Facultad de Matemática, Astronomía y Física
Universidad Nacional de Córdoba

Métodos Matemáticos de la Física


Guía N$^{\circ}$2: Análisis Tensorial

Problema 1: Si $\epsilon_{ijk}$ es el símbolo antisimétrico de Levi-Civita:
a) Demostrar que $\sum_i \epsilon_{ijk} \epsilon_{ilm} = \delta_{jl} \delta_{km} - \delta_{jm} \delta_{kl}$.
b) Calcular $\sum_{ij} \epsilon_{ijk} \epsilon_{ijl}$
c) Dada la matriz M, calcular: $\sum_{ijk} \sum_{lmn} \epsilon_{ijk} \epsilon_{lmn} {\sf M}_{il} {\sf M}_{jm} {\sf M}_{kn}$

Problema 2: Considere un tensor covariante simétrico arbitrario ${\sf g}_{ij}$. Mediante ${\sf g}_{ij}$, podemos definir una operación de diferenciación covariante. Demostrar que la derivada covariante de ${\sf g}_{ij}$ definida de esta forma se anula.

Problema 3: Consideremos el símbolo de Christoffel $\left\{ \begin{array}{c} i\\ jk \end{array} \right\}$ formado con la ayuda de un tensor covariante simétrico arbitrario ${\sf g}_{lm}$. Demostrar que:

$$\displaystyle \left\{ \begin{array}{c} i\\ ik \end{array} \... ...} = \frac{\partial}{\partial x^k} \ln \sqrt{det \;{\sf g}}$$

Problema 4: Se definen las coordenadas $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ mediante las relaciones:

$$x = \beta \gamma, \;\; y = \alpha \gamma, \;\; z = \alpha \beta$$

donde $x$, $y$, $z$ son las coordenadas cartesianas. Dada una función arbitraria $u$, calcular $\nabla^2 u$ en función de las derivadas de $u$ respecto de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.

Problema 5: Se definen las coordenadas $r$, $\theta$, $\phi$ mediante las relaciones:

$$\begin{array}{lcl} x &=& r \; sen \theta \; cos \phi \\ ...... \theta \; sen \phi \\ z &=& r \; cos \theta \end{array}$$

donde $x$, $y$, $z$ son las coordenadas cartesianas. Dada una función arbitraria $u$, calcular $\nabla^2 u$ en función de las derivadas de $u$ respecto de $r$, $\theta$, $\phi$.

Fa.M.A.F ©1995