovector $\vec{x}$ de ${\cal T}$ de autovalor $\lambda$, para todo polinomio $q$ se cumple: $q({\cal T}) \; {\vec x} = q(\lambda) \; {\vec x}$.

Problema 18: Una transformación lineal ${\cal T}$ se llama nilpotente si para algún número natural $k$ se cumple que ${\cal T}^k = 0$. Probar:
a) Si $\lambda$ es un autovalor de ${\cal T}$ entonces $\lambda = 0$.
b) $\lambda = 0$ es un autovalor de ${\cal T}$.
Se concluye entonces que el conjunto de autovalores de un operador nilpotente es exactamente $\left\{ 0 \right\}$.

Problema 19: Sea $V = \left\{ p(x), \mbox{polinomios de grado menor o igual que} (n-1) \right\}$. Considere sobre este espacio el operador lineal derivación D.
a) Probar que D es nilpotente.
b) Construya la forma de Jordan correspondiente a D.

Problema 20: Si A es una matriz $n \times n$ cuyo polinomio característico resulta: $f(x) = (x-c_1)^{d_1} \dots (x-c_k)^{d_k}$ con $\sum_{i=1}^k d_i = n$. ¿Cual es la traza de A?

Problema 21: Sea A una matriz triangular $n \times n$ tal que $a^i_{\;i} \neq a^j_{\;j}, \; \forall i \neq j$. Escribir la forma de Jordan asociada con A.

Problema 22: Escribir las formas de Jordan de las siguientes matrices:

$$\left( \begin{array}{rrrrrr} 2& 1&-1& 0& 1& 0\\ 0& 2& ... ...1& 0& 1&-1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \end{array} \right)$$

Fa.M.A.F ©1995