Facultad de Matemática, Astronomía y Física
Universidad Nacional de Córdoba

Métodos Matemáticos de la Física


Guía N$^{\circ}$3: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Parte I: Soluciones por Cuadraturas

Problema 1: Verifique que las siguientes ecuaciones diferenciales se reducen a ecuaciones diferenciales de variables separables:
a) $$\frac{dy}{dx} = f(ax + by + c)$$ donde $a$, $b$, y $c$ son constantes.
b) $$\frac{dy}{dx} = f\left( \frac{y}{x} \right)$$
c) $$\frac{dy}{dx} = f\left( \frac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2} \right)$$

Problema 2: Calcular las soluciones particulares de las siguientes ecuaciones diferenciales de variables separables, que satisfacen las condiciones especificadas:
a) $$(1 + e^x) \;y \;\frac{dy}{dx} = e^x$$; $y (x=0) = 1$.
b) $$\frac{dy}{dx} \;sen \,x = y \;\ln y$$; (i) $$y\left( x=\frac{\pi}{2} \right) = e$$, (ii) $$y\left( x=\frac{\pi}{2} \right) = 1$$.
c) $$x^3 \;sen \,y \;\frac{dy}{dx} = 2$$; $$y (x \rightarrow \infty) = \frac{\pi}{3}$$.

Problema 3: Calcular la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales reducibles a ecuaciones diferenciales homogéneas:
a) $$x + y - 2 + (x - y + 4) \,\frac{dy}{dx} = 0$$.
b) $$x + y + 1 + (2 \,x + 2 \,y - 1) \,\frac{dy}{dx} = 0$$.
c) $$(x^2 \,y^2 - 1)\,\frac{dy}{dx} + 2 \,x \,y^3 = 0$$, (Ayuda: Utilizar el cambio de variable $$y= z^\alpha$$).

Problema 4: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando la sustitución: $y(x) = u(x) \,v(x)$,
a) $$\frac{dy}{dx} + 2 \,y = x^2 + 2 \,x$$ (Ecuación lineal inhomogénea).
b) $$x^2 \,\frac{dy}{dx} + 2 \,x^3 \,y = y^2 \,(1 + 2 \,x^2)$$ (Ecuación de Bernoulli).

Problema 5: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales teniendo en cuenta si son diferenciales exactas o bien si existe un factor integrante:
a) $$x \,(2 \,x^2 + y^2) + y \,(x^2 + 2 \,y^2) \,\frac{dy}{dx} = 0$$.
b) $$(x^2 + y) - x \,\frac{dy}{dx} = 0$$.
c) $$(x + y^2) - 2 \,x \,y \,\frac{dy}{dx} = 0$$.

Problema 6: Determine todas las curvas del plano tales que toda recta tangente a cada curva forma siempre con los ejes coordenados un triángulo de area $A = 2 \, a^2$, siendo $a$ una constante.

Problema 7: Calcular la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias:

a) $$x^2 \,\frac{dy}{dx} + y^2 = x \,y \,\frac{dy}{dx}$$

b) $$\frac{dy}{dx} = \frac{x \sqrt{1+y^2}}{y \sqrt{1+x^2}}$$

c) $$\frac{dy}{dx} = \frac{a^2}{(x+y)^2}$$

d) $$\frac{dy}{dx} + y \;cos \,x = \frac{1}{2} \;sen \,2x$$

e) $$(1 - x^2) \,\frac{dy}{dx} - x \,y = x \,y^2$$

f) $$2 \,x^3 \,\frac{dy}{dx} = 1 + \sqrt{1 + 4 \,x^2 \,y}$$

g) $$\frac{d^2 y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 1 = 0$$

h) $$\frac{d^2y}{dx^2} = e^y$$

i) $$x \,(1 - x) \,\frac{d^2y}{dx^2} + 4 \,\frac{dy}{dx} + 2 \,y = 0$$

j) $$(1 - x) \,y^2 - x^3 \,\frac{dy}{dx} = 0$$

k) $$x \,\frac{dy}{dx} + y + x^4 \,y^4 \,e^x = 0$$

l) $$(1 + x^2) \,\frac{dy}{dx} + y = arctg \,x$$

m) $$x^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - 2 \,(x \,y - 4) \,\frac{dy}{dx} + y^2 = 0$$ (soluciones general y singular)

