Facultad de Matemática, Astronomía y Física
Universidad Nacional de Córdoba

Métodos Matemáticos de la Física


Guía N$^{\circ}$4: Distribuciones y Transformadas Integrales

Problema 1: Sea la distribución $T_f:\,C_0^{\infty}(\Re) \rightarrow \Re$, es decir una funcional lineal continua tal que:

$$T_f(g) = \int_{-\infty}^{\infty} \, f(x) \, g(x) \, dx ; \;\; \forall g \in C_0^{\infty}(\Re)$$

Probar que si $f$ es continua entonces: Soporte($f$) = Soporte($T_f$).

Problema 2: ¿Cómo extendería al concepto de distribución la noción de función par $(f(x) = f(-x))$ y el de función impar $(f(x) = -f(-x))$?. ¿Qué propiedades conserva la extensión?

Problema 3: Sea:

$$g(x) = \left\{ \begin{array}{lr} x, & x \geq 0 \\ 0, & x \leq 0 \\ \end{array} \right.$$

Claramente $g(x)$ es continua pero no diferenciable (en el sentido clásico). Encuentre las tres primeras derivadas de $g$ en el sentido distribucional.

Problema 4: La parte principal, en el sentido de Cauchy, de una función:

$$P\left(\frac{1}{x}\right)\,(f) = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{\vert x\vert \geq \epsilon} \frac{1}{x} \, f(x) \, dx$$

es una distribución. ¿Cómo debe interpretarse la expresión:

$$\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{x-x_0+i\epsilon} = P\left(\frac{1}{x-x_0}\right) - i \pi \delta(x-x_0) ?$$

Problema 5: Desarrolle la función dibujada a continuación en una serie de Fourier.

Problema 6: Considere la serie de Fourier para la función:

$$f(\theta) = \left\{ \begin{array}{lcl} +1 && 0 < \theta <\pi\\ -1 && \pi< \theta < 2 \pi \end{array} \right.$$

$f(\theta+2 \pi) = f(\theta)$.
a) A la derecha de $\theta = 0$, la suma de los primeros $n$ términos de la serie lucen como se detalla en la figura a continuación. Encontrar $\delta_n$, el ``overshoot'' del primer máximo.

b) Mostrar que $\lim_{n \rightarrow \infty} \delta_n \approx 0.18$. Este comportamiento es conocido como fenómeno de Gibbs.

Problema 7: Una función $f(x)$ es igual a $e^{-x}$ para $0 < x < 1$.
a) Desarrollle $f(x)$ como una serie de Fourier de la forma $\sum_n \, B_n \, sen(n\,\pi\,x)$.
b) Desarrollle $f(x)$ como una serie de Fourier de período $1$.

Problema 8: Un sistema lineal es exitado por una señal periódica $f(t)$, tal que $f(t+T) = f(t)$. La respuesta del sistema es tal que una entrada sinusoidal de frecuencia angular $\omega$ es multiplicada por $(\omega_0 / \omega)^2$, a menos que $\omega = 0$, en cuyo caso no hay salida. La salida puede ser escrita como:

$$g(t) = \frac{1}{T} \, \int_0^T \, G(t-t') \, f(t') \, dt'$$

Calcule la función $G(t)$.

Problema 9: ¿De qué función es el desarrollo:

$$\cos \theta + \frac{\cos 3\theta}{9} + \frac{\cos 5\theta}{25} + \dots$$

una serie de Fourier?

Problema 10: Encontrar la derivada generalizada de la siguiente función de período $2 \pi$:

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{rcr} \frac{1}{2} (\pi-x) & s... ...}{2}(\pi+x) & si & -\pi \leq x < 0 \\ \end{array} \right.$$

Verificar que esta función posee el desarrollo en serie de Fourier: $\sum_n \, \frac{1}{n} sen(nx)$. Comentario: Derivando término a término esta serie obtenemos la serie divergente: $\sum_n \cos(nx)$. Entonces, el concepto de función generalizada nos permite adscribir un significado a series divergentes en el sentido tradicional.

Problema 11: Mostrar que:

$$\int_a^b \, f(x) \, \delta(g(x)) \, dx = \frac{f(x_0)}{\vert g'(x_0)\vert}$$

asumiendo que la ecuación $g(x)=0$ posee una sola raiz en el intervalo $a<x<b$.

Problema 12: Evaluar la siguiente expresión:

$$\int_0^{\pi} dx \int_1^2 dy \; \delta(sen(x)) \,\delta(x^2-y^2).$$

Problema 13: Calcular la transformada de Fourier de la función de onda para un electrón 2p en el átomo de hidrógeno:

$$\phi(\vec{x}) = \frac{1}{\sqrt{32 \pi a_o^5}} \; z \; exp\left( - \frac{r}{2 a_o} \right)$$

donde $a_o$ es el radio de Bohr y $z$ la coordenada rectangular.

Problema 14: Un sistema lineal tiene como respuesta $G(\omega) e^{-i\omega t}$ a una señal de entrada $e^{-i\omega t}$, donde $\omega$ es arbitrario. Si la entrada tiene la forma particular:

$$f(t) = \left\{ \begin{array}{lcr} 0 && (t<0)\\ e^{-\lambda t} && (t>0) \end{array} \right.$$

donde $\lambda$ es una constante fija, la salida resultante es:

$$F(t) = \left\{ \begin{array}{lcr} 0 && (t<0)\\ (1-e^{-\alpha t})e^{-\lambda t} && (t>0) \end{array} \right.$$

donde $\alpha$ es otra constante fija.
a) Calcular $G(\omega)$.
b) Calcular la respuesta del sistema a la entrada $f(t) = A \delta(t)$.

Problema 15: Calcular la transformada de Laplace ${\cal L}[f(x)]$ de la función dibujada a continuación:

Problema 16: Una función $f(x)$ tiene el siguiente desarrollo en serie:

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \, \frac{c_n x^n}{n!}$$

Escribir la función $g(y) = \sum_{n=0}^{\infty} \, c_n x^n$ en forma cerrada en términos de $f(x)$.

Problema 17: Utilizando la representación integral:

$$J_o(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \, \cos(x sen \theta) \,d\theta$$

calcular la transformada de Laplace de $J_o(x)$.

Problema 18: ¿De qué función es:

$$\frac{1}{(s^2 + 1)(s - 1)}$$

la transformada de Laplace?

Problema 19: Tres nucleos radioactivos decaen sucesivamente en serie, de forma tal que los números $N_i(t)$ de cada tipo obedecen las ecuaciones:

$$\displaystyle\frac{dN_1}{dt} = -\lambda_1 N_1 \;\;;\qquad ...... \displaystyle\frac{dN_3}{dt} = \lambda_2 N_2 - \lambda_3 N_3$$

Si inicialmente $N_1 = N$, $N_2 = 0$, $N_3 = n$, calcular $N_3(t)$ utilizando transformadas de Laplace.

Fa.M.A.F ©1995