Facultad de Matemática, Astronomía y Física
Universidad Nacional de Córdoba

Modelos y Simulación - Licenciatura en Computación


Guía N$^{\circ}$2: Números Aleatorios

Problema 1: Para el estudio mediante simulación es necesario generar muchos números aleatorios en la computadora. Estos corresponden a variables aleatorias uniformemente distribuídas en el intervalo  $(0,1)$. Existen en la literatura varias rutinas optimizadas para generar enormes cantidades de números seudo-aleatorios con velocidad razonable. Se propone aprender a implementar las siguientes rutinas:

a) RAN2. Ver ``Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing'', W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, and W. T. Vetterling (Cambridge, 1986). Esta referencia está disponible online.

b) MZRAN. Ver ``Some Portable Very-Long-Period Random Number Generators'', G. Marsaglia and A. Zaman, Computers in Physics 8(1), 117 (1994).
Para ambos generadores existen implementaciones en C y FORTRAN.

Problema 2: Calcule exactamente el valor de las siguientes integrales. Mediante una simulación de Monte Carlo, calcule a su vez un valor aproximado y compare con el valor exacto.
a) $$\int_0^1 \left( 1-x^2 \right)^{3/2} \,dx$$
b) $$\int_0^{\infty} x \,\left( 1+x^2 \right)^{-2} \,dx$$
c) $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \,dx$$
d) $$\int_0^{\infty} dx \,\int_0^x \,dy \;\,e^{-(x+y)}$$
Ayuda: Sea: $I_y(x) = \displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{si $y < x$} \\ 0 & \mbox{si $y \geq x$} \end{array} \right. .$ Utilice esta función para igualar la integral del item d) a otra cuyos términos vayan de $0$ a $\infty$.

Problema 3: Para $U_1, U_2, \dots$ variables aleatorias uniformemente distribuídas en el intervalo $(0,1)$, se define:

$$N = \mbox{M\'\i nimo} \left\{ n : \sum_{i=1}^n U_i > 1 \right\}$$

Es decir, $N$ es igual a la cantidad de números aleatorios que deben sumarse para exeder a $1$.
a) Estimar $E[N]$ generando $100$ valores de $N$.
b) Estimar $E[N]$ generando $1000$ valores de $N$.
c) Estimar $E[N]$ generando $10000$ valores de $N$.
d) Calcular el valor exacto de $E[N]$.

Problema 4: Para $U_1, U_2, \dots$ números aleatorios, se define:

$$N= \mbox{M\'aximo} \left\{ n : \prod_{i=1}^n U_i \geq e^{-3} \right\}$$

donde: $\prod_{i=1}^{\infty} U_i = 1$. Mediante simulación determinar:
a) $E[N]$
b) $P(N=i)$ para $i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

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