Facultad de Matemática, Astronomía y Física
Universidad Nacional de Córdoba

Métodos Matemáticos de la Física


Guía N$^{\circ}$5: Funciones Especiales

Problema 1: Sea:

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} +1 & 0<x<1 \\ -1 & -1<x<0 \end{array} \right.$$

Desarrolle $f(x)$ como serie de Polinomios de Legendre $P_l(x)$.

Problema 2: Utilizando una función generatriz, o bien por otro método, evalue la serie:

$$\sum_{n=0}^{\infty} \, \frac{x^{n+1}}{n+1} \, P_n(x)$$

donde $P_n(x)$ son los polinomios de Legendre.

Problema 3: Evalue $P'_n(x)$,
a) directamente de la fórmula de Rodrigues:

$$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \left( \frac{d}{dx} \right)^n \left( x^2-1 \right)^n \; ;$$

b) a partir de la función generatriz:

$$F(h,z) = \frac{1}{\sqrt{1-2hz+h^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \, h^n \, P_n(z) \;\; .$$

Problema 4: Verifique la siguiente representación para los armónicos esféricos:

$$Y_{lm}(\Omega) = \frac{1}{2^l l!} \left( \frac{2l+1}{4\pi... ...+m}}{d(cos \theta)^{l+m}} \left( cos^2 \theta - 1 \right)^l$$

Problema 5: Los polinomios de Hermite $H_n(x)$ pueden ser definidos por la función generatriz:

$$e^{2hx-h^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \, H_n(x) \frac{h^n}{n!}$$

a) Escribir la relación de recursión que conecta: $H_{n-1}(x)$, $H_n(x)$ y $H_{n+1}(x)$.
b) Evaluar:

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} H_n(x) \, dx$$

Problema 6: Considere las funciones $f_n(x)$ definidas por:

$$\renewedcommand {arraystretch}{1.5} \begin{array}{ll} (a)... ...{n+1} = x f_n - f_{n+2}\\ (c) & f'_n = f_{n-1} \end{array}$$

Encontrar una función generatriz $G(x,t)$ tal que:

$$G(x,t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \, f_n(x) t^n$$

Problema 7: Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos soluciones de la ecuación de Bessel (con el mismo $m$). Mostrar que su Wronskiano tiene la forma:

$$fg' - gf' = \frac{constante}{x}$$

Problema 8: Calcular el Wronskiano de $J_m(x)$ y $Y_m(x)$ (m arbitrario).

Problema 9: Mostrar que la definición:

$$J_m(x) = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{(-1)^r}{r! \, \Gamma(m+r+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{m+2r}$$

de los $J_m(x)$ implica que $J_{-m}(x) = (-1)^m J_m(x)$ para todo $m$ entero.

Problema 10: Verificar directamente que:

$$\renewedcommand {arraystretch}{2.0} \begin{array}{rl} J_{... ...displaystyle \frac{2}{\pi x} \right)^{1/2} cos x \end{array}$$

Fa.M.A.F ©1995