n) $$y \,\frac{d^2y}{dx^2} - \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - 6 \,x \,y^2 = 0$$

o) $$x^4 \,y \,\frac{d^2y}{dx^2} + x^4 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 3 \,x^3 \,y \,\frac{dy}{dx} - 1 = 0$$

p) $$x^2 \,\frac{d^2y}{dx^2} - 2 \,y = x$$

q) $$\frac{d^3y}{dx^3} - 2 \,\frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} + 2 \,y = sen \,x$$

r) $$\frac{d^4y}{dx^4} + 2 \,\frac{d^2y}{dx^2} + y = cos \,x$$

s) $$\frac{d^2y}{dx^2} + 3 \,\frac{dy}{dx} + 2 \,y = \exp\,(e^x)$$

t) $$a^2 \,\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^2 = \left( 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right)^3$$

u) $$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{2}{x} \, \frac{dy}{dx} + y = \frac{1}{x}$$


Problema 8: En la activación de una lámina de Indio por un flujo constante de neutrones, el número $N$ de átomos radiactivos obedece la ecuación:

$$\frac{dN}{dt} = \lambda \,N_s - \lambda \,N$$

donde $N_s$ es el número constante que se alcanza luego de la ``saturación''. Calcular $N(t)$ si $N(t=0) = 0$.

Problema 9: Encontrar la solución general de:

$$A(x) \,\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dA}{dx} \,\frac{dy}{dx} + \frac{y(x)}{A(x)} = 0$$

donde $A(x)$ es una fiunción conocida e $y(x)$ es la incógnita.

Problema 10: Calcular la solución general de la ecuación:

$$x \,\frac{d^2y}{dx^2} + 2 \,\frac{dy}{dx} + n^2 \,x \,y = sen(\omega x)$$

Ayuda: Eliminar el término en derivada primera.

Problema 11: Notar que: $y = x$ es una solución de la ecuación:

$$(1 - x) \,\frac{d^2y}{dx^2} + x \,\frac{dy}{dx} - y = (1 - x)^2$$

si el segundo miembro se iguala a cero. Use este hecho para obtener la solución general de la ecuación dada.

Problema 12: Considere la ecuación diferencial:

$$\frac{d^2y}{dx^2} + p(x) \,\frac{dy}{dx} + q(x) \,y = 0$$

en el intervalo $a \leq x \leq b$. Suponga que se conocen dos soluciones, $y_1(x)$ e $y_2(x)$, tales que:

$$\begin{array}{lcr} y_1(a) = 0 & & y_2(a) \ne 0\\ y_1(b) \ne 0 & & y_2(b) = 0 \end{array}$$

Dar la solución de la ecuación:

$$\frac{d^2y}{dx^2} + p(x) \,\frac{dy}{dx} + q(x) \,y = f(x)$$

que obedece las condiciones $y(a)=y(b)=0$, en la forma:

$$y(x) = \int_a^b \; G(x,x') \, f(x') \, dx'$$

donde $G(x,x')$, la llamada función de Green, se construye sólo en términos de las soluciones $y_1$ e $y_2$ y asume diferentes formas funcionales para $x'<x$ y $x'>x$. Ilustrar este problema resolviendo:

$$\frac{d^2y}{dx^2} + k^2 \,y = f(x); \;\;\; y(a)=y(b)=0$$

Parte II: Soluciones en Series de Potencias

Problema 13: Considere la ecuación diferencial:

$$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{2}{x} \,\frac{dy}{dx} + \left( K + \frac{2}{x} - \frac{l(l+1)}{x^2} \right) \,y = 0$$

$0 \leq x < \infty$, donde $l$ es un entero no negativo. Encontrar todos los valores de la constante $K$ los cuales generan soluciones finitas en todo el rango de $x$. Una ecuación como esta se obtiene al resolver la ecuación de Schrödinger para el átomo de Hidrógeno.

Problema 14: ¿Para que valores de la constante $K$ la ecuación diferencial:

$$\frac{d^2y}{dx^2} - \left( \frac{1}{4} + \frac{K}{x} \right) y = 0$$

$(0< x < \infty)$ tiene una solución no trivial que se anula para $x \rightarrow 0$ y $x \rightarrow \infty$?

Problema 15: ¿Para que valores de la constante $K$ la ecuación diferencial:

$$x \,\frac{d^2y}{dx^2} - 2 \,x \,\frac{dy}{dx} + (K - 3\,x) \,y = 0$$

posee una solución acotada en el rango $0 \leq x < \infty$?

Problema 16: Se desea una solución de la ecuación diferencial:

$$x \,\frac{d^2y}{dx^2} + 2 \,\frac{dy}{dx} + (E - x) \,y = 0$$

tal que $y(0) = 1$, $y(\infty) = 0$. ¿Para que valores de $E$ es esto posible?

Problema 17: La ecuación de Bessel para $m = 0$ es:

$$x^2 \,\frac{d^2y}{dx^2} + x \,\frac{dy}{dx} + x^2 \,y = 0$$

Una solución de esta ecuación es:

$$J_0(x) = 1 - \frac{x^2}{4} + \frac{x^4}{64} - \cdots$$

Mostrar que existe una segunda solución de la forma:

$$J_0(x) \,\ln x + A \,x^2 + B \,x^4 + C \,x^6 + \cdots$$

y encuentre los tres primeros coeficientes $A$, $B$, $C$.

Problema 18: Considere la ecuación diferencial:

$$x \,\frac{d^2y}{dx^2} + (2 - x) \,\frac{dy}{dx} - 2 \,y = 0$$

Dar dos soluciones, una regular y de valor $1$ en el origen y la otra de la forma:

$$\frac{1}{x} + A(x) \,\ln x + B(x)$$

donde $A(x)$ y $B(x)$ son regulares en el origen. Dar los primeros tres términos de los desarrollos en serie de $A(x)$ y $B(x)$.

Parte III: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Problema 19: Encontrar los todos los puntos de equilibrio de los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales:

$$\left\{ \begin{array}{ccl} \displaystyle \dot{x} &=& x... ...isplaystyle \dot{z} &=& z + x^2 + y^2 \end{array} \right.$$

Problema 20: Considere el sistema de ecuaciones diferenciales:

$$\displaystyle \frac{dx}{dt} = a \,x + b \,y, \;\;\; \displaystyle \frac{dy}{dt} = c \,x + d \,y$$

a) Mostrar que $x=0$, $y=0$ es el único punto de equilibrio si: $a d - b c \neq 0$.
b) Mostrar que el sistema posee una línea de puntos de equilibrio si: $a d - b c = 0$.

Problema 21: Encuentre las soluciones de equilibrio de los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales y determine si son estables o inestables:

$$\left\{ \begin{array}{ccl} \displaystyle \dot{x} &=& x... ... \displaystyle \dot{y} &=& x + x^3 \end{array} \right.$$

Problema 22: Considere un sistema presa-predador donde el predador posee un medio alternativo de sustento. Este sistema puede ser modelado por el sistema de ecuaciones diferenciales:

$$\left\{ \begin{array}{ccl} \displaystyle \dot{x_1} &=& \a... ...\beta_2 - x_2) - \gamma_2 \,x_1 \,x_2 \end{array} \right.$$

donde $x(t)$ e $y(t)$ son las poblaciones al tiempo $t$ de predadores y presas respectivamente y $\alpha_i$, $\beta_i$ y $\gamma_i$ son constantes.
a) Mostrar que el cambio de coordenadas

$$\displaystyle \beta_i \; y_i(t) = x_i \left( \frac{t}{\alpha_i \beta_i} \right)$$

reduce el sistema de ecuaciones a:

$$\left\{ \begin{array}{ccl} \displaystyle \dot{y_1} &=& y_... ...} &=& y_2 \,(1 - y_2) - a_2 \,y_1 \,y_2 \end{array} \right.$$

donde

$$\displaystyle a_1 = \frac{\gamma_1 \beta_2}{\alpha_1 \beta_... ...displaystyle a_2 = \frac{\gamma_2 \beta_1}{\alpha_2 \beta_2}.$$

b) ¿Cuales son las poblaciones de equilibrio estables cuando: (i) $0 < a_2 < 1$, (ii) $a_2 > 1$?
c) Se observa que $a_1 = 3 a_2$ ($a_2$ es una medida de la agresividad del predador). ¿Cuál es el valor de $a_2$ si el instinto del predador consiste en maximizar su población de equilibrio estable?

Fa.M.A.F ©1995